Lista de exercicios da Aula 2

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
IME - Departamento de Análise Matemática
Cálculo I e Cálculo Diferencial e Integral I - PAE 1/2020
Lista de exerćıcios da Aula 2
1. Diga se cada curva é ou não é um gráfico de uma função real de uma variável real em x.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2. Encontre o domı́nio, imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) y =
x3 + 8
x + 2
(b) y =
|x2 − 1|
x− 1
(c) y =
{
x2 + 1, se |x| < 2
1− 2x, se |x| ≥ 3
3. Estude o sinal das seguintes funções
(a) g(x) =
|x|+ 3
|x| − 3 (b) f(x) =
x2 − |x + 2|+ |x|
1− x
(c) h(x) = x2 + x + 1
4. Sejam f(x) = 3x2 + 2 e g(x) =
1
3x + 2
, determine as seguintes funções e seus respectivos domı́nios:
(a) (f + g)(x)
(b) (f(x))−1
(c) (g(x))−1
(d) (f · g)(x)
(e) (f ◦ g)(x)
(f) (g ◦ f)(x)
(g)
(
f
g
)
(x)
(h)
(
g
f
)
(x)
5. Seja f(x) =
3− x
x
. Determine:
(a) f(x2)− (f(x))2 (b) f
(
1
x
)
− 1
f(x)
(c) (f ◦ f)(x)
6. Sejam f(x) =
{
−x, x < 0
x2, x > 0
e g(x) =
{ 1
x
, x < 0
√
x, x > 0
, determine a expressão e o domı́nio das
funções (f ◦ g)(x) e (g ◦ f)(x).
7. Verifique que Im(f) ⊂ Dom(g) e determine g ◦ f se:
(a) f(x) = x + 2 e g(x) = 3x + 1
(b) f(x) = x2 + 3 e g(x) =
x + 1
x− 1
(c) f(x) = 2x− 3 e g(x) = −x2 + 3x + 1
(d) f(x) = x + 1 e g(x) =
2
x− 2
(e) f(x) =
x
x + 1
e g(x) =
x + 1
x− 1
8. Escreva h(x) como composta de duas outras funções:
(a) h(x) = (x2 + 1)4 (b) h(x) = (x2 − 9)−2
9. Resolva, se posśıvel, a inequação
x3
(x + 3)(x− 2)
>
2x− x2
(x + 3)(x− 2)
.
10. Em cada item, dê exemplos de funções f e g tais que
(a) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) esteja bem definidas e que Dom(g ◦ f) 6= Dom(g) ∩Dom(f)
(b) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) esteja bem definidas e que Dom(g ◦ f) 6= Im(f) ∩Dom(g)
(c) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) esteja bem definidas e que Dom(g ◦ f) 6= Im(g) ∩Dom(f)
(d) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) e (g · f)(x) = g(x) · f(x) estejam bem definidas e que g ◦ f 6= g · f
11. Um fazendeiro tem 1200 metros de cerca e deseja cercar um campo retangular que está a margem de
um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio.
(a) Determine a expressão algébrica da função área deste campo retangular em função apenas de
um dos seus lados.
(b) Determine o domı́nio desta função do item (a) em relação a este problema.
(c) Esboce o gráfico desta função.
(d) Determine as dimensões deste campo retangular nos quais a área será a maior posśıvel usando
apenas estes 1200 metros de cerca.
12. (Retirada do livro ”Cálculo: Um curso moderno e suas aplicações”do Hoffmann, Bradley, Sobecki e
Price) Nelson, o dono de uma pequena fábrica de móveis, calcula que se r cadeiras forem produzidas
por hora, o custo por hora será C(r) reais, em que
C(r) = r3 − 50r + 1
r + 1
Suponha que o ńıvel de produção é dado por r = 4 + 0, 3w, em que w é o salário por hora dos
empregados.
(a) Expresse o custo de produção como uma função composta do salário dos empregados.
(b) Qual será o custo por hora se os empregados receberem 20 reais por hora?
13. Um industrial pode produzir rádios ao custo de 10 reais por peça e estima que se eles forem vendidos
por um preço de x reais cada um, os consumidores comprariam aproximadamente (80−x) rádios por
mês.
(a) Expresse o lucro mensal do industrial como uma função do preço x.
(b) Esboce a função.
(c) Ache os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo x (eixo do preço de venda de cada
rádio) e explique essas interseções em termos econômicos.
(d) Determine a que preço que deve ser vendido cada rádio de modo que o lucro do industrial seria
o maior posśıvel.
14. Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a
afirmação e se for falsa, explique o porquê.
(a) Temos que |x2 − 1| = 1− x2 para todo x ∈ (−1, 1).
(b) O domı́nio da função f(x) =
1
(2− x)2
contém o ponto x = 2.
(c) O conjunto solução da equação x(x2 − 4x + 1) = x é S = {0, 4}.
(d) O módulo de um número real negativo é um número negativo, pois |x| = −x se x < 0.
(e) Temos que
x2 − 1
x− 1
= x + 1 para todo x ∈ R.
(f) Temos que |x2 − 4x + 3| =
{
x2 − 4x + 3 se x > 0
−(x2 − 4x + 3) se x < 0 .
(g) O conjunto solução da equação x2(x2 − 4) = x(x− 2) é S = {−2, 0}.
(h) Temos que
x3 − y3
x− y
> 0 para todo x 6= y números reais.
(i) Fazendo a divisão de polinômios obtemos que
x5 + 6x3 + 2x2 + 4x + 4
x4 + 4x2
= x+
2x3 + 2x2 + 4x + 4
x4 + 4x2
.
(j) A divisão de u2 por 1 + u2 tem quociente 1 e resto −1 e portanto podemos escrever u
2
1 + u2
=
1− 1
1 + u2
.
(k) Para toda função f e g onde f ◦ g e f · g estão bem definidas, tem-se que f ◦ g = f · g.
(l) Se f(x) =
1
x
e g(x) = x temos que (f · g)(x) = 1 e Dom(f · g) = R.
(m) Sejam f(x) = x4 e g(x) = x6, então Dom(f ◦g) = [0,+∞), pois Img = [0,+∞) e Dom(f) = R.
(n) Os pontos de interseção de todos os elementos da famı́lia y = x2n,∀n ∈ N, são (−1, 1), (0, 0) e
(1, 1).