Lista de exercícios - Limites

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios da Aula 4
Rubens Sucupira
1. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→7
x2 − 49
x− 7
b) lim
z→−5
z2 − 25
z + 5
c) lim
x→−3/2
4x2 − 9
2x+ 3
d) lim
x→1/3
3x− 1
9x2 − 1
e) lim
y→−2
y3 + 8
y + 2
f) lim
s→1
s3 − 1
s− 1
g) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
h) lim
s→4
3s2 − 8s− 16
2s2 − 9s+ 4
i) lim
x→0
√
x+ 2−
√
2
x
j) lim
x→4
3x2 − 17x+ 20
4x2 − 25x+ 36
k) lim
x→1
3
√
x− 1
x− 1
l) lim
h→0
3
√
h+ 1− 1
h
m) lim
t→3/2
√
8t3 − 27
4t2 − 9
n) lim
h→0
(t+ h)2 − t2
h
o) lim
x→1
1−
√
x
x2 − 1
p) lim
x→−1
√
2− 2x− 2
1 + 3
√
x
2. Nos ítens a seguir, faça um esboço do grá�co de cada uma das funções dadas e determine o limite
da função no ponto especi�cado, caso exista.
a) f(x) =
{
x2 se x ≤ 2
8− 2x se x > 2
lim
x→2+
f(x), lim
x→2−
f(x), lim
x→2
f(x)
b) g(s) =
{
s+ 3 se s < −2
3− s se s ≥ −2
lim
s→−2+
g(s), lim
s→−2−
g(s), lim
s→−2
g(s)
c) h(x) =
{
2x+ 1 se x ≤ 3
10− x se x > 3
lim
x→3+
h(x), lim
x→3−
h(x), lim
x→3
h(x)
d) f(x) =

2x+ 3 se x < 1
4 se x = 1
7− 2x se x > 1
lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x)
3. Dadas as funções f(x) =
{
x2 + 3 se x ≤ 1
x+ 1 se x > 1
e g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1
, mostre que não existem
lim
x→1
f(x) e nem lim
x→1
g(x), mas existe lim
x→1
[f(x) · g(x)].
4. Dada f(x) =
{
3x+ 2 se x ≤ 4
5x+ k se x > 4
, determine k para que exista lim
x→4
f(x).
5. Dada f(x) =
{
kx− 3 se x ≤ −1
x2 + k se x > −1 , determine k para que exista limx→−1 f(x).
6. Dada f(x) =

2x− a se x < −3
ax+ 2b se −3 ≤ x ≤ 3
b− 5x se x > 3
, determine a e b reais para que existam lim
x→−3
f(x) e
lim
x→3
f(x).
7. Seja f(x) = dxe − bxc. Determine lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x). Observe o que acontece com os
limites laterais de f(x) quando x tende para a, sendo a qualquer número real.
8. A função sinal é de�nida como sgn(x) =

−1 se x < 0
0 se x = 0
1 se x > 0
. Determine lim
x→0+
|sgn(x)|, lim
x→0−
|sgn(x)|,
lim
x→0
|sgn(x)|.
9. Seja h(x) = (x − 1) · sgn(x). Faça um esboço do grá�co de h e determine lim
x→0+
h(x), lim
x→0−
h(x),
lim
x→0
h(x).
10. Seja G(x) = bxc + b4 − xc. Faça um esboço do grá�co de G e determine lim
x→3+
G(x), lim
x→3−
G(x),
lim
x→3
G(x).
11. A função f de�nida por f(x) =
√
2 + 3
√
x− 2
x− 8
é descontínua em x = 8. Mostre que a descontinui-
dade é removível e rede�na f de modo a torná-la contínua em R.
12. Determine a e b reais para que a função f de�nida por f(x) =

x2 − 4
x− 2
se x < 2
ax2 − bx+ 3 se 2 ≤ x < 3
2x− a+ b se x ≥ 3
seja contínua em R.
13. Use a continuidade da função seno para calcular lim
x→π
sen(x+ senx).
Respostas
1.
a) 14
b) −10
c) −6
d) 12
e) 12
f) 3
g) 12
h) 167
i)
√
2
4
j) 1
k) 13
l) 13
m) 3√
2
n) 2t
o) −14
p) −32
2.
a) lim
x→2+
f(x) = 4, lim
x→2−
f(x) = 4, lim
x→2
f(x) = 4
b) lim
s→−2+
g(s) = 5, lim
s→−2−
g(s) = 1, lim
s→−2
g(s) não existe
c) lim
x→3+
h(x) = 7, lim
x→3−
h(x) = 7, lim
x→3
h(x) = 7
d) lim
x→1+
f(x) = 5, lim
x→1−
f(x) = 5, lim
x→1
f(x) = 5
3.
• lim
x→1+
f(x) = 2, lim
x→1−
f(x) = 4, lim
x→1
f(x) não existe
• lim
x→1+
g(x) = 2, lim
x→1−
g(x) = 1, lim
x→1
g(x) não existe
• f(x) · g(x) =
{
x4 + 3x2 se x ≤ 1
2x+ 2 se x > 1
• lim
x→1+
[f(x) · g(x)] = 4, lim
x→1−
[f(x) · g(x)] = 4, lim
x→1
[f(x) · g(x)] = 4
4. k = −6 5. k = −2 6. a = −3, b = −6
8.
• lim
x→1+
f(x) = 1, lim
x→1−
f(x) = 1, lim
x→1
f(x) = 1
• lim
x→a+
f(x) = 1, lim
x→a−
f(x) = 1, lim
x→a
f(x) = 1
8. lim
x→0+
|sgn(x)| = 1, lim
x→0−
|sgn(x)| = −1, lim
x→0
|sgn(x)| não existe.
9. h(x) = |x− 1|, lim
x→0+
h(x) = 1, lim
x→0−
h(x) = 1, lim
x→0
h(x) = 1
10.
x
y
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
lim
x→3+
G(x) = 3, lim
x→3−
G(x) = 3, lim
x→3
G(x) = 3
11. Como existe lim
x→8
f(x) =
1
48
, a descontinuidade é removível e podemos de�nir
f(x) =
{ √
2+ 3
√
x−2
x−8 se x 6= 8
1
48 se x = 8
.
12. a = b = 12
13. lim
x→π
sen(x+ senx) = sen
(
lim
x→π
(x+ senx)
)
= sen(π + senπ) = senπ = 0.