Aula 9_Noções sobre experimentos fatoriais

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Modelos matemáticos –método da regressão linear
Docente: Ivana M. G. de Andrade
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO SUL DE MINAS GERAIS
Bacharelado em Engenharia de Alimentos
Disciplina: Controle e Otimização de Processos
correlação entre variáveis
A análise de correlação mede o grau de associação entre duas variáveis aleatórias quantitativas, descrevendo o comportamento conjunto de ambas.
Exemplo: Numa situação de comparação entre dois métodos de análise, é desejável um coeficiente de correlação positivo e o mais próximo possível de 1
2
	Método A	Método B
	2,07	2,05
	2,42	2,43
	2,81	2,85
	3,03	2,98
2
3
correlação entre variáveis
Coeficiente de correlação (r)
A medida do grau de correlação entre duas variáveis pode ser obtida por meio do coeficiente de correlação de Person, representado por r e calculado pela seguinte expressão:
	
 
3
4
correlação entre variáveis
Sx e Sy são chamados de variância: são a raiz quadrada das médias dos quadrados dos desvios:
O valor de S2xy, que é conhecido como covariância entre as variáveis X e Y também fornece uma medida para o relacionamento entre X e Y:
	
 
4
Modelagem de experimentos 
Como visto anteriormente:
Modelos matemáticos são equações ou sistemas de equações utilizados para PREVER resultados 
Exemplo: suponha que desejamos encontrar o relacionamento funcional entre uma variável Y e uma variável X
	- A FUNÇÃO LINEAR será do tipo y = f(x)
São modelos lineares usando os parâmetros βo, β1 e β2:
5
5
Modelagem de experimentos 
Modelos estatísticos 
são aqueles que utilizam a estatística para determinar uma função que represente a tendência de comportamento de dados aleatórios
	- Exemplo: obtenção da reta por regressão linear simples
diferentemente dos modelos matemáticos, não temos uma reta perfeita que alinhe todos os pontos  necessidade de buscar a “RETA MAIS PRÓXIMA”
Neste caso, os modelos lineares usando os parâmetros βo, β1 e β2 precisam de um “fator de correção”:
6
6
Modelagem de experimentos 
A reta da regressão linear simples
Suponha que a equação abaixo descreve o relacionamento funcional linear entre as variáveis X e Y de um dado experimento:
	
A resolução da equação envolve determinar βo e β1 
7
7
Modelagem de experimentos 
Estimativa dos parâmetros βo e β1 
Para a equação:
Considere o método dos mínimos quadrados em que B0 e B1 serão dados por: 
8
8
Modelagem de experimentos 
Exemplo 1: densidade ótica (x) e massa seca (y) para a levedura: 
9
	D.O.	0,2620	0,2878	0,3367	0,3902	0,4899	0,6196	0,8279
	M.S.	0,1042	0,1191	0,1390	0,1668	0,2085	0,2779	0,4169
9
Modelagem de experimentos 
Podemos calcular os valores de B0 e B1:
Considere o método dos mínimos quadrados em que B0 e B1 serão dados por: 
10
10
Modelagem de experimentos 
Portanto, a reta que relaciona y e x, será
Assim, no intervalo estudado, a cada acréscimo de uma unidade em x (densidade ótica) ocorre um acréscimo de B1=0,5399 unidades em y (massa seca em g/L).
A Reta corta o eixo Y em B0 = -0,0433
11
11
Modelagem de experimentos 
12
12
Modelagem de experimentos 
Exemplo 2: Atividade enzimática segundo a temperatura. A temperatura foi fixada para intervalos de 10°C.
Neste caso, há uma variável independente fixa (fator), com seus níveis previamente fixados
Busca-se determinar aqueles que otimizam as variáveis dependentes ou respostas
r=0,36  indica fraca correlação linear positiva entre a temperatura e a atividade enzimática
13
	Temp.	30	40	50	60	70
	Atividade	158	292	393	456	215
13
Modelagem de experimentos 
Adotaremos códigos para descrever a temperatura, uma vez que ela foi previamente fixada  variável codificada (C)
Vamos subtrair a temperatura média (50°C) de todos os valores de T e dividir pelo espaçamento de T (δ =10):
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	Temp.:C	-2	-1	0	1	2
	Temp.: X	30	40	50	60	70
	Atividade(Y)	158	292	393	456	215
Os valores codificados ci tem o apelo de coeficiente de contraste ortogonal  essenciais estimação de parâmetros para a construção de superfícies de respostas! 
14
Modelagem de experimentos 
Se determinarmos a equação da reta utilizando o mesmo procedimento de cálculo do exercício 1, obteremos a seguinte equação da reta:
15
Logo, a reta não representa o comportamento dos dados, devido ao baixo valor de r(0,36)
15
Modelagem de experimentos 
Vamos simplificar nossos cálculos, através do cálculo considerando a variável codificada.
A equação será então:
Em que: 
16
16
Modelagem de experimentos 
Resolvendo:
17
	Temp.:C	-2	-1	0	1	2
	Temp.: X	30	40	50	60	70
	Atividade(Y)	158	292	393	456	215
17
Modelagem de experimentos 
18
Teremos então uma reta ajustada aos valores da atividade enzimática!
18
Modelagem de experimentos 
Podemos transitar livremente entre um modelo e outro:
Se:
Logo: 
19
19
Modelagem de experimentos 
Coeficiente de determinação ou coeficiente de explicação da reta (R2):
	- Quantifica a qualidade do ajustamento do modelo matemático aos dados experimentais.
	- De forma simplificada:
	- Exemplo 1: r = 0,9959  R2 = 99,18 %  explica 99,18% da variação total inerente à quantidade de massa seca
	- Exemplo 2: r=0,36  R2= 12,96 %  explica apenas 12,79% da variação inerente à atividade enzimática
20
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Gráficos de superfície de resposta
21
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experimentos fatoriais
Docente: Ivana M. G. de Andrade
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO SUL DE MINAS GERAIS
Bacharelado em Engenharia de Alimentos
Disciplina: Controle e Otimização de Processos
Noções introdutórias
Experimentos delineados em esquemas fatoriais:
São aqueles que envolvem combinações entre os níveis de duas ou mais variáveis independentes (fatores)  variáveis que tiveram seus níveis fixados
Exemplo: delineamento inteiramente casualizado de dois fatotes, cada qual com dois níveis
	- Fator A: “Temperatura “ com níveis “1” e “2”
	- Fator B: “pH” com níveis “1” e “2”
Combinações:
23
	A1B1	A1B2
	A2B1	A2B2
23
Noções introdutórias
Se A tem 3 níveis e B tem 2 níveis :
Se ambos tem três níveis:
24
	A1B1	A1B2
	A2B1	A2B2
	A3B1	A3B2
	A1B1	A1B2	A1B3
	A2B1	A2B2	A2B3
	A3B1	A3B2	A3B3
24
Noções introdutórias
De forma mais geral:
Para K sendo o número de fatores (variáveis independentes) e N sendo o número de níveis esquema fatorial completo, será: 
Que representa o número de ensaios, tratamentos ou combinações possíveis:
25
		Fatores		
	Níveis
	k=2	k=3	k=K
	2	22=4	23=8	2k
	3	32=9	33=27	3k
	N	N2	N3	Nk
NK
25
Noções introdutórias
Logo, pode-se notar que quanto maior o número de variáveis independentes e de níveis a serem estudados
26
Haverá um crescimento exponencial do número de testes!!!
Inviabilidade de estudar esquemas fatorais completos para valores grande de N e K.
26
Noções introdutórias
 “Pré-seleção” através de delineamentos com base em frações de fatoriais
27
Obtém os FATORES e/ou NÍVEIS que realmente conduzem a RESPOSTAS EXPERIMENTAIS ÓTIMAS!
27
delineamento eM ESQUEMA FATORAL 2K
A fim de se otimizar o número de testes em um estudo, serão analisados k fatores, todos com dois níveis:
Delineamentos deste tipos são muito utilizados em laboratórios e/ou locais onde as FONTES EXTERNAS DE VARIAÇÃO, são geralmente, muito bem controladas. 
28
2K
28
fatorial 22 com interação não significativa
Suponha um teste laboratorial para estudar a atividade enzimática em função:
	- do pH (fator A) com dois níveis: baixo (-) e alto (+)
	- da temperatura com dois níveis: baixa (-) e alta (+)
O teste será feito em três repetições
29
	Fatores		Tratamentos	Atividade enzimática			Totais	Médias
	A (pH)	B (T)		1	2	3		
	-	-	1	218	212	170	600	200
	+	-	a	67	73	76	216	42
	-	+	b	402	399	411	1212	404
	+	+	ab	222	258	270	750	250
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fatorial 22 com interação não significativa
A descrição esquemática das médias dos resultados experimentais, seria:
	
30
B
+
-
A
-
+
b=404
ab=250
(1)=200
a=72
30
fatorial 22 com interação não significativaEfeitos principais do pH, temperatura e interação sobre as respostas:
	- Efeito do fator A entendido como a variação causada na resposta, quando percorremos todos os níveis de A, independentemente dos demais fatores
- Efeito do pH: diferença entre a atividade enzimática média no nível alto e no nível baixo (ver tabela)
31
A passagem do nível (-) para o nível (+) do pH causou uma diminuição de 141,0 U/mL, na média da atividade enzimática!
31
fatorial 22 com interação não significativa
A relação definida no numerador da estimativa do efeito na equação é denominada de CONTRASTE:
No caso do pH:
Contraste: (a+ab) – (1+b) = a + ab – 1- b
32
Numeradores!
32
fatorial 22 com interação não significativa
Contraste gerador da estimativa do pH:
33
	Tratamentos 	a	ab	(1)	b	Soma
	Coeficientes	+1	+1	-1	-1	0
	Quadrados	1	1	1	1	4
33
fatorial 22 com interação não significativa
Efeito da temperatura: diferença entre a atividade enzimática média no nível alto e no nível baixo (ver tabela)
Contraste da temperatura:
 b + ab – 1- a
34
A passagem do nível (-) para o nível (+) da T causou um acréscimo de 191,0 U/mL, na média da atividade enzimática!
34
fatorial 22 com interação não significativa
Contraste gerador da estimativa da Temperatura:
35
	Tratamentos 	b	ab	(1)	a	Soma
	Coeficientes	+1	+1	-1	-1	0
	Quadrados	1	1	1	1	4
35
fatorial 22 com interação não significativa
- Se construímos uma tabela com as médias da atividade enzimática, segundo o pH e a temperatura, teremos:
36
	Temperatura	Níveis de pH		Médias marginais segundo a Temperatura
		-	+	
	-	200	72	yT- = 136
	+	404	250	yT+ = 327
	Médias marginais segundo o pH	ypH- = 302
	ypH+ = 161
	y=231,5
(média das médias)
36
fatorial 22 com interação não significativa
Efeito da interação: 
No modelo simples do exemplo adotado, têm-se uma INTERAÇÃO DE PRIMEIRA ORDEM  uma interação entre os níveis de dois fatores
O efeito da interação de primeira ordem é entendido como a variação causada na resposta, quando se faz variar os níveis de um dos fatores “dentro” de cada nível do outro.
37
37
fatorial 22 com iteração não significativa
A estimativa do efeito da interação pode ser obtida como a diferença entre as médias determinadas pelas diagonais:
Contraste da interação:
	ab + 1 – a - b
	
38
B
+
-
A
-
+
b=404
ab=250
(1)=200
a=72
38
fatorial 22 com interação não significativa
Contrastes com totais:
Na construção dos contrastes, poderíamos ter utilizado os TOTAIS ao invés das médias  apenas acrescentar o número de repetições (r=3):
39
	Contrastes	Totais	Valor do contraste	Soma dos quadrados dos coeficientes
	Aa+ab-(1)-b	216+750-600-1212	-846	4
	Bb+ab-(1)-a	1212+750-600-216	1146	4
	ABab+(1)-a-b	750+600-216-1212	-78	4
39
fatorial 22 com iteração não significativa
Ajuste do modelo matemático
Um modelo matemático linear utilizado no relacionamento funcional entre variáveis pode ser dado por:
x  são variáveis “codificados” (no caso, x1 e x2)
X  valores realmente utilizados no experimento
No presente exemplo: x1 e x2 assumem ambos os valores: -1 (correlação linear negativa perfeita) e 1 (correlação linear positiva perfeita). 
40
40
fatorial 22 com iteração não significativa
Ajuste do modelo matemático
Podemos estimar o valor da variável resposta Y para algum valor da variável independente X, pertencente ao intervalo já utilizado no experimento.
41
Um fato importante a ser ressaltado é que podemos obter os valores estimados para as respostas (no caso, atividade enzimática), através do MODELO AJUSTADO
Válido para valores da variável independente (pH e Temp) dentro do intervalo estudado.
41
fatorial 22 com iteração não significativa
Os parâmetros βo, β1, β2 e β12 são parâmetros do modelo de regressão que serão estimados:
 βo  para fins práticos, será a média geral das respostas
	 βo = y = 231,5
Os demais parâmetros, serão iguais às metades das estimativas dos efeitos correspondentes:
42
42
fatorial 22 com iteração não significativa
Sendo assim, o modelo que descreve o comportamento da atividade enzimática em função da variação do pH (x1) e da Temperatura (x2), será dado por:
Em que x1 e x2 são variáveis codificadas.
43
43
Análise de variância aplicada ao ajuste do modelo
Deseja-se agora aplicar uma análise de variância ao modelo obtido por regressão linear para se testar as seguintes hipóteses:
- Ausência de regressão linear  hipótese de que a reta obtida é paralela ao eixo X (ausência de inclinação)
Há regressão linear  hipótese de que a reta obtida é NÃO É paralela ao eixo X (presença de inclinação)
O parâmetro β1 é o que corta o eixo X, portanto:
 Ho: β1 = 0 versus Ha: β1 ≠ 0
44
44
Análise de variância aplicada ao ajuste do modelo
Uma tabela de análise de variância (ANOVA) típica será:
45
	Fontes de variação	Graus de liberdade:GL	Soma dos quadrados:SQ	Quadrados médios: QM	F calculado: Fcalc
	Regressão linear: RL	1			QMRL/QMRes
	Resíduo: Res.	n-2			
	Total	n-1		-	
45
Análise de variância aplicada ao ajuste do modelo
No entanto, a soma dos quadrados relacionados ao fatores (pH e T), podem ser calculadas através dos respectivos contrastes construídos com os totais:
46
Em que:
4 soma dos quadrados dos coeficientes do contraste 
r  número de repetições 
46
Análise de variância aplicada ao ajuste do modelo
Logo:
47
	Contrastes	Totais	Valor do contraste	Soma dos quadrados dos coeficientes
	Aa+ab-(1)-b	216+750-600-1212	-846	4
	Bb+ab-(1)-a	1212+750-600-216	1146	4
	ABab+(1)-a-b	750+600-216-1212	-78	4
47
Análise de variância aplicada ao ajuste do modelo
Por sua vez, a SQ Total corrigida e a SQ Resíduo são calculadas como mostrado na tabela:
SQ Total corrigida:
SQ Resíduo:
48
48
Análise de variância aplicada ao ajuste do modelo
A tabela da ANOVA para o exemplo será:
49
	Fontes de variação	GL	SQ	QM	Fcalc	Hipóteses
	pH	1	59643,00	59643,00
	QMRL/QMRes
=59643/342
=174,39	Ho: β1=0
	Temp	1	109443,00	109443,00
	=109443/342
=320,01	Ho :β2=0
	pH x Temp	1	507,00	507,00	=507/342
=1,48	Ho :β12=0
	Resíduo	n-4=12-4
=8	2736,00	2736/8
=342		
	Total	n-1=12-1
=11	172329,00	-		
49
50
Se Fcal> ou = Ftab (1;8,α=5%)  rejeita-se Ho e conclui-se sobre a EXISTÊNCIA DE REGRESSÃO LINEAR 
Temos que Fcal> ou = Ftab (1;8,α=5%) apenas para o pH e a Temperatura  rejeita-se Ho (há regressão linear)
hipótese de que a reta obtida é NÃO É paralela ao eixo X (presença de inclinação)
50
Análise de variância aplicada ao ajuste do modelo
Para a interação pH x Temp  Fcalc < Ftab
	- a interação não foi significativa  Não se rejeita a hipótese Ho :β12=0
	Estatisticamente, na equação obtida, o parâmetro β12x1x2 (-6,5x1x2) tem pouca influência sobre a resposta y.
51
51
Análise de variância aplicada ao ajuste do modelo
A interação não significativa gera duas retas paralelas 
A interação significativa gera duas retas concorrentes
	
52
52
Análise de variância aplicada ao ajuste do modelo
Para uma análise mais detalhada, podemos estudar o valor do COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU DE EXPLICAÇÃO (R2), que pode ser dado por:
Logo:
Se desprezamos o efeito da interação:
53
53
Análise de variância aplicada ao ajuste do modelo
Neste caso, manter ou retirar do modelo o parâmetro β12 NÃO IMPLICA EM GRANDES DIFERENÇAS SOBRE AS CONCLUSÕES.
Portanto, o modelo completo é aceitável  gera um gráfico do modelo ajustado conhecido como SUPERFÍCIE DE RESPOSTA 
54
54
55
55
Exercício para nota 
Considere um conjunto de 12 ensaios que relacionam atividade enzimática e temperatura. Obter:
A reta;
A curva ajustada com os valores codificados (ci);
Os valores de y’ para ci= -1; ci= 0 e ci= 1;
Os valores do erro (e= y-y’);
A análise de variância para testar a hipótese Ho: β1=0.
56
56
57
	Ensaio	Temperatura		Atividade enzimática (U/mL)		Erro de ajustamento
		ci	xi	yij	y’ij	e=yij – y’ij
	1	-1	30	167,00		
	2	-1	30	168,003	-1	30	171,00		
	4	-1	30	185,00		
	5	0	50	225,00		
	6	0	50	268,00		
	7	0	50	255,00		
	8	0	50	270,00		
	9	1	70	288,00		
	10	1	70	305,00		
	11	1	70	322,00		
	12	1	70	328,00		
57
[
]
[
]
1
1
/
)
(
/
)
(
2
2
2
2
2
£
£
-
=
S
-
S
S
-
S
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S
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S
S
S
n
y
y
n
x
x
n
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X
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S
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S
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xi
xi
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2
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S
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n
n
xi
xi
n
i
x
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s
2
s
s
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3
2
2
2
1
1
0
2
2
1
1
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:
x
x
y
também
x
x
y
b
b
b
b
b
b
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+
=
x
x
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onde
e
x
y
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i
i
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+
=
:
1
1
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b
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i
e
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y
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1
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b
b
1
1
0
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B
B
y
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B
y
B
S
S
n
x
x
n
y
x
y
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B
X
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i
i
i
i
i
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2
2
1
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(
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)(
(
-
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=
S
-
S
S
S
-
S
=
9959
,
0
7930
,
0
;
3667
,
0
;
7264
,
1
4324
,
1
;
2141
,
3
;
7
2
2
=
=
S
=
S
=
S
=
S
=
S
=
r
y
x
y
x
y
x
n
i
i
i
i
i
i
0433
,
0
)
4592
,
0
)(
5399
,
0
(
2046
,
0
:
5399
,
0
7
)
2141
,
3
(
7264
,
1
7
)
4324
,
1
)(
2141
,
3
(
7930
,
0
)
(
)
)(
(
1
0
2
2
2
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-
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-
=
=
-
-
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-
S
S
S
-
S
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y
B
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n
x
x
n
y
x
y
x
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i
i
i
i
i
i
i
i
x
y
5399
,
0
0433
,
0
+
-
=
1
5399
,
0
0433
,
0
x
y
i
+
-
=
}
2
,
1
,
0
,
1
,
2
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10
50
-
-
=
-
=
-
=
C
x
x
x
c
i
i
i
d
i
i
x
y
78
,
2
80
,
163
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=
i
c
b
b
y
1
0
+
=
y
b
c
y
c
b
i
i
i
=
S
S
=
0
2
1
i
c
y
80
,
27
80
,
302
+
=
80
,
302
80
,
27
10
278
0
2
1
=
=
=
=
S
S
=
y
b
c
y
c
b
i
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c
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x
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i
i
x
y
x
y
x
y
78
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2
80
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163
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50
*
80
,
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80
,
27
00
,
3028
10
10
50
80
,
27
80
,
302
+
=
-
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
=
100
*
)
(
2
2
r
R
=
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
Lucro
x
2
x
1
141
302
161
2
404
200
2
250
72
ˆ
2
1
2
ˆ
-
=
-
=
+
-
+
=
+
-
+
=
-
=
®
-
+
A
b
ab
a
y
y
A
pH
pH
pH
2
1
2
ˆ
b
ab
a
y
y
A
pH
pH
pH
+
-
+
=
-
=
®
-
+
191
136
327
2
72
200
2
250
404
ˆ
2
1
2
ˆ
=
-
=
+
-
+
=
+
-
+
=
-
=
®
-
+
B
a
ab
b
y
y
B
a
Temperatur
T
T
13
2
404
72
2
200
250
2
2
1
-
=
+
-
+
=
+
-
+
=
®
pHxT
b
a
ab
AB
pHxT
191
136
327
3
2
216
600
3
2
750
1212
2
)
1
(
2
ˆ
141
302
161
3
2
1212
600
3
2
750
216
2
)
1
(
2
ˆ
=
-
=
+
-
+
=
+
-
+
=
-
=
-
=
-
=
+
-
+
=
+
-
+
=
-
=
-
+
-
+
x
x
r
a
r
ab
b
y
y
B
x
x
r
b
r
ab
a
y
y
A
T
T
pH
pH
i
j
j
j
j
ijr
e
x
x
x
x
y
+
+
+
+
=
2
1
12
2
2
1
1
0
b
b
b
b
5
,
6
2
13
2
ˆ
1
5
,
95
2
191
2
ˆ
5
,
70
2
141
2
ˆ
2
2
1
-
=
-
=
=
=
=
=
-
=
-
=
=
B
A
B
A
b
b
b
j
j
j
j
ijr
x
x
x
x
y
2
1
2
1
5
,
6
5
,
95
5
,
70
50
,
231
-
+
-
=
2
)
ˆ
(
y
y
i
-
S
2
)
ˆ
(
i
i
y
y
-
S
2
2
y
n
y
i
-
S
1
)
ˆ
(
2
y
y
i
-
S
2
)
ˆ
(
2
-
-
S
n
y
y
i
i
[
]
[
]
[
]
r
AB
pHxTemp
SQ
AB
SQ
r
B
Temp
SQ
B
SQ
r
A
pH
SQ
A
SQ
4
)
(
)
(
4
ˆ
)
(
)
ˆ
(
4
ˆ
)
(
)
ˆ
(
2
2
2
=
=
=
=
=
=
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
00
,
507
3
4
78
4
)
(
)
(
00
,
109443
3
4
1146
4
ˆ
)
(
)
ˆ
(
00
,
59643
3
4
846
4
ˆ
)
(
)
ˆ
(
2
2
2
2
2
2
=
-
=
=
=
=
=
=
=
=
-
=
=
=
x
r
AB
pHxTemp
SQ
AB
SQ
x
r
B
Temp
SQ
B
SQ
x
r
A
pH
SQ
A
SQ
00
,
172329
)
50
,
231
)(
12
(
]
270
...
67
218
[
2
2
2
2
2
2
=
-
+
+
+
=
-
S
=
y
n
y
SQT
i
c
00
,
2736
507
109443
59643
172329
)
(
)
(
)
(
Re
:
)
(
Re
2
=
-
-
-
=
-
-
-
=
-
S
=
AB
SQ
B
SQ
A
SQ
SQT
s
SQ
ou
y
y
s
SQ
c
i
%
41
,
98
172329
507
109443
59643
100
100
(%)
2
=
+
+
=
=
x
SQT
SQRL
x
R
c
c
c
SQT
s
SQ
SQT
SQRL
R
Re
1
2
-
=
=
%
11
,
98
172329
109443
59643
100
100
(%)
2
=
+
=
=
x
SQT
SQRL
x
R
c