ANÁLISE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA III Aula 3

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ANÁLISE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA III
Aula 3: Eq. Dif. Ordinárias: Eq. Diferenciais exatas e fator
integrante
Apresentação
Nesta aula, veremos as equações diferenciais exatas e como podemos resolvê-las. Algumas vezes, podemos transformar
uma equação diferencial que não é exata em uma equação exata, multiplicando a equação por um fator adequado, dito
integrante.
Objetivos
Identi�car e resolver equações diferenciais exatas;
Resolver equações diferenciais, transformando-as em exata, através do fator integrante.
Introdução
Você sabia que não podemos aplicar os métodos estudados até o
momento a uma equação que não seja do tipo homogênea e nem
separável?
 Fonte: Freepik
No entanto, se nossa equação envolve uma diferencial total
de alguma função U, teremos uma equação dita equação
diferencial exata.
Nesta aula, veremos essas equações e como podemos
resolvê-las.
Algumas vezes, podemos transformar uma equação
diferencial que não é exata em uma equação exata
multiplicando a equação por um fator adequado, dito
integrante.
Vamos entender melhor?
Entendendo a equação diferencial
Para entendermos melhor, vamos começar observando a equação diferencial (2𝑥 + 𝑦²)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0.
Nela, podemos identi�car:
M(x,y) = 2x+ y²
N(x,y) = 2xy

Trata-se de uma equação homogênea?
A resposta é não. Mas então, como
resolvê-la?
javascript:void(0);
Observe a função:
Determinando
temos:
Ou ainda:
Assim, podemos escrever a equação diferencial dada (2𝑥+𝑦²)𝑑𝑥+𝑍𝑥𝑦𝑑𝑦=0 como:
Ou ainda:
Resolvendo, temos que:
U(x,y) = x²+ xy²
e
δυ
δx
δυ
δy
= 2x+ y²
∂U
∂x
= 2xy
∂U
∂y
= M(x,y)
∂U
∂x
= N(x,y)
∂U
∂y
dx+ dy = 0
∂U(x,y)
∂x
∂U(x,y)
∂y
dU(x,y) = 0
U(x,y) = C
A de�nição
Você deve estar se perguntando...
Quando dizemos que uma equação da forma 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 é diferencial exata?
 Fonte: Freepik
Quando seu primeiro membro é a diferencial total de alguma função 𝑈, isto é, quando existe uma função 𝑈(𝑥, 𝑦) tal que 𝑑𝑈 =
𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦.
Observe que, se 𝑑𝑈 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦, temos que:
Além disso, 𝑑𝑈 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 = 0, assim 𝑈 = 𝐶.
{
= M(x,y) (1)∂U
∂x
= N(x,y) (2)∂U
∂y
Identi�cando uma equação exata
Mas como identi�car uma equação exata?
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O teorema a seguir nos auxilia nessa identi�cação. Ele nos fornece uma condição necessária e su�ciente para que a equação
seja efetivamente exata.
Teorema:
A equação M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, onde:
M e N são funções contínuas e deriváveis
E é diferenciável exata se, e somente se, ocorrer a relação =
Assim, a condição necessária e su�ciente para que a equação 𝑀(𝑥.𝑦)𝑑.𝑥+𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦=0 seja diferencial exata é que, sendo M e P
funções continuas e deriváveis, se tenha:
=
∂M
∂y
∂N
∂x
=
∂M
∂y
∂N
∂x
Condição necessária e su�ciente
Considere:
a condicional p → q
Se p acontece, então q acontece. O que está junto ao
“se" (p) é a condição su�ciente, e o que está junto ao
“então" (q) é a condição necessária.
o bicondicional p ↔ q
p acontece, se e somente se, q acontece. "Condição
necessária e su�ciente" é o bicondicional.
Aplicando o conhecimento
Vejamos se assimilou este conteúdo.
(ESAF) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo:
a) Seu esforço é condição suficiente para vencer;
b) Seu esforço é condição necessária para vencer
c) Se você não se esforçar, então não irá vencer;
d) Você vencerá só se se esforçar;
e) Mesmo que se esforce, você não vencerá.
Exemplo
Identi�caremos, com o auxilio do teorema, a equação diferencial 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒙 + (𝒙² — 𝟏)𝒅𝒚 = 𝟎 como uma equação exata.
𝑀(𝑥 , 𝑦) =2𝑥𝑦 e 𝑁(𝑥 , 𝑦) = 𝑥² —1
Precisamos mostrar que =
De fato, temos que
Assim, a equação diferencial 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥²—1)𝑑𝑦 = 0 é exata.
=
∂M
∂y
∂N
∂x
= 2x e  = 2x
∂M
∂y
∂N
∂x
Método de resolução
Depois de mostrarmos que a equação é homogênea, com o auxílio do teorema, precisamos supor que:
O procedimento será integrar uma destas equações, considerando a outra variável como constante, e comparar com a outra
equação.
= M(x,y)
∂U
∂x
= N(x,y)
∂U
∂y
Exemplo
Antes de continuar seus estudos, veja alguns exemplos para entender melhor.
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Aplicando o conhecimento
Chegou a hora de aplicar seus conhecimentos.
Resolva a equação diferencial:
Ao �nalizar, clique aqui para conferir se sua resposta está correta.
Boa sorte!
dx+ (x − 2y)dy = 0ey ey
Fator integrante
Eventualmente, podemos transformar uma equação
diferencial que não é exata em uma equação exata.
Mas como fazer isso?
É simples. Basta multiplicar a equação diferencial dada por
uma função adequada, dita fator integrante.
 Fonte: Freepik
Considere a equação diferencial:
Clique nos passos a seguir para acompanhar a sua resolução.
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0
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javascript:void(0);
Clique nos botões para ver as informações.
Agora, vamos multiplicar essa equação por uma função λ(𝑥, 𝑦) e estudar as condições desta nova equação, de modo que
ela seja uma equação diferencial exata.
Passo 1 
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0
λ(x,y)M(x,y)dx+ λ(x,y)N(x,y)dy = 0
Agora, vamos pensar em um fator integrante que dependa somente de 𝑥: λ(𝑥)
Para que (λ𝑀) (λ𝑀)_(𝑦 )=(λ𝑁)_(𝑥 ), precisamos ter:
Passo 2 
(λM = λ)y My
(λN = N + λ)x
dλ
dx
Mx
λ = N + λMy
dλ
dx
Mx
N = λ − λ
dλ
dx
My Mx
= λ
dλ
dx
−My Mx
N
Se
depende somente de 𝑥, então há um fator integrante λ que depende só de 𝑥 também.
Para encontrar λ , é preciso resolver a seguinte equação:
Passo 3 
−My Mx
N
= λ
dλ
dx
−My Mx
N 
Que é uma equação diferencial
separável.
De forma análoga, podemos pensar em um fator Integrante que dependa somente de y.
Considerando a equação não exata 𝑀(𝑥,𝑦)𝑑.𝑥 + 𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 — 0, podemos, então, de�nir fator integrante desta equação:
Toda função λ tal que 𝐴𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 + 𝐴𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 =𝑂 é exata.
Passo 4 
Exemplo
Antes de continuar seus estudos, veja alguns exemplos para entender melhor.
Notas
Referências
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo: volume II. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
BOYCE, William; DIPRIMA, Richard. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 8. ed. São Paulo:
LTC, 2006.
Próximos passos
Equações Diferenciais Ordinárias: Equações lineares e Problemas de valor inicial e contorno.
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Leia os textos:
BOYCE, William, DIPRIMA, Richard. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Cap.:
Equações diferenciais de primeira ordem.
MADUREIRA, Luisa. Problemas de equações diferenciais ordinárias e transformadas de Laplace. FEUP Edições. Cap. 1:
Equações diferenciais de primeira ordem. 1.2. Equações diferenciais exacas.