Cálculo aplicado várias variáveis

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PERGUNTA 1
1. Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente. Sabemos que podemos escrever  . Se   e   e  .
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	A variável  é a variável intermediária.
 
	
	
	As variáveis  e  são as variáveis intermediárias.
	
	
	A variável  é a variável independente.
	
	
	As variáveis  e  são as variáveis dependentes.
	
	
	As variáveis  e  são as variáveis independentes.
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PERGUNTA 2
1. Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis   temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados   pertencentes ao plano   que satisfazem a lei de formação da função  . Assim, para determinar o domínio da função   precisamos verificar se não há restrições para os valores que   e   podem assumir.
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	O domínio da função  é o conjunto .
	
	
	O domínio da função  é o conjunto .
	
	
	O domínio da função  é o conjunto .
	
	
	O domínio da função  é o conjunto .
	
	
	O domínio da função  é o conjunto .
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PERGUNTA 3
1. Considere a função de duas variáveis  , tal que as variáveis   e   são funções das variáveis   e  , isto é,   e  . A derivada da função   com relação à variável   é obtida por meio da regra da cadeia expressa por  . Já a derivada de   com relação à variável   é obtida por meio da expressão  .
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função   com relação às variáveis   e  , sabendo que   e  .
 
 
	
	
	 e 
	
	
	 e 
	
	
	 e 
	
	
	 e 
	
	
	 e 
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PERGUNTA 4
1. A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função.
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função   no ponto P(1,2).
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
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PERGUNTA 5
1. O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função   o vetor gradiente é o vetor  . Dado um ponto  , o vetor gradiente da função   no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão  .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função   no ponto  .
 
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
1 pontos   
PERGUNTA 6
1. O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade  , medida em  , em todos os pontos de uma placa retangular no plano   dada por  , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade   no ponto  .
 
 
	
	
	A taxa máxima de aumento da densidade é .
	
	
	A taxa máxima de aumento da densidade é .
	
	
	A taxa máxima de aumento da densidade é .
	
	
	A taxa máxima de aumento da densidade é .
	
	
	A taxa máxima de aumento da densidade é .
1 pontos   
PERGUNTA 7
1. De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função   e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	 para .
	
	
	 na direção de .
	
	
	 para .
	
	
	 para .
	
	
	 para .
1 pontos   
PERGUNTA 8
1. As derivadas parciais com relação a   e a   fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis   quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função   com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário.
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por  . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função   no ponto   na direção do vetor  .
 
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	1
1 pontos   
PERGUNTA 9
1. Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível   que passa por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função   no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita como  .
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à função   no ponto P(1,-1).
 
 
	
	
	
 
 
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
1 pontos   
PERGUNTA 10
1. A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente.
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função   no ponto P(-1,1).