Números Reales II_version_4 de enero

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Fundamentos de Matemática - 2020B
Capítulo 3: Números Reales II
Preparado por:
la Cátedra de Fundamentos de Matemática - EPN
Índice general
1 Expresiones algebraicas 3
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Términos y factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 La “descomposición en factores” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Tema 25
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Resolver una ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Ecuación con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Inecuaciones 59
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Inecuación con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Números complejos 84
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 El cuerpo de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Raíz cuadrada y la ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . 106
4.4 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1
Capítulo 1
Expresiones algebraicas
1.1 Introducción
En este capítulo, vamos a utilizar la teoría Números reales para estudiar herramien-
tas básicas de la Matemática que se utilizan en la “cotidianidad” de las aplicaciones,
tanto en las ingenierías como en la matemática misma. Estas herramientas se cono-
cen como algebraicas por su origen, pero no son más que teoremas provistos por la
teoría sobre los números reales que hemos venido estudiando en este curso. Esta es
la idea más importante que hay que tener en mente: estas herramientas algebraicas
se explican de manera completa mediante los números reales.
Con el fin de aprender la teoría de números reales, fuimos bastante estrictos
con la notación utilizada, a pesar de que en el uso frecuente nos tomamos ciertas
libertades que aligeran la comunicación de los razonamientos, la solución de los
problemas, pero que no comprometen la corrección de argumentos y soluciones.
Esto se logra porque, al introducir los denominados “abusos de notación”, quedan
siempre claro el significado de estos y los axiomas o teoremas que “validan” la
notación adoptada. A partir de este capítulo, haremos un uso frecuente de estos
“abusos”, pero sugerimos a las lectoras y lectores que, ante la presencia de estos
“abusos”, se identifiquen los axiomas o teoremas que los fundamentan.
Otra característica de este capítulo (y de los que seguirán) es la omisión fre-
cuente, en las justificaciones de las proposiciones que se deducirán, la mención a
varios axiomas y teoremas de los números reales. La mayoría de estas omisiones
tienen que ver con las propiedades conmutativa, asociativa, sustitución, transitivas, en-
tre otras. Una razón para ello es el hecho de que su uso permanente en esta primera
etapa de aprendizaje nos ha permitido tomar conciencia de que, si alguna de ellas
no estuviera presente en las teorías que estudiamos, muchos de los resultados que
nos resultan familiares (y que utilizamos todo el tiempo) no estarían disponibles,
no tendríamos la Matemática que requerimos.
Otra razón consiste en que, una vez asimiladas las propiedades fundamentales
de lo números reales, nos vamos a enfocar con mayor esfuerzo en los conceptos
nuevos. Por ello, en las mencionadas justificaciones deberán estar siempre presen-
3
tes teoremas sobre los nuevos conceptos; con ello, los interiorizaremos y formarán
parte de nuestro conocimiento, junto con las propiedades fundamentales que ya
hemos aprendido. Exceptuaremos lo anterior cuando el uso de una de las propie-
dades fundamentales sea crucial o no dé luces en los argumentos.
Para empezar, la primera notación que dejaremos de utilizar será el punto para
el producto; así, en lugar de escribir
a · b,
escribiremos
ab
(siempre que no se preste a confusión la omisión del punto).
La segunda notación que dejaremos de utilizar son varios de los paréntesis
cuando hay varias sumas o multiplicaciones. Por ejemplo, escribiremos
a + b + c + d y abcde
en lugar de
((a + b) + c) + d y (((ab)c)d)e,
respectivamente.
La tercera notación, y la última por ahora, consiste en que, en lugar de las dos
proposiciones
a < b y b < c,
escribiremos
a < b < c.
Notemos que esta última expresión encierra también una tercera proposición:
a < c,
por la transitiva de la relación menor que. Una notación similar será utilizada tam-
bién con las relaciones mayor que, menor o igual que y mayor o igual que.
A continuación, vamos a deducir varios teoremas sobre números reales que se
deducen, principalmente, de los axiomas de cuerpo y que son de uso frecuente
en la matemática “cotidiana”: en el planteamiento y resolución de ecuaciones e
inecuaciones. Mostraremos algunas de las deducciones de estos teoremas; las res-
tantes quedan como ejercicios para las lectoras y los lectores y, como siempre, se
recomienda con mucho énfasis a que las realicen por sí mismas y sí mismos. Parte
del aprendizaje no consiste en realizar “muchos” ejercicios sino, más bien, en rea-
lizar los ejercicios suficientes pero de manera autónoma. En este caso, siempre es
suficiente con un menor número de problemas a resolver que en el caso de una
resolución mecánica.
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Ejemplos: Algunos teoremas de números reales
1. Distributiva general del producto respecto de la suma o factor común. La proposición
x(a + b + c + d) = xa + xb + xc + xd
es verdadera. No es difícil comprender el por qué del primer nombre.
Demostración. Recordemos que la expresión
a + b + c + d
no es más que una abreviación de
((a + b) + c) + d;
luego, tenemos que:
x(a + b + c + d) = x(((a + b) + c) + d)
= x((a + b) + c) + xd
= (x(a + b) + xc) + xd
= ((xa + xb) + xc) + xd
= xa + xb + xc + xd.
Como se puede ver, cada paso de esta deducción (excepto el último) no es más que
una aplicación de la propiedad distributiva del producto respecto de la suma; el
último, la abreviación introducida gracias a la propiedad asociativa de la suma.
Este procedimiento se puede aplicar para cualquier cantidad de números; por
ejemplo, se deduce de manera similar la proposición
a(r + s + t + u + v + w) = ar + as + at + au + av + aw.
Por otra parte, de esta última, gracias a la propiedad simétrica de la igualdad,
también es verdadera la proposición
ar + as + at + au + av + aw = a(r + s + t + u + v + w).
A esta proposición se le denomina Factor común y es bastante claro el por qué de
este nombre.
2. Con argumentos similares al ejemplo anterior, se deduce también la proposiciones
a(x− y + z + u− v) = ax− ay + az + au− av
y
ax− ay + az + au− av = a(x− y + z + u− v).
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Los nombres dados a las proposiciones del ejemplo anterior se asignan a estas pro-
posiciones. La deducción de las proposiciones de este ejemplo queda de ejercicio.
3. Producto de la suma de dos números y su diferencia o diferencia de cuadrados. La propo-
sición
(x− y)(x + y) = x2 − y2
es verdadera.
El primero de los nombres se le da a esta proposición, la que suele ser parafra-
seada de la siguiente manera:
El producto de la diferencia de dos números y su suma es igual a la
diferencia de sus cuadrados.
Demostración. Tenemos que:
(x− y)(x + y) = (x− y)x + (x− y)y
= (x2 − yx) + (xy− y2)
= x2 + (−xy + xy)− y2
= x2 − y2.
Las justificacionesson: 1) la propiedad distributiva del producto respecto de la su-
ma; 2) la propiedad distributiva del producto respecto de la resta; 3) las propieda-
des asociativa de la suma y conmutativa del producto; y, por último, 4) las existen-
cias del inverso aditivo y el 0.
Por la propiedad simétrica de la igualdad, también es verdadera la proposición
x2 − y2 = (x− y)(x + y).
Esta es la que lleva el nombre de diferencia de cuadrados.
4. El producto de las sumas de dos números con uno en común o trinomio de la forma x2 +
mx + n. La proposición
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
es verdadera y lleva el primer nombre.
Demostración. Tenemos que:
(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)
= (x2 + xb) + (ax + ab)
= x2 + (bx + ax) + ab
= x2 + (a + b)x + ab.
Las justificaciones son: 1) las dos primeras igualdades, por la propiedad distributiva
del producto respecto de la suma; 2) la tercera, por las propiedades asociativa de
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la suma y conmutativa del producto; 3) la última, por la distributiva del producto
respecto de la suma y la conmutativa de la suma.
Una vez, por la propiedad simétrica de la igualdad, también es verdadera la
proposición
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
Su nombre es, justamente, trinomio de la forma x2 + mx + n.
5. La siguiente proposición no es más que un caso particular de la anterior:
(x− a)(x− b) = x2 − (a + b)x + ab;
por tanto es verdadera, como se puede ver si, en el ejemplo anterior, se toman −a
y −b en lugar de a y b, respectivamente.
Demostración. En efecto,
(x− a)(x− b) = (x + (−a))(x + (−b))
= x2 + (−a + (−b))x + (−a)(−b)
= x2 + (−a− b)x + ab
= x2 − (a + b)x + ab.
Las justificaciones quedan de ejercicio.
6. El cuadrado de la suma de dos números o trinomio cuadrado perfecto. La proposición
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
es verdadera; su nombre es el primero y se parafrasea de la siguiente manera:
El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de los cua-
drados de cada número y el doble producto de los números.
Demostración. Esta es un caso particular de la proposición el producto de las sumas de
dos números con uno en común. En efecto, luego de aplicar la definición del cuadrado
de un número, a y b se toman iguales a y:
(x + y)2 = (x + y)(x + y)
= x2 + (y + y)x + y2
= x2 + 2xy + y2.
El resto de justificaciones quedan como ejercicio.
7. Un caso particular de la proposición anterior es la siguiente, a la que se le denomina
cuadrado de una diferencia:
(x− y)2 = x2 − 2xy + y2.
La demostración (con las justificaciones correspondientes) se deja como ejercicio.
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Debe estar claro que también es verdadera la proposición
x2 − 2xy + y2 = (x− y)2,
a la que se le puede llamar también trinomio cuadrado perfecto.
8. Cubo de la suma de dos números. La proposición
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
es verdadera.
Demostración. Notemos que la primera igualdad no es más que la definición de
potencia con exponente natural; el resto de justificaciones se dejan como ejercicio:
(x + y)3 = (x + y)2(x + y)
= (x2 + 2xy + y2)(x + y)
= (x3 + x2y) + (2x2y + 2xy2) + (xy2 + y3)
= x3 + (x2y + 2x2y) + (2xy2 + xy2) + y3
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.
Se deduce también la siguiente proposición:
x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = (x + y)3.
9. La siguiente proposición es un caso particular de la anterior; se la puede llamar cubo
de una diferencia. Su demostración (junto con las justificaciones correspondientes)
queda de ejercicio:
(x− y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3.
10. Diferencia de cubos. La proposición
x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2).
es verdadera.
Demostración. Gracias a la propiedad simétrica de la igualdad, en lugar de deducir
esta proposición, deduciremos
(x− y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3
de la siguiente manera:
(x− y)(x2 + xy + y2) = (x3 + x2y + xy2)− (x2y + xy2 + y3)
= x3 + (x2y− x2y) + (xy2 − xy2)− y3
= x3 + 0 + 0− y3
= x3 − y3.
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Las justificaciones se dejan como ejercicio.
11. Suma de dos cubos. La proposición
x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)
es verdadera. Su deducción (junto con las justificaciones correspondientes) se deja
como ejercicio.
12. Es muy sencillo, deducir la proposición
Si b 6= 0 y ab = c, entonces
a =
c
b
.
En efecto, de ab = c, tenemos
(ab)b−1 = cb−1;
luego,
a(bb−1) =
c
b
,
de donde, concluimos que
a =
c
b
.
Supongamos que x 6= −y. Si aplicamos esta proposición a
(x− y)(x + y) = x2 − y2,
tenemos que también es verdadera la proposición
x− y = x
2 − y2
x + y
y si x 6= y, la proposición
x + y =
x2 − y2
x− y .
Por tanto, si x 6= y, también es verdadera la proposición
x2 − y2
x + y
= x− y
y, si x 6= −y, es verdadera
x2 − y2
x− y = x + y.
13. De manera similar al ejemplo anterior, podemos deducir la proposición
x3 − y3
x− y = x
2 + xy + y2
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si x 6= y, y la proposición
x3 + y3
x + y
= x2 − xy + y2
si x 6= −y.
Las deducciones de dejan como ejercicio.
1.2 Términos y factores
El 0 y el 1 son números reales; al igual que −1, 2, −2, 13 , etcétera. A estos números
les llamaremos también constantes, a diferencia de las letras minúsculas del alfabeto
español (o cualquier otro símbolo que utilicemos) que no son números reales sino
que los representan, a las que denominaremos variables de números reales.
Hay ciertas letras del español o de otros alfabetos que son constantes como π y
e (la base del logaritmo natural).
Empecemos por definir el concepto término.
DEFINICIÓN 1.1 (Término)
Un término se define recursivamente de la siguiente manera:
i. Toda constante es un término.
ii. Toda variable de número real es un término.
iii. Si τ y σ son términos, entonces τ · σ es un término.
iv. Si τ es un término que representa un número distinto de 0, entonces τ−1 es
un término.
v. Si τ es un término que representa un número mayor que 0, entonces
√
τ es
un término.
vi. Una expresión es un término únicamente si se puede probar que es término
mediante la aplicación de las reglas anteriores.
Ejemplos: Término
1. Los números 0, 1, −2 son términos porque son constantes.
2. Las letras x, a, r son términos porque son variables de número real.
3. Si la letra del alfabeto griego α representa un número real, entonces α es un término
porque es una variable de número real.
4. La expresión 2x es un término porque 2 y x son términos.
5. Aunque 2 y x son términos, la expresión 2 + x no es un término porque no se
puede probar que lo es mediante una o varias de las reglas i.–v. de la definición de
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término.
6. La expresión a2 es un término porque representa
a · a
que es un término, ya que a es un término (por la regla ii.) y a · a es un término (por
la regla iii.).
7. −a es un término porque, como −a = (−1) · a, −1 es una constante y a es una
variable de número real, entonces (−1) · a es un término (por la regla iii.).
8. La expresión −ab es un término porque a y b son términos (por ii.), ab y −ab tam-
bién son términos (por iii.).
9.
√
2 es un término porque 2 es un término (por i.) y
√
2 es un término ya que 2 > 0
(por v.).
10.
1
5
es un término porque es una constante.
11. Si a ∈ R y b ∈ R tal que b 6= 0, entonces
a
b
es un término ya que
a
b
= ab−1
y a y b−1 son términos (por ii. y iv., respectivamente).
12. Si n ∈N, entonces
an
es un término. Para mostrarlo, debemos utilizar Inducción matemática.
En efecto:
a0
es un término, porque a0 = 1 y 1 es un término ya que es una constante.
Supongamos que n ∈ N y que an es un término; demostremos que an+1 tam-
bién lo es.
De la definición de potencia de exponente natural, tenemos que
an+1 = an · a;
luego, an+1 es un término porque es igual al producto de dos términos: an (por la
hipótesis de inducción) y a (porque es una variable de número real).
13. Si a 6= 0 y n ∈N, entonces
a−n
es un término ya que
a−n =
(
an
)−1
y an es un término.
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14. Si a 6= 0 y m ∈ Z, entonces
am
es un término. ¿Por qué?
15. La expresión
2a2bc3
ax2
,
donde a 6= 0 y x 6= 0, representa un término.
DEFINICIÓN 1.2 (Factor)
Si a y b son números reales, entonces a y b son factores del producto de a y b; es
decir, de
ab.
Mediante los conceptos de término y factor, podemos ver que los términos
son, fundamentalmente, multiplicaciones de expresiones que representan núme-
ros reales; es decir, los términos son “productos de factores”. Por ejemplo, dado el
término
3z2b−2,
donde b 6= 0, son factores de este término:
3, z, z2, b−1 b−2.
Si c 6= 0, en el término
2ab
c
,
algunos de los factores son 2, a, b, c−1 (o 1c ), pero c no es un factor.
Hemos presentado estos conceptos no porque sean fundamentales de la Mate-
mática, sino porque se han acuñado en el lenguaje de la Matemática que se enseña
en la educación secundaria. En este sentido, también utilizaremos las palabras ex-
presión algebraica para designar un término o la suma de dos o más términos. Por
ejemplo,
2a, xy2 + 2xyz, ab− ac + ad− ae
son expresiones algebraicas (recordemos que la resta de dos números reales no es
más que la suma del primer número y el inverso aditivo del segundo).
1.3 La “descomposición en factores”
La enseñanza de la Matemática en la secundaria, en muchos países, aún emplea un
enfoque mecánico en cuanto al abordaje de las llamadas “expresiones algebraicas”
y de los conceptos asociados “operaciones algebraicas” y “polinomios”, principal-
mente. A pesar de que suele enseñarse la noción de número real (se presentan los
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 12
axiomas de cuerpo y orden), este conocimiento no es aprovechado para el apren-
dizaje de las “expresiones algebraicas”. En este contexto, aparece el ámbito de la
“descomposición en factores” como una colección de procedimientos (aparente-
mente ajenos a los números reales) para que una “expresión algebraica” sea expre-
sada como el producto de varios números (es decir, de varios “factores”). Algunos
de estos procedimientos mecánicos echan mano de los denominados “productos
notables” que, aunque no son más que teoremas de números reales, son presenta-
dos como leyes universales. La mayoría de estos teoremas los hemos deducido en el
capítulo anterior y en la primera sección de este.
En este curso, no vamos a replicar el enfoque señalado. Lo que haremos, en su
lugar, es aprender a utilizar los teoremas de los números reales, principalmente los
referidos en la primera sección y, sobre todo, vamos reforzar el aprendizaje de la
deducción de proposiciones que estamos aprendiendo desde el primer capítulo.
A través de los ejemplos, miremos la “descomposición de factores” a través de
los ojos de los números reales.
Ejemplos: “Descomposición de factores”
1. En la primera sección, dedujimos las proposiciones
(x− y)(x + y) = x2 − y2 y x2 − y2 = (x− y)(x + y).
Luego, por el axioma de sustitución, en cualquier proposición en la que aparezca
el número
x2 − y2,
podremos sustituir este número por
(x− y)(x + y),
con lo que la proposición resultante de la sustitución tendrá el mismo valor de
verdad que la proposición en la que se hizo la sustitución.
Por ejemplo, en la proposición
(a2 − b2)(a2 + b2) = 1, (1.1)
podemos sustituir a2 − b2 por (a− b)(a + b) y obtener la proposición
(a− b)(a + b)(a2 + b2) = 1,
que tiene el mismo valor de verdad que la proposición (1.1).
2. La proposición
x2 − y2 = (x− y)(x + y)
suele expresarse de la siguiente manera:
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La descomposición en factores de la expresión algebraica
x2 − y2
es
(x + y)(x + y).
Con esta terminología, podemos plantearnos el “problema”:
Descomponer en factores la expresión algebraica
a4 − b4.
En este caso, el “procedimiento” para llevar a cabo esta “descomposición” es el
siguiente que, como se verá, no es más que el procedimiento de aplicar algunos
teoremas (y axiomas) de los números reales:
a4 − b4 =
Ä
a2
ä2
−
Ä
b2
ä2
= (a2 − b2)(a2 + b2);
es decir,
a4 − b4 = (a2 − b2)(a2 + b2).
Dicho de otro modo, la descomposición en factores de la expresión algebraica
a4 − b4
es
(a2 − b2)(a2 + b2).
Se ve fácilmente, que la tal “descomposición en factores” no es única. En efecto,
puesto que
a2 − b2 = (a− b)(a + b),
otra descomposición en factores de a4 − b4 es:
(a− b)(a + b)(a2 + b2).
3. ¿Cuál de las dos descomposiciones es mejor? Ninguna. La elección de una de ellas
sobre la otra depende simplemente de la situación concreta en la que se deba expre-
sar, por alguna razón, el número a4 − b4 como el producto de dos o más números.
Por esta razón, plantearnos la “descomposición en factores” de una expresión alge-
braica no es un problema importante ni al que le dedicaremos mucho tiempo. De
hecho, no dejaremos de expresarnos utilizando los conceptos de la teoría Números
reales (números, suma, producto), aunque alternemos con palabras como término,
factor, descomposición en factores, cuando faciliten la comunicación y, principalmente,
si facilitan la comprensión de un problema o su solución.
4. Utilicemos las proposiciones trinomio cuadrado perfecto para “descomponer en fac-
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tores” números reales. Recordemos que estas proposiciones son:
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 y x2 − 2xy + y2 = (x− y)2.
Por ejemplo, “descompongamos en factores” el número
a2 + 2ab2 + b4.
Para ello, procedamos de la siguiente manera:
a2 + 2ab2 + b4 = a2 + 2ab2 +
Ä
b2
ä2
=
Ä
a + b2
ä2
.
(En la segunda igualdad hemos aplicado la proposición trinomio cuadrado perfecto).
Por tanto, tenemos que
a2 + 2ab2 + b4 = (a + b2)2.
En general, cualquier número real de la forma
x2 + 2xy + y2
se denomina trinomio cuadrado perfectoa porque es igual al cuadrado de la suma de
dos números, como se indicó anteriormente.
5. Vamos a descomponer en factores el número
s4 + t4.
Para ello, utilizaremos la descomposición de un trinomio cuadrado perfecto y la
diferencia de cuadrados, aunque esto no es evidente en primera instancia.
En efecto, vamos a utilizar las proposiciones
x2 − y2 = (x− y)(x + y) y x2 − 2xy + y2 = (x− y)2.
Con este propósito, también vamos a utilizar la proposición
x + y = (x + c) + (−c + y),
la misma que se deduce fácilmente de los axiomas de cuerpo (y, como siempre, se
recomienda a las lectoras y lectores que realicen esa demostración).
El número
s4 + t4
no se ajusta a un trinomio cuadrado perfecto; sin embargo, utilicemos el último teore-
ma mencionado con c igual a
2s2t2.
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Así, obtenemos la proposición
s4 + t4 = (s4 + 2s2t2) + (−2s2t2 + t4).
¿Por qué elegimos c de esta manera? Porque al aplicar las propiedades asociativa y
conmutativa de la suma en el lado derecho de esta última proposición, obtenemos
un trinomio cuadrado perfecto:
(s4 + 2s2t2) + (−2s2t2 + t4) = (s4 + 2s2t2 + t4)− 2s2t2.
(A este procedimiento se le denomina completación del trinomio cuadrado perfecto por
obvias razones).
En resumen, hemos obtenido lo siguiente:
s4 + t4 = (s4 + 2s2t2 + t4)− 2s2t2.
Y, como se verá inmediatamente, con ayuda de las proposiciones trinomio cuadrado
perfecto y diferencia de cuadrados (en este orden), concluimos:
s4 + t4 = (s4 + 2s2t2 + t4)− 2s2t2
=
(Ä
s2
ä2
+ 2s2t2 +
Ä
t2
ä2)
−
Ä√
2st
ä2
=
Ä
s2 + t2
ä2
−
Ä√
2st
ä2
=
Ä
(s2 + t2)−
√
2st
ä Ä
(s2 + t2) +
√
2st
ä
;
es decir,
s4 + t4 =
Ä
s2 + t2 −
√
2st
ä Ä
s2 + t2 +
√
2st
ä
.
6. ¿Se puede aplicar la diferencia de cuadrados al número
a− b?
Si a ≥ 0 y b ≥ 0, sí se puede. En efecto, por la definición de raíz cuadrada (y el
axioma de completitud), se colige que
a =
(√
a
)2 y b = Ä√bä2 ;
de donde, tenemos que
a− b =
(√
a
)2 − Ä√bä2
=
Ä√
a−
√
b
ä Ä√
a +
√
b
ä
;
por tanto,
a− b =
Ä√
a−
√
b
ä Ä√
a +
√
b
ä
.
Si a < 0 o b < 0, no están definidas las raíces cuadradas de a o de b, por lo que
a o b no son cuadrados de ningún número real. Así, en estos casos, no se puede
aplicar la diferencia de cuadrados.
EPN- Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 16
7. Otra proposición que utilizaremos con frecuencia para “descomponer en factores”
un número real es trinomio de la forma x2 + mx + n:
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
Por ejemplo, el número
x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + (2)(3);
luego, al aplicar la primera de las proposiciones (con a = 2 y b = 3), tenemos que
x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + (2)(3)
= (x + 2)(x + 3);
es decir,
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
Podemos ver, entonces que también se tiene
x2 − 5x + 6 = (x− 2)(x− 3),
ya que (−2) + (−3) = −(2 + 3) y (−2)(−3) = 6.
8. “Descompongamos en factores” el número
x2 − 8x + 15.
Para ello, buscamos dos números cuya suma sea igual a −8 y cuyo producto sea
igual a 15. No es difícil ver que esos números son −3 y −5, ya que
(−3) + (−5) = −8 y (−3)(−5) = 15.
Por tanto, podemos concluir que
x2 − 8x + 15 = (x + (−3))(x + (−5));
es decir,
x2 − 8x + 15 = (x− 3)(x− 5).
9. Encontremos los factores en los que se puede descomponer el número
x2 + 2x− 24.
Para ello, buscamos dos números cuya suma sea igual a 2 y cuyo producto sea
−24. Esos números son −4 y 6 ya que
(−4) + 6 = 2 y (−4)(6) = −24.
Por tanto,
x2 + 2x− 24 = (x− 4)(x + 6).
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 17
10. Con el procedimiento anterior, podemos encontrar los factores en los que se “des-
compone” el número
6x2 − 5x− 4,
aunque no podemos aplicar directamente la proposición trinomio de la forma x2 +
mx + n.
Para ello, utilizaremos el teorema
a =
ca
c
,
donde c 6= 0.
En efecto:
6x2 − 5x− 4 = 6(6x
2 − 5x− 4)
6
=
62x2 − 5(6x)− 24
6
;
es decir,
6x2 − 5x− 4 = (6x)
2 − 5(6x)− 24
6
.
Ahora, busquemos dos números cuya suma sea igual a−5 y cuyo producto sea
−24. Es fácil ver que esos números son 3 y −8 porque
3 + (−8) = −5 y (3)(−8) = −24.
Luego, tenemos que
(6x)2 − 5(6x)− 24 = (6x + 3)(6x− 8).
Así, tenemos que
6x2 − 5x− 4 = (6x)
2 − 5(6x)− 24
6
=
(6x + 3)(6x− 8)
6
=
3(2x + 1)2(3x− 4)
6
= (2x + 1)(3x− 4);
es decir,
6x2 − 5x− 4 = (2x + 1)(3x− 4).
11. Expresemos como el producto de dos números el número
1
3
x2 +
1
6
x− 1.
Para ello, apliquemos el procedimiento realizado en el ejemplo anterior. Así, en
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 18
primer lugar, tenemos que
1
3
x2 +
1
6
x− 1 = 1
3
Å
x2 +
3
6
x− 3
ã
;
por tanto, obtenemos
1
3
x2 +
1
6
x− 1 = 1
3
Å
x2 +
1
2
x− 3
ã
. (1.2)
Ahora busquemos los factores de
x2 +
1
2
x− 3;
es decir, busquemos dos números cuya suma sea
1
2
y cuyo producto sea igual a−3.
A diferencia de los ejemplos anteriores, no es tan fácil encontrar estos números.
Por esta razón, utilicemos la completación del trinomio cuadrado perfecto para resolver
este problema:
x2 +
1
2
x− 3 =
Å
x2 + 2 · 1
4
x
ã
− 3
=
Å
x2 + 2 · 1
4
x +
1
42
ã
− 1
42
− 3
=
Å
x +
1
4
ã2
−
Å
1
42
+ 3
ã
=
Å
x +
1
4
ã2
− 49
42
=
Å
x +
1
4
ã2
−
Å
7
4
ã2
.
Hemos obtenido que:
x2 +
1
2
x− 3 =
Å
x +
1
4
ã2
−
Å
7
4
ã2
.
Para terminar, utilicemos la diferencia de cuadrados:Å
x +
1
4
ã2
−
Å
7
4
ã2
=
Å
x +
1
4
− 7
4
ãÅ
x +
1
4
+
7
4
ã
=
Å
x− 3
2
ã
(x + 2) .
Es decir, los números buscados son−3
2
y 2 (en este punto, ya no “parece” tan difícil
encontrar tales números, pero lo es).
Para resolver el problema, volvemos a (1.2) y concluimos que:
1
3
x2 +
1
6
x− 1 = 1
3
Å
x2 +
1
2
x− 3
ã
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 19
=
1
3
Å
x− 3
2
ã
(x + 2)
=
Å
1
3
x− 1
2
ã
(x + 2) ;
es decir,
1
3
x2 +
1
6
x− 1 =
Å
1
3
x− 1
2
ã
(x + 2) .
12. Apliquemos la completación del trinomio cuadrado perfecto para “descomponer en fac-
tores” el número
6x2 − 5x− 4,
del ejemplo 10.
En primer lugar, tenemos:
6x2 − 5x− 4 = 6
Å
x2 − 5
6
x− 4
6
ã
= 6
ÇÇ
x2 − 2 · 5
12
x +
Å
5
12
ã2å
− 5
2
122
− 4(2)(12)
122
å
= 6
ÇÅ
x− 5
12
ã2
−
Ç
52 + 96
122
åå
= 6
ÇÅ
x− 5
12
ã2
−
Å
11
12
ã2å
;
es decir,
6x2 − 5x− 4 = 6
ÇÅ
x− 5
12
ã2
−
Å
11
12
ã2å
. (1.3)
En segundo lugar, apliquemos la diferencia de cuadrados:Å
x− 5
12
ã2
−
Å
11
12
ã2
=
Å
x− 5
12
− 11
12
ãÅ
x− 5
12
+
11
12
ã
=
Å
x− 4
3
ãÅ
x +
1
2
ã
;
de donde, junto con (1.3), concluimos que
6x2 − 5x− 4 = 6
ÅÅ
x− 4
3
ãÅ
x +
1
2
ãã
= 3
Å
x− 4
3
ã
2
Å
x +
1
2
ã
= (3x− 4)(2x− 1).
Por tanto,
6x2 − 5x− 4 = (3x− 4)(2x + 1),
como se obtuvo en el ejemplo 10.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 20
13. Encontremos dos números a y b tales que
x2 − 4x + 1 = (x− a)(x− b).
Ya sabemos que el par completación del trinomio cuadrado perfecto-difrencia de cua-
drados nos puede llevar a la solución de este problema.
En efecto:
x2 − 4x + 1 = (x2 − 2 · 2x + 4)− 4 + 1
= (x− 2)2 − 3
= (x− 2−
√
3)(x− 2 +
√
3)
= (x− (2 +
√
3))(x− (2−
√
3)).
Por tanto, los números a y b buscados son:
2 +
√
3 y 2−
√
3.
14. Busquemos dos números a y b tales que
x2 + x + 1 = (x− a)(x− b).
Procedamos con el método del ejemplo anterior:
x2 + x + 1 =
Å
x2 + 2 · 1
2
x +
1
4
ã
− 1
4
+ 1
=
Å
x +
1
2
ã2
+
3
4
;
es decir,
x2 + x + 1 =
Å
x +
1
2
ã2
+
3
4
.
En este punto, ya no podemos aplicar la diferencia de cuadrados. Aunque ahora no
lo podemos probar, esta igualdad nos dice que no hay tal par de números a y b. Es
decir, este método es buen método porque nos dice cuando existen estos números
(y cuáles son), y también nos dice cuando no hay. Volveremos a este tema cuando
estudiemos la ecuación general de segundo grado con una incógnita.
aEste nombre es una alusión a la terminología utilizada en los números naturales cuando
se dice que 1, 4, 9, 16, etcétera son “cuadrados perfectos”, a diferencia de los números 2, 3, 5,
etcétera, que no lo son porque no hay números naturales cuyos cuadrados sean 2, 3, 5, respec-
tivamente.
1.4 Ejercicios propuestos
1. Demuestre que la proposiciónÅ
x + y
2
ã2
−
Å
x− y
2
ã2
= xy
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 21
es verdadera.
2. Demuestre que la proposiciónÇ
a2 − 1
a2 + 1
å2
+
Å
2a
a2 + 1
ã2
= 1
es verdadera.
3. Demuestre que la proposición
(x + y + z)2 = (x2 + y2 + z2) + 2(xy + yz + zx)
es verdadera.
4. Demuestre que la proposición
(x + y + z)3 = (x3 + y3 + z3) + 3(x2(y + z) + y2(x + z) + z2(x + y)) + 6xyz
es verdadera.
5. Demuestre que la proposición
(a + b + c)3 − (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(c + a)
es vedadera.
6. “Descomponga en 4 factores” el siguiente número:
a4 + a3 − a2 − a
el número.
7. “Descomponga en factores” el número
x2y2 − (b− c)2.
8. “Descomponer en factores” el siguiente número, mediante la completación del
trinomio cuadrado perfecto:
2x2 − 13xy + 6y2.
9. “Descomponer en factores” el número
25− a2 − b2 + 2ab.
10. Encuentre dos números reales a y b tales que:
36x2 + 49x− 72 = 36(x + a)(x + b).
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 22
11. “Descomponer en factores” el siguiente número:
1− 12a + 36a2.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 23
Bibliografía
Apostol, T. (1984). Cálculus. Volumen 1. Madrid. Editorial Reverté.
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Tarski, A. (1961). Introduction to Logic and to the methodolgy of deductive sciences. New
York. Dover Publications.
24
Capítulo 2
Ecuaciones
2.1 Introducción
En este capítulo, al igual que en el anterior, vamos a introducir también un “abuso
de notación” para la notación de los conjuntos que se obtienen por la aplicación del
axioma de construcción de clases.
Recordemos que si A (x) es una proposición en la que aparece x, por el mencio-
nado axioma, existe una única clase, representada por
{x : A (x)},
tal que para todo conjunto u, la equivalencia lógica
u ∈ {x : A (x)} ≡ A (u)
es válida.
Un buena parte de las aplicaciones de este axioma se harán a proposiciones de
la forma
x ∈ A ∧B(x),
donde A es un conjunto y B(x) es una proposición en la que aparece x. Por ejemplo,
x ∈ R∧ x2 > 1, x ∈N∧ x = 2k + 1, x ∈ Z∧−3 < x < 1.
En ese caso, en lugar de escribir
{x : x ∈ A ∧B(x)},
escribiremos
{x ∈ A : B(x)}.
En los tres ejemplos anteriores, la escritura sería esta:
{x ∈ R : x2 > 1}, {x ∈N : x = 2k + 1}, {x ∈ Z : −3 < x < 1}.
25
Por otra parte, en el caso general, por la definición de subclase, tenemos que
{x : x ∈ A ∧B(x)} ⊆ A;
luego, como A es un conjunto, por el axioma de las subclases de la teoría de con-
juntos, concluimos también que
{x : x ∈ A ∧B(x)}
es un conjunto.
Otra cuestión sobre el axioma de construcción de clases: diremos que hemos
“definido” la clase cuya existencia está garantizada por el axioma. Por ejemplo,
diremos
se define la clase C de la siguiente manera:
C = {x : x ∈N∧ x < 10}.
O también:
Se define la clase
D = {x : x ∈ Z∧ x2 6 100}.
No olvidemos que, aunque no se mencione, la existencia de estas clases está garan-
tizada por el axioma de construcción de clases.
En este capítulo también vamos a utilizar palabras de la jerga matemática que
se utiliza comúnmente en la solución de ecuaciones: “pasar un término de un lado
a otro de una ecuación” y “pasar un factor o un divisor”.
Estas expresiones vienen del hecho de que las siguientes equivalencias lógicas:
1. a + b = c ≡ a = c− b.
2. a− b = c ≡ a = c + b.
La verificación de la validez de estas equivalencias lógicas es muy sencilla y se
deja como ejercicio para las lectoras y los lectores.
Cuando se utiliza cualesquiera de estas equivalencias, se suele decir que “el
término b pasó al otro lado con signo contrario”. En general, cuando ocupemos
estas equivalencias, diremos que “hemos pasado el término b al otro lado de la
igualdad” sin mencionar lo del signo. El uso de las equivalencias anteriores podría
ser indicado como una “transposición de términos”.
Una situación similar se presenta con los “factores” y los “divisores”. En efecto,
si a 6= 0, las siguientes equivalencias lógicas son válidas:
1. a · b = c ≡ b = c
a
.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 26
2.
b
a
= c ≡ b = a · c.
En este caso, las expresiones utilizadas son “un factor pasa al otro lado como
un divisor” y “un divisor pasa al otro lado como un factor”.
En general, estas expresiones no son necesarias, por lo que procuraremos no
utilizarlas frecuentemente.
A partir de este capítulo también escribiremos varias “igualdades en línea”; es
decir, en lugar de escribir
a = b y b = c,
escribiremos
a = b = c.
Así, al escribir
a = b = c = d,
lo que estamos diciendo es:
a = b, b = c y c = d.
2.2 Resolver una ecuación
La petición
Resuelva (resolver) la ecuación
3x + 2 = x− 4
en los números reales
significa resolver el problema
Determine el conjunto
S = {x ∈ R : 3x + 2 = x− 4};
es decir, significa
Encontrar todos los números reales x tales que la proposición
3x + 2 = x− 4 (2.1)
es verdadera.
El número real a tal que, al sustituir x por a en la proposición (2.1) se obtiene
que la proposición
3a + 2 = a− 4
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 27
es verdadera, se denomina una solución de la ecuación (2.1). Así, el número −3 es
una solución de esta ecuación porque
3(−3) + 2 = (−3)− 4
es verdadera, ya que
3(−3) + 2 = −7 y (−3)− 4 = −7.
En la jerga matemática común se dice también que
el número −3 “satisface” la ecuación (2.1).
El conjunto S es, entonces, el conjunto de todas las soluciones de la ecuación (2.1).
El procedimiento para “determinar” este conjunto (es decir, el procedimiento para
saber cuáles son todos los elementos de S) es el siguiente:
1. Supongamos que u ∈ S. Por la definición de S, es decir, por el axioma de
construcción de clases, la proposición
3u + 2 = u− 4
es verdadera.
Ahora bien, de esta igualdad, por varias “transposiciones de términos”,
obtenemos que también es verdadera la proposición
3u− u = −4− 2;
de donde, deducimos que es verdadera la siguiente:
2u = −6.
Y, finalmente, colegimos que es verdadera la proposición
u =
−6
2
;
es decir, que
u = −3,
lo que significa que
u ∈ {−3},
por la definición de conjunto unitario.
En resumen, hemos demostrado que si u ∈ S, entonces u ∈ {−3}. Dicho
de otra manera, hemos probado que
S ⊆ {−3}.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 28
2. Como vimos anteriormente, el número −3 es una solución de la ecuación,
pues la proposición
3(−3) + 2 = −3− 4
es verdadera; es decir, −3 ∈ S, de donde, {−3} ⊆ S.
3. De los dos pasos previos, por la definición de subclase, se concluye que
S = {−3}.
De modo general, este es el procedimiento que siempre se sigue para resolver
una ecuación, independientemente de la índole y ámbito de la ecuación.
Ahora bien, en algunos casos, los dos primeros pasos del procedimiento se pue-
den realizar simultáneamente. Para el ejemplo anterior, tenemos que, para todo
número real u, las siguientes equivalencias lógicas son válidas (lo que se prueba
mediante la aplicación de axiomas y teoremas de cuerpo, así como propiedades de
la equivalencia lógica):
u ∈ S ≡ 3u + 2 = u− 4
≡ 3u− u = −4− 2
≡ 2u = −6
≡ u = −6
2
≡ u = −3
≡ u ∈ {−3}.
Luego, por la definición de igualdad entre clases, concluimos que
S = {−3}.
Esta situación no es la norma porque, en la mayoría de los casos, difícilmente
hay una relación de equivalencia lógica entre su planteamiento y su solución. Ge-
neralmente, en la investigación de la solución se añaden condiciones suficientes, se
descubren condiciones necesarias y se delimita aún más el problema.
Por otra parte, aunque los problemas “prácticos” (fenoménicos o teóricos) re-
quieren una solución concreta, la Matemática los estudia de modo general y busca
respuestas generales (lo más generales posibles) porque esto permitirá (y permite
en la práctica) resolver una familia amplia de problemas que son vistos como casos
particulares del general.
Así, en lugar de estudiar el ejemplo de modo particular, abordamos el caso ge-
neral:
Dados los números reales a y b, con a 6= 0, resuelva la ecuación
ax + b = 0
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 29
en los números reales.
En otras palabras, planteamos y buscamos resolver el problema:
Dados los números reales a y b, con a 6= 0, encuentre todos los números
reales x tales que
ax + b = 0.
Que, traducido al lenguaje de la teoría de conjuntos, el problema es:
Dados los números reales a y b, con a 6= 0, determine el conjunto
S = {x ∈ R : ax + b = 0}.
Es fácil determinar S. En efecto, si x ∈ R, dado que a 6= 0, tenemos las siguientes
equivalencias lógicas válidas:
x ∈ S ≡ ax + b = 0
≡ ax = −b
≡ x = −b
a
≡ x ∈
ß
−b
a
™
.
Por tanto,
S =
ß
−b
a
™
.
El conjunto S se denomina conjunto solución de la ecuación ax + b = 0 o tam-
bién solución general de la ecuación. Esta ecuación se denomina ecuación de primer
grado con una incógnita. En particular, en ax + b = 0, la incógnita es x.
Resolver ecuaciones es, en general, un problema complejo. Hay muy pocos ti-
pos de ecuaciones con soluciones tan sencillas como la anterior. La mayoría de las
ecuaciones se resuelven de un modoaproximado con métodos más avanzados de
la Matemática como el Cálculo Diferencial e Integral, y apoyados con el cálculo que
realizan las computadoras. Por otra parte, en el XIX varios matemáticos brillantes
demostraron la imposibilidad de obtener fórmulas generales para ecuaciones alge-
braicas1 a partir del quinto grado. En el siglo XVI, se encontraron fórmulas para
determinar las soluciones de ecuaciones de tercero y cuarto grado.
Con la aplicación de los teoremas de números reales, podemos resolver algunos
casos particulares de ecuaciones algebraicas, como lo veremos en los siguientes
ejemplos.
1La palabra algebraica se refiere a que en estas ecuaciones las incógnitas están únicamente afectadas
de exponentes naturales y sin la presencia de ninguna otra operación (solo sumas y productos).
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 30
Ejemplos: Ecuaciones algebraicas
1. Dado el número real a, resolvamos la ecuación
x2 − a2 = 0
en los números reales.
Es decir, determinemos el conjunto
S = {x ∈ R : x2 − a2 = 0}.
Sin mucha dificultad, es fácil ver que a y −a son dos soluciones de esta ecua-
ción, pues
a2 − a2 = 0 y (−a)2 − a2 = a2 − a2 = 0.
Por tanto,
a ∈ S y − a ∈ S.
Ahora la pregunta es, aparte de a y −a, ¿hay otros elementos en S?
Para responder a esta pregunta, es suficiente ver las siguientes equivalencias
lógicas:
x2 − a2 = 0 ≡ (x− a)(x + a) = 0
≡ x− a = 0∨ x + a = 0
≡ x = a ∨ x = −a
≡ x ∈ {a} ∨ x ∈ {−a}
≡ x ∈ {a} ∪ {−a}
≡ x ∈ {a, −a}.
Por tanto,
S = {a, −a}.
Es decir, a y −a son las únicas soluciones de la ecuación
x2 − a2 = 0
en los números reales.
2. Encontremos la solución general de la ecuación
(x− a)(x− b)(x− c) = 0
en los números reales.
Es fácil ver que a, b y c son tres soluciones de esta ecuación. Y que sean las
únicas nos viene confirmado por la equivalencia
(x− a)(x− b)(x− c) = 0 ≡ x− a = 0∨ x− b = 0∨ x− c = 0.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 31
Por tanto, si S es el conjunto solución de la ecuación, tenemos que
S = {a, b, c}.
3. ¿Cuáles son todos los números reales cuyo cubo sea igual al número? Es decir,
¿cuáles son todos los números reales x tales que
x3 = x?
Para contestar esta pregunta tenemos que resolver la ecuación
x3 = x
en los números reales.
Para ello, observemos que son válidas las siguientes equivalencias lógicas:
x3 = x ≡ x3 − x = 0
≡ x(x2 − 1) = 0
≡ x(x− 1)(x + 1) = 0
≡ x = 0∨ x = 1∨ x = −1.
Por tanto, si S es el conjunto solución de la ecuación, concluimos que
S = {0, 1, −1}
y, además, que los únicos números cuyo cubo es igual a sí mismo son 0, 1 y −1.
4. ¿Cuáles son todos los números reales cuyo cubo es igual a 1? Responder esta pre-
gunta no es mas que resolver la ecuación
x3 = 1
en los números reales.
Para resolver esta ecuación, vamos a aplicar la proposición diferencia de cubos,
ya que 13 = 1.
En efecto, las siguientes equivalencias lógicas son válidas:
x3 = 1 ≡ x3 − 1 = 0
≡ (x− 1)(x2 + x + 1) = 0
≡ x = 1∨ x2 + x + 1 = 0;
es decir, tenemos que
x3 = 1 ≡ x = 1∨ x2 + x + 1 = 0. (2.2)
Ocupémonos de la proposición x2 + x + 1 = 0. Con este fin, utilicemos la com-
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 32
pletación del trinomio cuadrado perfecto:
x2 + x + 1 =
Å
x2 + 2 · 1
2
x +
1
4
ã
− 1
4
+ 1
=
Å
x +
1
2
ã2
+
3
4
;
es decir,
x2 + x + 1 = 0 ≡
Å
x +
1
2
ã2
+
3
4
= 0. (2.3)
Por otra parte, tenemos que Å
x +
1
2
ã2
> 0
para todo número real x; luego, como
3
4
> 0,
colegimos que Å
x +
1
2
ã2
+
3
4
> 0.
Esto significa que, por la Tricotomía, la proposiciónÅ
x +
1
2
ã2
+
3
4
= 0
es falsa para todo número real x y, por tanto, también lo es la proposición
x2 + x + 1 = 0,
de donde, por el axioma de la disyunción, obtenemos que
x = 1∨ x2 + x + 1 = 0 ≡ x = 1
que, junto con la equivalencia lógica (2.2), concluimos que
x3 = 1 ≡ x = 1.
Así, si S es el conjunto solución de la ecuación x3 − 1 = 0 en los reales, concluimos
que
S = {1};
es decir, la única solución de esa ecuación es 1.
De la solución de este problema, podemos asegurar que el único número real
cuyo cubo es 1 es el número 1.
5. Resolvamos la ecuación
x2 + 1 = 0
en los reales.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 33
Puesto que x2 > 0 para todo número real x y 1 > 0, tenemos que
x2 + 1 > 0,
de donde, por la Tricotomía, concluimos que no existe un número real x tal que
x2 + 1 = 0. Luego, el conjunto solución de la ecuación es el conjunto vacío. En
estos casos, también decimos que la ecuación
x2 + 1 = 0
no tiene solución en los números reales.
6. Mediante la completación del cuadrado, podemos demostrar que la ecuación
x2 − x + 1 = 0
no tiene solución en los números reales.
Esta demostración se deja como ejercicio.
7. Resolvamos la ecuación
x2 − 5x + 4 = 0
en los números reales.
Puesto que
x2 − 5x + 4 = (x− 1)(x− 4),
tenemos que
x2 − 5x + 4 = 0 ≡ (x− 1)(x− 4) = 0,
concluimos que esta ecuación tiene como conjunto solución
{1, 4}.
8. Resolvamos la ecuación
x2 + 4x− 3 = 0
en los números reales.
No es fácil ver cuáles son los números reales cuya suma es 4 y cuyo producto
es −3, así que busquemos ayuda del método de completación del trinomio cuadrado
perfecto:
x2 + 4x− 3 = (x2 + 2 · 2x + 4)− 4− 3
= (x + 2)2 − 7
= (x + 2−
√
7)(x + 2 +
√
7).
Por tanto, el conjunto solución de la ecuación es
{−2 +
√
7, −2−
√
7}.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 34
2.3 Ecuación con una incógnita
Antes de ocuparnos del concepto de ecuación con un incógnita, definamos de ma-
nera precisa lo que significa resolver una ecuación.
Para ello, en primer lugar, observemos que solo hay dos tipos de proposiciones
en la teoría Números reales: las igualdades y las desigualdades. La forma general de las
primeras es
a = b,
donde a y b son números reales. Las desigualdades son cualesquiera de las siguientes:
a > b, a < b, a > b y a 6 b.
Las ecuaciones se corresponden con las igualdades; las inecuaciones, con las desigual-
dades.
Dado A ⊆ R, si E (x) es una proposición de tipo igualdad en la que aparece el
número real x,
resolver la ecuación
E (x)
en el conjunto A
significa resolver el problema
encontrar todos los números reales x ∈ A tales que la proposición E (x)
es verdadera
y es equivalente a
determinar el conjunto
S = {x ∈ A : E (x)}.
El conjunto S se denomina conjunto solución de la ecuación E (x) o solución general
de la ecuación. Cualquier elemento de S es una solución particular de la ecuación
o, simplemente, una solución.
Ejemplos: Resolver una ecuación
1. Resolver la ecuación
x2 = 1
en los números reales.
En este caso, la proposición E (x) es x2 = 1 y A = R, y el conjunto solución S
que hay que determinar es:
S = {x ∈ R : x2 = 1}.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 35
Dado que
x2 = 1 ≡ (x− 1)(x + 1) = 0,
el conjunto solución de esta ecuación en los números reales es
{−1, 1}.
2. Resolver la ecuación
x2 = 1
en el R+.
En este caso, la proposición E (x) es x2 = 1 y A = R+, y el conjunto solución S
que hay que determinar es:
S = {x ∈ R+ : x2 = 1}.
Para ello, recordemos que la equivalencia lógica
x2 = 1 ≡ x = 1∨ x = −1
es válida para todo número real x; luego, también lo es la equivalencia lógica
x ∈ R+ ∧ x2 = 1 ≡ x ∈ R+ ∧ (x = 1∨ x = −1). (2.4)
Ahora bien, por la propiedad distributiva de la conjunción respecto de la dis-
yunción, la equivalencia lógica
x ∈ R+ ∧ (x = 1∨ x = −1) ≡ (x ∈ R+ ∧ x = 1)∨ (x ∈ R+ ∧ x = −1)
es válida y, como la proposición
x ∈ R+ ∧ x = −1
es falsa pues −1 < 0, por el axioma de la disyunción, tenemos que la equivalencia
lógica
x ∈ R+ ∧ (x = 1∨ x = −1) ≡ x ∈ R+ ∧ x = 1
es válida que, junto con (2.4), concluimos que
x ∈ R+ ∧ x2 = 1 ≡ x ∈ R+ ∧ x = 1,
de donde S = {1}.
Es importante notar que, en los dos ejemplos anteriores, aunque la proposición
E (x) es la misma, los conjuntos A son diferentes; esto, en general, plantea pro-
blemas diferentes y, posiblemente, soluciones diferentes, como es el caso que nos
ocupa.
3. La solución del problema anterior puede simplificarse.En efecto, como la ecuación
x2 = 1 había sido resuelto ya para R, la solución para R+ se obtiene de la primera
al obtener la intersección de la solución del primer problema y el conjunto R+. La
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 36
justificación para esto es la siguiente.
En primer lugar, nombremos con S1 el conjunto solución del primer problema
y con S2, la del segundo. Puesto que A ⊆ R, tenemos que:
S2 = {x ∈ A : x2 = 1}
= {x : x ∈ A ∧ x2 = 1}
= {x : (x ∈ A ∧ x ∈ R)∧ x2 = 1}
= {x : x ∈ A} ∩ {x : x ∈ R∧ x2 = 1}
= A ∩ S1
= R+ ∩ {−1, 1}
= {1}.
Bajo los mismos argumentos, si A y B son dos conjuntos en los que se debe
resolver la ecuación E (x), donde A ⊆ B, entonces
SA = A ∩ SB,
donde SA y SB son los conjuntos soluciones de las respectivas ecuaciones. En el
caso del ejemplo anterior, A = R+ y B = R.
4. Resolver la ecuación
x2 = 1
en el conjunto {u ∈ R : u > 1}.
Por el ejemplo anterior, si S es el conjunto solución de esta ecuación, tenemos
que
S = {u ∈ R : u > 1} ∩ {−1, 1}.
Por tanto, por la Tricotomía, ya que−1 < 1 y 1 = 1, concluimos que S = ∅. Es decir,
la ecuación x2 = 1 no tiene solución en el conjunto {u ∈ R : u > 1}.
5. Resolvamos la ecuación
x + 1
x− 1 = 2
en los números reales.
Para ello, si x 6= 1, son válidas las siguientes equivalencias lógicas:
x + 1
x− 1 = 2 ≡ x + 1 = 2(x− 1)
≡ x + 1 = 2x− 2
≡ x = 3.
Por tanto, el conjunto solución de esta ecuación en los números reales es S = {3}.
6. Resolvamos la ecuación √
1 + x2 = x
en los números reales.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 37
En primer lugar, observemos que
1 + x2 > 0
para todo número real x. En segundo lugar, por la definición de raíz cuadrada,√
1 + x2 es mayor que 0; luego, si √
1 + x2 = x,
necesariamente x > 0. Por tanto, es suficiente resolver esta ecuación en R+, ya
ninguna solución de esta ecuación pertenecerá a R−R+.
Para ello, supongamos que x > 0. Entonces, tenemos que las siguientes equi-
valencias lógicas son válidas:√
1 + x2 = x ≡ 1 + x2 = x2
≡ 1 = 0.
(La primera equivalencia lógica es válida por el axioma de completitud y la defini-
ción de raíz cuadrada).
Como la proposición 1 = 0 es falsa, entonces√
1 + x2 = x
es falsa para todo número x ∈ R+. En conclusión, el conjunto solución es ∅; es
decir, esta ecuación no tiene solución en los números reales.
7. Resolvamos la ecuación √
2x2 + 1−
√
x2 + 2 = 0
en R.
Para ello, vamos a utilizar el siguiente teorema de números reales:
T: Si a > 0 y b > 0, entonces
√
a =
√
b si y solo si a = b.
Antes de empezar, observemos que
2x2 + 1 > 0 y x2 + 2 > 0
para todo número real x.
Si x ∈ R, tenemos que√
2x2 + 1−
√
x2 + 2 = 0 ≡
√
2x2 + 1 =
√
x2 + 2
≡ 2x2 + 1 = x2 + 2
≡ x2 = 1
≡ x ∈ {−1, 1}.
La segunda equivalencia lógica es válida porque los números 2x2 + 1 y x2 + 2 son
positivos y el teorema T.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 38
Concluimos, entonces, que el conjunto solución de esta ecuación en los núme-
ros reales es S = {−1, 1}.
8. Resolvamos la ecuación
1√
x2 + 3
− 1√
3x2 + 1
= 0
en los números reales.
Vamos a utilizar los siguientes teoremas de números reales:
T1: Si a 6= 0 y b 6= 0, entonces a−1 = b−1 si y solo si a = b.
T2: Si a > 0 y b > 0, entonces
√
a =
√
b si y solo si a = b.
Observemos en primer lugar que
x2 + 3 > 0 y 3x2 + 1 > 0
para todo número real x.
Si x ∈ R, son válidas las siguientes equivalencias lógicas:
1√
x2 + 3
− 1√
3x2 + 1
= 0 ≡ 1√
x2 + 3
=
1√
3x2 + 1
≡
√
x2 + 3 =
√
3x2 + 1
≡ x2 + 3 = 3x2 + 1
≡ x2 = 1
≡ x ∈ {−1, 1}.
(La segunda equivalencia es válida gracias al teorema T1 y la tercera, por el teorema
T2.)
Por tanto, el conjunto solución de esta ecuación en los reales es S = {−1, 1}.
9. Resolvamos la ecuación √
1− x2 = x
en R+ ∪ {0}.
Vamos a utilizar los teoremas:
T1: ab 6 0 si y solo si a 6 0∧ b > 0 o a > 0∧ b 6 0.
T2: Si a > 0 y b > 0, entonces a 6 b si y solo si
√
a 6
√
b.
En primer lugar, tenemos las siguientes equivalencias lógicas (la última, gracias
al teorema T1):
1− x2 > 0 ≡ x2 6 1
≡ x2 − 1 6 0
≡ (x− 1)(x + 1) 6 0
≡ (x− 1 6 0∧ x + 1 > 0)∨ (x− 1 > 0∧ x + 1 6 0);
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 39
por tanto, es válida la equivalencia lógica
1− x2 > 0 ≡ (x− 1 6 0∧ x + 1 > 0)∨ (x− 1 > 0∧ x + 1 6 0). (2.5)
Ahora trabajemos con la primera proposición de la disyunción; tenemos las
siguientes equivalencias lógicas:
x− 1 6 0∧ x + 1 > 0 ≡ x 6 1∧ x > −1
≡ −1 6 x 6 1;
es decir, es válida la equivalencia
x− 1 6 0∧ x + 1 > 0 ≡ −1 6 x 6 1. (2.6)
Es el turno de la segunda proposición de la disyunción:
x− 1 > 0∧ x + 1 6 0 ≡ x > 1∧ x 6 −1.
Debe estar claro que la proposición
x > 1∧ x 6 −1
es falsa porque, por una parte, de x > 1, tenemos que x > 0; y por la otra, de
x 6 −1, obtenemos que x < 0, lo que sería imposible por la Tricotomía. Por tanto,
también es falsa la proposición
x− 1 > 0∧ x + 1 6 0,
de donde, por el axioma de la disyunción y por (2.5), tenemos que
1− x2 > 0 ≡ x− 1 6 0∧ x + 1 > 0
que, junto con (2.6), concluimos que
1− x2 > 0 ≡ −1 6 x 6 1.
Definamos el conjunto B de la siguiente manera:
B = {x ∈ R : −1 6 x 6 1}.
Entonces, ninguna solución de la ecuación√
1− x2 = x
podría estar en otro conjunto que no sea B. Por otra parte, debemos resolver esta
ecuación en R+ ∪{0}; luego, cualquier solución de la ecuación deberá ser elemento
del conjunto
B ∩ (R+ ∪ {0});
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 40
es decir, cualquier solución de esta ecuación estará en el conjunto C, definido por
C = {x ∈ R : 0 6 x 6 1},
ya que 0 > −1 y por la definición de interseccióna.
En resumen, vamos a resolver la ecuación√
1− x2 = x
en el conjunto C.
Para ello, si x ∈ C, tenemos que√
1− x2 = x ≡ 1− x2 = x2
≡ 2x2 − 1 = 0
≡ (
√
2x− 1)(
√
2x + 1) = 0
≡ x ∈
ß
1√
2
, − 1√
2
™
.
Por tanto, si S es el conjunto solución de la ecuación en C, concluimos que
S = C ∩
ß
1√
2
, − 1√
2
™
.
Ahora bien, puesto que
− 1√
2
< 0,
entonces
− 1√
2
6∈ C
y, por tanto, tampoco es elemento de S.
Veamos si
1√
2
∈ C.
Como
1√
2
> 0, es suficiente que determinemos si
1√
2
6 1
es una proposición verdadera.
Con este propósito, procedamos de la siguiente manera:
1√
2
6 1 ≡ 1 6
√
2
≡ 1 6 2.
Y, puesto que la proposición 1 6 2 es verdadera, también es verdadera la proposi-
ción
1√
2
6 1,
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 41
de donde concluimos que este número pertenece a C y, por tanto, a S.
En resumen, concluimos que
S =
ß
1√
2
™
.
10. Resolvamos la ecuación
1√
x2 + 1
− 1√
x + 5
= 0
en R.
En primer lugar, tenemos que
x2 + 1 > 0
para todo número real x. En segundo lugar, la siguiente equivalencia lógica es vá-
lida:
x + 5 > 0 ≡ x > −5.
Por tanto, es suficiente que resolvamos la ecuación en el conjunto B definido por
B = {x ∈ R : x > −5}.
Con este propósito, supongamos que x > −5; entonces tenemos las siguientes
equivalencias lógicas:
1√
x2 + 1
− 1√
x + 5
= 0 ≡ x2 + 1 = x + 5
≡ x2 − x− 4 = 0
≡
Å
x2 − x + 1
4
ã
− 17
4
= 0
≡
Å
x− 1
2
ã2
− 17
4
= 0
≡
Ç
x− 1
2
−
√
17
2
åÇ
x− 1
2
+
√
17
2
å
= 0
≡ x ∈
®
1 +
√
17
2
,
1−
√
17
2
´
.
Así, si S es el conjunto solución de la ecuación, entonces
S = B ∩
®
1 +
√
17
2
,
1−
√
17
2
´
.
Solo nos queda determinar si
1 +
√
17
2
∈ B y 1−
√
17
2
∈ B;
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 42
es decir, debemos determinar si
1 +
√
17
2
> −5 y 1−
√
17
2
> −5.
Utilicemos el procedimiento utilizado en el ejemplo anterior. Empecemos con
la primera desigualdad: es verdadera ya que
1 +
√
17
2
> 0
y 0 > −5.
Vamos ahora con la segunda:
1−
√
17
2
> −5 ≡ 1−
√
17 > −10
≡ 11 >
√
17
≡ 121 > 17.
Dado que la proposición
121 > 17
es verdadera, por la definición de equivalencia lógica, colegimos que también lo es
la proposición
1−
√
17
2
> −5.
Ya podemos concluir: la ecuación
1√
x2 + 1
− 1√
x + 5
= 0
en R tiene dos soluciones:
1 +
√
17
2
y
1−
√
17
2
.
aSi z ∈ B ∩ (R+ ∪ {0}), entonces z > −1 y z > 0; de donde, tenemos que z > 0, ya que
0 > −1.
2.4La ecuación de segundo grado
Como mencionamos anteriormente, hay fórmulas explícitas para encontrar las so-
luciones únicamente de las ecuaciones algebraicas de primero a cuarto grado. Ya
estudiamos la solución general de la ecuación de primer grado. A través de los
ejemplos de las secciones anteriores, aprendimos a resolver una ecuación de segun-
do grado. No obstante, en esta sección abordemos el problema de modo general:
Dados A ⊆ R y los números reales a, b y c, con a 6= 0, resolver la
ecuación
ax2 + bx + c = 0
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 43
en el conjunto A.
Si S es el conjunto solución de esta ecuación en A y T es el conjunto solución de
la ecuación en R, sabemos que
S = A ∩ T.
Por ello, es suficiente que abordemos la solución de esta ecuación en el conjunto R.
Supongamos que x ∈ R. Entonces, como hemos procedido en la mayoría de
los ejemplos anteriores, empecemos por aplicar la completación del trinomio cuadrado
perfecto; entonces tenemos las siguientes equivalencias lógicas:
ax2 + bx + c = 0 ≡ a
Ç
x2 + 2 · b
2a
x +
b2
4a2
å
− b
2
4a
+ c = 0
≡ a
Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a
= 0
≡ a
ÇÅ
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
å
= 0
≡
Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0
(ya que a 6= 0); es decir, para todo número real x, la siguiente proposición es verda-
dera:
ax2 + bx + c = 0 ≡
Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0. (2.7)
Ahora deberíamos aplicar la diferencia de cuadrados al númeroÅ
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
.
Sin embargo, no sabemos si podemos hacerlo, ya que desconocemos si
b2 − 4ac
4a2
es un número mayor o igual que 0.
Ahora bien, dado que 4a2 > 0, para saber si el número anterior es positivo, cero
o negativo, es suficiente saber si
b2 − 4ac
es positivo, cero o negativo, respectivamente.
Por lo anterior, continuemos la búsqueda de la solución de esta ecuación estu-
diando los tres escenarios posibles.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 44
Caso: b2 − 4ac > 0. Por la diferencia de cuadrados, tenemos la equivalencia lógica
siguiente:Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0 ≡
Ç
x +
b
2a
−
√
b2 − 4ac
2
√
a2
åÇ
x +
b
2a
+
√
b2 − 4ac
2
√
a2
å
= 0.
Por tanto, las siguientes son las soluciones de la ecuación:
− b
2a
+
√
b2 − 4ac
2
√
a2
y − b
2a
−
√
b2 − 4ac
2
√
a2
.
Ahora bien, si a > 0, entonces
√
a2 = a; en este caso, la soluciones serán:
−b +
√
b2 − 4ac
2a
y
−b−
√
b2 − 4ac
2a
.
Si a < 0, por una parte,
√
a2 = −a, de donde
− b
2a
+
√
b2 − 4ac
2
√
a2
= − b
2a
+
√
b2 − 4ac
2(−a)
= − b
2a
−
√
b2 − 4ac
2a
y
− b
2a
−
√
b2 − 4ac
2
√
a2
= − b
2a
−
√
b2 − 4ac
2(−a)
= − b
2a
+
√
b2 − 4ac
2a
;
por tanto, las soluciones son
−b−
√
b2 − 4ac
2a
y
−b +
√
b2 − 4ac
2a
,
que son las mismas que las soluciones cuando a > 0. Así, si b2− 4ac > 0, el conjunto
solución de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
en R es: ®
−b +
√
b2 − 4ac
2a
,
−b−
√
b2 − 4ac
2a
´
(2.8)
y en A:
A ∩
®
−b +
√
b2 − 4ac
2a
,
−b−
√
b2 − 4ac
2a
´
.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 45
Caso: b2 − 4ac = 0. De (2.7), tenemos:
ax2 + bx + c = 0 ≡
Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0
≡
Å
x +
b
2a
ã2
= 0
≡ x + b
2a
= 0
≡ x ∈
ß
− b
2a
™
.
Por tanto, el conjunto solución de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
en R es ß
− b
2a
™
y en A:
A ∩
ß
− b
2a
™
.
Caso: b2 − 4ac < 0. De (2.7), tenemos:
ax2 + bx + c = 0 ≡
Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0
≡
Å
x +
b
2a
ã2
+
4ac− b2
4a2
= 0;
es decir, es válida la siguiente equivalencia lógica:
ax2 + bx + c = 0 ≡
Å
x +
b
2a
ã2
+
4ac− b2
4a2
= 0. (2.9)
Ahora bien, para todo x ∈ R, tenemos queÅ
x +
b
2a
ã2
> 0
y, dado que b2 − 4ac < 0, entonces 4ac− b2 > 0, de donde
4ac− b2
4a2
> 0;
así, colegimos que Å
x +
b
2a
ã2
+
4ac− b2
4a2
> 0
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 46
es verdadera para todo x ∈ R, lo que tiene como consecuencia que la proposiciónÅ
x +
b
2a
ã2
+
4ac− b2
4a2
= 0
es falsa y, por tanto, de (2.9) y la definición de equivalencia lógica, la proposición
ax2 + bx + c = 0
es falsa para todo x ∈ R. Por tanto, ningún número real es solución de esta ecua-
ción. Por tanto, tanto en R como en A, el conjunto solución de esta ecuación es el
conjunto ∅.
Dado que la solución general de la ecuación de segundo grado depende del
que número b2− 4ac sea positivo, cero o negativo, a este número se le conoce con el
nombre de discriminante de la ecuación de segundo grado y se le suele representar
con la letra griega ∆ (que se corresponde con nuestra letra D):
∆ = b2 − 4ac.
Resumamos las deducciones anteriores en el siguiente teorema.
TEOREMA 2.1 (Fórmula general de la ecuación general de segundo grado).
Si a 6= 0, la solución general de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
en R es:
1. ®
−b +
√
b2 − 4ac
2a
,
−b−
√
b2 − 4ac
2a
´
si b2 − 4ac > 0.
2. ß
− b
2a
™
si b2 − 4ac = 0.
3. el conjunto ∅ si b2 − 4ac < 0.
En los siguientes ejemplos, vamos a utilizar la fórmula general que hemos de-
ducido. Aunque no es difícil recordarla, siempre es mejor tener presente el método
mediante el cual la hemos obtenido.
Ejemplos: Fórmula general de la solución de la ecuación de segundo grado
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 47
1. Resolvamos la ecuación
x2 + 5x− 8 = 0
en A, donde
A = {u ∈ R : u 6 −2}.
En primer lugar, resolvamos esta ecuación en R. Para aplicar la fórmula gene-
ral, tomemos a = 1, b = 5 y c = −8; entonces, el discriminante de la ecuación
es:
∆ = b2 − 4ac = 25 + 40 = 65.
Como ∆ > 0, el conjunto solución es S, donde
S =
®
−5 +
√
65
2
,
−5−
√
65
2
´
.
Por tanto, la solución de esta ecuación en A es:
A ∩ S.
Para determinar los elementos de este conjunto, averigüemos si cada uno de los
elementos de S pertenece al conjunto A; es decir, si cada elemento de S es un nú-
mero real menor o igual que −2.
En primer lugar, como 65 > 25, tenemos que
√
65 > 5, de donde,
−5 +
√
65
2
> 0;
luego, por la tricotomía, colegimos que
−5 +
√
65
2
6∈ A.
En segundo lugar, tenemos las siguientes equivalencias lógicas:
−5−
√
65
2
6 −2 ≡ −5−
√
65 6 −4
≡ −1 6
√
65,
de donde, como
√
65 > 0 y −1 < 0, la proposición
−1 6
√
65
es verdadera y, por tanto, por la definición de equivalencia lógica, también lo es la
proposición
−5−
√
65
2
6 −2;
es decir,
−5−
√
65
2
∈ A,
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 48
con lo que podemos concluir que
A ∩ S =
®
−5−
√
65
2
´
.
2. Resolvamos la ecuación
3x2 − 7x + 5 = 0
en R.
En este caso, a = 3, b = −7 y c = 5; entonces, el discriminante es
∆ = 49− 60 = −11
y es menor que 0. Por tanto, el conjunto solución de esta ecuación es el conjunto ∅.
3. La solución de la ecuación
x2 + 4x + 4 = 0
en R+ es el conjunto ∅.
En efecto, el discrimntante es
∆ = 16− 16 = 0;
por tanto, la solución en R es ß
−4
2
™
;
es decir, es
{−2} .
Finalmente, como
R+ ∩ {−2} = ∅,
la solución general de la ecuación
x2 + 4x + 4 = 0
es el conjunto ∅.
4. Encontremos todos los números reales λ tales que la ecuación
λx2 + 3x− 1 = 0
tenga dos soluciones en R.
Para que esta ecuación tenga dos soluciones, su discriminante ∆ debe ser ma-
yor que 0. Y, como
∆ = 9 + 4λ,
buscamos todos los números reales λ, distintos de 0, tales que
9 + 4λ > 0.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 49
Y, puesto que
9 + 4λ > 0 ≡ λ > −9
4
,
los números λ buscados son aquellos que
λ > −9
4
y λ 6= 0.
Debe estar claro que si λ = −9
4
, la ecuación tendrá una sola solución y que si
λ < −9
4
, no tendrá solución.
5. Determinemos todos los números reales β tales que la ecuación
2x2 + βx + 8 = 0
tenga una sola solución en R.
En este caso, el discriminante de la ecuación debe ser igual a 0; luego, los β
buscados son aquellos para los cuales la proposición
β2 − 64 = 0
es verdadera; es decir, es verdadera la proposición
β2 = 64.
Hay únicamente dos números cuyo cuadrado es 64: 8 y −8; luego, los números β
buscados son, precisamente, dichos números.
Cuando se estudia la solución de una ecuación de manera general,se pueden
deducir proposiciones adicionales a la solución general. Por ejemplo, en solución
general de la ecuación
ax2 + bx + c = 0,
en R, donde a 6= 0, establecimos que
ax2 + bx + c = a
ÇÅ
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
å
. (2.10)
Si el discriminante ∆ de esta ecuación es mayor que 0, dedujimos queÅ
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
=
Ç
x− −b +
√
∆
2a
åÇ
x− −b−
√
∆
2a
å
;
luego, si
α =
−b +
√
∆
2a
y β =
−b−
√
∆
2a
,
entonces Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
= (x− α)(x− β)
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 50
que, junto con (2.10), obtenemos que
ax2 + bx + c = a(x− α)(x− β),
donde α y β son las raíces de la ecuación; es decir, ¡hemos descompuesto en tres
factores el número ax2 + bx + c!
Si el discriminante ∆ es igual a 0, dedujimos que
ax2 + bx + c = a
Å
x +
b
2a
ã2
.
Si
γ = − b
2a
,
entonces γ es la raíz de la ecuación y
ax2 + bx + c = a(x− γ)2.
Una vez más hemos descompuesto en tres factores el número ax2 + bx + c.
Finalmente, si el discriminante ∆ es menor que 0, establecimos queÅ
x +
b
2a
ã2
+
b2 − 4ac
4a2
> 0
para todo número real x. Así que, si a > 0, entonces
a
ÇÅ
x +
b
2a
ã2
+
b2 − 4ac
4a2
å
> 0
que, junto con (2.10), nos permite concluir que
ax2 + bx + c > 0
para todo número real x si el discriminante es negativo.
De manera similar, podemos deducir que si a < 0, entonces
ax2 + bx + c < 0
para todo número real x si el discriminante es negativo.
Ejemplos: Fórmula general de la solución de la ecuación de segundo grado
1. La proposición
−5x2 + 6x− 3 < 0
es verdadera para todo x ∈ R.
En efecto, esto se deduce del hecho de que el discriminante de la correspon-
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 51
diente ecuación es negativo, ya que
36− 20 = −24,
y de −5 < 0.
2. La proposición
25x2 − 30x + 9 = 25
Å
x− 3
5
ã2
es verdadera para todo número real x.
En efecto, el discriminante de la ecuación correspondiente es igual a 0, pues
302 − 4(25)(9) = 900− 900.
Luego, el número
− −30
2(25)
=
3
5
es la solución de la ecuación
25x2 − 30x + 9 = 0.
3. El ejemplo anterior tiene carácter ilustrativo de las deducciones obtenidas a partir
de la fórmula general. Un procedimiento más directo para deducir la proposición
25x2 − 30x + 9 = 25
Å
x− 3
5
ã2
utiliza el trinomio cuadrado perfecto:
25x2 − 30x + 9 = (5x)2 − 2(5x)(3) + 32
= (5x− 3)2
=
Å
5
Å
x− 3
5
ãã2
= 25
Å
x− 3
5
ã2
.
4. “Descompongamos” en factores el número
12x2 + x− 1.
Para ello, calculemos el discriminante ∆ de la ecuación correspondiente:
∆ = 1− 4(12)(−1) = 49.
Como es mayor que 0, la ecuación
12x2 + x− 1 = 0
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 52
tiene dos soluciones:
α =
−1 + 7
24
=
1
4
y β =
1− 7
24
= −1
3
.
Por tanto, concluimos que
12x2 + x− 1 = 12
Å
x− 1
4
ãÅ
x +
1
3
ã
.
5. Es fácil probar que la proposición
x2 + x + 1 > 0
es verdadera para todo número real x, pues el discriminante de la ecuación
x2 + x + 1 = 0
es
1− 4 = −3 < 0
y 1 > 0.
Supongamos que a 6= 0 y el discriminante de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
es mayor que 0. Sean α y β las dos soluciones de esta ecuación en R. Hemos dedu-
cido que, en este caso, se tiene
ax2 + bx + c = a(x− α)(x− β)
para todo número real x.
Puesto que
(x− α)(x− β) = x2 − (α + β)x + αβ,
entonces, tenemos que
ax2 + bx + c = ax2 − a(α + β)x + aαβ
es verdadera para todo número real x; es decir,
bx + c = −a(α + β)x + aαβ (2.11)
es verdadera para todo x ∈ R.
En particular, la proposición (2.11) es verdadera si x = 0:
b0 + c = −a(α + β)0 + aαβ;
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 53
por tanto, tenemos que
c = aαβ,
de donde
αβ =
c
a
,
ya que a 6= 0.
Dicho de otra manera:
el producto de las soluciones de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
en R es igual a
c
a
.
La proposición (2.11) también es verdadera si x = 1:
b(1) + aαβ = −a(α + β)(1) + aαβ;
luego, tenemos que
b = −a(α + β),
de donde,
α + β = −b
a
.
Dicho de otro modo:
la suma de las soluciones de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
en R es igual a −b
a
.
Ejemplos: Sobre las soluciones
1. Determinemos la ecuación de segundo grado cuyas raíces son −5 y −2.
Para ello, supongamos que la ecuación es
ax2 + bx + c = 0,
donde a 6= 0.
Sabemos que
− b
a
= (−5) + (−7) = −12 y c
a
= (−5)(−2) = 10;
luego, obtenemos que
b = 12a y c = 10a;
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 54
así, colegimos que
ax2 + bx + c = ax2 + 12ax + 10a.
Luego, para cualquier número real a, distinto de 0, las soluciones de la ecuación
ax2 + 12ax + 10a = 0
en R son −5 y −2.
Como se puede ver, hay tantas ecuaciones como números reales distintos de 0.
Y, como a 6= 0, tenemos que
ax2 + 12ax + 10a = a(x2 + 12x + 10) = 0 ≡ x2 + 12x + 10 = 0;
luego, podríamos asumir desde el principio que a = 1:
x2 + 12x + 10 = 0.
2. Dados los números s y t, determinemos una ecuación de segundo grado cuyas
raíces sean
s + t y s− t.
Supongamos que la ecuación buscada es
x2 + bx + c = 0.
Entonces, b y c deben ser tales que
(s + t) + (s− t) = −b y (s + t)(s− t) = c;
es decir, deben ser verdaderas las proposiciones
b = −2s y c = s2 − t2.
Por tanto, la ecuación buscada es
x2 − 2sx + s2 = t2.
3. Determinemos dos números reales x y y tales que su suma sea igual a −5
6
y cuyo
producto sea igual a −1.
Los números buscados pueden ser vistos como las raíces de una ecuación cua-
drática cuyas raíces cumplen las siguientes propiedades:
(a) su suma es igual a −5
6
, y
(b) su producto es igual a −1.
Una ecuación que satisface estas condiciones es:
z2 + bz + c = 0,
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 55
donde
b = −
Å
−5
6
ã
y c = −1;
luego, la ecuación es
z2 +
5
6
z− 1 = 0.
Para encontrar los números buscados, debemos hallar las soluciones de esta
ecuación en R. Si utilizamos la fórmula general, vemos que su discriminante es
25
36
+ 4 =
25 + 144
26
=
Å
13
6
ã2
;
es decir, es mayor que 0 y, por tanto, la ecuación tiene dos soluciones:
− 56 +
…Ä
13
6
ä2
2
y
− 56 −
…Ä
13
6
ä2
2
;
es decir, las soluciones son:
− 56 +
13
6
2
y
− 56 −
13
6
2
.
Luego, los números buscados son:
x =
2
3
y y = −3
2
y, como se puede ver fácilmente, las proposiciones
x + y = −5
6
y xy = −1
son verdaderas.
2.5 Ejercicios propuestos
1. Resuelva la ecuación
x
3 + x
+
3x
1− x = 1
en R−R+.
2. Resuelva la ecuación
1
x− 4 +
1
x + 4
=
8
x2 − 16
en R.
3. Resuelva la ecuación
1
x− 4 +
1
x + 4
=
8
16− x2
en R.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 56
4. Halle todos los números reales positivos x tales que la proposición
x− 1
2
=
2
x + 1
es verdadera.
5. Determine el conjunto de todos los números reales negativos x tales que la
proposición
x + 2
x− 3 =
x + 3
x− 2
es verdadera.
6. Resuelva la ecuación
x
x + 5
− 5
x
= 1
en R.
7. Resuelva la ecuación
3
1 + x
+
x2 + 1
x2 − 1 −
x + 1
x− 1 = 0
en R.
8. Encuentre todos los números reales negativos x tales que la proposición
x− 1
x + 2
=
2x− 3
3x + 4
es verdadera.
9. Resuelva la ecuación
x + 1
x− 2 +
x− 3
x + 4
= 4
en R.
10. Determine el conjunto de los números reales x tales que la proposición
x− 1
x− 2 −
x− 2
x− 3 =
x− 4
x− 5 −
x− 5
x− 6
es verdadera.
11. Encuentre todos los números racionales x tales que la proposición
√
x− 1 = 1√
x + 1
es verdadera.
12. Resuelva la ecuación √
x2 + 2−
√
x2 − 2 =
√
x2 + 4
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 57
en R.
13. Resuelva la ecuación √
x2 − 9−
√
9− x2 = x
en R.
14. Resuelva la ecuación
x4 + x2 − 1 = 0
en R.
Sugerencia: defina t igual a x2 y sustituya en la ecuación. Resuelva la ecuación
obtenida en la incógnita t.
15. Resuelva la ecuación
x√
1 + x2
−
√
1 + x2
x
= −1
en R.
16. Resuelva la ecuación
x8 − 20x4 = −64
en R.
Sugerencia: defina t igual a x4 y sustituya en la ecuación. Resuelva la ecuación
obtenida en la incógnita t.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 58
Capítulo 3
Inecuaciones
3.1 Introducción
En el capítulo anterior, hicimos precisas la nociones deecuación con una incógnita y
resolver una ecuación. Para ello, entre otras cosas, recordamos los tipos de proposi-
ciones de la teoría Números reales: las igualdades y las desigualdades. Indicamos allí
que el segundo tipo de proposiciones se correspondían a las inecuaciones: este tipo
comprende, a su vez, cuatro clase de proposiciones:
a < b, a > b, a 6 b y a > b.
En la “resolución de inecuaciones” se utiliza una jerga similar a la que está pre-
sente en la resolución de ecuaciones; así, expresiones como “pasar un término al
lado contrario”, “multiplicar un número a ambos lados de la desigualdad”, “la des-
igualdad cambia de sentido”, entre otras. Todas estas expresiones se basan en teo-
remas sobre números reales derivados, principalmente, de los axiomas de orden.
Los más frecuentes son:
1. a + b < c ≡ a < c− b.
2. a− b < c ≡ a < c + b.
3. Si a > 0, entonces a · b < c ≡ b < c
a
.
4. Si a < 0, entonces a · b < c ≡ b > c
a
.
A estas equivalencias lógicas añadamos los siguientes teoremas que suelen de-
nominarse “leyes de los signos de la multiplicación”:
1. ab > 0 ≡ (a > 0∧ b > 0)∨ (a < 0∧ b < 0).
2. ab < 0 ≡ (a > 0∧ b < 0)∨ (a < 0∧ b > 0).
59
En los capítulos anteriores ya nos hemos encontrado con la tarea de resolver
inecuaciones. En efecto, cuando resolvimos la ecuación√
1− x2 = x
en los números reales, una de las primeras cuestiones que abordamos es averiguar
para qué números reales x la proposición
1− x2 > 0
es verdadera, dado que la raíz cuadrada está definida únicamente para números
mayores o iguales que 0. El procedimiento que utilizamos para “resolver” dicha
inecuación consistió en aplicar, simplemente, los teoremas de números reales. En
este capítulo vamos a ilustrar este procedimiento general para resolver inecuacio-
nes con una incógnita, noción que definiremos inmediatamente en la sección que
sigue.
En este capítulo también estudiaremos el concepto de valor absoluto y pondre-
mos nombres a ciertos conjuntos de números reales importantes.
3.2 Intervalos
Los conjuntos en los cuales “resolveremos” la inecuaciones, y también sus solucio-
nes, con mucha frecuencia serán del tipo
{u ∈ R : u > −2}, {v ∈ R : −3 < v 6 4},
entre otros. Por esto y otras razones, estos conjuntos son relevantes en las teorías
matemáticas construidas sobre la base de los números reales. Así, antes de abor-
dar las inecuaciones, definamos los intervalos (es decir, apliquemos el axioma de
construcción de clases).
DEFINICIÓN 3.1 (Intervalos)
Dados los números reales a y b:
1. Si a 6 b, el intervalo cerrado de extremos a y b, representado por [a, b], es el
conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o
iguales que b; es decir,
[a, b] = {x ∈ R : a 6 x 6 b}.
Es claro que si a = b, entonces [a, b] = {a}.
2. Si a < b, el intervalo abierto de extremos a y b, representado por (a, b), es
el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b; es
decir,
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 60
3. Si a < b, el intervalo abierto en a y cerrado en b, representado por (a, b], es el
conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que
b; es decir,
(a, b] = {x ∈ R : a < x 6 b}.
Si a = b, se define (a, b] = {b}.
4. Si a < b, el intervalo cerrado en a y abierto en b, representado por [a, b), es el
conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que
b; es decir,
[a, b) = {x ∈ R : a 6 x < b}.
Si a = b, se define [a, b) = {a}.
5. Si a ∈ R, los intervalos infinitos cerrados en a, representados por [a,+∞) y
(−∞, a], son los conjuntos de todos los números reales mayores o iguales que
a y los menores o iguales que a, respectivamente. Por tanto,
[a,+∞) = {x ∈ R : x > a} y (−∞, a] = {x ∈ R : x 6 a}.
6. Si a ∈ R, los intervalos infinitos abiertos en a, representados por (a,+∞) y
(−∞, a), son los conjuntos de todos los números reales mayores que a y los
menores que a, respectivamente. Por tanto,
(a,+∞) = {x ∈ R : x > a} y (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.
A los intervalos (a, b] y [a, b) también se les conoce con los nombres semi-abierto o
semi-cerrado.
Antes de continuar, es necesario realizar un par de aclaraciones sobre las nota-
ciones en esta definición. En primer lugar, el signo
(a, b)
fue utilizado para representar un par ordenado, y se lo definió como el par desor-
denado de {a} y de {a, b}, donde a y b representan dos conjuntos cualesquiera. En
la definición anterior, este mismo signo representa el conjunto de todos los números
reales menores que b y mayores que a, donde a y b son números reales. No es fre-
cuente, pero en ocasiones utilizamos los mismos signos para conceptos diferentes,
como el caso que nos ocupa. Lo hacemos así porque, por un lado, se considera que
esa representación es una buena alternativa para mostrar que a y b no están en el
conjunto1 y, por otro lado, siempre es posible reconocer qué es lo que representa el
1Por supuesto, no es la única manera de representar un intervalo abierto; otra que suele utilizarse
es
]a, b[,
pero es menos común y no la utilizaremos en estas notas de clase, ni en el curso.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 61
signo por el contexto, sea que se mencione explícitamente, o sea que los diferentes
signos y palabras que aparecen junto al signo nos lo dicen.
La segunda aclaración tiene que ver con los símbolos
+∞, −∞.
Sus nombres son “más infinito” y “menos infinito”, respectivamente. Lo primero
que tiene que quedar claro es que estos símbolos no representan números reales
y, por ello, no tiene ningún sentido realizar ninguna operación (sumar, multiplicar)
entre ellos o con un número real.
Su introducción en la representación de los conjuntos de números mayores o
iguales que un número dado (o menores o iguales) expresa el hecho de que no
hay un número real mayor que todos los números reales, ni un número menor que
todos los números reales; es decir, el conjunto de los números reales no está acotado
ni superiormente, ni inferiormente.
Por otra parte, la palabra infinito en el nombre de estos intervalos hace refe-
rencia a la interpretación geométrica de los números reales. En efecto, dado que se
establece una correspondencia de cualquier recta con el conjunto de los números
reales, los conjuntos
(a,+∞) y (−∞, a)
simplemente indican los “lados de la recta” respecto del punto cuya coordenada
es a; estos “lados” son, en realidad, rayos y, desde el punto de vista de la métrica,
no tienen una longitud “finita” (a diferencia de los segmentos, que representan los
otros intervalos).
En resumen, los símbolos del infinito deberán tomarse únicamente como nota-
ciones para representar dos tipos de conjuntos (intervalos) y nada más2.
De estas definiciones (axioma de construcción de clases), se derivan las siguien-
tes equivalencias lógicas:
TEOREMA 3.1 (Intervalos).
Dados los números reales a y b tales que a < b, son válidas las siguientes equiva-
lencias lógicas:
1. x ∈ [a, b] ≡ a 6 x 6 b
2. x ∈ (a, b) ≡ a < x < b
3. x ∈ (a, b] ≡ a < x 6 b
4. x ∈ [a, b) ≡ a 6 x < b
5. x ∈ [a,+∞) ≡ x > a
6. x ∈ (a,+∞) ≡ x > a
7. x ∈ (−∞, a] ≡ x 6 a
8. x ∈ (−∞, a) ≡ x < a
Veamos algunos ejemplos.
2Porque no tienen más que un rol de representación, los símbolos del infinito tampoco serán utili-
zados en la interpretación geométrica de los intervalos.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 62
Ejemplos: Intervalos
1. Supongamos que a < b. Si u > b, entonces
u 6∈ [a, b)
porque u no es menor que b por la transitiva de la relación menor que y la Tricoto-
mía.
Un razonamiento similar, nos permite concluir que, si v 6 a, entonces
v 6∈ (a, b].
2. Supongamos que a < b. Entonces a 6∈ (a, b) y a ∈ [a, b).
3. Si z < a, entonces z 6∈ [a,+∞) y z 6∈ (a,+∞).
4. Determinemos (−5, 4]∩ [0,+∞). Para ello, supongamos que
x ∈ (−5, 4]∩ [0,+∞).
Dado que x > 0, por la Tricotomía, no es verdadera la proposición
−5 < x < 0.
Y puesto que x 6 4, entonces no es verdadera la proposición
x > 4.
Esto significa quex ∈ [0, 4];
es decir,
(−5, 4]∩ [0,+∞) ⊆ [0, 4].
Por otra parte, es fácil ver que
[0, 4] ⊆ (−5, 4]∩ [0,+∞),
de donde, concluimos que
(−5, 4]∩ [0,+∞) = [0, 4].
5. Tenemos que
R+ = {x : x ∈ R∧ x > 0},
por tanto,
R+ = (0,+∞).
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 63
6. Supongamos que a ∈ R. Por la Tricotomía, tenemos que la proposición
x 6 a ∨ x > a
es verdadera para todo número real x; luego, también es verdadera la proposición
x ∈ (−∞, a]∨ x ∈ [a,+∞).
Podemos, entonces, concluir que
R = (−∞, a]∪ [a,+∞).
Por esta razón, también se utiliza el signo (−∞,+∞) para representar R.
7. Si a < c < b, entonces es fácil probar que las siguientes proposiciones son verda-
deras:
(a) [a, b] = [a, c]∪ [c, b]
(b) [a, b] = [a, c)∪ [c, b]
(c) [a, b] = [a, c]∪ (c, b]
(d) [a,+∞) = [a, b]∪ (b,+∞)
(e) (−∞, b] = (−∞, a)∪ [a, b]
(f) [a, b] = (−∞, b]∩ [a,+∞).
Aunque no es difícil deducir las proposiciones de los cuatro ejemplos anteriores
y otras similares, hay una manera más sencilla para deducciones de este tipo de
proposiciones. La base teórica para ella no es tan sencilla como su consecuencia,
no obstante de ser un principio fundamental del denominado Análisis Matemático,
cuya base está en el conjunto de los números reales.
Este principio suele conocerse como interpretación geométrica de la recta y esta-
blece una conexión entre los ámbitos de numérico y geométrico. De manera general,
esta “interpretación geométrica” postula que
Dada una recta, a cada punto de esta le corresponde un único número
real (llamado coordenada del punto) y a cada número real le corresponde
un único punto en la recta tal que la distancia entre dos puntos cuales-
quiera de la recta, la distancia entre los puntos es igual a la resta de la
coordenada menor de la mayor.
De este postulado se deriva el hecho de que si P es un punto cuya coordenada
es 0 y Q un punto cuya coordenada q es mayor que 0, entonces para todo x > 0,
todo punto de la recta cuya coordenada sea x es un punto que está en el mismo
lado que Q y todo punto cuya coordenada sea y < 0, está en el lado opuesto a Q.
Este último enunciado se “dibuja” de la siguiente manera:
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 64
Y un “dibujo” alternativo, igualmente válido, es el siguiente:
No hay ninguna razón para elegir uno de los dibujos en lugar del otro. En gene-
ral, la costumbre ha sido tomar el primero; es decir, lo “positivo” hacia la derecha
y lo “negativo” hacia la izquierda3. Y esa costumbre también la seguiremos aquí,
pero no hay que olvidar que es únicamente una convención.
Con esta interpretación, los intervalos [a, b], [a,+∞) y (−∞, a] se “dibujan”, res-
pectivamente, de la siguiente manera:
Los correspondientes intervalos abiertos (a, b), (a,+∞) y (−∞, a) así:
Para indicar que a o b no pertenecen al intervalo, simplemente no dibujamos los
puntos.
Con esta interpretación, es fácil determinar la unión, intersección y complemen-
to de intervalos. Veamos algunos ejemplos.
3Quizás una persona zurda se podría sentir más cómoda con la segunda representación
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 65
Ejemplos: Intervalos
1. La intersección de [−5, 4] y [0,+∞) se obtiene al “dibujar” ambos intervalos:
Por la definición de intersección, los números reales que están en esta intersección
son todos los del intervalo [0, 4]; por tanto, tenemos
[−5, 4]∩ [0,+∞) = [0, 4].
2. Si a > 0, entonces
R− [0, a] = (−∞, 0)∪ (a,+∞)
como se puede ver fácilmente mediante los dibujos correspondientes:
3. Si a ∈ R, entonces
R− (a,+∞) = (−∞, a]
como se colige del dibujo
4. Si a < b, entonces
(−∞, b]∩ [a,+∞) = [a, b]
como se deriva del dibujo
5. Con los dibujos de los intervalos (0, 4) y (−3, 0], se ve fácilmente que
(0, 4)∪ (−3, 0] = (−3, 4).
Es importante tomar en cuenta que la representación geométrica de los inter-
valos no es el aspecto esencial en la resolución de cualquier problema que los in-
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 66
volucre, como en las ecuaciones o inecuaciones. Esta representación es una ayuda
mnemotécnica; es decir, una ayuda visual para la memoria, que casi siempre inter-
vendrá en una parte muy pequeña de los problemas, los mismos que se resolverán
por la aplicación correcta de los axiomas y teoremas de los números reales. Por esta
razón, hay que evitar darles importancia y transcendencia que no tienen.
3.3 Inecuación con una incógnita
Dado A ⊆ R, si I (x) es una proposición de tipo desigualdad en la que aparece el
número real x,
resolver la inecuación
I (x)
en el conjunto A
consiste en resolver el problema
encontrar todos los números reales x ∈ A tales que la proposición I (x)
es verdadera
y es equivalente a
determinar el conjunto
S = {x ∈ A : I (x)}.
Al igual que ocurre con las ecuaciones, el conjunto S se denomina conjunto so-
lución de la inecuación I (x) o solución general de la inecuación. También, cualquier
elemento de S se llama solución particular de la inecuación o, simplemente, una
solución.
E, igualmente, si S es la solución de la inecuación I (x) en A, entonces
S = T ∩ A,
donde T es la solución de la inecuación I (x) en R.
Ejemplos: Resolver inecuaciones con una incógnita
1. Dados los números a y b tales que a < b, resolvamos la inecuación
(x− a)(x− b) > 0
en R.
En primer lugar, tenemos que las siguientes equivalencias lógicas son válidas
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 67
(no olvidemos que a < b):
(x− a)(x− b) > 0 ≡ ((x− a) > 0∧ (x− b) > 0) ∨ ((x− a) < 0∧ (x− b) < 0)
≡ (x > a ∧ x > b) ∨ (x < a ∧ x < b)
≡ x > b ∨ x < a
≡ x ∈ (b,+∞)∪ (−∞, a).
Por tanto, el conjunto solución de esta inecuación en R es
(−∞, a)∪ (b,+∞).
2. Dados los números a y b tales que a < b, resolvamos la inecuación
(x− a)(x− b) < 0
en R.
Para resolverla, aprovechemos la solución de la inecuación del ejemplo anterior
y la Tricotomía, pues es válida la equivalencia lógica:
(x− a)(x− b) < 0 ≡ ¬((x− a)(x− b) > 0) ∧ ¬((x− a)(x− b) = 0).
Por tanto, si S es el conjunto de la inecuación
(x− a)(x− b) < 0
en R, T es la solución de la inecuación
(x− a)(x− b) > 0
y R es la solución de la ecuación
(x− a)(x− b) = 0
en R. Luego,
S = (R− T)∩ (R− R).
Ahora bien, tenemos que
T = (−∞, a)∪ (b,+∞) y R = {a, b}.
Por tanto,
R− T = [a, b] y R− R = R− {a, b}.
Así,
S = (a, b).
3. Las dos inecuaciones anteriores pueden resolver mediante el siguiente procedi-
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 68
miento. En el siguiente cuadro
x (−∞, a) (a, b) (b,+∞)
x− a < 0 > 0 > 0
x− b < 0 < 0 > 0
(x− a)(x− b) > 0 < 0 > 0
i. En la primera fila, se indica los posibles conjuntos a los que x pertenece.
ii. En las dos siguientes filas, se indica si el número de la primera columna (x− a
o x− b) es mayor o menor que 0 según a qué conjunto pertenece x.
iii. La última fila, se indica si (x − a)(x − b) es mayor o menor que 0, lo que se
obtiene por la aplicación de las denominadas “leyes de signos de la multipli-
cación” aplicadas a las dos filas anteriores.
Como se puede ver, la segunda y cuarta columna nos dan la solución de la
inecuación
(x− a)(x− b) > 0
en R y la tercera columna, nos da la solución de la inecuación
(x− a)(x− b) < 0
en R.
4. Resolvamos la inecuación
x2 + 2x− 7 < 0
en R.
Para resolverla, apliquemos lo deducido para la ecuación de segundo grado.
En primer lugar, calculemos el discriminante ∆ de la ecuación
x2 + 2x− 7 = 0.
Tenemos:
∆ = 4 + (4)(7) = 32 > 0.
Por tanto, mediante la completación del trinomio cuadrado perfecto, tenemos lo siguien-
te:
x2 + 2x− 7 = (x2 + 2x + 1)− 8
= (x + 1)2 − 8;
por tanto,
x2 + 2x− 7 = (x + 1−
√
8)(x + 1 +
√
8).
Así, la inecuación que debemos resolver es
(x + 1−
√
8)(x + 1 +
√
8) < 0
en R.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 69
Con la ayuda del siguiente cuadro:
x (−∞, a) (a, b) (b,+∞)
x− (−1−
√
8) < 0 > 0 > 0
x− (−1 +
√
8) < 0 < 0 > 0
(x− (−1−
√
8))(x− (−1 +
√
8)) > 0 < 0 > 0
donde
a = −1−
√
8 y b = −1 +
√
8.
Por tanto, el conjunto solución es el intervalo(−1−
√
8, −1 +
√
8).
5. Resolvamos la inecuación
1
x− 1 >
1
x2 + 1
en R+.
Como x2 + 1 > 0 para todo x ∈ R+, si x ∈ R+, tenemos las siguientes equiva-
lencias lógicas:
1
x− 1 >
1
x2 + 1
≡ x
2 + 1
x− 1 > 1
≡ x
2 + 1
x− 1 − 1 > 0
≡ x
2 + 1− (x− 1)
x− 1 > 0
≡ x
2 − x + 2
x− 1 > 0.
Por tanto, para todo x ∈ R+, tenemos
1
x− 1 >
1
x2 + 1
≡ x
2 − x + 2
x− 1 > 0. (3.1)
Por otra parte, dado que el discriminante de la ecuación
x2 − x + 2 = 0
es negativo ya que
(−1)2 − 4(1)(2) = −7,
entonces
x2 − x + 2 > 0
para todo x ∈ R+. Luego, de la equivalencia lógica (3.1), tenemos
1
x− 1 >
1
x2 + 1
≡ x
2 − x + 2
x− 1 > 0
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 70
≡ 1
x− 1 > 0
≡ x− 1 > 0
≡ x > 1
≡ x ∈ (1,+∞)
para todo x ∈ R+. Por tanto, el conjunto solución de la inecuación es
R+ ∩ (1,+∞);
es decir, el conjunto (1,+∞).
6. Resolvamos la inecuación √
2− x > x
en R.
En primer lugar, tenemos que 2− x > 0 si y solo si x < 2. Por tanto, resolvamos
esta inecuación en el conjunto (−∞, 2).
Supongamos que x < 2. Como
√
2− x > 0, entonces para todo x 6 0, por la
propiedad transitiva de la relación menor que, tenemos que es verdadera la propo-
sición √
2− x > x;
es decir, el intervalo (−∞, 0] es un subconjunto de la solución de la inecuación.
Veamos qué pasa con los números en el intervalo (0, 2).
Para ello, supongamos que x ∈ (0, 2). Entonces, tenemos las siguientes equiva-
lencias lógicas válidas:
√
2− x > x ≡ 2− x > x2
≡ x2 + x− 2 < 0
≡ (x + 2)(x− 1) < 0;
es decir, si x ∈ (0, 2), es válida la equivalencia lógica siguiente:
√
2− x > x ≡ (x + 2)(x− 1) < 0. (3.2)
De lo aprendido en los primeros tres ejemplos, sabemos que
(x + 2)(x− 1) < 0 ≡ x ∈ (−2, 1)
(donde a = −2 y b = 1). Así, de (3.2), tenemos que todo x que pertenece a
(0, 2)∩ (−2, 1)
es una solución de la inecuación.
Finalmente, como (0, 2)∩ (−2, 1) = (0, 1), el conjunto solución de la inecuación
√
2− x > x
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 71
en R es
(−∞, 0]∪ (0, 1);
es decir,
(−∞, 1).
3.4 Valor absoluto
El valor absoluto es un concepto de los números reales: el valor absoluto de un
número real es el mismo número si es mayor o igual que 0 o su inverso aditivo
en el caso contrario; por tanto, el valor absoluto de un número real siempre es un
número no negativo.
La introducción de este concepto otorga la ventaja de poder expresar ciertas
proposiciones, conjuntos de una manera más simple. Por ejemplo, en la interpreta-
ción geométrica de los números reales presentada en la sección anterior, en lugar de
decir que la distancia entre dos puntos de una recta es igual a la resta de la coorde-
nada menor de la coordenada mayor, decimos que es igual al valor absoluto de la
diferencia de las coordenadas correspondientes. Ciertos intervalos y conjuntos po-
drán ser expresados de una manera más sencilla mediante el uso del valor absoluto
de un número.
DEFINICIÓN 3.2 (Valor absoluto)
Dado un número real a, el valor absoluto de a, representado por |a|, es a si a > 0 o
es −a si a < 0. Por tanto, se tiene que
|a| =
a si a > 0;−a si a < 0.
Por tanto, |x| > 0 para todo número real x.
De la definición, se desprenden las siguientes igualdades:
|5| = 5, | − 5| = −(−5) = 5, |0| = 0 y |1 + x2| = 1 + x2
para todo número real x.
Si |a| = b, también se deduce que necesariamente b > 0. Por la Tricotomía,
tenemos que a > 0 o a < 0; por tanto |a| = a o |a| = −a. Luego, tenemos que b = a
o b = −a. Es fácil ver que el recíproco también es verdadero. En resumen, de la
definición de valor absoluto, la siguiente equivalencia lógica es válida
|a| = b ≡ b = a ∨ b = −a. (3.3)
Todas las propiedades relevantes del valor absoluto se pueden deducir de ma-
nera similar. A continuación, vamos a presentar algunas de ellas con un bosquejo
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 72
de sus demostraciones. Como siempre, se sugiere que las lectoras y los lectores las
completen como un ejercicio de interiorización de los números reales.
TEOREMA 3.2 (Propiedades de valor absoluto).
Dado el número real r tal que r > 0, las siguientes equivalencias lógicas son válidas:
1. |a| 6 r ≡ −r 6 a 6 r.
2. |a| > r ≡ a > r ∨ a 6 −r.
También son válidas las siguientes:
3. |x| = 0 ≡ x = 0.
4. Si y > 0, entonces |x| = y ≡ x = y ∨ x = −y.
5. | − x| = |x|.
Demostración. No es difícil ver que establecida cualesquiera de las dos primeras equivalen-
cias, la otra se deduce inmediatamente por la aplicación de una propiedad de las equiva-
lencias lógicas, la Tricotomía y de las leyes de DeMorgan.
En efecto, es suficiente que demostremos estas equivalencias lógicas para la relación
menor que. Ahora bien, si es válida la equivalencia lógica
|a| < r ≡ −r < a < r,
también lo es la siguiente:
¬(|a| < r) ≡ ¬(−r < a ∧ a < r);
luego, también es válida esta:
|a| > r ≡ −r > a ∨ a > r;
es decir,
|a| > r ≡ a > r ∨ a < −r.
Por ello, para probar que las dos primeras equivalencias del teorema son válidas, basta
con probar una de ellas. Por ejemplo, veamos un bosquejo de la deducción de la primera.
Si |a| < r y a > 0, entonces |a| = a, de donde a < r; y, como −r < 0, entonces −r < a.
Si |a| < r y a < 0, tenemos |a| = −a, de donde −a < r; luego, −r < a; y, como a < 0 y
r > 0, concluimos que también a < r.
Recíprocamente, si −r < a < r y a > 0, entonces a = |a|, de donde, |a| < r. Si
−r < a < r y a < 0, tenemos que −(−r) > −a y −a = |a|; por tanto, |a| < r.
Por último, | − x| = |x| es deducida de la definición y de −(−x) = x.
La interpretación geométrica de los números reales nos provee de una buena
herramienta para entender y trabajar con el valor absoluto de un número. En efecto,
dada una recta y dados 0 y un número real a, hay puntos únicos en la recta cuyas
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 73
coordenadas son 0 y a, respectivamente; por tanto, la distancia entre dichos puntos
es
|0− a| = | − a| = |a|.
Así,
el valor absoluto de a es igual a la distancia entre el punto cuya coorde-
nada es a y el punto cuya coordenada es 0.
De esta interpretación geométrica de los números reales nace la denominación
de punto a los números reales; en este curso no haremos uso de ella, pero es común
en la literatura, sobre todo de Cálculo, referirse a los números reales como puntos.
Supongamos que a ∈ R. En los siguientes dibujos, representamos la idea de que
|a| es la distancia entre el punto cuyo coordenada es a y el punto cuya coordenada
es 0:
Por otra parte, si r > 0, tenemos que todos los números reales x tales que
|x| < r
son aquellos que
−r < x < r;
es decir, todos aquellos que pertenece al intervalo (−r, r):
Por lo anterior, dado un número real a > 0, tenemos que
(−a, a) = {x ∈ R : |x| < a} y [−a, a] = {x ∈ R : |x| 6 a}.
Luego, es bastante fácil deducir que
R− [−a, a] = {x ∈ R : |x| > a}.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 74
Finalmente, dados los números reales a y r > 0, puesto que
|x− a| 6 r ≡ −r 6 x− a 6 r
≡ a− r 6 x 6 a + r,
tenemos que
[a− r, a + r] = {x : |x− a| 6 r}.
Un intervalo de este tipo suele denominarse intervalo de centro a y radio r.
En el siguiente teorema, presentamos otras propiedades del valor absoluto de
un número que son de uso frecuente.
TEOREMA 3.3 (Propiedades del valor absoluto).
Si b 6= 0, las siguientes proposiciones son verdaderas:
1. −|a| 6 a 6 |a|
2.
√
a2 = |a|
3. |ab| = |a||b|
4. |a2| = |a|2 = a2
5. Si a > 0, entonces x2 6 a si y solo
si |x| 6
√
a.
6. Si a > 0, entonces x2 > a si y solo
si |x| >
√
a.
7. |a− c| = |c− a|
8. |a| = |c| si y solo si a = c o a = −c
9.
∣∣∣ a
b
∣∣∣ = |a||b|
10. Desigualdad triangular:
|a + c| 6 |a|+ |c|
Mediante los siguientes ejemplos, presentaremos las deducciones o un bosquejo
de las deducciones de este teorema.
Ejemplos: Propiedades del valor absoluto
1. Si a = 0, entonces |a| = 0; luego,
−|a| 6 a 6 |a|.
Si a 6= 0, es inmediato que |a| > 0 ya que −a 6= 0. Por tanto, como |a| 6 |a|,
concluimos que
−|a| 6 a 6 |a|
(En el teorema 3.2, tomamos r = |a|).
2. En el capítulo sobre númerosreales, demostramos que
√
a2 = a si a > 0 y
√
a2 =
−a si a < 0. Como a = |a| si a > 0 y−a = |a| si a < 0, tenemos que
√
a2 = |a| tanto
si a < 0 como si a > 0. Además, si a = 0, tenemos que
√
a2 = 0. En resumen:
La raíz cuadrada del cuadrado de un número real es igual al valor ab-
soluto del número.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 75
3. Recordemos que ab > 0 si y solo si a > 0 y b > 0, o a 6 0 y b 6 0. Por tanto, si
ab > 0, tenemos que
|ab| = ab
y |a| = a y |b| = b, o |a| = −a y |b| = −b; de donde,
|a||b| = ab o |a||b| = (−a)(−b) = ab.
Por tanto, si ab > 0, tenemos que
|ab| = |a||b|.
Por otra parte, ab 6 0 si y solo si a > 0 y b 6 0, o a 6 0 y b > 0. Así, si ab 6 0,
tenemos que
|ab| = −ab
y |a| = a y |b| = −b, o |a| = −a y |b| = b; de donde,
|a||b| = a(−b) = −ab o |a||b| = (−a)b = −ab.
Por tanto, si ab 6 0, tenemos que
|ab| = |a||b|.
En resumen,
El valor absoluto del producto de dos números es igual al producto de
los valores absolutos de cada número.
4. De la proposición anterior, tenemos que
|a2| = |aa| = |a||a| = |a|2
y, como a2 > 0, concluimos también que
|a2| = a2.
5. Si x = 0, la proposición se deduce inmediatamente. Supongamos que x 6= 0; luego,
|x| 6= 0. Y, puesto que x2 = |x|2, tenemos:
x2 6 a ≡ |x|2 6 a
≡ |x| 6
√
a.
6. Se deduce de manera similar que la proposición del ejemplo anterior.
7. De la definición de valor absoluto, es inmediato que | − x| = x para todo número
real x; luego, como a− c = −(c− a), concluimos que
|a− c| = | − (c− a)| = |c− a|.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 76
8. Recordemos que |x| = y si y solo si x = y o x = −y; por tanto, tenemos que:
|a| = |c| ≡ |c| = a ∨ |c| = −a
≡ (a = c ∨ a = −c)∨ (−a = c ∨−a = −c)
≡ (a = c ∨ a = −c)∨ (a = −c ∨ a = c)
≡ a = c ∨ a = −c.
9. En primer lugar, como b 6= 0, tenemos que∣∣∣ a
b
∣∣∣ = |ab−1| = |a||b−1|.
En segundo lugar, si b > 0, tenemos que b−1 > 0, y si b < 0, entonces b−1 < 0.
Luego,
|b||b−1| = bb−1 = 1 o |b||b−1| = (−b)(−b−1) = bb−1 = 1;
por tanto,
|b||b−1| = 1,
de donde, por la unicidad del inverso multiplicativo, concluimos que
|b−1| = |b|−1.
Así, concluimos que ∣∣∣ a
b
∣∣∣ = |a||b|−1 = |a||b| .
En resumen,
El valor absoluto de la división de dos números es igual a la división de
los valores absolutos de ambos números.
10. Desigualdad triangular: hemos probado que el valor absoluto preserva el producto
y la división de dos números. Sin embargo, no preserva ni la suma ni la resta como
lo veremos a continuación:
|5 + (−2)| = |3| = 3 y |5|+ | − 2| = 5 + 2 = 7,
de donde,
|5 + (−2)| 6= |5|+ | − 2|.
En general,
el valor absoluto de la suma de dos números es menor o igual que la
suma de los valores absolutos.
En efecto, tenemos que
−|a| 6 a 6 |a| y − |c| 6 c 6 |c|;
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 77
luego,
−(|a|+ |c|) 6 a + c 6 (|a|+ |c|),
de donde
|a + c| 6 |a|+ |c|.
Terminemos la sección con varios ejemplos del uso del valor absoluto; en parti-
cular, en la resolución de algunas ecuaciones e inecuaciones.
Ejemplos: Valor absoluto
1. Para todo número real x y todo real y, tenemos que
|x− y| > |x| − |y|.
En efecto, se deduce inmediatamente de:
|x| = |(x− y) + y| 6 |x− y|+ |y|.
2. Resolvamos la ecuación
|x + 1| = 5
en R.
Puesto que |x + 1| = 5 si y solo si x + 1 = 5 o x + 1 = −5, concluimos que el
conjunto solución de esta ecuación es
{−6, 4}.
3. Resolvamos la inecuación
|3x− 2| < 2
en R.
Puesto que 2 > 0, tenemos que
|3x− 2| < 2 ≡ −2 < 3x− 2 < 2
≡ 0 < x < 4
3
.
Por tanto, el conjunto solución de esta inecuación esÅ
0,
4
3
ã
.
4. Resolvamos la inecuación
|2− x2| < 1
en R+.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 78
Supongamos que x ∈ R+. Tenemos que
|2− x2| < 1 ≡ −1 < 2− x2 < 1
≡ −3 < −x2 < −1
≡ 1 < x2 < 3.
Luego, el conjunto solución de la inecuación en R+ es
(1,
√
3)
ya que
√
x2 = x pues x > 0.
5. Dado el número a > 0, resolvamos la inecuación
|x− a| > |x + a|
en R.
Si a = 0, tenemos que
|x− a| > |x + a| ≡ |x| > |x|;
luego, para a = 0 esta inecuación no tiene ninguna solución.
Supongamos que a > 0. Para resolver esta inecuación, podemos utilizar el si-
guiente cuadro, fácil de elaborar (no olvidemos que −a < a):
x (−∞,−a) (−a, a) (a,+∞)
x− a < 0 < 0 > 0
x + a < 0 > 0 > 0
Supongamos que x ∈ (−∞,−a). Entonces, tenemos que
|x− a| > |x + a| ≡ −(x− a) > −(x + a)
≡ x− a < x + a
≡ −a < a.
Como −a < a es una proposición verdadera, también lo es
|x− a| > |x + a|
para todo x ∈ (−∞,−a). Por tanto, todos los números reales que satisfacen esta
desigualdad son elementos del conjunto S1, donde
S1 = (−∞,−a).
Supongamos ahora que x ∈ (−a, a). Luego, tenemos que
|x− a| > |x + a| ≡ −(x− a) > x + a
≡ 2x < 0.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 79
Así, todos los números reales que satisfacen la inecuación son aquellos que perte-
necen a (−a, a) y son menores que 0; por tanto, las soluciones de esta desigualdad
son elementos de S2, donde
S2 = (−a, 0).
Finalmente, supongamos que x ∈ (a,+∞). Entonces,
|x− a| > |x + a| ≡ x− a > x + a
≡ −a > a.
Como −a > a es una proposición falsa, ningún número real x ∈ (a,+∞) es una so-
lución de esta inecuación; es decir, el conjunto solución de la inecuación en (a,+∞)
es ∅.
En resumen, por la Tricotomía, el conjunto solución de la inecuación
|x− a| > |x + a|
en R es
S1 ∪ S2 ∪∅;
es decir, es el conjunto
(−∞, 0).
6. Resolvamos la inecuación
|3− 2x| > x
en R.
Puesto que
3− 2x > 0 ≡ x 6 3
2
,
supongamos, en primer lugar que x 6 32 . Entonces, tenemos que
|3− 2x| > x ≡ 3− 2x > x
≡ x < 1.
Luego, todos los números reales que satisfacen esta inecuación en
Ä
−∞, 32
ó
perte-
necen al conjunto Å
−∞, 3
2
ò
∩ (−∞, 1);
es decir, al conjunto
(−∞, 1)
ya que 32 > 1.
En segundo lugar, supongamos que x > 32 . Entonces, tenemos que
|3− 2x| > x ≡ −3 + 2x > x
≡ x > 3.
Así, todos los números reales que satisfacen esta inecuación en
Ä
3
2 ,+∞
ä
perte-
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 80
necen al conjunto Å
3
2
,+∞
ã
∩ (3,+∞);
es decir, al conjunto
(3,+∞)
ya que 3 > 32 .
En resumen, por la Tricotomía, el conjunto solución de la inecuación
|3− 2x| > x
en R es
(−∞, 1)∪ (3,+∞)
o, lo que es lo mismo, es el conjunto
R− [1, 3].
7. Resolvamos la ecuación
1− 2x = |4 + x|
en R.
Si x > −4, tenemos que
1− 2x = |4 + x| ≡ 3x = −3;
luego, −1 es solución de esta ecuación porque −1 > −4.
Si x < −4, tenemos que
1− 2x = |4 + x| ≡ x = 5;
así, que 5 no es solución de la ecuación porque 5 no es menor que −4.
En resumen, el conjunto solución de la ecuación en R es
{−1}.
3.5 Ejercicios propuestos
1. Dados a y b > 0, resuelva la inecuación
|a2 + x2| > b
en R.
2. Dados los números a, b y c > 0 tales que a > b, resuelva la ecuación
|x− a|+ |x− b| = c
en R.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 81
3. Encuentre todos los números reales x tales que la proposición
2 < |x + 4|+ |x− 5| < 4
es verdadera.
4. Encuentre todos los números reales cuyo inverso multiplicativo es menor que
el número.
5. Encuentre todos los números reales cuyo inverso multiplicativo es mayor que
el número.
6. Resuelva la inecuación √
x2 + 3 >
√
3x2 + 1
en R.
7. Resuelva la inecuación √
2 + 3x2 >
|x|
2
en (−∞, 0).
8. Resuelva la inecuación √
2x + 1 > |x|
en R+.
9. Determine todos los números reales x tales que la proposición
|1− 3x| <
√
x
es verdadera.
10. Encuentre todos los números reales positivos x tales que la proposición
|x + 2|+ |x− 1| = 4
es verdadera.
11. Encuentre todos los números reales negativos x tales que la proposición
|x + 2| − |x− 1| = −4
es verdadera.
12. Determine el conjunto de todos los números reales x tales que es verdadera
la proposición
1
x2 + 5x− 1 < 0.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 82
13. Resuelva en R la inecuación
|x2 − 2x− 2| > 1.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 83
Capítulo 4
Números complejos
4.1 Introducción
El enfoque que elegimos en este curso para estudiar el concepto de número real fueel axiomático: postulamos la existencia de un conjunto que se define implícitamente
mediante varios axiomas organizados en tres categorías: cuerpo, orden y completitud.
Desde este enfoque, dedujimos que este conjunto de números reales tiene como
subconjuntos a los naturales, enteros, racionales e irracionales.
Hay otro modo de abordar el estudio de los números reales: sobre la base de la
teoría de conjuntos, se “construye” el conjunto de los números naturales. Mediante
el concepto de relación de equivalencia, se construyen los conjuntos de los números
enteros, racionales y reales.
Independientemente del enfoque que se adapte, es posible también ver la “cons-
trucción” de cada uno de estos conjuntos de números como un problema resuelto
frente a la imposibilidad de resolver ciertas ecuaciones en cada uno de esos conjun-
tos.
En efecto, si tuviéramos únicamente el conjunto de los números naturales, hay
ecuaciones que no tienen solución. Por ejemplo, la ecuación
x + 1 = 0
no tiene solución en N, ya que no existe ningún número natural cuya suma con 1
sea igual a 0. En general, si a ∈ N tal que a 6= 0, no existe un número natural b tal
que
b + a = 0.
De la imposibilidad de resolver la ecuación anterior, nos planteamos el problema
de “extender” el conjunto de los números naturales de manera que allí todas las
ecuaciones del tipo x + a = 0 tengan solución para todo a elemento del nuevo con-
junto; es decir, un nuevo conjunto que contenga a los naturales y el que sí se puedan
resolver ese tipo de ecuaciones. El resultado de dicha extensión es, justamente, el
84
conjunto de los números enteros1.
Ahora, ya en el ámbito de los números enteros (Z), nos encontramos que las
ecuaciones del tipo
ax = b,
donde a ∈ Z, b ∈ Z y a 6= 0, no siempre tienen solución. Por ejemplo, la ecuación
2x = 1
en Z, pues el producto de ningún número entero y 2 es igual a 1.
Y ahí vamos otra vez: la imposibilidad de este tipo de ecuaciones nos empuja a
buscar una “extensión” del conjunto de los números enteros, es decir, un conjunto
que contenga a los enteros y en el que sí se puedan resolver dichas ecuaciones. Ese
conjunto es, precisamente, el de los números racionales2.
Los imposibilidades no terminan con los racionales: aquí nos encontramos con
que las ecuaciones del tipo
x2 − a = 0,
donde a ∈ Q no siempre tienen solución en Q. Por ejemplo, la ecuación
x2 − 2 = 0
no tienen solución en Q pues no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea
igual a 2.
¿La salida? ¡Extender el conjunto de los números racionales a un conjunto en el
que “se puedan extraer las raíces cuadradas de los números positivos”! Esa exten-
sión es, justamente, el conjunto de los números reales3.
Y, por supuesto, la cosa no termina aquí. En el flamante nuevo conjunto exten-
dido de los racionales, es decir, en R, no podemos resolver ecuaciones del tipo
x2 + a = 0,
donde a > 0, porque la suma del cuadrado de ningún número real y a puede ser
igual a 0 por la Tricotomía, pues es mayor que 0.
Ya conocemos el camino: extendemos R a un conjunto donde este tipo de ecua-
ciones se puedan resolver; con ello, “permitimos” que los números negativos tam-
bién tengan raíz cuadrada: en el nuevo conjunto, ¡todos los elementos tienen raíz
cuadrada! Este conjunto es, precisamente, el de los números complejos, objetivo de
estudio de este capítulo.
En el conjunto de los números complejos, todas las ecuaciones de segundo grado
1Visto de otra manera, la extensión de los naturales a los enteros es un modo de “permitir” la resta
entre dos elementos del nuevo conjunto.
2La extensión de los enteros a los raciones es una manera de “permitir” la división entre dos ele-
mentos del nuevo conjunto.
3Esta extensión “permite” extraer la raíz cuadrado de un número positivo.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 85
tienen al menos una solución y máximo dos.
Aunque la descripción anterior de la “evolución” de los números explica co-
rrectamente la relación entre estos, su desarrollo histórico no es exactamente así.
En particular, el aparecimiento de los números complejos se remonta al siglo XVII,
cuando el matemático Rafael Bombelli “extrajo la raíz cuadrada de −121” como
un artificio que le permitió resolver una ecuación algebraica de tercer grado. La
“raíz cuadrada” incorporada desaparece en el proceso, sin embargo, le permite a
Bombelli encontrar la raíz de la ecuación. La no aceptación de tal “raíz” le valió
el nombre de número imaginario. Tuvieron que pasar cerca de 200 años para que
Gauss y Hamilton les dieran a los números imaginarios el estatus de números en un
nuevo sistema: el de los números complejos.
4.2 El cuerpo de los números complejos
Antes de presentar la definición de este nuevo conjunto, exploremos el problema
que queremos resolver. Para ello, consideremos la ecuación
x2 − x + 1 = 0
en R. Su discriminante es igual a −3. Por tanto, no existe ningún número real que
sea su solución. Sin embargo, con el fin de resolver el problema, supongamos que
estuviéramos en un mundo en el que la ecuación sí tuviera solución y que esta se
obtendría con la misma fórmula que el caso cuando el determinante es mayor que
0. Entonces, las siguientes serían las soluciones:
1 +
√
−3
2
y
1−
√
−3
2
.
Obviamente, la expresión
√
−3 no representa ningún número real. No obstante, en
este mundo, aunque no es un número real, es un número, ninguno de los conocidos
hasta ahora, pero es un número.
Por otra parte, este mundo “imaginado”, las operaciones (suma, resta, multipli-
cación, división, potencias, raíces cuadradas) tienen las mismas propiedades que
esas operaciones en el mundo de los números reales; luego, podríamos operar con
estos números de la siguiente manera:
1 +
√
−3
2
=
1
2
+
√
−3
2
=
1
2
+
√
(−1)3
2
=
1
2
+
√
−1
√
3
2
;
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 86
es decir, tendríamos
1 +
√
−3
2
=
1
2
+
√
3
2
√
−1,
pues aquí la raíz del producto de cualquier par de números siempre sería igual al
producto de sus raíces.
Lo que obtenemos es que los números en este mundo se expresan como la suma
de un número real y otro que tiene algo de real pero también algo de “imaginado”.
Y, como todos los números negativos se pueden expresar como el producto de−1 y
el valor absoluto del número, podremos expresar todos los números de este mundo
con ayuda de
√
−1, al que se le representa con la letra i (¿por qué será?); luego las
“soluciones” de esta ecuación serían los números
1
2
+
√
3
2
i y
1
2
−
√
3
2
i.
Pero, cuando volvemos al mundo real (es decir, a R), estos símbolos no tienen
ningún significado. Lo que hicieron Gauss y Hamilton fue darles un significado con
lo que tenían: los números reales. De manera más precisa, con parejas de números
reales.
En efecto, el número
1
2
+
√
3
2
i
puede ser visto como el par ordenadoÇ
1
2
,
√
3
2
å
,
en donde ya no aparece ese extraño i. Así, el candidato para el nuevo conjunto es
el de los pares ordenados de números reales; es decir, el producto cartesiano de R
y R: R×R.
El problema ahora consiste en hallar la manera de definir la suma y la resta en
este nuevo conjunto de forma que sus propiedades sean las mismas que la de los
axiomas de cuerpo de estas operaciones en los números reales (no olvidemos que
la extensión debe contener al conjunto de los números reales).
Para ello, una vez, supongamos que estamos en el mundo “imaginado” y que
queremos sumar dos de los nuevos números:
a + bi y c + di,
donde a, b, c y d son números reales, además, i =
√
−1. La idea simple es, pensando
en que la suma deberá ser asociativa y conmutativa, la siguiente:
(a + bi)⊕ (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Por ahora, hemos utilizado un símbolo algo diferente para la suma porque, como
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 87
queda claro, no es la misma suma que la de los números reales.
Como se constatará más adelante, está nueva suma satisfará los axiomas de
cuerpo de la suma en el “mundo real”.
Para la multiplicación, hacemos un trabajo previo. En efecto,la multiplicación
deberá ser distributiva, así que esperaríamos poder proceder de la siguiente mane-
ra:
(a + bi)� (c + di) = ac + (ad)i + (bc)i + (bd)i2
y, como las potencias y las raíces en el mundo imaginado deben satisfacer las mis-
mas propiedades que satisfacen en el real, entonces la proposición
i2 = −1,
porque i sería la raíz de −1. Así, tendríamos que
(a + bi)� (c + di) = (ac− bc) + (ad + bd)i.
El asunto está resuelto. Ya sabemos cómo definir esas operaciones en R × R
utilizando solo las operaciones en R.
DEFINICIÓN 4.1 (El conjunto de los números complejos)
El conjunto de los números complejos, representado por C, es el conjunto R×R
con las siguientes operaciones, llamadas suma y producto, y representadas con los
signos + y ·:
1. Suma: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).
2. Producto: (a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad + bc).
A cada elemento de este conjunto le denominaremos número complejo.
En resumen, un número complejo no es más que un par ordenado de números
reales sujeto a las operaciones de suma y resta definidas anteriormente.
En la práctica, no utilizaremos la notación de par ordenado (a, b) sino la común
y muy representativa a + bi. Sin embargo, para ello es necesario antes resolver el
siguiente problema.
En el enfoque axiomático utilizado para definir el conjunto de los números
reales, todos las extensiones contienen a los extendidos; es decir, Z es la extensión
de N tal que N ⊆ Z; Q es la extensión de Z tal que Z ⊆ Q; y R es la extensión de
Q tal que Q ⊆ R. Sin embargo, ya no podemos decir lo mismo de R y C, pues el
primero no es subconjunto del segundo. Y no solo eso, ningún número real es un
número complejo y ningún número complejo es un número real.
Este es un problema que también se presentan cuando se “construyen” los dife-
rentes conjuntos de números a partir de la teoría de Conjuntos mediante relaciones
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 88
de equivalencia. Y el problema se resuelve introduciendo la noción de isomorfismo
o identificación de dos conjuntos.
En efecto, por el axioma de construcción de clases, existe el conjunto
R = {(x, 0) : x ∈ R} = R× {0}.
Es fácil ver queR es un subconjunto de R×R:
R ⊆ R×R.
Ahora bien, como C es el mismo conjunto R×R pero con las dos operaciones
definidas en 4.1, el conjuntoR también es subconjunto de C:
R ⊆ C.
Por tanto, puedo sumar y multiplicar dos elementos deR.
Con todo esto, podemos poner en marcha la identificación del conjunto de los
números reales R con el conjuntoR.
Para ello, sean a y b dos números reales (elementos de R). Entonces, por el
axioma de construcción de clases, tenemos que
(a, 0) ∈ R y (b, 0) ∈ R.
Por tanto, utilizamos las definiciones dadas en 4.1 y obtenemos que:
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0 + 0)
= (a + b, 0)
y
(a, 0) · (b, 0) = (ab− 0 · 0, 0 · 0 + 0 · 0)
= (ab, 0).
Es decir, obtenemos que
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) y (a, 0) · (b, 0) = (ab, 0). (4.1)
Estas dos igualdades son la base de la identificación entre R y R. En efecto:
dados dos números reales a y b cualesquiera, identificamos a con (a, 0) y b con (b, 0),
lo que notaremos por:
a 7−→ (a, 0) y b 7−→ (b, 0).
Gracias a las igualdades en (4.1), la suma de a y b se identifica con el par ordenado
cuya primera componente es la suma de a y b, y la segunda es 0; lo mismo para el
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 89
producto: ab se identifica con (ab, 0):
a + b 7−→ (a + b, 0) y ab 7−→ (ab, 0).
Por tanto, el inverso aditivo de cualesquier número se identificará con el par or-
denado cuya primera componente es el inverso aditivo del número y la segunda,
cero:
−a 7−→ (−a, 0).
Y está identificación es adecuada porque el par ordenado (−a, 0) cumple el papel
del inverso aditivo de (a, 0) bajo la operación definida para C (que es la misma que
la definida paraR):
(a, 0) + (−a, 0) = (a + (−a), 0) = (0, 0),
donde
0 7−→ (0, 0).
Como se puede ver, las dos operaciones enR, tienen neutro ((0, 0)), inverso adi-
tivo; es fácil imaginar al inverso multiplicativo de todo número distinto del neutro
de la nueva suma. También es fácil comprender que estas operaciones son conmuta-
tivas y asociativas y distributivas. Por tanto, el conjuntoR con las dos operaciones
definidas en 4.1 es “idéntico” a R, salvo que sus elementos son de la forma (x, 0).
Pero todo, absolutamente todo lo que se ha dicho, dice y dirá de R se dirá deR.
En resumen, identificamos a R con R a tal punto que, en breve dejaremos de
utilizar el símboloR y, en su lugar, escribiremos con el mayor descaro R y le llama-
remos conjunto de los números reales, y diremos sin más que todo número real es
un número complejo.
Con todo esto, veamos cómo se define i y cómo surge la notación a + bi. Para
ello, dado un número complejo cualesquiera (a, b), tenemos lo siguiente:
(a, b) = (a, 0) + (0, b)
= (a, 0) + (b, 0) · (0, 1).
En efecto: la primera igualdad es verdadera por la definición de suma en C y la exis-
tencia de 0 en R. La segunda igualdad es verdadera por la definición de producto
en C:
(b, 0) · (0, 1) = (b · 0− 0 · 1, b · 1 + 0 · 0)
= (0, b).
En resumen, tenemos que para todo número complejo (a, b), la proposición
(a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) (4.2)
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 90
es verdadera.
Ahora bien, con la identificación establecida, esta igualdad se escribiría así:
(a, b) = a + b(0, 1)
lo que sugeriría que el papel de i tendrá que hacer el par (0, 1). Y, para que este
tenga ese derecho, deberá cumplir con la naturaleza de i: ¡su cuadrado deberá ser
igual a −1!
Veamos que así es:
(0, 1)2 = (0, 1) · (0, 1)
= (0 · 0− 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0)
= (−1, 0).
¡El cuadrado de (0, 1) es, efectivamente (−1, 0)! Ya podemos bautizarle.
DEFINICIÓN 4.2 (La unidad imaginaria)
El número complejo (0, 1) se denomina unidad imaginaria y se representa median-
te la letra i; así, se tiene que
i = (0, 1).
La proposición
i2 = (−1, 0)
es verdadera.
Con la identificación entre R y R, de la definición anterior y la igualdad (4.2),
todo número complejo (a, b) se puede representar de la siguiente manera:
a + bi,
que no es más que la abreviación de la suma
(a, 0) + (b, 0)(0, 1).
Por tanto, el signo + en esta expresión representará la suma en C y no en R.
TEOREMA 4.1 (Representación rectangular).
Todo número complejo (a, b) puede expresarse en la forma
(a, b) = a + bi.
El número a se denomina parte real del número complejo (a, b) y b, su parte imagi-
naria. Se utilizan las notaciones
<(a, b) y =(a, b)
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 91
para la parte real y la parte imaginaria, respectivamente.
Aunque no es de su frecuente, se suele decir también que el número complejo
(a, 0)
es un número real puro. Sabemos que no es “tan puro” ya que no es siquiera un
número real en sentido estricto; del número complejo
(0, b)
se suele decir que es un imaginario puro. Estos nombres no son relevantes ya que
todos son números complejos; y, por la “inmersión” de R en C (vía la identificación
de R conR), todo número real es un número complejo. Así, en lugar de escribir
0 + bi,
escribiremos, simplemente,
bi;
lo mismo haremos con
a + 0i,
que escribiremos simplemente
a.
En resumen, a y bi son los números complejos
(a, 0) y (0, b),
respectivamente última instancia y cualquier duda o discusión queda saldada de
esta manera.
Respecto del punto para la multiplicación entre dos números complejos, lo omi-
tiremos (de forma similar a lo que hacemos en los reales); así que, en lugar de
(a, b) · (c, d), escribiremos simplemente
(a, b)(c, d).
Tenemos entonces el siguiente teorema.
TEOREMA 4.2 (Operaciones en C).
Dados los números complejos a + bi y c + di, tenemos que
1. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
2. (a + bi)(c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 92
Dado que los números complejos son pares ordenados, la igualdad de dos nú-
meros complejos se explica a través de la igualdad de dos pares ordenados. Así,
tenemos la siguiente equivalencia lógicaválida:
a + bi = c + di ≡ a = c ∧ b = d.
Hemos mencionado antes que no es muy difícil demostrar que estas dos ope-
raciones son conmutativas, asociativas y la multiplicación es distributiva respecto
de la suma. Con todo, se sugiere a las lectoras y los lectores que hagan el ejercicio
por su cuenta. Ahora vamos a ver que estas operaciones también tienen neutros e
inversos.
El número complejo 0 + 0i es el neutro para la suma en C, pues para todo nú-
mero complejo a + bi, tenemos que
(a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi.
Es práctica común utilizar el mismo símbolo 0 para 0 + 0i. Así lo haremos también
aquí; el contexto siempre nos dirá de quién se trata cuando escribamos 0. Debe estar
claro que el 0 de los números reales no es el mismo 0 de los números complejos.
¿Verdad?
El número complejo 1 + 0i es el neutro del producto en C: para todo número
complejo a + bi, tenemos que
(a + bi)(1 + 0i) = (a · 1− b · 0) + (a · 0 + b · 1) = (a, b).
Usaremos el símbolo 1 también para 1 + 0i. La reflexión sobre los neutros de la su-
mas de R y C también aplica a los neutros de los productos de estos dos conjuntos.
Pongámonos ahora con los inversos. Es claro que el inverso aditivo de a + bi es
−a + (−b)i, ya que
(a + bi) + (−a + (−b)i) = (a + (−a)) + (b + (−b))i = 0 + 0i.
La búsqueda del inverso multiplicativo nos da algo más de trabajo. Suponga-
mos que a + bi es diferente de 0; por tanto, por la caracterización de la igualdad de
pares ordenados y, por tanto, de la igualdad de números complejos, tenemos que
a 6= 0 o b 6= 0.
Sin pérdida de generalidad, supongamos que b 6= 0. Buscamos un número com-
plejo c + di tal que
(a + bi)(c + di) = 1 + 0i.
De la definición de producto de números complejos y la igualdad de complejos,
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 93
tenemos que
ac− bd = 1 y ad + bc = 0.
De la segunda igualdad, ya que b 6= 0, tenemos que
c = − ad
b
,
de donde, por el principio de sustitución, tenemos las siguientes equivalencias ló-
gicas:
ac− bd = 1 ≡ a
Å
− ad
b
ã
− bd = 1
≡ −
Ç
a2
b
+ b
å
d = 1
≡ − a
2 + b2
b
· d = 1
≡ d = − b
a2 + b2
.
Por tanto,
c = − a
b
Å
− b
a2 + b2
ã
=
a
a2 + b2
.
Así, si c + di es un número complejo cuyo producto con a + bi es 1 + 0i, entonces
c + di =
a
a2 + b2
+
Å
− b
a2 + b2
ã
i.
Para tener el inverso multiplicativo, mostremos que el número anterior es, efec-
tivamente, el que buscamos:
(a + bi) ·
Å
a
a2 + b2
+
Å
− b
a2 + b2
ãã
i =
Å
a · a
a2 + b2
− b
Å
− b
a2 + b2
ãã
+
Å
a
Å
− b
a2 + b2
ã
+ b
Å
a
a2 + b2
ãã
i
=
Ç
a2 + b2
a2 + b2
å
+
Å
− ab
a2 + b2
+
ba
a2 + b2
ã
i
= 1 + 0i.
En resumen, si a + bi 6= 0, entonces el inverso multiplicativo de a + bi es
a
a2 + b2
+
Å
− b
a2 + b2
ã
i.
Vamos a utilizar la misma notación para los inversos y los neutros en C que la
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 94
utilizada en R; así, escribiremos
−(a + bi) y (a + bi)−1
para los respectivos inversos.
Podemos, entonces, definir la resta y la división entre números complejos de
la manera usual:
(a + bi)− (c + di) = (a + bi) + (−(c + di)) y x + yi
u + vi
= (x + yi)(u + vi)−1,
donde u + vi 6= 0.
Por tanto, tendremos que:
(a + bi)− (c + di) = (a + bi) + (−(c + di))
= (a + bi) + (−c + (−d)i)
= (a + (−c)) + (b + (−d))i
= (a− c) + (b− d)i;
es decir,
(a + bi)− (c + di) = (a− c) + (b− d)i. (4.3)
También tenemos que:
x + yi
u + vi
= (x + yi)(u + vi)−1
= (x + yi) ·
Å
u
u2 + v2
+
Å
− v
u2 + v2
ã
i
ã
=
Å
xu
u2 + v2
− −yv
u2 + v2
ã
+
Å
− xv
u2 + v2
+
yu
u2 + v2
ã
i
=
xu + yv
u2 + v2
+
yu− xv
u2 + v2
i;
por tanto,
x + yi
u + vi
=
xu + yv
u2 + v2
+
yu− xv
u2 + v2
i. (4.4)
Para representar números complejos sin especificar sus dos componentes (parte
real e imaginaria), en general, utilizaremos también letras minúsculas del alfabeto
español. Por ejemplo, si z ∈ C, podremos concluir que existen dos números reales
a y b tales que
z = a + bi.
De aquí en adelante, la mayoría de las veces ya no podremos asumir que las letras
minúsculas representan únicamente números reales. Para evitar las confusiones,
especificaremos siempre qué representa cada una de las letras que utilicemos para
representar números.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 95
Resumamos todo lo que hemos deducido sobre C en el siguiente teorema.
TEOREMA 4.3 (C es un cuerpo).
Si z, w y t son tres números complejos, entonces las siguientes proposiciones son
verdaderas:
1. Conmutativas:
z + w = w + z y zw = wz.
2. Asociativas:
(z + w) + t = z + (w + t) y (zw)t = z(wt).
3. Distributiva del producto respecto de la suma:
z(w + t) = zw + zt.
4. Neutros: existe un número complejo e tal que para todo z ∈ C, se tiene:
z + e = z
existe un número complejo f tal que para todo z ∈ C, se tiene
z f = z.
Los números e y f son únicos (se puede probar fácilmente) por lo que se les
puede nombrar: cero y uno; y se los representa con 0 y 1, respectivamente.
5. Inversos: para cada número complejo z, existe un número complejo w tal que
z + w = 0
y para cada número complejo z 6= 0, existe un número complejo t tal que
zt = 1.
Los números w y t son únicos (se puede probar fácilmente), por lo que se les
nombra como los inversos aditivo y multiplicativo, y se les representa por
−z y z−1, respectivamente.
A todo conjunto en el cual se han definido dos operaciones internas como estas se
le denomina cuerpo. Por eso, R y C son cuerpos.
Otro conjunto que es cuerpo es Q. No son cuerpos ni N ni Z.
Es claro, entonces, que todos los teoremas que se dedujeron de los axiomas de
cuerpo en R se pueden deducir de manera idéntica en C, razón por lo cual, no lo
vamos a hacer, pues estamos seguros de que es así.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 96
En particular, en los complejos tendremos como proposiciones verdaderas:
−0 = 0, 1−1 = 1, 0 6= 1, z · 0 = 0
donde z ∈ C.
Otro teorema que se verifica en C (ya que se verifica en R) es:
−z = (−1) · z,
donde −1 = (−1, 0).
Introduciremos también el siguiente “abuso de notación”: en lugar de
a + (−b)i,
escribiremos
a− bi.
Este “abuso” se explica porque a− bi puede ser visto como la representación de
(a + 0i)− (0 + bi)
y, por la definición de resta, tenemos que
(a + 0i) + (0 + (−b)i) = a + (−b)i.
Dado un número complejo a + bi, se define el conjugado de a + bi, como el
número número complejo a + (−b)i y será representado por a + bi. Por tanto,
a + bi = a + (−b)i
y con las notaciones introducidas, también escribiremos
a + bi = a− bi.
Es fácil verificar que el conjugado del conjugado de un número complejo es
el mismo número complejo gracias a la propiedad del doble inverso aditivo de los
números reales:
a + bi = a + (−b)i
= a + (−(−b))i
= a + bi.
También tenemos que si a ∈ R y b ∈ R, entonces
a = a y bi = (−b)i.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 97
Tenemos el siguiente teorema.
TEOREMA 4.4 (Conjugado de un número complejo).
Si z ∈ C, las siguientes proposiciones son verdaderas:
1. z = z.
2. Si a ∈ R, entonces a = a.
3. Si a ∈ R, entonces ai = −ai.
4. zz = a2 + b2 si z = a + bi.
5. Si z 6= 0, entonces z 6= 0.
6. z = z si y solo si z ∈ R.
7. z = −z si y solo si existe b ∈ R tal
que z = bi.
Demostración. Nos falta probar únicamente las cuatro últimas proposiciones. Supongamos
que z = a + bi. Entonces, tenemos que:
zz = (a + bi)(a + (−b)i)
= (a2 − (b)(−b)) + (−ab + ab)i
= a2 + b2.
En segundo lugar, sea z ∈ C. Luego, existen a ∈ R y b ∈ R tales que z = a + bi.
Ahora bien, la antepenúltima se deduce de la siguiente manera: de z 6= 0, a 6= 0 y b 6= 0;
luego −b 6= 0; por tanto
a + (−b)i 6= 0;
es decir, z 6= 0.
Para la penúltima, tenemos que:
z = z ≡ a + bi = a + bi
≡ a + (−b)i = a + bi
≡ −b = b
≡ b = 0.
Por tanto, z ∈ R.
La segunda equivalencia lógica se deriva de la definición de conjugado de un número
complejo; la tercera de la igualdad entre números complejos y la propiedad reflexiva de la
igualad en R y, finalmente, la cuarta se deduce del hecho de que el único número real que
esigual a su inverso aditivo es el número 0.
La última proposición se deduce así:
z = −z ≡ a + bi = −(a + bi)
≡ a + (−b)i = −a + (−b)i
≡ −a = a
≡ a = 0.
Por tanto, z = bi.
Con el concepto de número conjugado de un número complejo, obtenemos un
procedimiento sencillo para obtener la división entre dos números complejos sin
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 98
recurrir a la “fórmula” que encontramos anteriormente.
En efecto, vamos a dividir el número complejo x + yi por u+ vi, donde u+ vi 6=
0.
En primer lugar, tenemos que u− vi 6= 0; luego, se deriva que
u− vi
u− vi = 1. (4.5)
Así:
x + yi
u + vi
=
x + yi
u + vi
· u− vi
u− vi
=
(x + yi)(u− vi)
(u + vi)(u− vi)
=
(xu + yv) + (x(−v) + yv)i
u2 + v2
=
xu + yv
u2 + v2
+
yu− xv
u2 + v2
i;
es decir,
x + yi
u + vi
=
xu + yv
u2 + v2
+
yu− xv
u2 + v2
i.
Luego, como se puede ver, es la ya deducida proposición (4.4) en la página 95.
Como un ejemplo de lo anterior, para dividir los números complejos 3 + 2i y
2 + 3i no es necesario recurrir a la igualdad anterior, bastará con aplicar el procedi-
miento realizado anteriormente:
3 + 2i
2 + 3i
=
(3 + 2i)(2− 3i)
(2 + 3i)(2− 3i)
=
(6 + 6) + (−9 + 4)i
4 + 9
=
12
13
− 5
13
i;
es decir,
3 + 2i
2 + 3i
=
12
13
− 5
13
i.
Las potencias de números naturales y enteros de números complejos se definen
de manera idéntica que en el conjunto R, así que no las escribiremos.
Finalmente, si λ ∈ R y a + bi es un número complejo, tenemos que
(λ + 0i)(a + bi) = (λa− 0 · b) + (λb + 0 · a)i = λa + λbi.
Puesto que λ + 0i se representa por λ únicamente, en lugar de
(λ + 0i)(a + bi),
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 99
escribiremos, simplemente:
λ(a + bi)
y diremos que
es el producto (o multiplicación) del número real λ y el complejo a + bi.
Y, por supuesto, escribiremos también:
λ(a + bi) = λa + λbi.
Resumamos varios de los desarrollos en el siguiente teorema.
TEOREMA 4.5 (Resta y división).
Dados los números complejos a + bi, c + di y el número λ ∈ R, tenemos que las
siguientes proposiciones son verdaderas:
1. (a + bi)− (c + di) = (a− c) + (b− d)i.
2. Si a + bi 6= 0, entonces
(a + bi)−1 =
a
a2 + b2
− b
a2 + b2
i.
3. Si c + di 6= 0, entonces
a + bi
c + di
=
(a + bi)(c− di)
c2 + d2
.
4. λ(a + bi) = λa + λbi.
Ejemplos: El cuerpo C
1. Calculemos el cuadrado de 1 + i:
(1 + i)2 = (1 + i)(1 + i)
= (1− 1) + (1 + 1)i
= 2i;
por tanto,
(1 + i)2 = 2i.
2. De la definición de potencia de exponente natural, se tiene que
i1 = i
y de la definición de i,
i2 = −1.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 100
Calculemos ahora i3:
i3 = i2 · i
= (−1) · i
= −i;
por tanto,
i3 = −i.
Ahora calculemos i4:
i4 = i3 · i = (−i) · i
= −i2 = −(−1);
luego,
i4 = 1.
3. De los ejemplos anteriores, tenemos que
i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i y i4 = 1.
Luego, debe estar claro que
i5 = i, i6 = −1, i7 = −i y i8 = 1.
Podemos, entonces conjeturar que las potencias de exponente natural se repiten en
ciclos de tamaño cuatro. En efecto, si m es un número entero, hemos probado que
que im es
1, i, −1 y − i
para m igual a 0, 1, 2 y 3, respectivamente. Y, luego, nuevamente los valores de im
son 1, i, −1 y −i para m igual a 4, 5, 6 y 7, respectivamente.
Si generalizamos este comportamiento de las potencias de i, conjeturamos que
i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = −1 y i4n+3 = −i
para todo número natural n.
Es bastante claro que de la primera igualdad, se deducen las otras tres por la
aplicación de la definición y propiedades de la potencia de exponente natural.
En efecto, supongamos que la proposición
i4n = 1 (4.6)
es verdadera para todo número natural n (en breve, realizaremos la correspondien-
te demostración). Entonces, tenemos que
i4n+1 = i4n · i = 1 · i = 1.
i4n+2 = i4n · i2 = 1 · (−1) = −1.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 101
i4n+3 = i4n · i3 = 1 · (−i) = −i.
Mostremos por inducción que la proposición (4.6).
i. Base de la inducción: La proposición para n = 0 es
i4·0 = 1.
Se ve fácilmente que es verdadera ya que
4 · 0 = 0 y i0 = 1.
ii. Paso inductivo: Sea n ∈N. La hipótesis de la inducción es
i4n = 0.
Demostremos que es verdadera la tesis de la inducción:
i4(n+1) = 0.
Para ello, procedamos de la siguiente manera:
i4(n+1) = i4n+4 = i4n · i4
= 1 · 1 = 1;
es decir,
i4(n+1) = 1
es verdadera. (La primera igualad es verdadera por la propiedad distributi-
va de la multiplicación respecto del producto; la segunda, propiedad de las
potencia de exponente natural; la tercera, por la hipótesis de inducción y teo-
rema ya deducido previamente; finalmente, la última, la existencia de 1). Por
supuesto, no podríamos olvidar a la propiedad transitiva de la igualdad pre-
sente para cada par de las igualdades anteriores.
4. Calculemos
1 + i2 + i4 + i6.
Tenemos que
1 + i2 + i4 + i6 = 1 + (−1) + 1 + i4 · i2
= 1 + (−1);
por tanto,
1 + i2 + i4 + i6 = 0.
5. Calculemos i10 − i15:
i10 − i15 = i4·2+2 − i4·3+3
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 102
= (−1)− (−i) = −1 + i;
es decir,
i10 − i15 = −1 + i.
6. Calculemos i93 + i45. Para ello, dividamos 93 y 45 por 4 (cada uno) y determinemos
los correspondientes residuos de dichas divisiones. Tendremos lo siguiente:
93 = 4 · 23 + 1 y 45 = 4 · 11 + 1;
luego, tenemos que
i93 + i45 = i + i = 2i.
7. Calculemos el inverso multiplicativo de i:
i−1 =
1
i
=
−i
i · (−i) =
−i
−(−1)
= −i;
por tanto,
i−1 = −i.
8. Dado el número complejo a + bi, calculemos su cuadrado:
(a + bi)2 = (a + bi)(a + bi)
= (a2 − b2) + (ab + ba)i;
por tanto,
(a + bi)2 = (a2 − b2) + 2abi.
9. Dividamos el número −1
2
+
√
3
2
i por su conjugado:
−1
2
+
√
3
2
i
−1
2
−
√
3
2
i
=
Ç
−1
2
+
√
3
2
i
å2Å
−1
2
ã2
+
Ç
−
√
3
2
å2
=
Å
1
4
− 3
4
ã
+ 2
Å
−1
2
ã
·
√
3
2
i
= −1
2
−
√
3
2
i;
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 103
por tanto,
−1
2
+
√
3
2
i
−1
2
−
√
3
2
i
= −1
2
−
√
3
2
i.
10. En el ejemplo anterior, al dividir el número −1
2
+
√
3
2
i por su conjugado se obtuvo
el conjugado. ¿Este número será especial en el sentido que es el único que posee
esta propiedad o habrá otros números con la misma?
Para contestar esta pregunta, busquemos todos los números complejos x + yi
tales que la proposición
x + yi
x− yi = x− yi
es verdadera.
Obviamente, el número x + iy 6= 0 para que x− iy 6= 0. Supongamos entonces,
que x + iy 6= 0. Entonces, tenemos que las siguientes equivalencias lógicas son
válidas:
x + yi
x− yi = x− yi ≡ x + yi = (x− yi)
2
≡ x + yi = (x2 − y2)− 2xyi
≡ x = x2 − y2 ∧ y = −2xy;
es decir, la equivalencia lógica
x + yi
x− yi = x− yi ≡ x = x
2 − y2 ∧ y = −2xy (4.7)
es válida para todo número complejo x + yi 6= 0.
Ahora bien, tenemos tenemos también la validez de las siguientes equivalen-
cias lógicas:
x = x2 − y2 ∧ y = −2xy ≡ y2 = x2 − x ∧ y(1 + 2x) = 0
≡ y2 = x(x− 1) ∧
(
y = 0∨ 1 + 2x = 0
)
≡
Ä
y2 = x(x− 1)∧ y = 0
ä
∨
Å
y2 = x(x− 1)∧ x = −1
2
ã
;
Por tanto, la equivalencia lógica
x = x2 − y2 ∧ y = −2xy ≡
Ä
y2 = x(x− 1)∧ y = 0
ä
∨
Å
y2 = x(x− 1)∧ x = −1
2
ã (4.8)
es válida para todo número complejo x + yi 6= 0.
Ahora ocupémonos de las dos proposiciones de la disyunción del lado derecho
de la equivalencia lógica anterior.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 104
La primera:
y2 = x(x− 1)∧ y = 0 ≡ x(x− 1) = 0 ∧ y = 0
≡ (x = 0 ∨ x− 1 = 0) ∧ y = 0
≡ (x = 0∧ y = 0)∨ (x = 1∧ y = 0).
Y, como la proposición x = 0 ∧ y = 0 es falsa pues x + yi 6= 0, por el axioma de la
disyunción, tenemos que es válida la equivalencia lógica
y2 = x(x− 1)∧ y = 0 ≡ x + yi = 1. (4.9)
para todo número complejo x + yi 6= 0.
Veamos la segunda:
y2 = x(x− 1) ∧ x = −1
2
≡ y2 = −1
2
·
Å
−1
2
ã
∧ x = −1
2
≡ y2 = 3
4
∧ x = −1
2
≡
Ç
y =
√
3
2
∨ y = −
√
3
2
å
∧ x = −1
2
;
por tanto, es válida la equivalencia lógica
y2 = x(x− 1) ∧ x = −1
2
≡ x + yi ∈
®
−1
2
+
√
3
2
i, −1
2
−
√
3
2
i
´
(4.10)
para todo número complejo x + yi 6= 0.
Estamos listos para presentar las conclusiones de nuestra exploración.En efec-
to, de las equivalencias lógicas (4.7) a (4.10), concluimos que la equivalencia lógica
x + yi
x− yi = x− yi ≡ x + yi ∈
®
1, −1
2
+
√
3
2
i, −1
2
−
√
3
2
i
´
es válida para todo número complejo x + yi 6= 0.
En resumen, hay únicamente tres números complejos que, al dividirse por su
conjugado, se obtiene su conjugado; esos números son:
1, −1
2
+
√
3
2
i y − 1
2
−
√
3
2
i.
Todo el trabajo realizado anteriormente no es más que el proceso de resolver la
ecuación
z
z
= z
en el conjunto de los números complejos.
Nótese también que utilizamos, a más de la propiedad transitiva de la equiva-
lencia lógica, la propiedad de que la disyunción preserva una equivalencia lógica.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 105
4.3 Raíz cuadrada y la ecuación de segundo grado
En un capítulo previo, demostramos que, en el conjunto de los números reales, la
ecuación
ax2 + bx + c = 0,
donde a 6= 0, b y c son números reales dados, no tiene solución cuando el discrimi-
nante de esta ecuación es un número real negativo.
No obstante, al haber definido el conjunto de los números complejos de manera
que R sea un subconjunto de él, esta ecuación (donde a, b y c son números reales),
tendrá solución incluso cuando el discriminante es igual a 0 por el hecho simple de
que todo número complejo que no sea un número real posee “raíz cuadrada”; es
decir, dado z ∈ C, siempre existe w ∈ C tal que
z = w2.
Para entender mejor el proceso general y abstracto de cómo obtener un tal w,
busquémoslo para un caso particular.
Ejemplo: “Raíz cuadrada” de un número complejo
Busquemos x + yi ∈ C tal que
−3 + 4i = (x + yi)2.
Tenemos, en primer lugar, las siguientes equivalencias lógicas:
−3 + 4i = (x + yi)2 ≡ −3 + 4i = (x2 − y2) + 2xyi;
es decir, es válida la equivalencia lógica:
− 3 + 4i = (x + yi)2 ≡ x2 − y2 = −3 ∧ 2xy = 4. (4.11)
De 2xy = 4, tenemos que.
x =
2
y
Luego, las siguientes equivalencias lógicas:
x2 − y2 = −3 ≡ 4
y2
− y2 = −3
≡ y4 − 3y2 − 4 = 0
≡ (y2 − 4)(y2 + 1) = 0.
Como la proposición
y2 + 1 = 0
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 106
es falsa para todo y ∈ R, tenemos que la equivalencia lógica
x2 − y2 = −3 ≡ y2 − 4 = 0
es válida para todo x y todo y tales que xy = 2.
Dado que
y2 − 4 = 0 ≡ (y− 2)(y + 2) = 0,
tenemos que
x2 − y2 = −3 ≡ y = 2∨ y = −2,
para todo x y todo y tales que xy = 2, de donde, obtenemos
x2 − y2 = −3 ≡ (x = 1∧ y = 2)∨ (x = −1∧ y = −2).
En resumen, los cuadrados de los números complejos
1 + 2i y − 1− 2i
son, ambos, iguales a −3 + 4i:
(1 + 2i)2 = (−1− 2i)2 = −3 + 4i.
Volvamos al problema: dado z ∈ C−R, siempre existe w ∈ C tal que
z = w2.
En efecto, en primer lugar, tenemos que z 6= 0. Supongamos que z = a + bi,
entonces b 6= 0 (porque z 6∈ R).
Ahora supongamos que a = 0. Entonces z = bi. Buscamos dos números reales
x y y tales que
bi = (x + yi)2.
Para obtenerlos, procedamos de la siguiente manera:
bi = (x + yi)2 ≡ bi = (x2 − y2) + 2xyi
≡ x2 − y2 = 0 ∧ 2xy = b
≡ (x− y)(x + y) = 0 ∧ 2xy = b;
por tanto, es válida la siguiente equivalencia lógica:
bi = (x + yi)2 ≡
Ä
x = y ∧ 2x2 = b
ä
∨
Ä
x = −y ∧ 2x2 = −b
ä
. (4.12)
Ahora bien, si b > 0, entonces la proposición 2x2 = −b es falsa y, por tanto, es
válida la equivalencia
bi = (x + yi)2 ≡ x = y ∧ 2x2 = b,
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 107
de donde, obtenemos que es válida la equivalencia
bi = (x + yi)2 ≡ x + yi ∈
®…
b
2
+
…
b
2
i, −
Ç…
b
2
+
…
b
2
i
å´
. (4.13)
Si b < 0, la proposición 2x2 = b es falsa, de donde, la equivalencia lógica
bi = (x + yi)2 ≡ x = −y ∧ 2x2 = −b
es válida, de donde, obtenemos que también es válida la equivalencia
bi = (x + yi)2 ≡ x + yi ∈
®…
−b
2
−
…
−b
2
i, −
…
−b
2
+
…
−b
2
i
´
. (4.14)
Acabamos de deducir que el número complejo bi con b 6= 0 tienes dos “raíces
cuadradas”.
Para el caso en el que a 6= 0 y b 6= 0, vamos a requerir de las siguientes propo-
siciones que son verdaderas: dados dos números reales α 6= 0 y β 6= 0, se tiene
T1:
√
α2 + β2 > α.
T2:
√
α2 + β2 > −α.
Su deducción es un ejercicio sencillo de la aplicación de los teoremas de cuerpo,
orden y la definición de valor absoluto, por lo que se deja para que la realicen las
lectoras y los lectores.
Vamos con el trabajo: buscamos números reales x y y tales que
a + bi = (x + yi)2,
donde a 6= 0 y b 6= 0.
En primer lugar, es claro que x + yi 6= 0, y que x 6= 0 y y 6= 0. También tenemos
que es válida la equivalencia lógica
a + bi = (x + yi)2 ≡ x2 − y2 = a ∧ 2xy = b. (4.15)
De 2xy = b, tenemos que
x =
b
2y
, (4.16)
Por tanto, son válidas las siguientes equivalencias lógicas:
x2 − y2 = a ≡ b
2
4y2
− y2 = a
≡ 4y4 + 4ay2 − b2 = 0
≡ y4 + ay2 − b
2
4
= 0
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 108
≡
(
y2 +
a
2
)2
− a
2 + b2
4
= 0;
de donde tenemos que la equivalencia lógica
x2 − y2 = a ≡
Ç
y2 +
a−
√
a2 + b2
2
åÇ
y2 +
a +
√
a2 + b2
2
å
= 0 (4.17)
es válida para todo x y y tales que 2xy = b.
Ahora bien, por los teorema T1 y T2, respectivamente, tenemos que son verda-
deras las proposiciones
a−
√
a2 + b2 > 0 y a +
√
a2 + b2 < 0,
de donde, la proposición
y2 +
a +
√
a2 + b2
2
= 0
es falsa para todo número real y y, por tanto, son válidas la equivalencias
x2 − y2 = a ≡ y2 = −a +
√
a2 + b2
2
≡ y ∈

 
−a +
√
a2 + b2
2
, −
 
−a +
√
a2 + b2
2

para todo x y y tales que 2xy = b.
De (4.16), tenemos que
x2 =
b2
4y2
,
y puesto que son válidas las equivalencias lógicas
x2 =
b2
4y2
≡ x2 = b
2
4
Ç
−a +
√
a2 + b2
2
å
≡ x2 = b
2
2
Ä√
a2 + b2 − a
ä
≡ x2 = b
2
2
Ä√
a2 + b2 − a
ä · √a2 + b2 + a√
a2 + b2 + a
≡ x2 =
b2
Ä√
a2 + b2 + a
ä
2
(
(a2 + b2)− a2
) = a +√a2 + b2
2
;
es decir, la proposición
x2 − y2 = a ∧ 2xy = b
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 109
es lógicamente equivalentemente a
x + yi ∈

 
a +
√
a2 + b2
2
+ i
 
−a +
√
a2 + b2
2
,
−
Ñ 
a +
√
a2 + b2
2
+ i
 
−a +
√
a2 + b2
2
é . (4.18)
(Solo por legibilidad, hemos colocado i como prefijo de la raíz cuadrada).
En resumen, hemos mostrado que a + bi tiene dos “raíces cuadradas”, como se
dijo.
Ejemplos: Raíz cuadrada
1. Aunque es una mejor idea aplicar el método anterior para deducir la proposición
(4.18) que usarla, como un ejemplo, veamos un ejemplo sencillo que ilustre que
funciona. Para ello, encontremos las raíces cuadradas del número
1 + i.
En este caso, a = 1 y b = 1; entonces una de las raíces es: 
1 +
√
12 + 12
2
+ i
 
−1 +
√
12 + 12
2
=
 
1 +
√
2
2
+ i
 
−1 +
√
2
2
.
La otra raíz es
−
 
1 +
√
2
2
− i
 
−1 +
√
2
2
.
2. Una vez, veamos las raíces de i. En este caso, a = 0 y b = 1. Entonces, de (4.13),
tenemos que las dos raíces de i son:…
1
2
+ i
…
1
2
y −
…
1
2
− i
…
1
2
.
Y, puesto que
1√
2
=
√
2Ä√
2
ä2 = √22 ,
las dos raíces de i son:
√
2
2
+ i
√
2
2
y −
√
2
2
− i
√
2
2
,
y que podemos escribirlas así:
√
2
2
(1 + i) y −
√
2
2
(1 + i).
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 110
Notemos que que podemos deducir esto fácilmente del hecho de que
(1 + i)2 = 2i,
como habíamos demostrado en un ejemplo anterior.
3. Encontremos las raíces de −i. Podemos aplicar la proposición (4.14) y obtener que
las raíces son …
1
2
− i
…
1
2
y −
…
1
2
+ i
…
1
2
;
es decir, las raíces de i son:
√
2
2
(1− i) y
√
2
2
(−1 + i)
4. Las raíces de −i pueden también encontarse a partir de la igualdad
(1 + i)2 = 2i.
En efecto, tenemos que:
(1 + i)2 = 2i ≡ i = 1
2
(1 + i)2
≡ −i = −1
2
(1 + i)2
≡ −i = i
2
2
(1 + i)2
≡ −i = 1
2
(i(1 + i)2
≡ −i = 1
2
(i− 1))2,
de donde, las dos raíces de −i son
1√
2
(−1 + i) y 1√
2
(1− i);
es decir, √
2
2
(−1 + i) y
√
2
2
(1− i).
Para cerrar esta sección y el capítulo, regresemos a la ecuación de segundo gra-
do en la incógnita x:
ax2 + bx + c = 0,
donde a 6= 0. Si el discriminante es negativo, es decir, si
b2 − 4ac < 0,
entonces
b2 − 4ac = (−1)(4ac− b2),
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 111
donde
4ac− b2 > 0.
Por tanto, las solucionesde la ecuación en C son:
−b + i
√
4ac− b2
2a
y
−b− i
√
4ac− b2
2a
.
Es decir, la ecuación de segundo grado con discriminante negativo tiene dos solu-
ciones en C, y que son números complejos conjugados.
Ejemplos
1. Calculemos las soluciones de la ecuación
x2 + x + 1 = 0.
En este caso, el determinante es −3; luego, las soluciones de esta ecuación en C
son:
−1 + i
√
3
2
y
−1− i
√
3
2
.
2. Las soluciones de la ecuación
x2 − x + 1 = 0
en C son
1 + i
√
3
2
y
1− i
√
3
2
.
3. ¿Cuáles son todos los números complejos z cuyo cubo sea igual a 1? Es decir, ¿cuá-
les son todos los números z ∈ C tales que z3 = 1?
En otras palabras, para contestar la pregunta, debemos resolver la ecuación
z3 = 1
en C.
De la equivalencia lógica
z3 − 1 = 0 ≡ (z− 1)(z2 + z + 1) = 0
y del primer ejemplo, tenemos que los números complejos
1,
−1 + i
√
3
2
y
−1− i
√
3
2
son los únicos cuyo cubo es 1. A estos números se les conoce con el nombre de las
raíces cúbicas de la unidad en C.
4. Busquemos ahora las raíces cúbicas de −1; es decir, encontremos todos los números
complejos z tales que
z3 = −1.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 112
En este caso, tenemos que
z3 + 1 = 0 ≡ (z + 1)(z2 − z + 1) = 0.
Luego, del segundo ejemplo, concluimos que los números complejos
−1, 1 + i
√
3
2
y
1− i
√
3
2
son los únicos números complejos cuyo cubo es −1; estos son las raíces cúbicas de
−1.
Con este terminamos este capítulo, no sin antes comentar brevemente sobre el
orden en C. A diferencia de lo que ocurre con los axiomas de cuerpo, no es posi-
ble establecer unos axiomas que hagan que C sea un cuerpo en el que se tenga
la Tricotomía; simplemente es imposible: cualquier intento de esta derivará en una
contradicción. No lo mostraremos aquí, pero las lectoras y los lectores que deseen
saber cómo, pueden consultar el libro de Apostol y Shilov de la bibliografía.
Finalmente, el tema sobre el módulo o valor absoluto lo estudiaremos en el
capítulo de Trigonometría, donde podremos explicar adecuadamente su definición.
4.4 Ejercicios propuestos
1. Determine el inverso multiplicativo de 1− i.
2. Obtenga el producto de 1 + i y 1− i.
3. Calcule 1 + i + i2 + i3 + i4 + 15.
4. Determine (−3 + 4i)(4− 3i).
5. Calcule
5− 2i
4 + 7i
.
6. Determine i(1− 2i)− i(3 + 2i) + 2(1− 3i).
7. Obtenga
1 + i
1− i .
8. Calcule
1 + i2n
1− i2n para cada número natural n.
9. Calcule (x + yi)3 y (x− yi)3.
10. Calcule (x + yi)4 y (x− yi)4.
11. Calcule (x + yi)5 y (x− yi)5.
12. Encuentre las cuatro raíces cuartas de la unidad y las cinco raíces quintas de
la unidad.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 113
13. Si
ω =
−1 + i
√
3
2
y µ =
−1− i
√
3
2
,
calcule la suma, producto, cuadrado, cubo de ω y µ, y de ω y µ. Determine
también los números
ω2 + ω + 1 y µ2 − µ + 1.
Las letras ω y µ pertenecen al alfabeto griego (son minúsculas) y su nombres
(y pronunciación en español) son “omega” y “my”, respectivamente.
14. Encuentre todos los números complejos tales que su cuadrado sea igual al
cuadrado de su conjugado.
15. Demuestre que la suma de un número complejo y su conjugado es igual a dos
veces la parte real del número.
16. Determine la resta de un número complejo y su conjugado.
17. Resuelva la ecuación
z + z = 1
en C.
18. Resuelva la ecuación
z− z = i.
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	Expresiones algebraicas
	Introducción
	Términos y factores
	La ``descomposición en factores''
	Ejercicios propuestos
	Tema
	Introducción
	Resolver una ecuación
	Ecuación con una incógnita
	La ecuación de segundo grado
	Ejercicios propuestos
	Inecuaciones
	Introducción
	Intervalos
	Inecuación con una incógnita
	Valor absoluto
	Ejercicios propuestos
	Números complejos
	Introducción
	El cuerpo de los números complejos
	Raíz cuadrada y la ecuación de segundo grado
	Ejercicios propuestos