Semana_08_Integrais_de_superficie_Lista

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas
Engenharia Elétrica
Cálculo Aplicado III (EE0112)
Aula 8
Integrais de Superf́ıcie e Teorema de Stokes - Lista de
Exerćıcios1
1. Determine uma representação parametrizada para a superf́ıcie.
(a) A parte do hiperboloide eĺıptico y = 6− 3x2 − 2z2 que está à direita do plano
xz.
(b) A parte do cilindro x2 + z2 = 1 que está entre os planos y = −1 e y = 3.
2. Calcule a integral de superf́ıcie
(a)
∫
S
xzdS, onde S é o triangular com vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
(b)
∫∫
S
xdS, onde S é a superf́ıcie y = x2 + 4z, 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 2
(c)
∫
S
yDS, onde S é a parte do plano 3x + 2y + z = 6 que está no primeiro
octante
3. Calcule a integral de superf́ıcie
∫∫
S
−→
F • dS para o campo vetorial dado
−→
F e a
superf́ıcie orientada S. Em outras palavras, determine o fluxo de
−→
F através de S.
(a)
−→
F (x, y, z) = ey
−→
i + yex
−→
j + xy
−→
k ,
onde S é a parte do paraboloide z = x2 + y2 que está acima do quadrado
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, e tem orientação ascendente.
(b)
−→
F (x, y, z) = x2y
−→
i + 3xy2
−→
j + 4y3
−→
k
onde S é a parte do paraboloide eĺıptico z = x2 + y2 − 9 que está abaixo do
quadrado 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, e tem orientação descendente.
(c)
−→
F (x, y, z) = x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k
onde S é a esfera x2 + y2 + z2 = 9. Use a orientação (para o exterior) positiva
4. Use o Teorema de Stokes para calcular
∫
C
−→
F • dr. Em cada caso, C é orientada no
sentido anti-horário quando vista de cima.
(a)
−→
F (x, y, z) = xz
−→
i + 2y
−→
j + 3xy
−→
k ,
onde C é a fronteira da parte do plano 3x + y + z = 3 no primeiro octante
(b)
−→
F (x, y, z) = z2
−→
i + y2
−→
j + xy
−→
k ,
onde C é o triângulo com vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 2)
1Elaborado pelo Prof. Artino Quintino da Silva Filho em 07/03/2021
Cálculo Aplicado III (EE0112) Página 1 de 1