Apêndice_e_aulas_atividade_-_Estruturas_Hiperestáticas

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AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
 
 
 
 
AULA 
ATIVIDADE 
TUTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso: 
Engenharia Civil 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
Curso: Engenharia Civil 
Professor(a): Gabriel Trindade Caviglione 
Semestre: 6º/7º 
Disciplina: Estruturas Hiperestáticas 
Unidade de Ensino: 1 
Competência(s): Conhecer o comportamento de estruturas hiperestáticas, entender a 
classificação e definir o grau de hiperestaticidade de uma estrutura. Determinar a 
distribuição dos esforços internos solicitantes em estruturas hiperestáticas, através dos 
métodos das Forças e Deslocamentos. 
Conteúdos: Conceitos Gerais de Estruturas. Grau de hiperestaticidade. 
Teleaula: 1 Data: 10/02/2021 
 
Título: Grau de hiperestaticidade 
 
 
Prezado(a) Tutor(a), 
Segue a Aula Atividade proposta: 
A aula atividade tem a finalidade de promover o autoestudo das competências e conteúdos 
relacionados à Unidade 1 de Ensino da disciplina de Estruturas Hiperestáticas 
Ela terá a duração de 1 hora e está organizada em duas etapas: “Avaliação de resultados 
de aprendizagem” e “Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão”. 
Avaliação de resultados de aprendizagem 
 
Questão 1 – Determine se o grau de hiperestaticidade da estrutura abaixo: 
 
 
a) 0 
b) 1 
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c) -1 
d) 2 
e) 3 
 
Gabarito: E. 
G=R-(n+r) 
G=7-(3+1)=7-4=3 
 
Questão 2 – Determine o grau de hiperestaticidade da estrutura abaixo: 
 
 
a) 0 
b) 1 
c) -1 
d) 2 
e) 3 
 
Gabarito: alternativa D. 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
G=R-(n+r) 
G=7-(3+2)=2 
 
Questão 3 – Determine o grau de hiperestaticidade da estrutura abaixo: 
 
a) 0 
b) 1 
c) -1 
d) 2 
e) 3 
 
Gabarito: D. 
G=R+b-(2.n) 
G=3+13 (2.7)=16-14=2 
 
Questão 4 – Determine as reações de apoio da estrutura abaixo e seus esforços internos 
solicitantes (diagramas de cortante e momento fletor). 
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GABARITO: 
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REAÇÕES DE APOIO 
∑Fh=0; 
35.cos30-Ha=0; Há=30,31 kN 
 
∑Fv=0; 
-35.sen30-10.2.2/2+Va+Vb=0 
 
∑Ma=0; 
-10.2.(2/2+1)-35.sen30.0,5+2.Vb=0; Vb= +24,375 
Va=13,125 kN 
 
ESFORÇOS INTERNOS 
 
Ponto A 
𝑄 = +13,125𝑘𝑁 
𝑀 = 0 𝑘𝑁𝑚 
 
Ponto C 
𝑀 = +13,125.0,5 = +6,56 𝑘𝑁m 
𝑄 = +13,125 𝑘𝑁 
𝑄 = +13,125 − 17,5 = −4,375 𝑘𝑁 
 
Ponto D 
𝑀 = +13,125.1 − 17,5.0,5 = +4,375 𝑘𝑁𝑚 
𝑄 = +13,125 − 17,5 = −4,375 𝑘𝑁 
 
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Engenharia Civil 
Ponto B (olhando à direita) 
𝑀 = −10.1.0,5 = −5 𝑘𝑁𝑚 
𝑄 = +10.1 = +10,0 𝑘𝑁 
𝑄 = +10.1 − 24,375 = −14,375 𝑘𝑁 
 
MOMENTO FLETOR 
 
 
ESFORÇO CORTANTE 
 
 
 
Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão 
 
O que fazer? Realizar a atividade “Fechamento do Tópico da Unidade 
do Fórum de Discussão” descrita a seguir. 
Em quanto 
tempo? 
30 minutos. 
Quando? No decorrer da aula atividade. 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
Como? 1. Leia atentamente a questão reflexiva proposta pelo 
professor. 
2. Buscar esclarecimentos ou retirar possíveis dúvidas 
com o professor; 
3. Resolver a questão utilizando os conteúdos 
estudados nas webaulas e no Livro didático. 
4. Apresentar um resumo do processo de resolução 
para a mediação do professor. 
5. Compare sua resposta com as contribuições do 
professor. 
Por que? Para avaliar o nível de aprendizagem alcançado durante a 
TA. 
Com quem? Individualmente. 
 
Atividade do Fórum de Discussão 
Prezados alunos, tudo bem? 
Bem-vindos ao fórum de discussão da disciplina "Estruturas Hiperestáticas". Para 
acompanharmos os estudos das estruturas hiperestáticas é necessário conhecer o 
comportamento de estruturas isostáticas. Na verdade, estruturas hiperestáticas são esturras 
isostáticas com alguns apoios extras, sendo que seu comportamento é sensivelmente 
diferente. 
1) Neste sentido quero que vocês pesquisem sobre estruturas hiperestáticas e tentem 
defini-las, identificando e comparando-as com estruturas do seu cotidiano. 
2) Além disso quero que vocês relembrem conceitos de estruturas isostáticas e resolvam 
a viga abaixo e determinando as reações de apoio: 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
 
 
As estruturas hiperestáticas são definidas como aquelas em que o número de reações 
disponíveis é maior que o número de equações de equilíbrio da estática. Sendo assim, são 
estruturas que permitem a redistribuição de esforços no caso da falha de um apoio e, 
portanto, permitem uma maior segurança estrutural. 
 
As reações de apoio são: 
Va=90,7 kN, Vb= 22,6 kN, Ha=25 kN 
𝐹𝑥 = 50. 𝑐𝑜𝑠60 − 𝐻𝑎 = 0; 𝐻𝑎 = 25 𝑘𝑁 
𝑀𝑎 = 50. 𝑠𝑒𝑛60.2 − 10.7.3,5 − 7. 𝑉𝑏 = 0; 𝑉𝑏 = 22,6 𝑘𝑁 
𝐹𝑦 = 50. 𝑠𝑒𝑛60 + 10.7 − 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 0; 𝑉𝑎 = 90,7 𝑘𝑁 
Preparando-se Para a Próxima Teleaula 
 
Prepare-se melhor para o nosso próximo encontro organizando o autoestudo da seguinte 
forma: 
1. Planeje seu tempo de estudo prevendo a realização de atividades diárias. 
2. Estude previamente as webaulas e a Unidade de Ensino antes da teleaula. 
3. Produza esquemas de conteúdos para que sua aprendizagem e participação na 
teleaula seja proveitosa. 
4. Utilize o fórum para registro das atividades e atendimento às dúvidas e/ou 
dificuldades. 
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Bom trabalho a todos! 
Prof. Gabriel Trindade Caviglione 
 
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AULA 
ATIVIDADE 
TUTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso: 
Engenharia Civil 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
Curso: Engenharia Civil 
Professor(a): Gabriel Trindade Caviglione 
Semestre: 6º/7º 
Disciplina: Estruturas Hiperestáticas 
Unidade de Ensino: 2 
Competência(s): Conhecer o comportamento de estruturas hiperestáticas. Determinar a 
distribuição dos esforços internos solicitantes em estruturas hiperestáticas, através dos 
métodos das Forças e Deslocamentos 
Conteúdos: Conceitos Gerais de Estruturas. Grau de hiperestaticidade. 
Teleaula: 2 Data: 17/02/2021 
 
 
Título: Método das Forças e do Deslocamento. 
 
Prezado (a) tutor (a), 
Segue a Aula Atividade proposta: 
A aula atividade tem a finalidade de promover o autoestudo das competências e conteúdos 
relacionados à Unidade 2 de Ensino da disciplina de Estruturas Hiperestáticas 
Ela terá a duração de 1 hora e está organizada em duas etapas: “Avaliação de resultados 
de aprendizagem” e “Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão”. 
Avaliação de resultados de aprendizagem 
 
Questão 1 – Coloque as afirmativas a seguir em ordem cronológica para usar-se do método 
das forças. Lembre-se de que alguma (s) afirmação pode não se referir ao método das 
forças (N). 
 
( ) Escolher os apoios a serem removidos. 
( ) Encontrar as reações de apoio e Esforços. 
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( ) Determinar os coeficientes 𝛿𝑖0 e 𝛿𝑖𝑗 
( ) Separar os casos de carregamento, real e unitários. 
( ) Resolver o Sistema de Equações de compatibilidade 
 
Assinale a alternativa com a ordem correta, de cima para baixo: 
a) 3, 2, 1, N, 5. 
b) 3, 5, 1, 4, 2. 
c) 3, 1, 4, 2, 5. 
d) 1, 5, 4, 2, 3. 
e) 1, 3, N, 4, 5. 
Gabarito: D. 
 
(1) Escolher os apoios a serem removidos. 
(5) Encontrar as reações de apoio e Esforços. 
(4) Determinar os coeficientes 𝛿𝑖0 e 𝛿𝑖𝑗 
(2) Separar os casos de carregamento, real e unitários. 
(3) Sistema de Equações de compatibilidade 
 
Questão 2 –
No caso de estruturas com vários graus de hiperestaticidade quais dos métodos 
é de aplicação mais rápida e fácil: 
a) Método das Forças 
b) Método dos Trabalhos Virtuais 
c) Método dos Deslocamentos 
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d) Método dos Elementos de Contorno 
e) Método dos Elementos Finitos 
Gabarito: C. 
Método dos Deslocamentos – ver pg. 82. 
 
Questão 3 – Determine as reações de apoio da viga abaixo pelo método das forças. Dica: 
Retire o apoio B. 
 
a) Ra=9,6 kN; Rb=44,5 kN; Rc=15,9 kN. 
b) Ra=6,4 kN; Rb=24,6 kN; Rc= 44,5 kN. 
c) Ra=24,1 kN; Rb=49,6 kN; Rc= 23,5 kN. 
d) Ra=12,2 kN; Rb=7,6 kN; Rc= 8,4 kN. 
e) Ra=18,8 kN; Rb=32,6 kN; Rc= 14,8 kN. 
 
Gabarito: alternativa A. 
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Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão 
 
O que fazer? Realizar a atividade “Fechamento do Tópico da Unidade 
do Fórum de Discussão” descrita a seguir. 
Em quanto 
tempo? 
30 minutos. 
Quando? No decorrer da aula atividade. 
Como? 1. Leia atentamente a questão reflexiva proposta pelo 
professor. 
2. Buscar esclarecimentos ou retirar possíveis dúvidas 
com o professor; 
3. Resolver a questão utilizando os conteúdos 
estudados nas webaulas e no Livro didático. 
4. Apresentar um resumo do processo de resolução 
para a mediação do professor. 
5. Compare sua resposta com as contribuições do 
professor. 
Por que? Para avaliar o nível de aprendizagem alcançado durante a 
TA. 
Com quem? Individualmente. 
 
Atividade do Fórum de Discussão 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
 
Prezados alunos, tudo bem? 
Bem-vindos ao fórum de discussão da disciplina "Estruturas Hiperestáticas". 
Para conhecermos e entendermos o comportamento de estruturas hiperestáticas 
precisamos saber calcular os esforços e reações destas estruturas. Existem diversos 
métodos para realizar estes cálculos. Quero pedir, a você aluno, que defina o conceito de 
estruturas hiperestáticas. 
Sugiro que faça um resumo dos métodos dos deslocamentos e do método das forças, 
registrando passo a passo, fórmulas matemáticas, e descrições da parte de geometria da 
estrutura. 
Este resumo vai ajudá-lo na hora do estudo, portanto capriche!! 
 
Como tarefa complementar, sugiro que façam a modelagem computacional da viga abaixo 
pelo software ftool e tentem resolver a viga, pelo método dos deslocamentos: 
 
Deixo o link para download do software ftool: 
https://www.ftool.com.br/Ftool/ 
Postem os resultados no nosso Fórum!!! 
 
https://www.ftool.com.br/Ftool/
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Engenharia Civil 
As estruturas hiperestáticas são definidas como aquelas em que o número de reações 
disponíveis é maior que o número de equações de equilíbrio da estática. Sendo assim, são 
estruturas que permitem a redistribuição de esforços no caso da falha de um apoio e, 
portanto, permitem uma maior segurança estrutural. 
 
Preparando-se Para a Próxima Teleaula 
 
Prepare-se melhor para o nosso próximo encontro organizando o autoestudo da seguinte 
forma: 
1. Planeje seu tempo de estudo prevendo a realização de atividades diárias. 
2. Estude previamente as webaulas e a Unidade de Ensino antes da teleaula. 
3. Produza esquemas de conteúdos para que sua aprendizagem e participação na 
teleaula seja proveitosa. 
4. Utilize o fórum para registro das atividades e atendimento às dúvidas e/ou 
dificuldades. 
 
Bom trabalho a todos! 
Prof. Gabriel Trindade Caviglione 
 
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AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
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ATIVIDADE 
TUTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso: 
Engenharia Civil 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
Curso: Engenharia Civil 
Professor(a): Gabriel Trindade Caviglione 
Semestre: 6º/7º 
Disciplina: Estruturas Hiperestáticas 
Unidade de Ensino: 3 
Competência(s): Conhecer o comportamento de estruturas submetidas à cargas móveis, 
compreender a influência da hiperestaticidade da estrutura nestes comportamentos. 
Determinar as linhas de influências em estruturas isostáticas e hiperestáticas. 
Conteúdos: Conceitos Gerais de Estruturas. Grau de hiperestaticidade. 
Teleaula: 3 Data: 24/02/2021 
 
Título: Linhas de influência: estruturas hiperestáticas 
 
Prezado (a) tutor (a), 
Segue a Aula Atividade proposta: 
A aula atividade tem a finalidade de promover o autoestudo das competências e conteúdos 
relacionados à Unidade 3 de Ensino da disciplina de Estruturas Hiperestáticas 
Ela terá a duração de 1 hora e está organizada em duas etapas: “Avaliação de resultados 
de aprendizagem” e “Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão”. 
Avaliação de resultados de aprendizagem 
 
Questão 1 – Avalie a viga abaixo, considerando que a carga de 10 kN se movimenta da 
esquerda para a direita. 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
 
Em qual das posições para a carga de 10 kN teremos a maior reação de apoio em B? 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) II e IV 
 
Gabarito: C. 
Quando a carga estiver sobre o Apoio B, sua totalidade será transmitida para o apoio, ou 
seja, o caso mais crítico. 
 
 
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Questão 2 – Avalie a viga abaixo, considerando que a carga de 10 kN se movimenta da 
esquerda para a direita. 
 
Em qual das posições para a carga de 10 kN teremos a menor reação de apoio em A? 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) II e IV 
 
Gabarito: D. 
Quando a carga estiver à direita do Apoio B, ela deve induzir poucas forças em A. 
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Questão 3 – Desenhe a linha de influência da viga isostática abaixo, para uma carga 
distribuída, para avaliar os esforços na seção S: 
 
 
 
Gabarito: 
h=x(l-x)/l=3-(5-3)/5=1,2 
 
 
Questão 4 – A viga da figura abaixo está submetida a uma carga móvel pontual P= 25 kN, 
que se move da esquerda para direita. Fora traçada uma linha de influência para a seção S, 
a qual se deseja determinar as armaduras e dimensionamento. 
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Pede-se então, assinalar a alternativa com o maior momento positivo e maior momento 
negativo na seção S: 
a) 19,0 kNm; -8,5 kNm. 
b) 25,0 kNm; -13,5 kNm. 
c) 8,5 kNm; -19,0 kNm. 
d) 29,3 kNm; -18,1 kNm. 
e) 12,0 kNm; -4,5 kNm. 
 
Gabarito: A. 
M + =25.0,76=19,0 kNm. 
M - =25.0,34=-8,5 kNm. 
Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão 
 
O que fazer? Realizar a atividade “Fechamento do Tópico da Unidade 
do Fórum de Discussão” descrita a seguir. 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
Em quanto 
tempo? 
30 minutos. 
Quando? No decorrer da aula atividade. 
Como? 1. Leia atentamente a questão reflexiva proposta pelo 
professor. 
2. Buscar esclarecimentos ou retirar possíveis dúvidas 
com o professor; 
3. Resolver a questão utilizando os conteúdos 
estudados nas webaulas e no Livro didático. 
4. Apresentar um resumo do processo de resolução 
para a mediação do professor. 
5. Compare sua resposta com as contribuições do 
professor. 
Por que? Para avaliar o nível de aprendizagem alcançado durante a 
TA. 
Com quem? Individualmente. 
 
Atividade do Fórum de Discussão 
Prezados alunos, tudo bem? 
Bem-vindos ao fórum de discussão da disciplina "Estruturas Hiperestáticas". Para 
projetarmos e dimensionarmos estruturas corretamente precisamos conhecer o 
comportamento delas quando submetidas a cargas móveis. Existem
diversas estruturas que 
estão submetidas a cargas que se movimentam, podemos citar pontes, passarelas, pontes 
rolantes entre outras. 
Nestes casos, como podemos tratar as estruturas? Como podemos saber quais serão os 
esforços críticos? 
Como você faria para analisar? Analisaria a carga em várias posições? 
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Engenharia Civil 
Quero que você pesquise como tratamos essas estruturas, como avaliamos as cargas e 
seções críticas, respondendo sobre a influência de uma carga móvel sobre a estrutura. 
Um exercício interessante é modelar várias vigas no Ftool com cargas em diferentes 
posições e então avaliar qual a pior posição: 
 
 
Para analisarmos as cargas móveis em estruturas usamos a técnica de linha de influência, 
para analisarmos o comportamento da estrutura. Desta maneira conseguimos saber como a 
posição da carga influencia em cada esforço em uma determinada seção. Sendo assim, é 
possível, dimensionar a estrutura de maneira segura, conhecendo o caso crítico de cada 
seção. 
Preparando-se Para a Próxima Teleaula 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
 
Prepare-se melhor para o nosso próximo encontro organizando o autoestudo da seguinte 
forma: 
1. Planeje seu tempo de estudo prevendo a realização de atividades diárias. 
2. Estude previamente as webaulas e a Unidade de Ensino antes da teleaula. 
3. Produza esquemas de conteúdos para que sua aprendizagem e participação na 
teleaula seja proveitosa. 
4. Utilize o fórum para registro das atividades e atendimento às dúvidas e/ou 
dificuldades. 
 
Bom trabalho a todos! 
Prof. Gabriel Trindade Caviglione 
 
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ATIVIDADE 
TUTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso: 
Engenharia Civil 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
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Curso: Engenharia Civil 
Professor(a): Gabriel Trindade Caviglione 
Semestre: 6º/7º 
Disciplina: Estruturas Hiperestáticas 
Unidade de Ensino: 4 
Competência(s): Conhecer o comportamento de estruturas submetidas à cargas móveis, 
compreender a influência da hiperestaticidade da estrutura nestes comportamentos. 
Determinar as linhas de influências em estruturas isostáticas e hiperestáticas. 
Conteúdos: Conceitos Gerais de Estruturas. Grau de hiperestaticidade. 
Teleaula: 4 Data: 03/03/2021 
 
Título: Método da Rigidez e Processo de Cross 
 
Prezado (a) tutor (a), 
Segue a Aula Atividade proposta: 
A aula atividade tem a finalidade de promover o autoestudo das competências e conteúdos 
relacionados à Unidade 4 de Ensino da disciplina de Estruturas Hiperestáticas 
Ela terá a duração de 1 hora e está organizada em duas etapas: “Avaliação de resultados 
de aprendizagem” e “Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão”. 
Avaliação de resultados de aprendizagem 
Questão 1 – Coloque as afirmativas a seguir em ordem cronológica para usar-se do método 
de análise matricial de estruturas. Lembre-se de que alguma (s) afirmação pode não se 
referir ao método de análise matricial (N). 
 
( ) Montar a Matriz de rigidez global 
( ) Numerar os nós e deslocamentos 
( ) Resolver o Sistema de Equações 
( ) Montar a Matriz de rigidez de cada elemento 
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( ) Determinar os Esforços Internos Solicitantes 
 
Assinale a alternativa com a ordem correta, de cima para baixo: 
a) 3, 2, 1, N, 5. 
b) 3, 5, 1, 4, 2. 
c) 3, 1, 4, 2, 5. 
d) 1, 2, 5, 4, 3. 
e) 1, 3, N, 4, 5. 
Gabarito: C. 
 
(3) Montar a Matriz de rigidez global 
(1) Numerar os nós e deslocamentos 
(4) Resolver o Sistema de Equações 
(2) Montar a Matriz de rigidez de cada elemento 
(5) Determinar os Esforços Internos Solicitantes 
 
Questão 2 – Determine as reações de apoio da viga abaixo pelo método da rigidez, ou seja, 
pela análise matricial. 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
a) Ra=9,6 kN; Rb=44,5 kN; Rc=15,9 kN. 
b) Ra=6,4 kN; Rb=24,6 kN; Rc= 44,5 kN. 
c) Ra=24,1 kN; Rb=49,6 kN; Rc= 23,5 kN. 
d) Ra=12,2 kN; Rb=7,6 kN; Rc= 8,4 kN. 
e) Ra=18,8 kN; Rb=32,6 kN; Rc= 14,8 kN. 
 
Gabarito: alternativa A. 
 
 
Questão 3 – Determine os diagramas de momento da viga anterior, utilizado o método de 
Cross, assinale a alternativa que corresponde ao momento negativo em cima do apoio B. 
Lembre-se que você pode conferir os resultados, pois você já tem as reações de apoio. 
 
 
a) Mb= 12,39 kNm; 
b) Mb= 19,21 kNm; 
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c) Mb= 21,72 kNm; 
d) Mb= 16,24 kNm; 
e) Mb= 10,23 kNm; 
 
Gabarito: alternativa D. 
 
RESPOSTA FTOOL 
 
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Engenharia Civil 
Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão 
 
O que fazer? Realizar a atividade “Fechamento do Tópico da Unidade 
do Fórum de Discussão” descrita a seguir. 
Em quanto 
tempo? 
30 minutos. 
Quando? No decorrer da aula atividade. 
Como? 1. Leia atentamente a questão reflexiva proposta pelo 
professor. 
2. Buscar esclarecimentos ou retirar possíveis dúvidas 
com o professor; 
3. Resolver a questão utilizando os conteúdos 
estudados nas webaulas e no Livro didático. 
4. Apresentar um resumo do processo de resolução 
para a mediação do professor. 
5. Compare sua resposta com as contribuições do 
professor. 
Por que? Para avaliar o nível de aprendizagem alcançado durante a 
TA. 
Com quem? Individualmente. 
 
Atividade do Fórum de Discussão 
Prezados alunos, tudo bem? 
Bem-vindos ao fórum de discussão da disciplina "Estruturas Hiperestáticas". Nesta unidade 
04 vamos conversar sobre métodos de resolução de Estruturas Hiperestáticas aplicáveis à 
computadores. O advento da computação permitiu ao eng Calculista que se dedicasse mais 
a concepção do que ao cálculo propriamente dito. Antigamente após a concepção estrutural, 
era feito o calculo manualmente, que chegava a demorar meses, sem alterar a concepção 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
estrutural. Atualmente os cálculos são realizados em questões de minutos, no máximo horas, 
e isso permitiu ao engenheiro testar diversas concepções estruturais de maneira a reduzir o 
custo da estrutura. 
Esses avanços só forma possíveis devido aos softwares de análise e projeto estrutural. 
Neste fórum quero convidar você, aluno, a pesquisar sobre os softwares comerciais mais 
usados para projeto e análise estrutural (structural analysis) bem como o custo de suas 
licenças. Comente também especificidades sobre os softwares. 
Os principais softwares comerciais para análise estrutural são: 
EBERICK 
TQS 
SAP 
STRAP 
MASTAN 
TEKLA STRUCTURES 
ANSYS 
ADINA 
Cada um deles tem um propósito diferente, o TQS serve para projeto de estruturas de 
concreto, o TEKLA para estruturas metálicas e assim por diante. Os preços são muito 
variáveis, sendo que o objetivo aqui é que o aluno perceba que são softwares caros e que 
Preparando-se Para a Próxima Teleaula 
 
Prepare-se melhor para o nosso próximo encontro organizando o autoestudo da seguinte 
forma: 
1. Planeje seu tempo de estudo prevendo a realização de atividades diárias. 
2. Estude previamente as webaulas e a Unidade de Ensino antes da teleaula. 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharia Civil 
3. Produza esquemas de conteúdos para que sua aprendizagem e participação na 
teleaula seja proveitosa. 
4. Utilize o fórum para registro das atividades e atendimento às dúvidas e/ou 
dificuldades. 
 
Bom trabalho a todos! 
Prof. Gabriel Trindade Caviglione 
 
APENDICE_U1.pdf
APÊNDICE
UNIDADE 1
Estruturas 
hiperestáticas
U1 - Grau de hiperestaticidade 2
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
UNIDADE 1: Grau de hiperestaticidade 
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 1.1
1. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: Uma das vantagens da estrutura hiperestática é 
a geração de uma economia no uso de material, pois as seções dos 
elementos são menores do que na estrutura isostática, portanto, se 
fosse hiperestática, a estrutura poderia ter seções menores.
2. Alternativa correta: E.
Resposta comentada: Para que seja feita a classificação correta dos 
pórticos, é necessário que seja avaliado o grau de hiperestaticidade 
do elemento. A classificação correta dos croquis apresentados é: (a) 
hiperestático, com n = 4; (b) isostático, com n = 3 ; hipostático, com 
n = 2 .
3. Alternativa correta: D.
Resposta comentada: De acordo com o croqui que lhe foi apresentado, 
a viga possui um total de n = 3, sendo que o apoio móvel possui n =1 
e o apoio fixo possui n = 2, conforme detalhado:
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Grau de hiperestaticidade 3
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 1.2
1. Alternativa correta: C.
Resposta comentada: Para a viga dada, a solução dos valores da soma 
das reações de apoio (R), das equações de equilíbrio (E) e do número 
de equações referentes às rótulas (r) é:
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 1.3
1. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: Uma estrutura é considerada com múltiplos 
graus de hiperestaticidade quando o número de reações 
desconhecidas excede o número das equações de equilíbrio da 
estática, e esta diferença é superior a 1. 
2. Alternativa correta: E.
Resposta comentada: Quando o número de reações desconhecidas 
excede o número das equações de equilíbrio da estática, e esta 
diferença é igual a 1.
3. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: Resposta Comentada: A resposta correta é: R = 
3; b = 14; n = 8; g = 1, encontrada pelas fórmulas:
R = + + + =2 1 1 2 6
E = 3
r = 2
R = + =1 2 3
b =14
n n= → =8 2 16
g = + − =( ) ( * )3 14 2 8 1
U1 - Grau de hiperestaticidade 4
2. Alternativa correta: D.
Resposta comentada: Conforme croqui dado:
3. Alternativa correta: A.
Resposta comentada: Para o pórtico proposto, tem-se:
Portanto, este pórtico possui quatro graus de hiperestaticidade. 
Portanto, conforme solução da equação, a viga possui três graus de 
hiperestaticidade
g R E r= − +( )
R = 9
E = 3
r = 2
∴ = − + =g 9 3 2 4( )
g R E r= − +( )
R = 6
E = 3
r = 0
∴ =g 3
APENDICE_U2.pdf
U2 - Método das forças e do deslocamento1
APÊNDICE
UNIDADE 2
Estruturas 
hiperestáticas
U2 - Método das forças e do deslocamento2
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
UNIDADE 2: Método das forças e do deslocamento
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 2.1
1. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: Para identificar se irá ocorrer uma expansão 
térmica e/ou uma dilatação térmica, basta substituir os valores das 
variações de temperatura nas fibras externa e interna nas expressões 
das deformações dq e dL que foram apresentadas no texto, e verificar 
se o resultado será nulo ou diferente de zero. Analisando essas mesmas 
expressões, podemos determinar os sinais das deformações. Nota-se 
que, caso o resultado de dq seja positivo, a temperatura, e, portanto, o 
alongamento da fibra interna é maior do que o da fibra externa, já que 
na expressão devemos determinar o valor de T Ti e−( ), ou seja, ocorrerá 
tração na fibra interna, e caso seja positivo a tração será na fibra 
externa. Já no caso da dilatação térmica, como na expressão de dL 
empregamos a variação de temperatura média, caso a deformação 
seja positiva, ocorrerá um alongamento (tração) do eixo, e caso seja 
negativa, ocorrerá um encurtamento (compressão) do eixo. 
2. Alternativa correta: C.
Resposta comentada: Como não existe nenhum carregamento 
real atuando no pórtico, e como os recalques de apoio provocam 
apenas deslocamentos de corpo rígido nas estruturas, sem apresentar 
deformações, o trabalho virtual interno será nulo. Os recalques de 
apoio farão com que as reações de apoio virtuais realizem trabalhos 
virtuais externos. Como os trabalhos virtuais externos devem ser iguais 
aos internos, a soma de todos os trabalhos virtuais externos será nula. 
Para determinar as reações de apoio virtuais basta aplicar uma força 
virtual unitária horizontal no ponto C, e pelas equações de equilíbrio, 
determinar as reações virtuais A x' , A y' e M A' . Aplicando uma força 
unitária para a direita:
U2 - Método das forças e do deslocamento3
F Ay y= ⇒ =∑ 0 0'
F A A kN A kN para a esquerdax x x x= ⇒ + = ⇒ =− → =∑ 0 1 0 1 1' ' '
M M M kN m anti horárioA A A= ⇒ − ⋅ = ⇒ = −∑ 0 1 6 0 6' ' .
Igualando a soma dos trabalhos virtuais externos a zero, trabalhando 
com as dimensões em metros, e lembrando que quando a força e o 
deslocamento possuem sentido opostos, o trabalho é negativo:
1 0⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∆ ∆ ∆C x Ax y Ay A AA A M' ' ' q
∆ ∆C C cm+ ⋅ + ⋅ = ⇒ =−
−1 0 02 6 10 0 2 63, ,
Como o deslocamento é negativo, ele terá sentido oposto à força 
unitária aplicada.
3. Alternativa correta: E.
Resposta comentada: Note que a viga da figura é a mesma da Figura 
2.3a. Para a qual já determinamos a equação do momento fletor 
correspondente ao carregamento real. Portanto, para resolver a 
questão basta determinar a equação do momento fletor devido à 
carga unitária, e aplicar o PTV. Como queremos determinar o giro no 
ponto C, devemos aplicar um momento virtual unitário neste ponto. 
Ao aplicarmos um momento de 1 kN.m no sentido anti-horário, a 
viga apresentará um diagrama de momentos fletores constante de 1 
kN.m, com tração no lado de baixo, que por convenção adotamos 
como sendo um momento positivo. Assim, as equações de M ' e M e 
a aplicação do PTV ficam:
M M x' ,= =− ⋅1 7 5 2
1 1
7 5
2 10 5 10
1
10
7 5
2
8 40
8
5
2
0
8
⋅ = ⋅
− ⋅( )⋅
⋅ ⋅ ⋅
⇒ =− ⋅ ⋅ ⋅
−∫ ∫q q
,
,
x dx
x dx
q q=− ⋅
⋅
⇒ =−
1
10
7 5 8
3
0 01285
3, , rad
Como o giro é negativo, significa que ele tem sentido oposto ao 
momento unitário, ou seja, horário.
U2 - Método das forças e do deslocamento4
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 2.2
1. Alternativa correta: A.
Resposta comentada: : O deslocamento que devemos calcular é 
dado por:
∆ ∆B y BB e= + ⋅ =d d10 11 0
Para resolver a integral, devemos combinar na tabela o diagrama 
de 0 10 11 10
11
= + ⋅ ⇒ =−d d
d
d
B By y com o diagrama de d10 . Analisando a 
Figura 2.21, notamos que não existe nenhum diagrama com o mesmo 
formato de d11 , porém, pela superposição, o diagrama M0 pode ser 
obtido pela soma de um diagrama triangular com um diagrama 
parabólico, ou seja, o diagrama de M0 é a soma dos diagramas da 
terceira e quarta linhas. Já o diagrama M1 é igual ao diagrama da 
segunda coluna. Portanto, para resolver a integral, devemos obter 
o resultado da combinação da terceira linha com a segunda coluna 
e somá-lo com o resultado da combinação da quarta linha com a 
segunda coluna. O valor negativo na combinação dos diagramas é 
necessário, pois os diagramas de M0 e M1 tracionam as fibras da viga 
em lados opostos (M0 traciona em baixo e M1 traciona em cima). 
2. Alternativa correta: E.
Resposta comentada: Podemos aproveitar boa parte da resolução da 
viga da Figura 2.12, já que a única diferença entre elas é o recalque 
de apoio. Portanto, adotam-se os mesmos casos (0) e (1), apenas 
incluindo o recalque de apoio no caso (0). Como o recalque de apoio 
não é considerado no caso (1), d11será o mesmo da viga da Figura 2.12:
d11
3 3
5
310
3
10
3 10
3 33 10=
⋅ ⋅
=
⋅
= ⋅ −
E I
m kN,
Já na determinação de d10 , o recalque de apoio multiplicado pela 
reação de apoio vertical em A do caso (1), que vale 1 kN para baixo, 
produz um trabalho virtual externo, que deve ser acrescentado no 
lado esquerdo da equação do PTV:
1 1 15 10 1 1 15 10 6250
1010
2
0 10
2
5⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅
⋅
⋅
⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ =− ⇒− −∫d d d, ,'M
M dx
E I
L
110 0 0775=− , m
U2 - Método das forças e do deslocamento5
B
kN para cimay =− =−
−( )
⋅
=
−
d
d
10
11
3
0 0775
3 33 10
23 27
,
,
,
 
3. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: 
Aplicando o princípio do uso da integral do produto de duas funções 
(Figura 2.21), para encontrar d10 devemos combinar os diagramas de 
M0 e M1 da barra vertical e somar com a combinação dos diagramas 
de M0 e M1 da barra horizontal. Como, pela figura anterior, M0 é nulo 
tanto para a barra vertical quanto para a barra horizontal, o resultado 
dessa combinação será nulo.
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 2.3
1. Alternativa correta: E.
Resposta comentada: O número de deslocabilidades corresponde 
ao número de deslocamentos desconhecidos dos nós de uma 
estrutura. O nó A possui dois deslocamentos desconhecidos (rotação 
e deslocamento horizontal). O nó B possui três deslocamentos 
desconhecidos (rotação, deslocamento horizontal e deslocamento 
vertical). O nó C possui um deslocamento desconhecido (rotação). Já 
no nó D todos os deslocamentos são conhecidos (nulos).
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura | Diagramas de momentos fletores para os casos (0) e (1)
U2 - Método das forças e do deslocamento6
2. Alternativa correta: C.
Resposta comentada:
Conforme a Figura 2.27:
b b10 40
3 4
6
2 3 2
6
1=− ⋅ =− =− ⋅ =−kN kN
b b20 50
8
2
2 6
2
10= + ⋅ = =kN
b b30
2
60
28 6
8
2 6
12
12 8 6
8
2 6
12
12= ⋅ + ⋅ = =− ⋅ − ⋅ =−kN m kN m. .
3. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: Esses três coeficientes correspondem ao caso 
básico (1), ou seja, aplicação de um deslocamento unitário horizontal 
no nó B. Os valores dos coeficientes de rigidez são obtidos com base 
na Figura 2.28. Quando aplica-se esse deslocamento horizontal no 
nó B, nota-se que a barra horizontal sofre um deslocamento axial do 
nó B, surgindo forças axiais (na direção de D1) em suas extremidades. 
Assim, o valor de K11 para a barra horizontal é:
E A
L
kN m⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
−10 2 10
5
4 10
8 4
3 /
Já a barra vertical sofre um deslocamento transversal do nó B, 
surgindo forças transversais (na direção de D1 ) e momentos (na 
direção de D3 ) em suas extremidades. Assim o valor de K11 para a 
barra vertical é:
12 12 10 10
3
4 44 103
8 4
3
3⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
= ⋅
−E I
L
kN m, /
Já o valor de K31 para a barra vertical é:
6 6 10 10
3
6 67 102
8 4
2
3⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
= ⋅
−E I
L
kN m m, . /
Portanto, temos:
K kN m11
3 3 34 10 4 44 10 8 44 10= ⋅ + ⋅ = ⋅, , /
K21 0=
K kN m m31
36 67 10= ⋅, . /
APENDICE_U3.pdf
Estruturas 
Hiperestáticas
APÊNDICE
UNIDADE 3
U3 - Linhas de infl uência: estruturas hiperestáticas2
UNIDADE 3: Linhas de influência: estruturas hiperestáticas
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 3.1
1. Alternativa B.
Resposta comentada: Ao retirar uma vinculação para traçar uma 
linha de influência, deve-se, sempre, aplicar um deslocamento 
no sentido contrário à convenção positiva do efeito analisado. 
No caso do esforço cortante, a convenção positiva é aquela que 
provoca giro horário no trecho em que o esforço atua, ou seja, 
para baixo, à esquerda da seção, e para cima, à direita da seção. 
Assim, deve-se aplicar um deslocamento no sentido contrário, ou 
seja, deslocamento para cima, à esquerda da seção, e para baixo, à 
direita da seção.
2. Alternativa D.
Resposta comentada: Como se trata de uma carga concentrada 
móvel, para que o maior valor positivo de momento fletor seja 
encontrado, basta que a carga seja posicionada sobre a maior 
ordenada positiva e multiplicada por ela. Para que seja encontrado 
o maior valor negativo, basta que a carga seja posicionada sobre a 
maior ordenada negativa e multiplicada por ela:
M kN m M kN mS S
+ −= ⋅ = = ⋅ −( )=−25 1 25 25 2 50. .
3. Alternativa D.
Resposta comentada: Uma viga Gerber é um conjunto de vigas 
associadas; umas apoiadas sobre as outras por meio de rótulas. No 
caso da viga Gerber da Figura 3.14, a viga CDEF possui estabilidade 
própria (possui dois apoios) e a viga ABC não. Assim, a viga ABC 
apoia-se sobre a viga CDEF e o seu deslocamento acompanha o 
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
U3 - Linhas de influência: estruturas hiperestáticas3
deslocamento da viga CDEF. Basta, então, traçar a linha de influência 
da viga CDEF e completar o restante da linha de influência da viga 
Gerber com o deslocamento que a viga ABC irá apresentar ao 
acompanhar o deslocamento da viga CDEF. A LI MD da viga Gerber 
é apresentada na figura abaixo.
Figura | LI MD (m) para a viga Gerber
Fonte: elaborada pelo autor.
Como a seção D está no balanço da viga CDEF, somente o 
trecho à esquerda da seção apresentará movimento, girando no 
sentido horário em relação ao ponto D; no entanto, o trecho DEF 
permanece horizontal. Como a extremidade C do balanço da viga 
CDEF apresentou um deslocamento para cima e esse ponto está 
ligado à viga ABC pela rótula, a extremidade C da viga ABC também 
apresenta um deslocamento para cima. Como essa viga possui 
apenas um apoio, ela apresentará um giro em relação ao apoio B, 
resultando na linha de influência da figura acima.
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 3.2
1. Alternativa C.
Resposta comentada: Para traçar a linha de influência de esforço 
cortante na seção S, basta aplicar um deslocamento para cima, no 
lado esquerdo da seção S, e para baixo, no lado direito da seção S. 
Dessa forma, ocorrerá uma descontinuidade na linha de influência 
na seção S.
2. Alternativa A.
Resposta comentada: Para determinar onde deve-se aplicar a 
carga móvel, é necessário definir o aspecto da linha de influência 
de momento fletor na seção B da viga, conforme a figura abaixo.
U3 - Linhas de influência: estruturas hiperestáticas4
Para obter o valor máximo de momento fletor negativo na seção B 
da viga, devemos posicionar a carga móvel no trecho negativo da 
linha de influência (trecho CD).
3. Alternativa A.
Resposta comentada: Como a viga é uma vez hiperestática, 
conhecendo a linha de influência de um determinado esforço, é 
possível traçar a linha de influência de qualquer outro esforço por 
superposição de efeitos. Nesse caso, a superposição será:
LI M LI M M LI MB hip B isost B S hip( ) = ( ) + ⋅( )( ) ( )0 1
A linha de influência da viga isostática obtida pela remoção do 
vínculo que transmite o momento em B (caso (0)), assim como 
a viga isostática submetida a um momento unitário positivo em S 
(caso (1)), são apresentadas na Figura abaixo.
Figura | Linha de influência de momento fletor na seção B (m)
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura | Linha de influência de momento fletor em B (m) para a viga isostática e viga 
isostática submetida a um momento fletor unitário na seção S
Fonte: elaborada pelo autor.
Por equilíbrio de momentos fletores em S do trecho AS da viga do 
caso (1), temos (giro anti-horário positivo):
M A AB y y= ⇒− ⋅ + = ⇒ =∑ 0 6 1 0 0 1671 1( ) ( ) ,
O momento em B para a viga do caso (1), por sua vez, será:
MB( ) , ,1 0 167 10 1 1 167= ⋅ − + =
Assim, quando a carga móvel estiver a quatro metros do apoio 
A, o valor do momento fletor em B será a ordenada da linha de 
influência de momento fletor em B a quatro metros do apoio A:
M kN mB =− + ⋅ =−2 67 167 104 0 93, , , , .
U3 - Linhas de influência: estruturas hiperestáticas5
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 3.3
1. Alternativa D.
Resposta comentada: A linha de influência de momento fletor em 
C, com o posicionamento da carga móvel no trecho negativo da 
linha de influência, para resultar no valor mínimo de momento 
fletor, é apresentada na figura abaixo.
Figura – LI M
C
 (m) e posicionamento da carga móvel
2. Alternativa A.
Resposta comentada: A linha de influência de momento fletor em 
C e o posicionamento do trem-tipo para determinar os momentos 
máximo e mínimo encontram-se na figura abaixo.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura | LI M
C
 (m) e posicionamento do trem-tipo
U3 - Linhas de influência: estruturas hiperestáticas6
Fonte: elaborada pelo autor.
M kN mCmáx
móvel = ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅




 =30 12 20 0 4 10
12 5
2
74, , , .
MCmín
móvel = ⋅ −( )+ ⋅ −( )+ ⋅ − ⋅





+ ⋅ −30 18 20 0 6 10
18 3
2
10 0, , , ,, .8 2
2
101⋅





 =− kN m
3. Alternativa B.
Resposta comentada: O diagrama de força cortante para a carga 
permanente de 12 kN/m é apresentado na figura abaixo.
Figura | Diagrama de força cortante (kN)
Fonte: elaborada pelo autor.
A linha de influência de força cortante em C, com o posicionamento 
do trem-tipo encontra-se na figura a seguir.
U3 - Linhas de influência: estruturas hiperestáticas7
Figura | LI Q
C 
(m) e posicionamento do trem-tipo
Fonte: elaborada pelo autor.
Q kNCmáx =− + ⋅ + ⋅
⋅




⋅ =12 30 0 4 10
0 4 2
2
2 8, ,
Q kCmín =− + ⋅ −( )+ ⋅ −( )+ ⋅ −
⋅




⋅ =−12 30 0 6 20 0 2 10
0 6 3
2
2 52, , , NN
APENDICE_U4.pdf
UNIDADE 4
APÊNDICE
Estruturas 
Hiperestáticas
U4 - Método da Rigidez e Processo de Cross2
UNIDADE 4: Método da Rigidez e Processo de Cross
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 4.1
1. Alternativa D.
Resposta comentada: 
A matriz de rigidez de uma barra, segundo as coordenadas globais x 
e y, é dada por:
=
⋅
















θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
− −
− −
− −
− −
k E A
L
sen sen
sen sen sen sen
sen sen
sen sen sen sen
cos cos cos cos
cos cos
cos cos cos cos
cos cos
2 2
2 2
2 2
2 2
Substituindo os valores dados no exercício:
=
⋅


















− − °
− −
− − °
− −
° ° ° ° °
° ° ° ° ° °
° ° ° ° °
° ° ° ° ° °
k 4 10
2
sen sen
sen sen sen sen
sen sen
sen sen sen sen
cos cos cos cos60
cos cos
cos cos cos cos60
cos cos
60 60 60 60 60
60 60 60 60 60 60
60 60 60 60 60
60 60 60 60 60 60
6
2 2
2 2
2 2
2 2
=
















⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
k
0,5 10 0,87 10 0,5 10 0,87 10
0,87 10 1,5 10 0,87 10 1,5 10
0,5 10 0,87 10 0,5 10 0,87 10
0,87 10 1,5 10 0,87 10 1,5 10
6 6 6 6
6 6 6 6
6 6 6 6
6 6 6 6
 2. Alternativa E.
Resposta comentada: 
Cada nó da treliça possui dois graus de liberdade. Como a treliça 
possui 10 nós, no total serão 20 graus de liberdade em toda a treliça. A 
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
U4 - Método da Rigidez e Processo de Cross3
matriz de rigidez total da treliça é sempre quadrada e possui dimensão 
igual ao número de graus de liberdade total da estrutura. Portanto, a 
matriz de rigidez da treliça da figura apresentada terá dimensão 20x20. 
3. Alternativa B.
Resposta comentada: 
Cada barra irá contribuir na matriz de rigidez da treliça na posição 
correspondente aos graus de liberdade dos nós inicial e final da barra. 
Como a barra 1 possui os graus de liberdade 1 e 2 no nó inicial e 3 e 4 
no nó final, a matriz de rigidez dessa barra irá contribuir nas posições 
1, 2, 3 e 4. Já a barra 2 possui os graus de liberdade 1 e 2 no nó inicial 
e 5 e 6 no nó final. Então, a matriz de rigidez desta barra irá contribuir 
nas posições 1, 2, 5 e 6. Por fim, a barra 3 possui os graus de liberdade 
3 e 4 no nó inicial e 5 e 6 no nó final. Portanto, a matriz de rigidez desta 
barra irá contribuir nas posições 3, 4, 5 e 6. Assim, a matriz de rigidez 
da treliça será:
=
⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅
⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
− ⋅ ⋅
⋅ − ⋅
− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅




























K
0,378 10 0,096 10 0,25 10 0 0,128 10 0,096 10
0,096 10 0,072 10 0 0 0,096 10 0,072 10
0,25 10 0 0,25 10 0 0 0
0 0 0 0,33 10 0 0,33 10
0,128 10 0,096 10 0 0 0,128 10 0,096 10
0,096 10 0,072 10 0 0,33 10 0,096 10 0,402 10
6 6 6 6 6
6 6 6 6
6 6
6 6
6 6 6 6
6 6 6 6 6
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 4.2
1. Alternativa A.
Resposta comentada: 
A matriz de rigidez de um elemento de viga é dada por:
=
⋅ ⋅
−
⋅ ⋅
⋅ ⋅
−
⋅ ⋅
−
⋅
−
⋅ ⋅
−
⋅
⋅ ⋅
−
⋅ ⋅


































k
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
U4 - Método da Rigidez e Processo de Cross4
Substituindo os valores de =L m4 e ⋅ = ⋅E I kNm4 10 .4 2 , temos:
=
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅




















k
0,75 10 1,5 10 0,75 10 1,5 10
1,5 10 4 10 1,5 10 2 10
0,75 10 1,5 10 0,75 10 1,5 10
1,5 10 2 10 1,5 10 4 10
4 4 4 4
4 4 4 4
4 4 4 4
4 4 4 4
 2. Alternativa D.
Resposta comentada: 
Para encontrar os deslocamentos desconhecidos e as reações de 
apoio, basta resolver o seguinte sistema:
= ⇒






























=




























































F KD
F
F
F
F
F
F
K K K K K K
K K K K K K
K K K K K K
K K K K K K
K K K K K K
K K K K K K
D
D
D
D
D
D
g g
1
2
3
4
5
6
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
1
2
3
4
5
6
−






























= ⋅
− − −
−
−
−
− − −
−




























































R
M
R
M
D
D
10
0
5 10
1,94 0,83 0,44 0,67 1,5 1,5
0,83 3,33 0,67 0,67 1,5 1
0,44 0,67 0,44 0,67 0 0
0,67 0,67 0,67 1,33 0 0
1,5 1,5 0 0 1,5 1,5
1,5 1 0 0 1,5 2
0
0
0
0
1
1
3
3
4
1
2
Eliminando as linhas e colunas 3, 4, 5 e 6 (correspondentes aos 
deslocamentos nulos):
−









= ⋅




















D
D
10
0
5 10
1,94 0,83
0,83 3,33
4 1
2
=− ⋅ = ⋅− −D m D rad1,154 10 2,88 101
4
2
5
U4 - Método da Rigidez e Processo de Cross5
Substituindo esses valores no sistema, encontramos as reações de apoio:




















= ⋅
−
−
− −


















− ⋅
⋅










−
−
R
M
R
M
5 10
0,44 0,67
0,67 0,67
1,5 1,5
1,5 1
1,154 10
2,88 10
1
1
3
3
4
4
5
= = = =−R kN M kNm R kN M kNm3,50 4,83 . 6,50 7,22 .1 1 3 3 
3. Alternativa C.
Resposta comentada: 
A matriz de rigidez k' de um elemento de pórtico, com relação às 
coordenadas locais, é dada por:
=












































⋅
−
⋅
⋅ ⋅
−
⋅ ⋅
⋅ ⋅
−
⋅ ⋅
−
⋅ ⋅
−
⋅
−
⋅ ⋅
−
⋅
⋅ ⋅
−
⋅ ⋅
k'
E A
L
E A
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E A
L
E A
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
E I
L
0 0 0 0
0
12 6
0
12 6
0
6 4
0
6 2
0 0 0 0
0
12 6
0
12 6
0
6 2
0
6 4
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
Como o elemento está inclinado, é necessário utilizar a matriz de 
transformação T :
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
=
−
−
























T
sen
sen
sen
sen
cos 0 0 0 0
cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos 0
0 0 0 cos 0
0 0 0 0 0 1
Substituindo os valores =L m2 , ⋅ = ⋅E I kNm4 10 .4 2, 
U4 - Método da Rigidez e Processo de Cross6
⋅ = ⋅E A kN7,5 106 e θ = °30 , encontra-se a matriz de rigidez k do 
elemento, com relação às coordenadas globais:
= =




























⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅
⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅
− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
k T k'T
1,42 10 7,86 10 3 10 1,42 10 7,86 10 3 10
7,86 10 5,14 10 5,2 10
7,86.10 5,14 10 5,2 10
3 10 5,2 10 8 10 3 10 5,2 10 4 10
1,42 10 7,86.10 3 10 1,42 10 7,86 10 3 10
7,86 10 5,14 10 5,2 10 7,86 10 5,14 10 5,2 10
3 10 5,2 10 4 10 3 10 5,2 10 8 10
T
6 5 4 6 5 4
5 5 4 5 5 4
4 4 4 4 4 4
6 5 4 6 5 4
5 5 4 5 5 4
4 4 4 4 4 4
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 4.3
1. Alternativa D.
Resposta comentada: 
Para a carga uniformemente distribuída:
=
⋅
= =−M kNm M kNm4 5
12
8,33 . 8,33 .B C
2
Para a carga concentrada:
=
⋅
= =−M kNm M kNm35 5
8
21,875 . 21,875 .B C
Os valores totais em cada nó são obtidos pela soma do MEP provocado 
pela carga uniformemente distribuída com o MEP provocado pela 
carga concentrada:
= + = =−M kNm M kNm8,33 21,875 30,205 . 30,205 .B C 
 2. Alternativa A.
Resposta comentada: 
Os coeficientes de rigidez de cada trecho são:
=
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
= ⋅k E I E I k E I E I k E I E I4
5
0,8 3
4
0,75 3
3AB BC CD
Os coeficientes de distribuição do nó B são, então, calculados:
γ γ
γ =
⋅
+
=
=
⋅ ⋅ +
=
+
⋅ ⋅
⋅ + ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
E I
0,8 0,75
0,39
0,8
0,8 0,75
0,31 
0,75
0,8 0,75
0,29
E I
E I E I E I
E I
E I E I E I
E I E I E I
BA BC
BD
U4 - Método da Rigidez e Processo de Cross7
3. Alternativa B.
Resposta comentada: 
Como o pórtico possui apenas um nó intermediário (os outros dois 
são nós de extremidade), devemos equilibrar apenas o nó B. Os MEP’s 
são dados por:
• Trecho AB
= =M kNm M kNm0 . 0 .A B
• Trecho BC
=
⋅
= =M kNm M kNm3 4
8
6 . 0 .B C
2
Os coeficientes de distribuição já foram determinados. Assim, basta 
efetuar a distribuição de momentos no nó B. Como o momento total 
nesse nó é + = kNm6 0 6 . , a distribuição fica:
Fonte: elaborada pelo autor.
Somando os momentos em cada extremidade das barras, temos os 
momentos procurados:
Fonte: elaborada pelo autor.