AD1-GP-2014-1-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AD1 – Gabarito – 2014.1
Questão 1: [1,8 pts] No triângulo ABC, AB = AC e BÂC = 80◦. Os pontos D, E e F estão
sobre os lados BC, AC e AB, respectivamente. Se CE = CD e BF = BD, determine a medida
do ângulo ED̂F .
Solução: Seja o triângulo ABC, tal que AB = AC e BÂC = 80◦. Portanto o triângulo ABC é
isósceles. Além disso, CE = CD e BF = BD, onde os pontos D, E e F estão sobre os lados
BC, AC AB, respectivamente.
Como AB = AC, temos que B̂ = Ĉ =
180◦ − 80◦
2
= 50◦.
CE = CD ⇒ ∆EDC é isósceles
⇒ CD̂E = CÊD = 180
◦ − 50◦
2
= 65◦.
BF = BD ⇒ ∆BFD é isósceles
⇒ BF̂D = BD̂F = 180
◦ − 50◦
2
= 65◦.
Temos que CD̂E +BD̂F + ED̂F = 180◦ ⇒ ED̂F = 180◦ − 65◦ − 65◦ = 50◦.
Questão 2: [1,6 pts] AÔB é um ângulo cuja bissetriz é
−−→
OM e
−→
OC é uma semirreta interna ao
ângulo AÔM . Mostre que o ângulo CÔM é igual a semi-diferença dos ângulos BÔC e AÔC.
Solução: Seja AÔB um ângulo cuja bissetriz é
−−→
OM e
−→
OC é uma semirreta interna ao ângulo AÔM .
Considere BÔM = a, como
−−→
OM é bissetriz,
então BÔM = AÔM = a.
Tome CÔM = x, então
BÔC = a+ x e AÔC = a− x
Temos que
BÔC − AÔC = a+ x− (a− x) ⇒ BÔC − AÔC = 2x
Logo x =
BÔC − AÔC
2
. Ou seja, CÔM =
BÔC − AÔC
2
.
Geometria Plana – Gabarito AD1 2
Questão 3: [1,4 pts]
β
Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados
lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas,
conforme figura.
Determine a medida do ângulo β.
Solução: Temos que a medida do ângulo interno de um pentágono regular é :
Ai =
180◦(5− 2)
5
=
540◦
5
= 108◦
Note que no vértice em que está o ângulo β temos três ângulos internos de um pentágono regular e
o ângulo β. Dáı
3 · 108◦ + β = 360◦ ⇒ β = 360◦ − 324◦ ⇒ β = 36◦
Questão 4: [2,0 pts]
Os poĺıgonos ABCDEFGH, GHL e AHIJ
são regulares.
a) Calcule a medida do ângulo LÂI.
b) Mostre que I, A e B são colineares.
Solução:
a) Como o triângulo GLH é equilátero temos que seus ângulos internos são iguais e GĤL = 60◦.
O ângulo interno do octógono regular tem medida
Ai =
180◦(8− 2)
8
=
1080◦
8
= 135◦
O ângulo LĤA = 135◦ − 60◦ = 75◦. No ∆AHL temos AH = HL, pois o triângulo HGL é
equilátero. Dáı
HL̂A = HÂL =
180◦ − 75◦
2
=
105◦
2
= 52◦30′
O triângulo IHA é retângulo em H e isósceles (IH = AH), portanto IÂH = 45◦.
Assim
LÂI = LÂH +HÂI = 45◦ + 52◦30′ = 97◦30′
b) Do item a) vimos que BÂH = 135◦ e HÂI = 45◦, logo
BÂI = BÂH +HÂI = 135◦ + 45◦ = 180◦
Portanto I, A e B são colineares.
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Geometria Plana – Gabarito AD1 3
Questão 5: [2,2 pts] Em um triângulo ABC prolonga-se a altura AH de um segmento HD = HA
e unem-se os vértices B e C ao ponto D. Encontre os pares de triângulos congruentes na figura
assim formada, justificando seus casos de congruência.
Solução: Considere ∆ABC. Seja a altura AH, relativa a base BC, prolonga-se AH tal que
HD = HA, unem-se os vértices B e C ao ponto D.
Como

BH comum
BĤA = BĤD = 90◦
AH = HD
,pelo critério LAL temos que ∆ABH ≡ ∆DBH (1).
De (1) temos que
AB̂H = DB̂H (2)
Como

CH comum
AĤC = DĤC = 90◦
AH = HD
, pelo critério LAL temos que ∆ACH ≡ ∆DCH (3).
De (3) temos que
AĈH = DĈH (4)
∆ABC ≡ ∆BDC pois

AB̂C = DB̂C de (2)
AĈB = DĈB de (4)
BC comum
pelo critério ALA.
Logo os três pares de triângulos congruentes são ABH e DBH, AHC e DHC e ABC e BDC.
Questão 6: [1,0 pt] Por que ALL ou LLA não são casos de congruências entre triângulos?
Justifique sua resposta.
Solução: Porque existem triângulos que satisfazem ALL ou LLA e, no entanto, não são congruentes.
Veja por exemplo, da figura, os triângulos ABC e ABC ′, onde Â comumAB comum
BC = BC ′
Mas AC ̸= AC ′. Logo os triânglos ABC e ABC ′ não são congruentes.
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