06 Amortecimento_1

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VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA
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EXEMPLO: PONTE DO MILÊNIO
A Ponte do Milênio foi aberta ao público em 10 de junho de 2000. Devido à vibração excessiva
 causada pelo tráfego de pedestres, ela foi desativada após dois dias, reformada com 37 amortecedores viscosos e reaberta em 22 de fevereiro de 2002. 
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(atrito seco)
Constante de amortecimento
velocidade
Coeficiente de atrito
Força normal
TIPO DE AMORTECIMENTO
Amortecimento viscoso
Amortecimento de Coulomb
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Sistemas com amortecimento
Sistemas sem amortecimento
AMORTECIMENTO VISCOSO
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AMORTECIMENTO DE COULOMB
Coeficiente de atrito
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EQUAÇÃO DO MOVIMENTO
Diagrama de Corpo Livre
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SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO
Considerando uma solução do tipo:
 Equação do movimento:
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA
temos:
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POLINÔMIO CARACTERÍSTICO
= 0
Solução trivial
 
POLINÔMIO
CARACTERÍSTICO
Para achar as raízes do polinômio, usamos a fórmula de Báskara:
Não serve!!!
 0
 =0 
b
c
a
Se
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+ 
Não ocorrerá oscilações
Valor crítico entre o movimento periódico 
e aperiódico
Movimento não oscila e volta rapidamente para posição de equilíbrio
RAÍZES DO POLINÔMIO CARACTERÍSTICO
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VALOR CRÍTICO
Medida de quantidade de
 amortecimento do sistema
Valor crítico entre o movimento periódico e aperiódico
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SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO
 + 
Substituindo as raízes do polinômio na solução, temos:
+ 
Solução da equação do movimento:
O polinômio característico 
forneceu 2 raízes
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RESPOSTA DO SISTEMA
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As raízes do polinômio característico 
podem ser reescrita em função de 
 
= 
 
 + 
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ESTUDO DE CASOS 
 + 
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 CASO 1 : 
 + 
 + 
Solução harmônica já discutida
 + 
 + 
 + 
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 CASO 2 : 
 + 
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0
 
 
 CASO 2 : 
 DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES: CONDIÇÕES INICIAIS 
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A resposta do sistema não oscila!!!
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CASO 3 : 
 + 
21
CASO 3 : 
 + 
 CASO 2 : 
 DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES: CONDIÇÕES INICIAIS 
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 Sistema não oscila!!!
 + 
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CASO 4 : 
 + 
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CONDIÇÕES INICIAIS
 + 
CASO 3 : 
 + 
 CASO 2 : 
 DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES: CONDIÇÕES INICIAIS 
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
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EXEMPLO
Considerando uma solução do tipo:
E suas derivadas:
Equação característica
Polinômio característico
Resposta do sistema
Condições iniciais
0
(0) = 
3 
 = 1
Movimento
criticamente amortecido
(
Máxima amplitude
 = 0
 = 
 = 
 = 0.25 s
Em 
 
a amplitude é máxima
 = 0.2759 m