CALCULO_1_AP1_CI_2017-1 CEDERJ

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO – AP1 – CÁLCULO 1 – 02/04/2017
Nome: Matŕıcula:
Pólo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • O desenvolvimento das questões pode ser a lápis. No entanto,
Polo e Data; as respostas deverão estar necessariamente à caneta;
• É expressamente proibido o uso de calculadoras; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsável;
Questão 1 [1 ponto]
Considere a função f : [0,+∞)→ R definida por: f(x) =

x
cos(
√
x)− 1
, se x 6= 0
−4, se x = 0
.
Calcule lim
x→0+
f(x).
Solução:
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
x
cos(
√
x)− 1
= lim
x→0+
x [cos(
√
x) + 1]
[cos(
√
x)− 1][cos(
√
x) + 1]
= lim
x→0+
x [cos(
√
x) + 1]
cos2(
√
x)− 1
=
= lim
x→0+
√
x
√
x [cos(
√
x) + 1]
−sen2(
√
x)
= lim
x→0+
−
[ √
x
sen(
√
x)
·
√
x
sen(
√
x)
· [cos(
√
x) + 1]
]
= −2.
Questão 2 [1 ponto]
Considere a função f : R→ R definida por: f(x) =

√
1 + 4x2
x− 2
, se x 6= 2
√
5, se x = 2
.
Calcule lim
x→−∞
f(x).
Solução:
lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
√
1 + 4x2
x− 2
= lim
x→−∞
√
4x2
x
= lim
x→−∞
2 |x|
x
= lim
x→−∞
−2x
x
= −2.
Questão 3 [2 pontos]
Sejam a, b ∈ R e f : R→ R a função definida por:
f(x) =
{
x2 − x+ 4, se x ≤ 2
b− ax, se x > 2
Determine os valores de a e b para que a função f seja diferenciável em R.
Solução:
CÁLCULO 1 AP1 2
Para que f seja diferenciável em R, é necessário, primeiramente, que f seja cont́ınua em R, ou seja,
f tem que ser cont́ınua em x = 2. Para tal,
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x) = f(2).
Temos que:
(i) f(2) = 6;
(ii) lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
b− ax = b− 2a;
(iii) lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
x2 − x+ 4 = 6.
De (i) = (ii) = (iii), obtemos a equação −2a + b = 6. Logo, para que f seja cont́ınua em x = 2,
as constantes a e b devem satisfazer a equação −2a+ b = 6.
Por outro lado, para que f seja diferenciável em R, f tem que ser diferenciável em x = 2, ou seja,
f ′−(2) = f
′
+(2) = f
′(2).
Como f ′+(2) = −a e f ′−(2) = 22−1 = 3, segue que a = −3. Dáı, da equação anterior −2a+ b = 6,
obtemos b = 0. Portanto, para que f seja diferenciável em x = 2, devemos ter a = −3 e b = 0.
Questão 4 [1 ponto]
Se f(x) =
x− ex2+1
1 + x4
, x ∈ R, determine a derivada f ′(x).
Solução:
f ′(x) =
(1− 2x ex2+1)(1 + x4)− (x− ex2+1)(4x3)
(1 + x4)2
=
−2x ex2+1(1− 2x2 + x4)− 3x4 + 1
1 + 2x4 + x8
Questão 5 [1 ponto]
Se f(x) = (2x3 − x2 + 5) cos(1− 4x), x ∈ R, determine a derivada f ′(x).
Solução:
f ′(x) = (6x2 − 2x) cos(1− 4x) + 4(2x3 − x2 + 5) sen(1− 4x) =
= (6x2 − 2x) cos(1− 4x) + (8x3 − 4x2 + 20) sen(1− 4x)
Questão 6 [2 pontos]
Seja r a reta tangente ao gráfico de f(x) =
−2
x+ 1
no ponto P = (a, f(a)), com a > 0. Se m =
1
2
é o coeficiente angular de r, determine o ponto P e, em seguida, a equação da reta r.
Solução:
Como m = f ′(a) e f ′(x) =
2
(x+ 1)2
, para todo x ∈ R− {−1}, segue que:
f ′(a) =
1
2
⇔ 2
(a+ 1)2
=
1
2
⇔ a2 + 2a+ 1 = 4 ⇔ a2 + 2a− 3 = 0.
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CÁLCULO 1 AP1 3
Logo, a = −3 ou a = 1. Como, por hipótese, a > 0, segue que a = 1. Dáı, P = (a, f(a)) = (1,−1).
Ainda, como P (1,−1) ∈ r e m = 1
2
é o coeficiente angular de r, segue que a equação de r é dada
por:
y = f(a) +m(x− a) = −1 + 1
2
(x− 1), ou seja, y = 1
2
x− 3
2
=
x− 3
2
.
Questão 7 [2 pontos]
Sejam α, β ∈ R e y = f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação
x2 − α y2 + β cos(4x)− xy + 16 = 0.
Sabendo que
−1
6
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (0,−2), determine
α e β.
Solução:
Como P = (0,−2) é um ponto do gráfico de f , substituimos na equação e obtemos:
02 − α (−2)2 + β cos(4 · 0)− 0 · (−2) + 16 = 0.
Dáı,
−4α + β = −16. (∗)
Por outro lado, derivando implicitamente, obtemos:
2x− 2α y y′ − 4β sen(4x)− y − xy′ = 0 ⇒ y′ = −2x+ 4β sen(4x) + y
−2α y − x
.
Como
−1
6
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (0,−2), segue que
−1
6
=
−2 · 0 + 4β sen(4 · 0)− 2
−2α (−2)− 0
⇒ α = 3.
Logo, substituindo em (∗), β = −4.
Portanto, α = 3 e β = −4.
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