Análise das Variações 7

Prévia do material em texto

Disciplina: Análise das variações
Aula 7: Variações Logarítmicas
Apresentação
Na aula passada, a de número 6, foi abordada a questão das funções exponenciais,
onde a sua resolução se dava igualando as bases. Nesta aula continuaremos usando o
conceito de funções exponenciais, porém serão abordados casos em que as bases
não são redutíveis à mesma.
Para isso será utilizado um conceito muito antigo de logaritmo cujo descobrimento
ajudou profundamente nas grandes navegações.
Também veremos como os logaritmos são utilizados na Geologia, em abalos sísmicos
conhecido como terremoto, e a sua ligação direta com a medição desse fenômeno
geológico, a escala Richter.
Objetivos
Reconhecer as propriedades do logaritmo;
Aplicar o logaritmo em diversas áreas;
Identificar a representação gráfica e seu comportamento.
Variações logarítmicas
Antes de fazermos uma abordagem formal das propriedades dos logaritmos e
suas utilizações, devemos entender a sua real importância para o
desenvolvimento da sociedade, pois eles têm aplicações importantes, como,
por exemplo, a maneira com a qual viajavam-se.
Historicamente falando o desenvolvimento dos logaritmos surge da real
necessidade de haver uma simplificação em alguns cálculos matemáticos, em
especial a partir do desenvolvimento da Astronomia e da expansão do
comércio provenientes das grandes navegações.
O seu apogeu se dá entre os séculos XVI e XVII e os logaritmos surgiram
como meios de cálculos, transformando complexas operações de multiplicação
e divisão em simples operações de adição e subtração.
A invenção do logaritmo
Creditada ao matemático escocês John Neper , embora, ele não foi o único
em sua época a apresentar resultados e desenvolvimento nesse campo de
estudos.
A proposta de Neper baseava-se em uma propriedade já conhecida à época, a
multiplicação de potências de mesma base:
a . a = a
Essa propriedade também é utilizada para o cálculo de equações e
funções exponenciais, como já visto na aula anterior, então o que
seria diferente agora?
Na aula anterior vimos que o resultado do cálculo era baseado em reduzirmos
as potencias à mesma base. O logaritmo tem por finalidade estudar essas
equações onde não seja possível fazer a redução das potências à mesma
base, como será visto a seguir.
1
m n m+n
file:///W:/2018.2/analise_das_variacoes__GON990/aula7.html
Logaritmo e sua definição
Sejam a e b números reais positivos, com 𝑎≠1, chama-se de logaritmo de b
na base a o expoente que se deve elevar à base de modo que a potência
obtida seja igual a b.
Como
Vejamos alguns exemplos.
b = x ⇔ = bloga a
x
a,  b ∈ R,  0 < a ≠ 1 e b > 0
27 = 3,  pois:log3
27 = xlog3
= 273x
=3x 33
x = 3
125 = −3,  pois:log 1
5
125 = xlog 1
5
= 125( )15
x
=( )5−1
x
53
− x = 3
x = −3
x = 5,  pois:log2
x = 5log2
= x25
32 = x
Esses exemplos foram resolvidos fazendo uso da definição dos logaritmos,
como consequências, temos:
1
O logaritmo de 1, em qualquer base, é igual a zero. 
log 1 = 0, pois a = 1
2
O logaritmo da base, qualquer que seja, é igual a 1. 
log a = 1, pois a = a
3
A potência de base a e expoente log b é b: 
a = b
4
Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos
também são iguais: 
log b = log c => b = c
Além das propriedades provenientes da definição do logaritmo, temos
também as propriedades operatórias dos logaritmos, são elas:
1ª propriedade: Logaritmo de um produto
Em qualquer base , o logaritmo do produto de dois fatores
reais positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um dos fatores.
Se , então:
2ª propriedade: Logaritmo de um quociente
a
0
a
1
a
log ba
a a
a (0 < a ≠ 1)
0 < a ≠ 1,  b > 0 e c > 0
(b × c) = b + bloga loga loga
Em qualquer base a , o logaritmo do quociente de dois
números reais positivos é igual à diferença entre o logaritmo do
dividendo e o logaritmo do divisor.
Se , então:
3ª propriedade: Logaritmo de uma potência
Em qualquer base a , o logaritmo de uma potência de base
real positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo
logaritmo da base das potências.
Se , então: 
Ainda dentro desta propriedade podemos escrever, para um logaritmo de
raiz enésima, da seguinte maneira: em qualquer base a , o
logaritmo da raiz enésima de um número real positivo é igual ao produto
do inverso do índice da raiz pelo logaritmo do radicando .
Se , , então:
4ª propriedade: Mudança de base
Se a, b e c são números reais positivos e a e c diferentes de 1, então
temos:
(0 < a ≠ 1)
0 < a ≠ 1,  b > 0 e c > 0
( ) = b − cloga
b
c
loga loga
( 0 < a ≠ 1)
0 < a ≠ 1 ,  b > 0 e n ∈ R  = n × bloga b
n loga
( 0 < a ≠ 1)
0 < a ≠ 1 b > 0 e n ∈ N∗
= = × bloga b√
n loga b
1
n
1
n
loga
b =loga
blogc
alogc

Exemplo
Antes de continuar, veja alguns exemplos
<galeria/aula7/docs/Exemplos.pdf> das propriedades operatórias
dos logaritmos acima estudadas.
Atividade
1. (PUC) Supondo válidas as condições de existências dos logaritmos,
assinale a opção que apresenta a propriedade válida sempre:
 a) log (a . b) = log a . log b
 b) log (a + b) = log a + log b
 c) log m . a = m . log a
 d) log a = log m . a
 e) log a = m . log a
Tipos de base de logaritmos
Duas são as bases geralmente utilizadas nos logaritmos, uma chamada de
decimal e outra a neperiano ou natural:
Logaritmo Decimal
Os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos decimais e sua
importância se deve ao fato de as tábuas de logaritmos e as calculadoras
trabalharem com essa base, que é também a base do sistema de numeração
m
m
file:///W:/2018.2/analise_das_variacoes__GON990/galeria/aula7/docs/Exemplos.pdf
que utilizamos.
Por simplificação, representamos log 𝑥 por log 𝑥, para todo x > 0.
Logaritmo Neperiano (ou Natural)
Os logaritmos naturais são representados pela base “e”, que é um número
irracional denominado de número de Euler equivalente a e=2,71828...
Matematicamente representamos o logaritmo natural por:
Ln(x) = log x
Aplicação dos logaritmos
Com toda certeza, você já ouviu falar sobre escala Richter, usada para medir a
intensidade de um abalo sísmico quando se tem um terremoto.
A escala Richter foi desenvolvida pelo norte-americano
Charles Richter (1900-1985) e pelo alemão Beno
Gutenberg (1889-1960, no intuito de medir a magnitude
de um terremoto provocado pelo movimento das placas
tectônicas.
Os estudos feitos por Charles e Beno resultaram em uma escala logarítmica
com pontuação de 0 a 9 graus de magnitude.
Essa magnitude (graus) é o logaritmo da medida das amplitudes (apurada por
aparelhos denominados sismógrafos) das ondas produzidas pela liberação de
energia do terremoto, tendo o seu cálculo feito pela seguinte forma:
M = log A – log A
Onde:
10
e
0
M Magnitude
A Amplitude máxima
A Amplitude de referência.
Atividade
2. (CESGRANRIO) As indicações R1 e R2, na escala Richter, de dois
terremotos estão relacionadas pela fórmula: R1 – R2 = log (M1/M2),
onde M1 e M2 medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma
de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos:
um correspondente a R1 = 8 e outro correspondente a R2 = 6. Então, a
razão (M1/M2) vale:
 a) 100
 b) 2
 c) 4/3
 d) 10
 e) 1

Atenção
Antes do avanço tecnológico (como, por exemplo, computador ou até
mesmo a calculadora científica), para que fosse possível o
desenvolvimento dos cálculos com o logaritmo, eram utilizadas as
tábuas de logaritmos, e elas já forneciam valores para os quais a
resposta dos logaritmos não era exata.
0
Função Logarítmica
Sejam a e b números reais positivos, com a ≠ 1, chamamos de função
logarítmica base a, a função f de ℝ que associa a cada x o número .

Exemplo
a) 
b) 
c) 
Gráfico da Função Logarítmica
O gráfico da função logarítmica definida por 
possui as seguintes características:
+
∗ xloga
f :  f :   → RR+
∗
x → xloga
f (x) = xlog2
g (x) = xlog 1
5
p (x) = ln x
f (x) = x,   (0 < a ≠ 1)loga
1
Seu gráfico está todo à direita de eixo y, ou seja, os valores de x serão
sempre maiores que zero.
2
Intercepta o eixo x no ponto de abscissa1, pois para todo 
.
3
Se a > 1 é uma função crescente e se 0 < a < 1 é uma função decrescente.
4
Possui simetria em relação à reta y = x (o que seria a bissetriz do quadrante
impar) do gráfico da função 𝑔(𝑥)= 𝑎 .
Gráfico da função 𝑔(𝑥)= 𝑎 e da função 𝑓(𝑥)= 𝑙𝑜𝑔 𝑥, com 𝒂 > 𝟏
Gráfico da função 𝑔(𝑥)= 𝑎 e da função 𝑓(𝑥)= 𝑙𝑜𝑔 𝑥, com 0 < 𝒂 < 𝟏
1 = 0loga
0 < a ≠ 1
𝑥
𝑥
𝑎
𝑥
𝑎
Aplicação dos Logaritmos
No início da aula, dissemos que os logaritmos foram desenvolvidos com a
finalidade de resolver problemas, que diferente da equação exponencial não
possuíam a mesma base, sendo assim, vamos ver algumas aplicações e como
utilizar o logaritmo nesse caso.
Vejamos um exemplo:
O valor de um capital C (aplicado a uma taxa i de juros capitalizados
periodicamente ao fim do período), após t períodos é dado por C = C (1+i) ,
onde C é o valor inicial. Qual é o tempo necessário para que um capital
aplicado à taxa de 2% ao mês, com juros capitalizados mensalmente, dobre o
seu valor?
Adote log 2 = 0,3010 e log 1,02 = 0,0086.
Gabarito comentado:
Temos:
i = 0,02 
C(t) = 2C
Sendo assim:
0
t
0
0
C(t) = C (1+i) 
2C = C (1+0,02) 
2 =(1,02)
Repare que precisamos resolver a equação exponencial para sabermos o valor
do tempo t, porém, nesse caso, não temos as bases iguais; sendo assim,
teremos que usar o logaritmo. Para isso as duas bases viram o logaritmando
de um logaritmo de base 10, ou decimal, ficando:
Utilizando os valores que foram fornecidos pelo enunciado agora temos:
Antes de continuar, veja mais um exemplo
<galeria/aula7/docs/Exemplo.pdf> .
0
t
0 0
t
t
log 2 = log (1, 02)t
log 2 = t × log (1, 02)
t =
log 2
log 1,02
t = = 35 meses
0,3010
0,0086
file:///W:/2018.2/analise_das_variacoes__GON990/galeria/aula7/docs/Exemplo.pdf
Atividade
3. (UERJ) Admita que, em um lago, a cada 40cm de profundidade, a
intensidade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação 
, na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h,
em centímetros, e Io é a intensidade na superfície. Um nadador verificou,
ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de
32% daquela observada na superfície. A profundidade do ponto P, em
metros, considerando log2 = 0,3, equivale a:
 a) 0,64
 b) 1,8
 c) 2,0
 d) 3,2
 e) 4,0
4. (UEL-PR) O valor da expressão é:
 a) 4/15
 b) 1/3
 c) 2/9
 d) 3/5
 e) 2/3
I = × 0,Ia 8
h
40
1+ 0,01log3 log10
×log2
1
64
log4 8√
5. (UEPG-PR) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então, log 60 vale:
 a) 1,77
 b) 1,41
 c) 1,041
 d) 2,141
 e) 0,141
6. (EPUSP) Se log (𝑎−𝑏)=16 e log (𝑎+𝑏)= 8, o valor de log (𝑎 − 𝑏 ) é:
 a) 24
 b) 25
 c) 26
 d) 27
 e) 28
10 10 10
2 2 2
2 2
7. Sendo log 2=𝑥 e log 3=𝑦, qual o valor do log 9√8?
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
8. (UERJ) Considere que uma população inicial cresce 3% ao ano.
Observados os dados log3 = 0,477 e log103 = 2,013, o número
aproximado de anos que ela triplicará é:
 a) 37
 b) 47
 c) 57
 d) 67
 e) 77
John Napier 
John Napier foi um matemático, físico, astrônomo, astrólogo e teólogo escocês.
Também era conhecido pelo nome, em latim, de Ioannes Neper. (WIKIPÉDIA, 2018)
Referências
EVES, H. Introdução à história da Matemática. Campinas: UNICAMP, 2004.
x + y3
2
2x + y1
2
2x + y3
2
−2x + y32
4x + y3
2
1
GUIMARÃES, L. G. S. et al. Bases matemáticas para Engenharia. Rio de Janeiro:
SESES, 2015.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Fundamentos da Matemática Elementar –
logaritmos. 10. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 2.
Próximos Passos
Variações ondulatórias;
Fenômenos ondulatórios;
Modelagem de fenômenos ondulatórios.
Explore mais
Sugestão de leitura: Os logaritmos e o estudo dos terremotos — Escala
Richter <https://waldexifba.wordpress.com/eventos-2/os-logaritmos-e-o-
estudo-dos-terremotos-escala-richter/> .
Objeto educacional: Função exponencial e função logarítmica
<https://www.geogebra.org/m/gkXdmxaV> – abordagem visual pelo uso do
software Geogebra.
Sugestões de vídeos
Como usar as propriedades dos logaritmos: várias etapas
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/exponential-and-
logarithmic-functions/properties-of-logarithms/v/using-multiple-
logarithm-properties-to-simplify> ;
Relação entre a funções exponenciais e logaritmos: gráficos
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/exponential-and-
logarithmic-functions/introduction-to-logarithms/v/plotting-
exponential-logarithm> .
https://waldexifba.wordpress.com/eventos-2/os-logaritmos-e-o-estudo-dos-terremotos-escala-richter/
https://www.geogebra.org/m/gkXdmxaV
https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/exponential-and-logarithmic-functions/properties-of-logarithms/v/using-multiple-logarithm-properties-to-simplify
https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/exponential-and-logarithmic-functions/introduction-to-logarithms/v/plotting-exponential-logarithm