AULA 1 - Cálculo 3

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Cálculo diferencial integral III
Aula 1: Eq. Dif. ordinárias: Equações diferenciais de variáveis
separáveis
Apresentação
Equações diferenciais modelam inúmeros problemas em diversas áreas. Nesta nossa primeira aula, de�niremos os conceitos
fundamentais deste importante suporte matemático. Veremos também a primeira equação diferencial ordinária: a equação de
variáveis separáveis.
Como o próprio nome já nos diz, separaremos as variáveis e resolveremos a equação, integrando.
Bons estudos!
Objetivos
Identi�car uma equação diferencial;
Classi�car uma equação diferencial quanto à ordem;
Identi�car o grau de uma equação diferencial;
Veri�car se uma solução dada é adequada para determinada equação diferencial;
Identi�car os tipos de solução das equações diferenciais.
Identi�car e resolver equações de variáveis separáveis;
Resolver problemas geométricos envolvendo comprimentos de tangente, normal, subtangente e subnormal.
Introdução
Você já deve ter notado que, em diversas áreas, precisamos desenvolver modelos matemáticos para nos auxiliar na compreensão de
fenômenos físicos e na resolução de problemas reais.
Esses modelos, muitas vezes, nos levam à necessidade de resolver equações que contém algumas derivadas de funções
desconhecidas, ou ainda, resolver equações que contêm taxas.
Veja o exemplo de um pêndulo simples a seguir:
O movimento de um pêndulo simples de massa m e comprimento l pode ser descrito pela função θ(t), que satisfaz a equação
diferencial:
d²θ
dt²
+
g
l
senθ = 0
O que vem a ser uma equação diferencial?
Chamamos de equação diferencial toda equação em que aparece pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita.
Exemplo 1
 
Exemplo 2
 
Exemplo 3
Exemplo 4
 
Exemplo 5
 
Exemplo 6
dy
dx
+ x²y³ = 0
𝑦 ³𝑦 ′ + 𝑦(𝑦′ )7 + 2(𝑦 " )5 = 0 (𝑥² + 𝑦²)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 =0
δ²z
δx²
+
δ²z
δy²
= 0 x
d²y
dx²
+ y
dy
dx
= d3
𝑦 " + (𝑦 ′ )3 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
Reparou que os exemplos que vimos de equações diferenciais são bem
diferentes uns dos outros em sua estrutura?
Classi�cações da equação diferencial
Devido às diferenças existentes em relação às equações diferenciais, vamos estabelecer algumas classi�cações para facilitar a
organização e estruturação do estudo das ED:
Clique nos botões para ver as informações.
Envolvem funções de uma variável e suas derivadas.
Exemplos:
Equações diferenciais ordinárias (EDO) 
dy
dx
+ 4y − = e3x
d²y
dx²
−
dy
dx
+ 4y = 0
Envolvem funções de muitas variáveis e suas respectivas derivadas parciais.
Exemplo:
Equações diferenciais parciais (EDP) 
d²y
dx
+
δ²u
δy²
= 0
Grau e ordem de uma equação diferencial
A ordem de uma equação diferencial corresponde à ordem da mais alta derivada da equação.
No exemplo a seguir, você verá uma equação diferencial de segunda ordem.
O grau de uma equação diferencial , por sua vez, é o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que aparece
na equação.
Vamos voltar ao exemplo da ordem.
Derivada: 
Segunda Ordem | Primeira Ordem
(
d²y
dx²
) + 3(
dy
dx
)4 − 6y = ex
Expoente: 1 ↓ 
Derivada: MAIOR Ordem ↓
Derivada: 
Segunda Ordem | Primeira Ordem
(
d²y
dx²
) + 3(
dy
dx
)4 − 6y = ex
Resolvendo uma equação
diferencial
Após desenvolvermos os modelos matemáticos representativos
de problemas reais, com equações que contém algumas
derivadas, precisamos resolver as equações diferenciais.
Você deve estar se perguntando o que signi�ca  “resolver
estas equações diferenciais”?
Resolver ou integrar uma equação diferencial signi�ca
determinar todas as funções que veri�cam a equação, isto é,
que a transformem numa identidade.
 Fonte: Freepik
Considere uma equação diferencial de ordem n:
Ϝ (𝑥,𝑦′,𝑦′′,𝑦′′′, …, 𝑦𝑛) = 0 (1)
javascript:void(0);
Chama-se solução da equação diferencial (1) toda função y = φ(x), de�nida em
um intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a
ordem n inclusive, de tal forma que, ao fazermos a substituição de y por y =
φ(x) na equação (1), esta equação se converte em uma identidade em relação
a x no intervalo (a,b).
Exemplo
Consideremos a equação diferencial y" + 4y = 0.
Será que y = cos2x - 3sen2x é solução para a equação diferencial dada?
Precisamos determinar a segunda derivada e substituir na equação diferencial, veri�cando se realmente será uma identidade válida.
Substituindo em y" + 4y = 0, temos:
𝑦=𝑐𝑜𝑠2𝑥 −3𝑠𝑒𝑛2𝑥 
𝑦^′=2𝑠𝑒𝑛2𝑥 −6𝑐𝑜𝑠2𝑥 
𝑦^′′=−4𝑐𝑜𝑠2𝑥+12𝑠𝑒𝑛2𝑥
−4𝑐𝑜𝑠2𝑥+12𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 4(𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2𝑥)= 
−4𝑐𝑜𝑠2𝑥+12𝑠𝑒𝑛2𝑥+4𝑐𝑜𝑠2𝑥 −12𝑠𝑒𝑛2𝑥= 0
Realmente, é solução.
Tipos de solução
Vejamos agora os três tipos de solução:
Vamos ver alguns exemplos para entender melhor cada um desses tipos.
1
Solução geral
É a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são
as unidades da ordem da equação.
2
Solução particular
É toda solução obtida da solução geral, quando atribuímos valores
particulares às constantes.
3
Solução singular
É toda solução que não pode ser obtida a partir da solução geral,
atribuindo-se às constantes valores particulares.
a) 𝑥² 𝑦^′=𝑦² Trata-se de uma EDO de ordem 1; portanto, precisará ter umaconstante arbitrária.
Solução geral
y =
x
1 + Cx
,
C constante arbitrária
Solução particular 𝑦=0 (C = 0)
Solução singular 𝑦=0
a) 𝑥² 𝑦^′=𝑦² Trata-se de uma EDO de ordem 2; portanto, precisará ter duasconstantes arbitrárias.
Solução geral 𝑦=𝐶 𝑒 "= " 𝐶 𝑒 , 𝐶 , 𝐶 constantes arbitrárias
Solução particular 𝑦=𝑒^𝑥, 𝐶 = 1, 𝐶 = 0
Solução singular Não tem
1
𝑥
2
-𝑥
1 2
1 2
Grá�co da solução geral
Você sabe o que o grá�co da solução geral de uma equação diferencial
representa?
 Fonte: Freepik
Uma família de curvas chamadas curvas integrais.Esta solução
denomina-se primitiva ou integral da equação diferencial.
Assim, a solução geral de uma equação diferencial ordinária
(EDO) de ordem n em um intervalo I é uma família de soluções
y(t) no intervalo I, que depende de n constantes arbitrárias, de tal
forma que qualquer solução particular pode ser obtida da
solução geral, atribuindo-se valores às constantes.
Exemplo
Antes de continuar com seus estudos, clique aqui e veja dois exemplos para entender melhor a solução geral.
Problema de valor inicial
Um problema de valor inicial para uma equação diferencial de ordem n: F(x, y', y'', y''',..., yn) = 0 consiste na equação diferencial e mais n
condições do tipo:
𝑦(𝑥0) = 𝑦0
𝑦′ (𝑥0) = 𝑦1
𝑦′ ′ (𝑥0) = 𝑦2
. . .
𝑦 ( 𝑛 −1 ) (𝑥0) = y ( 𝑛 −1 )
{
⇒ y | x= x0 = y0
Onde:
𝑥0, 𝑦0, 𝑦1,⋯, 𝑦 ( 𝑛 −1 )
Exemplo
Antes de continuar com seus estudos, clique aqui e veja dois exemplos para entender melhor a o problema de valor inicial para uma
equação diferencial.
Equações de 1ª ordem e 1º grau
Vejamos, agora, a forma geral das equações e as questões de 1º ordem e 1º grau.
javascript:void(0);
javascript:void(0);
javascript:void(0);
Forma geral das equações de 1ª ordem:
Ϝ(𝑥, 𝑦, 𝑦^′ )=0
Equações de 1ª ordem e 1º grau:
dy
dx
= Ϝ(𝑥, 𝑦)
ou ainda
𝑀 𝑑𝑥+𝑁 𝑑𝑦=0, Onde:
𝑀=𝑀(𝑥,𝑦) e 𝑁=𝑁(𝑥,𝑦) são contínuas no intervalo considerado.
Tipos de equações de 1ª ordem e 1º grau
Vejamos agora, os sete tipos de equações de 1ª ordem e 1º grau:
Equações de variáveis separáveis
Equações homogêneas
Equações redutíveis às homogêneas e as
variáveis separáveis
Equações diferenciais exatas
Equações lineares
Equações de Bernoulli
Equações de Riccati
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
Atividade proposta
Equação Ordem Grau EDO/EDP
a)
dy
dx
= x²y³ = 0 digite a resposta digite a resposta digite a resposta
b) (x²y²)dx+(x+y)dy = 0 digite a resposta digite a resposta digite a resposta
c) x
d²y
dx²
+ y
dy
dx
= y³ digite a resposta digite a resposta digite a resposta
d) y''+(y')³ = senx digite a resposta digite a resposta digite a resposta
e) x³y'+y(y') +2(y'') = 0 digite a resposta digite a resposta digite a resposta
f)
δ²z
δx²
+
δ²z
δy²
= 0 digite a resposta digite a resposta digite a resposta
7 5
Equaçõesde variáveis separáveis
O que são equações de variáveis separáveis?
Chamamos equação de variáveis separáveis a equação do tipo
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
Onde:
M(x, y) e N(x, y) são:
Constantes;
Funções de uma única variável;
Produtos com fatores de uma única variável.
Podemos colocar esse tipo de equação sempre na forma:
α (x)dx + β (y)dy = 0 (∗)
 Fonte: Freepik
Resolução de equações de variáveis separáveis
javascript:void(0);
A chave para resolvermos equações de variáveis separáveis é, como o
próprio nome já diz, separar as variáveis e depois integrar.
Vamos entender melhor com o exemplo a seguir?
Resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
dy
dx
= 3x − 1
Precisamos separar as variáveis, certo?
1- Vamos considerar a equação diferencial:
dy
dx
= 3x − 1
dy = 3xdx − dx
Ou ainda:
(3x − 1)dx − dy = 0
Esta equação está na forma:
a(x)dx + β(y)dy = 0(3x − 1)dx − dy = 0
∫ (3x − 1)dx − ∫dy = C
3x²
2
− x − y = Cy =
3x²
2
− x − C1
Com o auxílio do Wolfram alpha e da atribuição de valores às constantes,
podemos observar o traçado do grá�co dessa família de funções.
Atividades
Testando seus conhecimentos
Resolva a equação diferencial de variáveis separáveis:
𝑡𝑔𝑥 . 𝑠𝑒𝑐𝑦 𝑑𝑥 − 𝑡𝑔𝑦 . 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑦 = 0
Notas
Referências
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo: volume II. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
BOYCE, William; DIPRIMA, Richard. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 8. ed. São Paulo:
LTC, 2006.
Próximos passos
Equações Diferenciais Ordinárias: Equações diferenciais homogêneas. 
Explore mais
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Leia os textos:
NAGLE, R. Kent; SAFF, Edward B; SNIDER, Arthur David. Equações diferenciais. Pearson, 2012. Disponível na Biblioteca Virtual da
Estácio.
História das equações diferenciais, clicando aqui.
Di�culdades dos Alunos na Aprendizagem de Equações Diferenciais Ordinárias. In: Alexandria: R. Educ. Ci. Tec., Florianópolis,
Santa Catarina, Brasil. ISSN 1982-5153. Disponível em: https://periodicos.ufsc.br/index.php/alexandria. Acesso em jun. 2019.
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