Aula Complementar - Modelos Lineares e Quadráticos (1)

Prévia do material em texto

EFB105
Cálculo Diferencial e Integral I
Aula Complementar
Modelos Lineares e Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
r
r
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
O que é preciso para se determinar a equação de uma reta?
Dois pontos pertencentes à reta!
A
B
A inclinação da reta e um ponto a ela pertencente!
A
Vetor diretor!
Modelos Lineares – Retas
Definição: A inclinação (ou declive) de uma reta não vertical que passa pelos pontos e é
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
+ Exemplos
Neste caso, 
A inclinação de uma reta é a taxa de variação (neste caso, constante) da variável dependente com relação a variável independente.
E quando ?
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Para construir a equação de uma reta é preciso...
A inclinação da reta e um ponto a ela pertencente!
Um ponto , com , pertence à reta se, e somente se, a inclinação da reta que passa por e for igual a . Ou seja:
Equação da reta no formato ponto-inclinação
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Desenvolvendo a forma ponto-inclinação:
Intercepto com o eixo , ou coeficiente linear
Equação da reta no formato inclinação-intercepto.
Ex01: Esboce o gráfico das funções
 e 
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Retas paralelas e perpendiculares:
Duas retas não verticais são paralelas se, e somente se, compartilharem a mesma inclinação.
Duas retas com inclinações e 
 são perpendiculares se, e somente
 se, . Ou seja, suas
 inclinações são recíprocas opostas.
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Ex02: (a) À medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Se a temperatura do ar ao nível do solo for de 20 C e na altitude de 1 km for de 10 C, expresse a temperatura (C ) como uma função da altitude , supondo que um modelo linear seja apropriado.
(b) Faça um gráfico dessa função. O que a inclinação representa?
(c) Qual é a temperatura do ar a uma altitude de 2,5 km?
Modelos Lineares – Retas
	Ano	Alt. (m)	Ano	Alt. (m)	Ano	Alt. (m)
	1896	3,30	1932	4,31	1972	5,64
	1900	3,30	1936	4,35	1976	5,64
	1904	3,50	1948	4,30	1980	5,78
	1908	3,71	1952	4,55	1984	5,75
	1912	3,95	1956	4,56	1988	5,90
	1920	4,09	1960	4,70	1992	5,87
	1924	3,95	1964	5,10	1996	5,92
	1928	4,20	1968	5,40	2000	5,90
					2004	5,95
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Ex03: A tabela ao
lado registra as alturas
vencedoras do salto
com vara (masculino)
nas Olimpíadas até a edição
de 2004.
Modelos Lineares – Retas
(a) Faça um diagrama de dispersão e decida se um modelo linear é apropriado.
(b) Encontre a reta de regressão e esboce seu gráfico.
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Yelena Isinbayeva (Rússia)
Recordista mundial
5,06 m (28.08.09)
Modelos Lineares – Retas
(c) Use o modelo linear para predizer qual a altura vencedora nas Olimpíadas de 2008 e 2016. Compare com as alturas vencedoras de 5,96 m e 6,03.
(d) É razoável usar o modelo para predizer a altura vencedora para as Olimpíadas de 2100?
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Armand Duplantis (Suécia)
Recordista mundial
6,17 m (08.02.20)
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Ex04: O gráfico a seguir mostra o aumento na população dos Estados Unidos registrado entre os anos 2000 e 2010.
(a) Estime a taxa de crescimento da população norte americana.
(b) Empregue um modelo linear para prever a população norte americana no ano de 2025.
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
(a) Estime quão rápido está crescendo a concentração de hidrocarbonetos no lago.
(b) Construa um modelo linear para a concentração de hidrocarbonetos no lago após dias.
Ex05: Um cientista ambiental está mensurando o impacto de um vazamento de óleo recente em um determinado lago. Três dias após o vazamento, a concentração de hidrocarbonetos no lago é de aproximadamente 5000 ppm. Cinco dias após o vazamento, esta concentração aumentou para aproximadamente 7600 ppm.
Modelos Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Uma função quadrática é um polinômio de grau 2 da forma
Você deve se lembrar...
Raízes: , com 
Concavidade
Coordenadas do vértice
Modelos Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Ex06: Uma bola é solta a partir do ponto de observação da Torre CN em Toronto, 450 m acima do solo.
(a) Escreva um modelo que descreva a altura 
da bola, medida a partir do solo,
em função do tempo . Esboce o gráfico.
(b) Determine a taxa de variação média da posição da bola em função do tempo (velocidade média) entre os instantes...
14
Taxa de variação média
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
A taxa de variação média de uma função entre os pontos
 e é expressa por
Exemplo: Taxa de variação média de uma função linear :
Funções lineares:
Taxa de variação média = constante = inclinação
Modelos Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Ex06 – Continuação: Uma bola é solta a partir do ponto de observação da Torre CN em Toronto, 450 m acima do solo.
(b) Determine a taxa de variação média da posição da bola em função do tempo (velocidade média) entre os instantes:
	(b1) [0,2] segundos
	(b2) [1,4] segundos
	(b3) segundos
16
Modelos Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Ex07: Considere a função .
(a) Calcule o valor de:
(b) Determine a taxa de variação média de para 
variando entre e .
Modelos Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Ex08: Um artista foi contratado para fazer um vitral no formato de um octógono regular inscrito em um quadrado de 18’’ de lado, como mostra a figura.
(a) Seja o comprimento de cada lado do octógono. Verifique que os catetos dos triângulos retângulos formados nas quinas do quadrado têm comprimento expresso por
Modelos Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Ex08: Um artista foi contratado para fazer um vitral no formato de um octógono regular inscrito em um quadrado de 18’’ de lado, como mostra a figura.
(b) Use o Teorema de Pitágoras para escrever uma equação em termos de que relacione o comprimento dos catetos dos triângulos com as respectivas hipotenusas.
Modelos Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot. 
Ex08: Um artista foi contratado para fazer um vitral no formato de um octógono regular inscrito em um quadrado de 18’’ de lado, como mostra a figura.
(c) Resolva o modelo quadrático do item anterior para o comprimento . Existem duas soluções... Qual é a solução apropriada e por quê? 
EFB105
Cálculo Diferencial e Integral I
Aula Complementar
Modelos Lineares e Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I  2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.