Livro Matemática - Vol 2 - completa - v2

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501 Questões Resolvidas 
 de 
 Concursos 
 Públicos abscissa x 
ordenada 
y 
(0,0) 
a > 0 
 > 0 
501 Questões Resolvidas 
 de 
 Concursos 
 Públicos 
• EsSA 
• CMM 
• CEFET/AM 
• NOKIA/AM 
• MANAUS ENERGIA 
• OLIMPÍADAS DE MATEMÁTICA 
• DIVERSAS UNIVERSIDADES BRASILEIRAS 
 
• CEAM 
• CEF 
• IBGE 
• SEAD/AM 
• SEDUC/AM 
• SEMSA/AM 
• UFAM/AM 
• UEA/AM 
Professor Paulo Lobão 
 4 
Caro estudante, 
 
 
 
O nosso primeiro trabalho, “Matemática com 
Solução” foi um verdadeiro sucesso. Obrigado! 
 
Isso nos motivou a Idealizar, Planejar e Editar o 
nosso segundo trabalho “Matemática com 
Solução 2”. 
 
Como o anterior, esta obra é voltada àqueles que 
lutam – no dia a dia – pela aprovação nos exames 
de seleção das Escolas de Ponta do nosso País 
(CEFET, Fundação Nokia de Ensino, Colégio 
Militar, ... etc.), Concursos Públicos e 
Vestibulares. 
 
Pretendemos com nosso livro, levar até você a 
condição de interpretar, analisar e resolver 
problemas de matemática através de raciocínio 
lógico, visando a realização de seu sonho 
Matemática Com Solução 2 
 5 
 
Agradecimentos, 
 
 
• A Deus, por tudo que nos tem propiciado! 
 
• Aos meus pais; Firmino Araújo (Deus o tenha) e Maria 
Amélia Lobão, pela persistência em prol de nossa 
educação. 
 
• À minha esposa e filhos (Joana Lobão, Lívia Lobão e 
Paulo Lobão Filho), pelo incentivo, apoio e entendimento 
mostrados no período de realização do presente trabalho. 
 
• À minha irmã Toínha Lobão, pela condução dos meus 
primeiros passos na rede pública de ensino de Teresina/PI 
(Grupo Escolar Murilo Braga). 
 
 
Reconhecimento/Agradecimento, 
 
 
• À minha filha Luana Lobão – acadêmica em 
Processamento de Dados (UEA / EST) – pela inteligência, 
competência e empenho voltados para a estruturação e 
digitação deste trabalho. 
 
• À minha filha Paula Lobão – jornalista pós-graduada – pela 
revisão estrutural do presente trabalho. 
 
• À minha sobrinha Cláudia Suelly Aragão de Araújo, pela 
oportuna participação no momento exato. 
 
Professor Paulo Lobão 
 6 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS ........................................................................................................... 7 
NÚMEROS E ALGARISMOS ....................................................................................................... 12 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) ............. 24 
TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDAS ............................................................................................ 28 
POTENCIAÇÃO .............................................................................................................................. 29 
MÉDIAS ............................................................................................................................................ 36 
VALOR NUMÉRICO...................................................................................................................... 39 
DIVISÃO (D = d  q + r) .................................................................................................................. 42 
RAZÃO ............................................................................................................................................. 45 
PROPORÇÃO .................................................................................................................................. 49 
REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM....................................................................................... 57 
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO ................................................................................. 81 
RADICAIS E RADICIAÇÃO ......................................................................................................... 88 
PERÍMETROS E ÁREAS............................................................................................................... 93 
TEOREMA DE TALES ................................................................................................................ 106 
ÂNGULOS E TRIÂNGULOS ...................................................................................................... 110 
CIRCUNFERÊNCIAS E CÍRCULOS ......................................................................................... 118 
QUADRILÁTEROS ...................................................................................................................... 130 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU ............................................................................................................. 132 
SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU.................................................................................... 142 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU ......................................................................................................... 157 
FUNÇÃO DO 1º GRAU ................................................................................................................ 159 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU E BIQUADRADA ............................................................................. 168 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU ......................................................................................................... 183 
EQUAÇÃO IRRACIONAL .......................................................................................................... 184 
TRIÂNGULO RETÂNGULO ...................................................................................................... 187 
FUNÇÃO DO 2º GRAU ................................................................................................................ 200 
POLÍGONOS ................................................................................................................................. 207 
TRIGONOMETRIA ...................................................................................................................... 212 
SETOR CIRCULAR...................................................................................................................... 219 
APÓTEMA ..................................................................................................................................... 221 
Matemática Com Solução 2 
 7 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
01. (NOKIA/AM – 2006) Uma pesquisa foi realizada com o universo de 1300 pessoas, 
objetivando determinar a preferência dessas pessoas em relação a três programas de uma 
determinada emissora de TV. Os pesquisadores elaboraram a seguinte tabela: 
 
PROGRAMAS A B C A e B A e C B e C AB e C 
Número de 
Telespectadores 
800 700 400 500 300 150 70 
 
O número de pessoas pesquisadas que não assistem a qualquer um dos três programas é: 
 
a) 300 
b) 280 
c) 260 
d) 240 
e) 200 
m + 70 = 500 → m = 430 
n + 70 = 300 → n = 230 
q + 70 = 150 → q = 80 
x + 430 + 70 + 230 = 800 → x = 70 
y + 430 + 70 + 80 = 700 → y = 120 
z + 230 + 70 + 80 = 400 → z = 20 
• Total de pessoas que assistem aos programas = 800 + 120 + 80 + 20 = 
• Total de pessoas que não assistem a qualquer um dos três canais: 
1300 – 1020 = 
 
02. (CEFET/AM – 2005) Classifique cada sentença como verdadeira (V) ou falsa (F): 
 
I. x2 = 36  x = 6, x  ℕ 
II. x2 = 36  x = – 6, x  ℤ 
III. ∃x  ℤ / 2x = – 5 
IV. ∀x  ℤ  0  x = 0 
Solução: 
• O item “I” é verdadeiro . (6  ℕ) 
• O item “II” é verdadeiro . (– 6 ℤ) 
• O item “III” é falso . Veja 
 
 
2x = – 5 → 
 
 
• O item “IV” é verdadeiro . 
“0  x = 0 se verifica para qualquer ‘x’ real”. 
OBS.: A solução da questão é a letra “e” . 
Solução: 
• Vamos construir o Diagrama de Venn. 
• Vamos inserir as letras “ x ”, “ y ” e “ z ” e “ m ”, “ n ” e “ q ” no diagrama. 
Fica: 
A 
B 
C 
x 
z 
y 
m 
n 
q 
70 
1020 
280 
a) Todas são verdadeiras. 
b) Todas são falsas. 
c) Apenas uma é verdadeira. 
d) Duas são verdadeiras.e) Apenas uma é falsa. 
2
5
x −= OBS.: 
2
5
− , pertence ao conjunto dos números racionais. 





−
2
5
 
Professor Paulo Lobão 
 8 
 
03. (CEFET/AM – 2006) O número de elementos do conjunto: 
 







−
−
−
−
−
= 8x e 0
3x
1
2x
1
1x
1
xA /N é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
0
1
11
1
1x
1
=
−
=
−
 (divisão impossível) 
 
0
3x
1
2x
1
1x
1

−
−
−
−
−
 
 
04. (PUC – PR) Dados os conjuntos A = {1, 4, 7, 10, 13} e B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, podemos 
afirmar que: 
 
a) A é subconjunto de B. 
b) B é subconjunto de A. 
c) a intersecção de A e B é vazia. 
d) a intersecção de A e B é não vazia. 
e) A união de A e B é vazia. 
Solução: 
• Vamos analisar a alternativa “d”. 
A = {1, 4, 7, 10, 13} 
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12} 
• “O conjunto intersecção é formado pelos elementos iguais dos conjuntos dados”. letra “d” 
OBS.: Analise as outras alternativas. 
 
05. (UNICSUL – SP) Os conjuntos “A”, “B” e A  B têm, respectivamente, 10, 15 e 7 
elementos. O número de elementos de A  B é: 
 
a) 22 
b) 25 
c) 17 
d) 32 
e) 18 
 
• Equacionando e resolvendo, fica: 
x + 7 = 10 → ┃ y + 7 = 15 → 
• O problema pede o número de elementos de A  B. então: 
A  B = 3 + 7 + 8 → letra “e” 
OBS.: “Na união de conjuntos não pode haver repetições de elementos”. 
Solução: 
• ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} “x < 8” 
• Observe a expressão. Veja que “x” não pode ser igual a “1”, “2” e “3”. Isso 
porque qualquer um desses valores torna a expressão impossível de solução. 
• Veja um exemplo (para x = 1) na primeira fração: 
• No conjunto “A” (x < 8) a solução da inequação 
só existe para ℕ = {0, 4, 5, 6, 7}. Então o 
número de elementos do conjunto solução é 5 
(cinco) . letra “d” 
A  B = {4, 10} 
Solução: 
• Construindo o Diagrama de Venn, fica: 
• Colocando “ x ” e “ y ” no diagrama, fica: 
• Temos: 
A = 10 ┃ B = 15┃A  B = 7 
x = 3 y = 8 
A  B = 18 
A B 
x = 3 y = 8 
A
 
 B
 =
 7
 
Matemática Com Solução 2 
 9 
 
06. (UCEPel – RS) Dado o conjunto {5, 10, 20, 40, 80, ...}, seus elementos podem ser descritos 
por: 
 
a) {x   / x = 5n}, n ℕ* 
b) {x   / x = 5n – 1}, n ℕ 
c) {x   / x = 5  2n – 1}, n ℕ* 
d) {x   / x = 2  5n – 1}, n ℕ* 
e) {x   / x = 2  5n}, n ℕ 
 
a) x = 5n (n ℕ*). Fazendo n = 2, fica: 
x = 52 = 25 (25 não é elemento do conjunto dado). FALSA! 
b) x = 5n – 1 (n ℕ). Fazendo n = 0, fica: 
x = 5 0 – 1 = 5– 1 = 
5
1
. FALSA! 
c) x = 5  2n – 1 (n ℕ*). Se n = 1, fica: 
x = 5  21 – 1 = 5  20 = 5  1 = 5. OK! 
Se n = 2, fica: 
x = 5  22 – 1 = 5  21 = 5  2 = 10. OK! 
Se n = 3, fica: 
x = 5  23 – 1 = 5  22 = 5  4 = 20. OK! 
Se n = 4, fica: 
x = 5  24 – 1 = 5  23 = 5  8 = 40. OK! 
 
07. (VUNESP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20 de história. O número 
de alunos dessa classe que gostam de matemática e de história é: 
 
a) exatamente 16 
b) exatamente 10 
c) no máximo 6 
d) no mínimo 6 
e) exatamente 18 
 
• Equacionando e resolvendo, fica: 







=++
=+
=+
30zyx
20zy
16yx
 
• Substituindo em , fica: 
x + y + z = 30 
16 + z = 30 
z = 30 – 16 → 
 
 
OBS.: A solução é . letra “d” 
Solução: 
 
• O conjunto é: {5, 10, 20, 40, 80, ...} 
• ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
• ℕ* = {1, 2, 3, 4, ...} 
• Analisando as alternativas e substituindo “n” pelos 
elementos do seu respectivo conjunto, fica: 
• O conjunto fica: {5, 10, 20, 40, ...} 
VERDADEIRO! 
• A resposta certa: Letra “c” 
• OBS.: As alternativas “d” e “e” são 
falsas. VERIFIQUE! 
Solução: 
• Construindo o Diagrama de Venn, fica: 
• “x + y” = gostam de matemática = 16. 
• “y + z” = gostam de história = 20. 
• “y” = gostam de matemática e história = ? 
1 
2 
 
3 
 
1 
 
3 
 
3 
 
z = 14 
2 
 
• Substituindo “z = 14” em , fica: 
y + z = 20 
y + 14 = 20 
y = 20 – 14 → 
 
• Substituindo “y = 6” em , fica: 
x + y = 16 
x + 6 = 16 
x = 16 – 6 → 
1 
 
y = 6 
x = 10 
y = 6 
x y z 
M H 
Professor Paulo Lobão 
 10 
 
08. (MACK – SP) A e B são dois conjuntos, tais que A – B tem 30 elementos, A  B tem 10 
elementos e A  B tem 48 elementos. Então o número de elementos de B – A é: 
 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 18 
e) 22 
 
• Construindo o Diagrama de Venn, fica: 
 
• A – B = 30. São os elementos que pertencem a “A” e não 
pertencem a “B” . 
• A  B = 10. São os elementos iguais nos dois conjuntos. 
• A  B = 48. São todos os elementos de “A” unidos aos 
elementos de “B”. (sem repetição) 
 
• Analisando o diagrama, vemos que: 
 
 
 
09. (MCS – PL) Se o conjunto das partes de “A” tem 32 elementos, quantos elementos tem o 
conjunto “A”? 
 
a) 10 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
e) 5 
 
 
10. (PUC – SP) Considerando ...} 4, 3, 2, 1, {0,=Ν , } n com n,
x
24
 /{xA NN* == e 
9}2x43x /{xB ++= N , podemos afirmar que: 
 
a) A  B tem 8 elementos 
b) A  B tem 4 elementos 
c) A  B = A 
d) A  B = A 
e) n.r.a 
 
 
• Conjunto B: 
Nx → 3x + 4 < 2x + 9 → 3x – 2x < 9 – 4 → 
B = {0, 1, 2, 3, 4} 
• “A interseção entre ‘A’ e ‘B’ é o conjunto formado pelos elementos iguais dos conjuntos 
dados”. 
 
 
Solução: 
• A – B = 30 elementos. 
• A  B = 10 elementos. 
• A  B = 48 elementos. 
• B – A = ? 
30 10 8 
A B 
B – A = 8 
Solução: 
• P(A) = conjunto das partes de “A”. 
• P(A) = conjunto formado por todos os subconjuntos de 
“A”. 
• P(A) = 32. 
• Se “A” tem “n” elementos, P(A) tem “2n” elementos. 
• Equacionando, fica: 
 
32 = 2n 
25 = 2n → n = 5 
x < 5 
Solução: 
• ...} 4, 3, 2, 1, {0,=Ν “Conjunto dos números naturais”. 
• Conjunto A: 
0)(x x N* . Então: n
x
24
= , fica: 
A = {24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1} 
A  B = {1, 2, 3, 4} (possui quatro elementos) 
Matemática Com Solução 2 
 11 
 
11. (CEFET/AM – 2006) Dividindo-se dois números em “ℤ”, excluindo o zero como divisor, 
tem-se sempre como quociente um número: 
 
a) par 
b) primo 
c) real 
d) natural 
e) inteiro 
 
 
12. (Fac. Evangélica de Goiás – GO) Dados os conjuntos: A = {0, 1, 3, 5}, B = {1, 3, 5, 7} e 
C = {3, 8, 9}, o conjunto M = B – (A  C) é: 
 
a) {1, 3, 5} 
b) {7} 
c) {7, 5, 8, 9} 
d) {0, 8, 9} 
e) {1, 5, 7} 
 
OBS.: A diferença entre dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos do primeiro conjunto 
que não pertencem ao segundo conjunto. 
 
13. (UESPI) Sejam A, B e C conjuntos finitos de modo que “C” e “B” são disjuntos. Se A  C 
possui 8 elementos, A – C possui 24 elementos e A – B possui 17 elementos, então o número de 
elementos de A – (B  C) é: 
 
a) 7 
b) 9 
c) 4 
d) 2 
e) 1 
 
• A – B = 17 
• A – (B  C) = ? 
• Construindo o Diagrama de Venn, equacionando e resolvendo, fica: 
 
 
 
 
A – C = 24 
b + x = 24 
 
A – B = 17 → b + 8 = 17 → b = 17 – 8 → 
 
b + x = 24 → 9 + x = 24 → x = 24 – 9 → 
 
A = x + b + 8 → A = 15 + 9 + 8 → 
 
A – (B  C) = 32 – (15 + 8) = 32 – 23 = 
Solução: 
• O conjunto “ℤ*” é igual: 
ℤ* = {... , – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, ...} 
• Tem-se, sempre, um número real . letra “c” 
Solução: 
• A = {0, 1, 3,5} 
• B = {1, 3, 5, 7} 
• C = {3, 8, 9} 
• 
• Resolvendo, fica: 
M = B – (A  C) = ? (A  C) = {0, 1, 3, 5, 8, 9} 
M = {1, 3, 5, 7} – {0, 1, 3, 5, 8, 9} 
M = {7} 
B 
A 
C 
m x b 8 
d 
Solução: 
• “C” e “B” são disjuntos. Conjuntos disjuntos são aqueles cuja interseção é vazia. 
C  B = { } 
• A  C = 8 
• A – C = 24 
x = 15 
b = 9 
A = 32 
9 
Professor Paulo Lobão 
 12 
 
NÚMEROS E ALGARISMOS 
 
14. (NOKIA/AM – 2006) A soma de três números pares consecutivos é 42. O produto desses 
números é igual a: 
 
a) 2688 
b) 2488 
c) 2348 
d) 2246 
e) 2146 
 
 
 
x + (x + 2) + (x + 4) = 42 
3x + 6 = 42 
3x = 36 
 
 
 
15. (NOKIA/AM – 2006) A soma de dois números naturais diferentes de zero, com dois 
algarismos cada um, é igual a 58. Os quatros algarismos são distintos entre si.A soma desses 4 
algarismos é um número: 
 
a) menor que 9 
b) múltiplo de 3 
c) maior que 20 
d) par 
e) primo 
• x  y  a  b. 
• x, y, a e b = são os algarismos dos 
números. 
• xy = 10x + y 
• ab = 10a + b 
• 58 = 10  5 + 8 
8510
b10a
58
ab
y10x xy
+
+
→
+→

 
10x + 10a = 10  5 
 y + b = 8 
 
16. (NOKIA/AM – 2006) O valor de “m”  ℕ de modo que 22  5m tenha exatamente 9 
divisores é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
Solução: 
 
• Números pares consecutivos são aqueles em que a diferença entre conseqüente 
e antecedente é igual a duas unidades. 
Ex.: 4, 6, 8 ( 8 – 6 = 2; 6 – 4 = 2; etc ) 
 
• Considerando “x” o primeiro número, fica: x, (x + 2), (x + 4) são números pares 
consecutivos. Então: 
x = 12 
Os números são: x, x + 2, x + 4 
 12, 12 + 2, 12 + 4 
 12, 14, 16 
 
O problema pede o produto 
deles, então: 
 
12  14  16 = 2688 
Solução: 
 
• Considere “xy” e “ab” os dois números. 
• “xy” e “ab” são diferentes de zero. 
• xy + ab = 58 
+ 
• Colocando 10 em evidência, fica: 
10(x + a) = 10  5 
x + a = 5 
y + b = 8 
x + y + a + b = 5 + 8 
x + y + a + b = 13 
Atenção: 58 → 5 + 8 = 13 
“13 é um número primo” 
OBS.: Dentro das condições impostas pelo 
problema, podemos verificar que: 
“A soma dos algarismos dos números é igual à 
soma dos algarismos do total”. 
Somando membro a membro, fica: 
Solução: 
• Adicione uma unidade aos expoentes: 
(2 + 1), (m + 1) 
• Multiplicando as expressões e igualando-as a 9, acharemos o valor de “m”. 
(2 + 1)  (m + 1) = 9 → 3  (m + 1) = 9 ( 3) → m + 1 = 3 → m = 3 – 1 → m = 2 
Matemática Com Solução 2 
 13 
 
17. (MCS – PL) A soma de dois números naturais diferentes de zero, com dois algarismos 
cada um, é igual a 78. Os quatros algarismos são distintos entre si. A soma desses 4 algarismos 
é: 
 
a) 10 
b) 13 
c) 11 
d) 12 
e) 15 
 
 
 
 
 
 
18. (UFF – RJ) Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do 
menor é igual ao dobro do maior. Entre esses números, o maior é: 
 
a) múltiplo de 3 
b) ímpar 
c) quadrado perfeito 
d) divisor de 500 
e) divisível por 4 
 
 
Ex.: 
N = {0, 1, 2, 3, ...} 
 
M(5) = {0, 5, 10, 15, ...} 
 
• Observe que o conseqüente menos o antecedente é igual a 5. (15 – 10 = 5; 10 – 5 = 5; etc) 
• Considerando “x” o primeiro número, então (x + 5) e (x + 10) são os outros dois. Fica: 
1º 2º 3º 
x (x + 5) (x + 10) 
• O problema diz: “o triplo do menor é igual ao dobro do maior”. Logo: 
3x = 2(x + 10) 
3x = 2x + 20 
3x – 2x = 20 
 
 
 
• Os números são: 
 x (x + 5) (x + 10) 
20 25 30 
 
 
 
OBS.: O conjunto dos múltiplos de um número é infinito. “30 é múltiplo de 3”. 
Solução: 
 
• Considere “xy” e “ab” os dois 
números. 
• Pelo problema, vemos que: 
 xy  ab  0 e x  y  a  b 
• Soma Total = 78 (xy + ab = 78). 
• “A soma dos algarismos dos dois 
números é igual à soma dos 
algarismos do total”. 
• Então: 78 → 7 + 8 = 15 Letra “e” 
• Cuidado com esse tipo de problema 
Solução: 
 
• Os números são consecutivos e múltiplos de “5”. 
• O conjunto dos múltiplos de um número é o conjunto formado 
pelo produto do número por cada elemento que forma o 
conjunto dos números naturais. 
5  0 = 0; 5  1 = 5; 5  2 = 10; 5  3 = 15 
x = 20 
Letra “a” 
Professor Paulo Lobão 
 14 
 
19. (SEMSA/AM – 2005) Informa-se que o número “a” é maior que o número “b” e que a 
diferença entre “a” e “b” é 15. Se “a” é aumentado de 3 unidades e “b” é diminuído de 2, a 
diferença, em unidades, entre “a” e “b”: 
 
a) diminuirá de 1 
b) diminuirá de 2 
c) diminuirá de 3 
d) aumentará de 1 
e) aumentará de 5 
 
 
 
 
20. (PUC – PR) Qual o menor número natural de três algarismos que verifica as seguintes 
condições: 
 
I. Dividido por 8 dá resto 3. 
II. O quociente anterior dividido por 7 dá resto 2. 
III. O novo quociente dividido por 5 dá resto 1. 
 
a) 515 
b) 179 
c) 259 
d) 355 
e) 315 
 
 
 
 
 
Substituindo o valor de “b”, fica: 
 
x = 56b + 19 
x = 56(5c + 1) + 19 
x = 280c + 56 + 19 
 
 
 
 
21. (IBGE – 2006) Em uma fila, a vigésima primeira pessoa ocupa o lugar central. Quantas 
pessoas há nessa fila? 
 
a) 44 
b) 43 
c) 42 
d) 41 
e) 40 
 
 
20 + 20 + 1 = (quantidade de pessoas existentes na fila) 
Solução: 
• a > b 
• a – b = 15 
(a + 3) – (b – 2) = a + 3 – b + 2 = (a – b) + 5 = 15 + 5 = 20 
• Então: 
a – b = 15 
(a + 3) – (b – 2) = 20 
20 – 15 = 5 
 
OBS.: A nova diferença aumentará de 5 
Solução: 
• Seja “x” o número procurado. Então: 
x 8 
3 a I. 
x = 8a + 3 
a 7 
2 b 
II. a = 7b + 2 
b 5 
1 c 
III. b = 5c + 1 
x = 8a + 3 
Substituindo o valor de “a”, fica: 
x = 8(7b + 2) + 3 
x = 56b + 16 + 3 
x = 56b + 19 
O problema diz: 
• “O menor número natural de 3 algarismos”. 
OBS: É só fazer c = 1. Então: 
x = 280  1 + 75 
x = 280 + 75 
x = 280c + 75 
x = 355 
Solução: 
 
1, 2, 3, ..., 19, 20, , 22, 23, ..., 39, 40, 41 
 
 20 1 20 
21 
lugar central 
41 
Matemática Com Solução 2 
 15 
 
22. (MCS – PL) O produto de todos os divisores inteiros de 12, é: 
 
a) 2  3 
b) 22  36 
c) 26  32 
d) 24  3 
e) 26  33 
 
• Encontrando as potências de cada divisor em relação às bases 2 e 3, fica: 
D(12) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 } 
  
BASE 2 = 20  21  22  21  22 = 26 
BASE 3 = 31  31  31 = 33 
 
• Então: (1  2  3  4  6  12) = 
 
23. (MCS – PL) O número de divisores de 24 é: 
 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 5 
 
 
VERIFICAÇÃO: 
• O conjunto dos divisores de 24, é: 
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} → 8 divisores 
 
24. (MCS – PL) O valor de 2,3666... é: 
 
a) 
213
90
 
b) 
213
9
 
c) 
9
213
 
d) 
90
215
 
e) 
90
213
 
 
 
2,3666... 
90
336
2
−
+ → 
90
33
2 + → 
Solução: 
• Decompondo 12 em fatores primos, encontramos: 
12 = 22  3 
• O conjunto dos divisores de 12 é: 
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
12 2 
 6 2 
 3 3 
 1 12 = 22  3 
26  33 
Solução: 
• Decomponha o número em fatores primos. 
24 = 23  3 
• Adicione uma unidade aos expoentes e multiplique os resultados. 
(3 + 1)  (1 + 1) = 4  2 = 8 divisores 
Solução: 
• 2,3666... (Dízima Periódica Composta, com parte inteira “2”, parte não 
periódica “3” e período “6”). 
 
• REGRA: 
• Mantenha a parte inteira (2). 
• Coloca-se no numerador a parte não periódica (3) acompanhada do período 
(6), menos a parte não periódica (3). 
• Coloca-se no denominador tantos noves (9) quantos forem os algarismos do 
período seguido de tantos zeros (0) quantos forem os algarismos da parte 
não periódica. Fica: 
90
213
 letra “e” 
Professor Paulo Lobão 
 16 
 
25. (CEFET/AM – 2006) Assinale a alternativa em que os números estão dispostos em ordem 
crescente: 
 
a) 
6
5
 , 
10
7
 , 
5
4
 
b) 
6
5
 , 
5
4
 , 
10
7
 
c) 
10
7
 , 
5
4
 , 
6
5
 
d) 
5
4
 , 
6
5
 , 
10
7
 
e) 
5
4
 , 
10
7
 , 
6
5
 
 
26. (MCS – PL) A quantidade de algarismos do número 28  54 é: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 10 
 
• Resolvendo, fica: 
28  54 = 24  24  54 = 24 (2  5)4 = 24  104 = 16  10000 
16 0000 
   
 2 4 
 
 
 
 
27. (UEL – PR) O número 625 pode ser escrito como uma soma de cinco números inteiros 
ímpares consecutivos. Nessas condições, uma das parcelas dessa soma é um número: 
 
a) menor que 120 
b) maior que 130 
c) quadrado perfeito 
d) divisível por 9 
e) múltiplo de 15 
 
x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8) = 625 
x + x + 2 + x + 4 + x + 6 + x + 8 = 625 
5x + 20 = 625 
→=
5605
x 
 
Solução: 
• Vamos analisar a alternativa “b”. 
6
5
 , 
5
4
 , 
10
7
 (m.m.c = 30) → 
30
25
 , 
30
24
 , 
30
21
 
• Frações de mesmo denominador, a menor será a de menor numerador. 
• Então: 
30
25
 , 
30
24
 , 
30
21
 estão em ordem crescente. letra “b” 
Solução: 
• Procure obter uma potência em base 10, (2  5) igualando os expoentes de “2” e “5”. 
Exemplo: 
2a  5a = (2  5)a = 10a. 
2 + 4 = 6 algarismos 
x = 121 
Solução: 
• Os cinco números são inteiros, ímpares e consecutivos. Então: 
x , x + 2 , x + 4 , x + 6 e x + 8 são os números pedidos. Fica: 
• Os números são: 
 x (x + 2) (x + 4) (x + 6) (x + 8) 
      
121 – 123 – 125 – 127 – 129 
121 = 112 (quadrado perfeito) letra “c” 
Matemática Com Solução 2 
 17 
 
28. (SEDUC/AM – 2006) É dada a seguinte seqüência: – 1, +2, – 3, +4, ..., – 9, +10. Quanto 
vale a adição algébrica desses números? 
 
a) – 5 
b) 6 
c) 7 
d) 5 
e) – 8 
 
29. (NOKIA/AM – 2005) Entre os quadrados de dois números naturais consecutivos “a” e 
“b”, com a < b, existem 24 números naturais. O valor de “a” é: 
 
a) 11 
b) 12 
c) 13 
d) 14 
e) 15 
 
Existem 24 números 
●⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯● 
a2 Total = 26 (a + 1)2 
 
(a + 1)2 = a2 + 25 → a2 + 2a + 1 = a2 + 25 → 2a + 1 = 25 → 2a = 25 – 1 → 2a = 24 → 
 
ATENÇÃO: “Observe que o dobro do menor é igual à quantidade de números existentes 
entre os extremos”. 
 
30. (MCS – PL) Entre os quadrados de dois números naturais e consecutivos “a” e “b”, com 
a < b, existem 6 números naturais. O valor de “a” é: 
 
a) 2 
b) 1 
c) 4 
d) 5 
e) 3 
 
 
VERIFICAÇÃO: 
• Se “a” é igual a 3, então “b” é igual a 4. Fica: 
• a < b 
3 < 4 (consecutivos) 
9 < 16 (quadrados) 
• Entre “9” e “16” temos os seguintes números naturais: 
9 16 
|⎯⎯|⎯⎯|⎯⎯|⎯⎯|⎯⎯|⎯⎯|⎯⎯| 
 10 11 12 13 14 15 ⎯⎯→ 6 números 
OBS.: Compare com o exercício anterior. (não há necessidade de aplicar P.A na solução) 
 
Solução: 
• Seqüência: – 1, +2, – 3, +4, ..., – 9, +10 . Fica: 
– 1 – 3 – 5 – 7 – 9 = – 25 
+ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = + 30 
– 25 + 30 = 5 
Solução: 
• Os números são naturais e consecutivos. 
• a < b (“a” é menor que “b”). 
• a = ? 
• Fazendo , fica: b = a + 1 
(mais os extremos) 
(a + 1)2 = a2 + (26 – 1)  1 “Progressão Aritmética” 
a = 12 
Solução: 
• a < b. 
“A quantidade de números existentes entre os quadrados de dois números naturais e 
consecutivos é igual ao dobro do menor”. Então: 
 
→=→=
2
6
a62a 
 
a = 3 
Professor Paulo Lobão 
 18 
 
31. (MCS – PL) A soma dos três algarismos de um numeral é 11. O algarismo das dezenas é o 
dobro do algarismo das centenas e o algarismo das unidades é a terça parte do algarismo das 
dezenas. O numeral é: 
 
a) 263 
b) 632 
c) 462 
d) 332 
e) n.r.a 
 
 
• Substituindo e em , fica: 
11
3
y
2xx =++ (Substitua “y” por “2x”) 
→=→=→=++→==++
11
33
x3311x332x6x3x 3)(m.m.c 11
3
2x
2xx 
y = 2x → y = 2  3 → →=→=
3
6
z
3
y
z 
• O numeral é 362 . letra “e” (nenhuma resposta acima) 
OBS.: Procure distinguir número de numeral! 
 
32. (MCS – PL) A soma de dois algarismos de um número é 12. Se somarmos 18 a esse 
número, o resultado ficará com os algarismos permutados. O número é: 
 
a) 66 
b) 84 
c) 48 
d) 39 
e) n.r.a 
 
• Equacionando e resolvendo, fica: 
 
 
 
 
• Tirando o valor de “x” em e substituindo em , fica: 
 
x + y = 12 → 
 
10(12 – y) + y + 18 = 10y + 12 – y → 120 – 10y + y + 18 = 10y + 12 – y → 138 – 9y = 9y + 12 
– 9 y – 9 y = 12 – 138 → – 18y = – 126  (– 1) → 18y = 126 → 
18
126
y = → 
x = 12 – 7 → 
 
• O número é “xy”. Então: 
 
 
letra “e” (nenhuma resposta acima) 
2 
 
3 
 
1 
 
x = 3 
y = 6 z = 2 
Solução: 
• Considere “xyz” o numeral. 
z = algarismo das unidades. 
y = algarismo das dezenas. 
x = algarismo das centenas. 
1 
2 
 
3 
 
• Equacionando e resolvendo, fica: 







=
=
=++
3
y
z
2xy
11zyx
 
Solução: 
• Considere “xy” o número. 
 y  1 (unidade) 
  x  10 (dezena) 




+=++
=+
x10y18y10x
12yx
 
1 
2 
 
1 
 
2 
 
x = 12 – y 
y = 7 
x = 5 
xy = 57 
• “yx” (algarismos permutados) 
 x  1 (unidade) 
  y  10 (dezena) 
Matemática Com Solução 2 
 19 
 
33. (ESA) Qual o menor número que se deve subtrair de 21316 para se obter um número 
divisível por “5” e por “9” é: 
 
a) 29 
b) 31 
c) 33 
d) 36 
e) 37 
 
 
b) 21316 – 31 = 21285 (VERDADEIRA!) 
OBS.: 
• Um número é divisível por “5” quando ele termina em “5” (cinco) ou em “0” (zero). 
< 21285 termina em “5” > 
• Um número é divisível por “9” quando a soma de seus algarismos der um número divisível 
por “9” (nove). 
< 21285 → 2 + 1 + 2 + 8 + 5 = 18 > “18” é divisível por “9”. 
• Cheque as outras alternativas. 
 
34. (ESA) Se 3a9b é divisível ao mesmo tempo por 2 e 5, então “b” é igual a: 
 
a) – 2 
b) – 1 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
 
3a9b 
  
 0 
 
35. (ESA) Entre os números abaixo, é quadrado de número natural: 
 
a) 43  52  93 
b) 24  42  53 
c) 26  54  63 
d) 24  3  52 
e) 25 32  46 
ALTERNATIVA (a): 
43  52  93 = (22)3  52  (32)3 = 26  52  36 
OBS.: 
• Todas as bases (2, 5 e 3) são números primos. OK! 
• Todos os expoentes (6, 2 e 6) são pares. OK! 
Atenção! 
Cheque as outras alternativas. 
Solução: 
• Vamos jogar com as alternativas. 
a) 21316 – 29 = 21287 (FALSA!) 
(não é divisível nem por “5” nem por “9”) 
Solução: 
• “Um número é divisível por dois (2) quando ele é par”. 
• “Um número é divisível por cinco (5) quando ele termina em cinco (5) ou zero (0). 
Então: 
Observando as alternativas vemos que a letra “e” é verdadeira . Pois o número ficará 
igual a 3a90 que é um número par e também divisível por 5. 
Solução: 
• Para que seja quadrado perfeito, as bases tem que ser “Fatores Primos”. 
• Todos os expoentes dos fatores primos têm que ser pares. Fica: 
Professor Paulo Lobão 
 20 
 
36. (MCS – PL) Se (2a + 5) e (a – 1) são números ímpares negativos e consecutivos, então o 
valor de a é: 
 
a) 4 
b) – 6 
c) – 5 
d) – 3 
e) – 4 
 
(2a + 5) – (a – 1) = 2 
2a + 5 – a + 1 = 2 
2a – a = 2 – 6 
 
 
 
37. (MCS – PL) Obtenha, na forma de número decimal, o valor da razão 
y
x
, sabendo que 
x
y
 = 0,625. 
 
a) 1,3 
b) 1,4 
c) 1,5 
d) 1,6 
e) 1,7 
 
 
 
38. (UFF – RJ) Três números naturais e múltiplos consecutivos de “5” são tais que o triplo do 
menor é igual ao dobro do maior. Dentre esses números, o maior é: 
 
a) múltiplo de 3 
b) ímpar 
c) quadrado perfeito 
d) divisor de 500 
e) divisível por 4 
Solução: 
• Os números são naturais e múltiplos consecutivos de “5”. 
• Considerando “x” o menor deles, fica: 
x , x + 5 , x + 10 
• 3x = triplo do menor. 
• 2(x + 10) = dobro do maior. 
• Equacionando e resolvendo, fica: 
3x = 2(x + 10) → 3x = 2x + 20 → 3x – 2x = 20 → 
 x , x + 5 , x + 10 
20 , 20 + 5 , 20 + 10 
20 , 25 , 30 
• O maior é 30 . “30 é múltiplo de 3” 
Solução: 
• Números ímpares consecutivos são aqueles cuja diferença entre o conseqüente e 
o antecedente é dois (2). 
• Equacionando e resolvendo, fica: 
a = – 4 
 – 5 – 3 
– ⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯ + 
 (a – 1) (2a + 5) 0 
Solução: 
• 
x
y
 = 0,625 
 ==→=
625
1000
y
x
1000
625
x
y
 1,6 
 x = 20 
Matemática Com Solução 2 
 21 
 
39. (MAUA – SP) Se três números inteiros e consecutivos tem a soma igual a zero, determine a 
soma dos valores absolutos destes três números. 
 
a) 1 
b) 0 
c) 3 
d) – 2 
e) 2 
 
• Equacionando e resolvendo, fica: 
x + x + 1 + x + 2 = 0 → 3x + 3 = 0 → 3x = – 3 → 
3
3
x
−= → 
• Os números são: 
 x , x + 1 , x + 2 
– 1 , – 1 + 1 , – 1 + 2 
– 1 , 0 , + 1 
• O problema pede a soma dos valores absolutos. 
• Valor absoluto de um número é o número sem sinal (é o mesmo que módulo). Então: 
| – 1 | , | 0 | , | + 1 | = 1 + 0 + 1 = 
 
40. (UNICAMP – SP) Um número inteiro positivo de três algarismos termina em 7. Se este 
último algarismo for colocado antes dos outros dois, o novo número assim formado excede de 
21 o dobro do número original. O número inicial é: 
 
a) 367 
b) 358 
c) 399 
d) 359 
e) n.r.a 
 
700 + 10x + y – 21 = 2(100x + 10y + 7) 
700 + 10x + y – 21 = 200x + 20y + 14 
10x + y + 679 = 200x + 20y + 14 
200x + 20y + 14 – 10x – y – 679 = 0 
190x + 19y – 665 = 0 ( 19) → 0
19
665
y10x =−+ → 
 
OBSERVE: Substituindo o valor de “10x + y”, fica: 
700 + 10x + y = 7xy → 7xy
19
665
700 =+ → 7xy
19
66519700
=
+
 → 7xy
19
66513300
=
+
 
7xy
19
13965
= → 
• O novo número é 735. 
• O número original é: 
 Resposta: letra “e” → n.r.a 
 
Solução: 
• Os números são inteiros e consecutivos, então: 
x, x + 1, x + 2 são os números. 
x = – 1 
2 
Solução: 
• xy7 = 100x + 10y + 7 = número original. 
• 7xy = 700 + 10x + y = novo número. 
• Equacionando e resolvendo, fica: 
19
665
y10x =+ 
735 = 7xy 
xy7 = 357 
Professor Paulo Lobão 
 22 
 
41. (UFMG) Todas as alternativas sobre números inteiros estão corretas, exceto: 
 
a) Nem todo primo é ímpar. 
b) Todo inteiro par pode ser escrito na forma n2 + 2, n ℤ. 
c) A soma de dois inteiros ímpares é sempre um inteiro par. 
d) Todo inteiro ímpar pode ser escrito na forma 2n – 9, n ℤ. 
e) Se “n” é um inteiro ímpar, então “n2” também é ímpar. 
Solução: 
• Vamos analisar as alternativas e buscar a “FALSA” . 
a) O nº “2” é par e é primo. VERDADEIRA! 
b) Se n2 + 2 = 4 → n2 = 2 → n = 2 ( )irracional é 2 . FALSA! 
OBS.: “Todas as outras alternativas são verdadeiras. ANALISE-AS! 
42. (UFRN) O valor de 
0,666...
2
 é: 
 
a) 0,333... 
b) 1,333... 
c) 3,333... 
d) 3 
e) 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
43. (CONVEST – PE) O produto das idades de três amigos adolescentes (entre 12 e 19 anos) 
corresponde a 4080 anos. A soma das idades, em anos, dos adolescentes é: 
 
a) 48 
b) 49 
c) 50 
d) 51 
e) 52 
 
 
4080 2 
2040 2 
1020 2 
 510 2 
 255 3 
 85 5 
 17 17 
 1 24  3  5  17 
• VEJA: 15  16  17 = 4080 
Solução: 
• “Divisão de um número inteiro por uma dízima periódica simples”. 
• Resolvendo, fica: 
9
6
2
0,666...
2
= → Divisão de fração 
• Repete a primeira fração (2/1) e multiplique-a pelo inverso da segunda (9/6). 
Fica: 
==
6
18
6
9
1
2
 3 
Solução: 
• As idades estão entre “12” e “19”, então: 
13, 14, 15, 16, 17, 18 
• Decompondo 4080 em fatores primos, fica: 
• O número “4080” é, ao mesmo tempo, múltiplo de 2, 3, 5 e 17. 
• Por esse motivo, os números 13 e 14 estão fora. 
• O número “18”, também está fora. Pois, 18 = 9  2 = 32  2 (na 
decomposição do número 4080, o número “3” aparece apenas 
uma vez). 
• As idades são: 15, 16 e 17. 
 
• A soma é: 
 
15 + 16 + 17 = 48 
• 4080 = 24  3  5  17 
Matemática Com Solução 2 
 23 
 
44. (F. E. EINSTEIN – SP) Seja “N” um número natural dado por N = 2000  x. Um possível 
valor para “x” que torna “N” um quadrado perfeito é: 
 
a) 100 
b) 270 
c) 405 
d) 490 
e) 555 
 
2000 2 
1000 2 
 500 2 
 250 2 
 125 5 
 25 5 
 5 5 
 1 24  53 
 
VEJA: 
➢ A base “3” tem expoente par “4”. OK! 
➢ A base “5” tem expoente ímpar “1”. Fica: 
5  53 = 54 
  do número 2000 
➢ A base “2” do número “2000” já tem expoente par. OK! (A resposta é o nº 405 . letra “c” ) 
VERIFICAÇÃO: 
➢ N = 2000  405 = 810000 
    
 9 0 0 
 
➢ → Quadrado Perfeito 
 
• As outras alternativas são FALSAS! VERIFIQUE! 
 
45. (MCS – PL) O menor número pelo qual devemos multiplicar 60 para obtermos um 
quadrado perfeito é: 
 
a) 8 
b) 15 
c) 3 
d) 5 
e) 30 
 
 
 
• Concluímos, então, que o número pedido é 15 . 
• Verificação: 
60  15 = 900 → 900 = 30 (quadrado perfeito) 
Solução: 
 
• 
 
• Decompondo 2000, fica: 
N = 2000  x 
• 2000 = 24  53 (basta apenas multiplicar por “5” para obtermos um 
quadrado perfeito). Veja as alternativas: 
• Temos de buscar nas alternativas um número múltiplo de “5”, com 
expoente ímpar, e qualquer outra base com expoente par. 
• Decompondo 405, fica: 
405 = 34  5 
900810000= 
Solução: 
 
• Decompondo 60 em fatores primos, fica: 
60 = 22  3  5 
• As bases 3 e 5 possuem expoentes ímpares. 
• Para que essas bases (3 e 5) fiquem com expoentes pares, há necessidade de 
multiplicarmos 60 por 3  5 = 15. 
Professor Paulo Lobão 
 24 
 
46. (PSC/UFAM – 2006) Seja “k” o menor número inteiro pelo qual se deve multiplicar 1260 
para que o resultado seja o quadrado de um número natural. Então, a soma dos algarismos de 
“k” é: 
 
a) 07 
b) 12 
c) 08 
d) 05 
e) 03 
 
 
 
 
 
• Observe que os expoentes das bases (5 e 7) sãos iguais a “1” (ímpares) 
• “Para que se tenha um quadrado perfeito, há necessidade de que os expoentes de todas as 
bases sejam pares”. 
• Então: k = 7  5 → k = 35 
• O problema pede “a soma dos algarismos de k”. Então: 
3 + 5 = 8 
 
47. (MCS – PL) Considere “A” um número natural positivo e “a”, “b”, “c” e “d” as bases 
provenientes da decomposição em fatores primos de “A”. Qual das alternativas representa 
um quadrado perfeito? 
 
a) A = a2  b3  c  d 
b) A = a2  b2  c  d2 
c) A = a4  b2  c2  d4 
d) A = a5  b2  c2  d2 
e) A = a  b  c  d 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
 
48. (ESA) A forma fatorada de um número natural “x” é 23  3  52 e a forma fatorada de um 
número natural “y” é 24  32  5  7. Então, podemos afirmar que o MDC de (x, y) é: 
 
a) 102 
b) 120 
c) 840 
d) 3600 
e) 5880 
• “O MDC entre dois ou mais números é igual ao produto dos fatores comuns de menor 
expoente ”. 
• Os fatores comuns de “x” e “y”, são: 2 , 3 e 5 . 
• De menor expoente são: 23 , 3 e 5 . Então fica: 
MDC (x, y) = 23  3  5 
MDC(x, y) = 8  3  5 → 
Solução: 
 
• Decompondo 1260 em fatores primos, fica: 
1260 2 
 630 2 
 315 3 
 105 3 
 35 5 
 7 7 
 1 1260 = 22  32  5  7 
Solução: 
 
• A alternativa “ c ” tem todas as bases elevadas a expoentes pares. 
(VERDADEIRA) 
Solução: 
• x = 23  3  52 
• y = 24  32  5  7 
• MDC (x, y) = ? 
MDC (x, y) = 120 
Matemática Com Solução 2 
 25 
 
49. (FUVEST – SP) Sabendo-se que m.d.c (360, 300) = a e m.m.c (360, 300) = b, então o 
produto a  b é igual a: 
 
a) 1 080 000 
b) 108 000 
c) 1 080 
d) 10 800 
e) 108 
 
• Então: 
a  b = m.d.c (360, 300)  m.m.c (360, 300) 
a  b = 360  300 
 
 
 
50. (MCS – PL) A forma fatorada de um número natural “x” é 23  3  52 e a forma fatorada 
de um número natural “y” é 24  32  5  7. Então, podemos afirmar que o M.M.C de (x, y) é: 
 
a) 25 000 
b) 25 200 
c) 24 200 
d) 24 000 
e) 3 600 
• “O M.M.C entre dois ou mais números é igual ao produto dos fatores comuns e não 
comuns de maior expoente ”. 
• Comuns de maior expoente: 24 , 32 e 52 . 
• Não comuns: 7 . Então: 
MMC (x, y) = 24  32  52  7 → MMC (x, y) = 16  9  25  7 → 
 
51. (ESA) Três rolos de fio medem, respectivamente, 24m, 84m e 90m. Eles foram cortados em 
pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então, o comprimento de cada pedaço é: 
 
a) 8m 
b) 3m 
c) 6m 
d) 2m 
e) 4m 
 
24 2 90 2 84 2 
12 2 45 3 42 2 
 6 2 15 3 21 3 
 3 3 5 57 7 
 1 24 = 23  3 1 90 = 2  32  5 1 84 = 22  3  7 
 
• Fatores Comuns: = 2 e 3. 
• De menor expoente: 2 e 3. Então: 
MDC(24, 84, 90) = 2  3 = 
Solução: 
 
• “O produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum é 
igual ao produto dos números”. 
a  b = m.d.c (a, b)  m.m.c (a, b) 
a  b = 108 000 60  1 800 = 108 000 
OBSERVE: 
• O m.d.c entre (360, 300) = 60 
• O m.m.c entre (360, 300) = 1 800 
Solução: 
• x = 23  3  52 
• y = 24  32  5  7 
• M.M.C (x, y) = ? 
MMC (x, y) = 25 200 
Solução: 
• “Esse é um problema típico de MDC”. 
• “O MDC entre dois ou mais números é igual ao produto dos fatores comuns de 
menor expoente ”. 
• Decompondo os números em fatores primos, fica: 
6 
Professor Paulo Lobão 
 26 
 
52. (UPF – RS) Três cidades resolveram realizar um evento no ano 2000. A cidade “A” 
decidiu que, a partir de então, ele se realizará de 5 em 5 anos; a cidade “B” decidiu que ele se 
repetirá de 3 em 3 anos; e a cidade “C”, de 6 em 6 anos. As cidades A, B e C realizarão 
novamente o evento no mesmo ano em: 
 
a) 2014 
b) 2090 
c) 2030 
d) 2021 
e) 2006 
 
 
 
53. (MCS – PL) O MDC (Máximo Divisor Comum) entre dois números primos entre si é: 
 
a) o produto dos números 
b) a soma dos números 
c) 0 
d) 1 
c) n.r.a 
54. (MCS – PL) O MMC (Mínimo Múltiplo Comum) entre dois números primos entre si é: 
 
a) o produto dos números 
b) a soma dos números 
c) 0 
d) 1 
c) n.r.a 
55. (MCS – PL) O MMC dos monômios 14a3b3, 49a5c4 e 28a2 é: 
 
a) 196a5b3c4 
b) 196a3b2c2 
c) 98a5b3c4 
d) 98a3b2c2 
e) 196a4b3c4 
 
 
 
MMC = 72  22  a5  b3  c4 → 
 
56. (MCS – PL) O MDC dos monômios 14a3b3, 49a5c4 e 28a2 é: 
 
a) 7a 
b) 7a2 
c) 14a 
d) 14a2 
e) 7 
 
 
 
 
Solução: 
• Esse é um problema típico de m.m.c. Então: 
3, 5, 6 2 
3, 5, 3 3 
1, 5, 1 5 
1, 1, 1 m.m.c = 2  3  5 = 30 
2000 + 30 = 2030 
Solução: 
• Números primos entre si são aqueles cujo MDC 
entre eles é 1 (um). 
Solução: 
• O MMC entre dois números primos entre si é igual ao 
produto entre eles . letra “a” 
Solução: 
• O MMC é o produto dos fatores comuns e não comuns de maior expoente. 
Então: 
14a3b3 = 2  7  a3b3 
49a5c4 = 72  a5c4 
28a2 = 22  7  a2 
MMC = 196a5b3c4 
Solução: 
• O MDC é o produto dos fatores comuns de menor expoente. Então: 
   
14a3b3 = 2  7  a3b3 = 2  7  a2  a  b3 
49a5c4 = 7  7  a5c4 = 7  7  a2  a3  c4 
28a2 = 22  7  a2 = 22  7  a2 
MDC = 7  a2 
Matemática Com Solução 2 
 27 
 
57. (MCS – PL) O grau do polinômio – 7x4y + x2y – 2x3y4 é: 
 
a) 5º grau 
b) 4º grau 
c) 6º grau 
d) 7º grau 
e) 3º grau 
 
 
 
58. (MCS – PL) O grau do polinômio x2 + 2xy + y3 em relação a “y” é: 
 
a) 4º grau 
b) 2º grau 
c) 3º grau 
d) 1º grau 
e) 7º grau 
 
 
 
59. (MCS – PL) O grau do monômio 32x6y4 é: 
 
a) 10º grau 
b) 6º grau 
c) 4º grau 
d) 12º grau 
e) 8º grau 
 
 
 
60. (PUC – SP) Um lojista dispõe de três peças de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 
48m, 60m e 80m. Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja-se vender o tecido em 
retalhos iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento possível, de modo 
a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos ele deverá obter? 
 
a) 50 
b) 52 
c) 48 
d) 47 
e) 46 
 
 
 
 
 
• “O MDC é o produto dos fatores comuns de menor expoente”. 
MDC = 22 = 4 (o único fator comum é o 2) 
• O problema pede a quantidade de retalhos, então: 
(48 + 60 + 80) ÷ 4 = 188 ÷ 4 = 47 letra “d” 
Solução: 
• “O grau de um polinômio não-nulo é dado pelo seu termo de maior grau”. 
Então: 
 
– 7x4y + x2y – 2x3y4 
    Conforme a definição, letra “d” 
5º grau 3º grau 7ºgrau 
Solução: 
• O grau de um monômio, não-nulo, é indicado pela soma dos expoentes da 
sua parte literal. Então: 
 
 32x6y4 
  
 10ºgrau 
Solução: 
• Esse é um problema típico de MDC. Então: 
48 2 60 2 80 2 
24 2 30 2 40 2 48 = 24  3 
12 2 15 3 20 2 60 = 22  3  5 
 6 2 5 5 10 2 80 = 24  5 
 3 3 1 22  3  5 5 5 
 1 24  3 1 24  5 
Solução: 
• “O grau de um polinômio em relação a uma variável é dado pelo maior 
expoente da variável pedida”. Então: 
 
x2 + 2xy + y3 
  
 3ºgrau 
• “3” é o maior expoente de “y”. 
Professor Paulo Lobão 
 28 
 
TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDAS 
 
61. (IBGE – 2005) Um formulário do Censo pesa, em média, 13g. Sabendo que vários desses 
formulários serão transportados em um elevador cuja capacidade máxima é de 350kg e que o 
peso do ascensorista é de 67kg, o número máximo de formulários que poderão ser 
transportados nesse elevador, de cada vez, é: 
 
a) 21767 
b) 21768 
c) 21769 
d) 21770 
e) 21771 
• Equacionando e resolvendo, fica: 
350kg – 67kg = 283kg (é o peso máximo que o elevador suportará com formulários). 
• Transformando 283kg em gramas, fica: 
283kg = 283000g 
• Se um formulário pesa, em média, 13g. Então: 
=
13
283000
 letra “c” (Despreze a parte centesimal) 
62. (UNIMAR – SP) Uma pessoa demorou 19812 segundos para efetuar uma viagem. O tempo 
de duração da viagem corresponde a: 
 
a) 330,0h 
b) 330h 12min 
c) 5,5h 
d) 5h 30min 12seg 
e) 5h 30,2seg 
Solução: 
• Fazendo as transformações em horas, minutos 
e segundos, fica: 
 
• 
 
• 
 
• 
 
 
63. (CEFET – 2005) O valor da expressão 100cm + 10dm + 1m + 0,1dam é: 
 
a) 0,4mm 
b) 4mm 
c) 40mm 
d) 400mm 
e) 4000mm 
• 10dm = 1000mm 
• 1m = 1000mm 
• 0,1dam = 1000mm 
Solução: 
• 350kg = capacidade máxima do elevador. 
• 67kg = peso do ascensorista. 
• 13g = peso, em média, de um formulário. 
21769,23 
1h = 60’ 
1min = 60” 
1h = 60  60 = 3600” 
19812 3600 
18000 5h 30min 12seg 
 1812 
 60 
108720 
108000 
 720 
 60 
 43200 
 43200 
 (0) 
x 
x 
– 
– 
– 
Solução: 
• Observe que todas as alternativas estão em milímetros (mm). Então, 
transforme todas as grandezas dadas no problema para milímetros. 
• 100cm = 1000mm 
4000mm 
 100cm + 10dm + 1m + 0,1dam 
 1000 + 1000 + 1000 + 1000 = 
Matemática Com Solução 2 
 29 
 
POTENCIAÇÃO 
 
64. (IBGE) O valor de 
22
22
99101
9991001
−
−
 é: 
 
a) 1 
b) 10 
c) 20 
d) 40 
e) 100 
 
( )
( )
( )
( ) 44y
44x
44yyy
44xxx
44yyy
44xxx
2yy
2xx
99101
9991001
22
22
22
22
22
22
22
22
−
−
=
−+−
−+−
=
+−−
+−−
=
−−
−−
=
−
−
 
 
( )
( ) 1y
1x
1y4
1x4
−
−
=
−
−
 
100
1000
1101
11001
=
−
−
= 10 
 
OUTRA MANEIRA DE RESOLUÇÃO (Utilize produtos notáveis) 
 
“O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o 
quadrado do segundo”. 
 
( ) ( )
( ) ( ) 400
4000
2002
20002
9910199101
99910019991001
99101
9991001
22
22
==
−+
−+
=
−
−




= 10 
 
65. (UFMG) A expressão 
2
2
2
3
1
 
9
1
 
a
1
 
a 
aa






−
−







 −−

, com a  0, é equivalente a: 
 
a) 
9 5a− 
b) 
9 5a 
c) 
9 7a
−− 
d) 
9 7a 
e) 
9 7a− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
• Considere 1001 = x, então 999 é igual a (x – 2). 
• Considere 101 = y, então 99 é igual a (y – 2). 
• Substituindo na expressão original, fica: 
Colocando 4 em 
evidência, fica: 
Substituindo os valores de “x” 
por 1001 e “y” por 101, fica:Solução: 
 
• A expressão envolve potenciação. 
• Desenvolvendo a primeira divisão, fica: 
 
9
25
 
2
9
7
 
2
3
2
 
9
1
 
2
3
2
 
9
1
 
2
2
3
1
 
9
1
 
a 
a 
a
a 
a
a 
aa
a 
aa
−
−−−−−
−−
−=
−
=
−
=
−
=
−










 
 
 
VEJA: 2 
2
2
a
a
1
a
1
 
a
1
 
a
1
 
−==





−





−=





−  . Então: 
 
 
9
7
 2 
9
25
 
2 9
25
 
a a a a 
−+−
−
−
−=−=− → 9 7a−− 
Professor Paulo Lobão 
 30 
 
66. (FUVEST – SP) A metade de 222, é? 
 
a) 211 
b) 210 
c) 212 
d) 221 
e) 244 
 
 
 
67. (MCS – PL) Qual o menor número pelo qual se deve dividir 23  3  52 para torná-lo 
quadrado perfeito? 
 
a) 2 
b) 4 
c) 5 
d) 7 
e) 6 
 
• Então vamos trabalhar as bases 2 e 3 para que seus expoentes fiquem pares: 
 
23  2 = 23 – 1 = 22 
 
31  3 = 30 = 1 
 
68. (CEFET/AM – 2006) O quociente de 





− 25ba
4
3
 por 





− ab
5
3
 é: 
a) ba
4
5 4
 
b) ba
4
5 4− 
c) ba
12
15 4
 
d) ba
20
9 4− 
e) ba
20
9 4
 
 
a5  a = (divisão de potência da mesma base) 
 
b2  b = (divisão de potência da mesma base) 
 
OBS.: Juntando as partes, fica: 
 
 letra “a” 
 
 
Solução: 
 
• É só dividir 222 por 2. Logo: 
222  2 
• Divisão de potência de mesma base. 
REGRA: Conserva a base e subtrai os 
expoentes. 
 
222  2 = 222 – 1 = 221 Letra “d” 
 
Solução: 
• OBSERVE: 
23 = expoente ímpar. ? 
31 = expoente ímpar. ? 
52 = expoente par. OK! 
2  3 = 6 letra “e” 
ba
4
5 4
 
Solução: 
• De cara, podemos concluir que a resposta é positiva. 
• 





−





−  ab
5
3
ba
4
3 25 = ? 
(As alternativas “b” e “d” já estão descartadas) 
• Resolvendo por parte, fica: 
==





−





− 
3
5
4
3
5
3
4
3
 
 
4
5
 
a4 
b 
Matemática Com Solução 2 
 31 
 
69. (MCS – PL) O resultado de 2
1
21
922 −− é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) – 1 
d) 2 
e) – 2 
 
70. (MCS – PL) Qual o menor número inteiro positivo pelo qual se deve multiplicar o produto 
25  75, a fim de se obter um cubo? 
 
a) 2 
b) 7 
c) 14 
d) 9 
e) 25 
 
 
71. (ESA) Resolvendo a expressão 
n 3
1 2n1 n
3
33
−
−+ 
, obtemos: 
a) 3 
b) 
27
1
 
c) 
3
1
 
d) 32n – 3 
e) 3– (2n + 1) 
 
( ) ( )
( ) ( ) =======
 −+−−−−−
−
−
−
+−+
−
−−+
−
−+
1n3n2n3 n2
n 3
n2
n 3
12n1n
n 3
12n 1 n
n 3
1 2n1 n
333
3
3
3
3
3
3
3
33
 
 
72. (CESGRANRIO – RJ) O número de algarismos do produto 517  49 é igual a: 
 
a) 17 
b) 18 
c) 26 
d) 34 
e) 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
• Resolvendo a expressão, fica: 
=−=−=−=− +−−  323292922 1212
1
21
 – 1 
Solução: 
• Há necessidade que os expoentes das bases (fatores primos) sejam múltiplos de 3. 
25  2 , 75  7 
 26 , 76 
(6 é múltiplo de 3) Então, o menor número é: 2  7 = 14 
Solução: 
• O problema envolve divisão de potência da mesma base. 
REGRA: 
“Conserva-se a base e subtrai os expoentes”. Então: 
3
1
 
Solução: 
• Vamos obter uma potência de base 10. (2  5) , então fica: 
517  49 = 516  5  (22)9 
516  5  218 = 516  5  22  216 
(5  2)16  5  4 
(10)16  20 
20  10000000000000000 
   
1 + 1 + 16 = 
 
18 algarismos 
Professor Paulo Lobão 
 32 
 
73. (ESA) A diferença 270,333... – 160,75 é igual a: 
 
a) 5 
b) 6 
c) – 5 
d) – 6 
e) 2 
( )
=−
−=−=−=−=−=−=−=−
83
2323232316271627 16 271627 34
12
4 124 343 34 334
3
3
1
100
75
9
3
0,750,333...
 
74. (MCS – PL) Dentre as alternativas abaixo, assinale a única que é falsa. 
 
a) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab 
b) (a – b)16 = (b – a)16 
c) (a – b)7 = – (b – a)7 
d) (a – b)5 = (b – a)5 
e) (a – b)(a + b) = a2 – b2 
Solução: 
• Analisando as alternativas, fica: 
a) (a + b)2 – 2ab = a2 + 2ab + b2 – 2ab = a2 + b2. VERDADEIRA! 
b) Como o expoente é par, o resultado será positivo. VERDADEIRA! 
c) – (b – a) = – b + a = a – b. VERDADEIRA! 
d) Como o expoente é ímpar, então (a – b)  (b – a). 
 
FALSA! 
 
e) Produto da soma pela diferença: “quadrado do primeiro menos o quadrado do 
segundo”. VERDADEIRA! 
 
75. (CESCEM – SP) 92,5 – 10240,1 é igual a: 
 
a) – 83 
b) – 81 
c) 241 
d) 243 
e) 245 
• Substituindo os valores na expressão dada, fica: 
 92,5 – 10240,1 
   
(32)2,5 – (210)0,1 
• Potência de Potência: “Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes”. Então: 
 32  2,5 – 210  0,1 
 35 – 21 
   
243 – 2 = 
Solução: 
• O problema envolve dízima periódica simples e potência de número decimal. 
• Resolvendo, fica: 
– 5 
( 3) ( 25) 
+  – 
–  + 
 
Solução: 
• Decompondo o “9” e o “1024”, fica: 
9 = 32 
1024 = 210 
241 
Matemática Com Solução 2 
 33 
 
76. (ESA) A potência (20,121212...)990 tem quantos divisores naturais: 
 
a) 12 
b) 13 
c) 120 
d) 121 
e) 991 
( ) ===






= 

10 1299
990 12
990
99
12
990.0,121212..
2222 2120 
OBS.: O número de divisores é igual ao expoente adicionado de uma unidade. 
 
 
 
 
77. (UEL – PR) Se “x” e “y” são números reais, então: 
 
a) 
yxyx
3)(3 = 
b) (2x  3y)2 = 22x  32y 
c) (2x – 3x)y = 2xy – 3xy = – 1xy 
d) 5x + 3x = 8x 
e) 3  2x = 6x 
 
 
 
 
 
 
 
78. (MCS – PL) O resultado de 42532 – 42522 é: 
 
a) 8008 
b) 8808 
c) 8504 
d) 8506 
e) 8505 
42532 – 42522 → (x + 1)2 – x2 → Resolvendo, fica: → x2 + 2x + 1 – x2 = 
• Substituindo “x” por seu valor, fica: 
2x + 1 = 2  4252 + 1 = 8504 + 1 = 
 
OBS.: “A diferença entre os quadrados de dois números inteiros e consecutivos (a + 1)2 e (a)2 é 
igual ao dobro do menor mais uma unidade”. 
 
VEJA: 
42 – 32 = 16 – 9 = 
42 – 32 = 2  3 + 1 = 6 + 1 = 
 
Solução: 
• Estamos diante de um problema que envolve Dízima Periódica Simples e 
Potência de Potência. 
• Resolvendo, fica: 
120 + 1 = 121 
Solução: 
• Vamos analisar a alternativa “b”. 
(2x  3y)2 → (Estamos diante de um produto de potência 
de potência) 
 
REGRA: “Conserva-se as bases e multiplicam-se os 
expoentes”. Então: 
 
(2x  3y)2 = 22x  32y VERDADEIRA! 
OBS.: Todas as outras alternativas são falsas. 
2x + 1 
Solução: 
• Observe que 4252 e 4253 são números consecutivos. 
• Fazendo 4252 igual a “x”. Então: 4253 é igual a “(x + 1)”. 
• Substituindo esses valores na expressão inicial, fica: 
8505 
7 
7 
Professor Paulo Lobão 
 34 
 
79. (CEFET/AM – 2006) Observe as afirmações: 
 
I. 3  25 = 65 
II. 5
5
10
2
2
2
= 
III. 53  5 – 2 = 5 
IV. ( )
81
1
3
22 =
−
 
V. 
4
4
3
1
81 =− 
 
a) todas são verdadeiras 
b) todas são falsas 
c) apenas uma é verdadeira 
d) duas são verdadeiras 
e) três são verdadeiras 
 
80. (NOKIA/AM – 2006) Simplificando a expressão 
32
2
3
2
1
 
3
xx
x
xxy
−
−

= , para x > 0, obtemos: 
a) x5 
b) x6 
c) 1 
d) x– 6 
e) x– 5 
 
 
• Fazendo por partes, fica: 
32
2
3
2
1
 
3
xx
x
xxy
−
−

= 
• ===
−
−−
 2
1 6
2
1
 3
2
1
 
3 xxxx 
 
• == −− 3 232 xxx 
 
 
81. (UFAL) Simplificando ( )
6
1
2
1
3
2 





, obtemos: 
a) 4 2 
b) 3 2 
c) 2 
d) 4 22 
e) n.r.a 
( ) ====




 
4
1
12
3
6
1
 
2
1
 36
1
2
1
3
2 222
 
 letra “a” 
Solução: 
• Analisando item a item, temos: 
▪ 3  32 = 7776 → 96 = 7776 FALSA! 
▪ 210  25 = 25 → 210 – 5 = 25 → 25 = 25 VERDADEIRA! 
▪ 53  5 – 2 = 5 → 53 – 2 = 5 → 5 = 5 VERDADEIRA! 
▪ ( )
81
1
81
1
81
1
3
1
81
1
3
81
1
3
4
422 =→=→=→= −
−
 VERDADEIRA! 
▪ 
( ) ( ) 416444444
4
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
81
1
3
1
81 =→=→=→=− FALSA! 
Solução: 
• A questão envolve “produto e divisão” de potência da mesma base. 
• Produto de potência da mesma base: “conserva-se a base e soma-se os expoentes”. 
• Divisão de potência da mesma base: “conserva-sea base e subtrai os expoentes”. 
2
5
x 
x – 1 
• Substituindo os valores, fica: 
( ) →=→=→=
=→=→=
−−
−−
−
+
−−
−



1 4
1
4
1
2
8
1
2
3
 
2
5
1
2
3
2
5
32
2
3
2
1
 
3
xy
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
xy
xx
x
xxy
 
y = x5 
Solução: 
• O problema se refere a potência de potência. 
REGRA: 
“Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes”. Então: 
( 3) 
4 2 
Matemática Com Solução 2 
 35 
 
82. (FESP – SP) Se 53x = 8, então o valor de 5– x é: 
 
a) 2 
b) 
2
1
 
c) 
4
1
 
d) 
8
1
 
e) 
6
1
 
 
• Use o seguinte artifício: 
 
 
 
• Resolvendo, fica: 
a  a  a = 23 
 
a3 = 23 
 
 
 
===−
a
1
5
1
5
x
x
 
 
83. (FGV – SP) 3
2
 
3
2
8
3
2
8
3
2 −
 − é igual a: 
 
a) 2,5 
b) 0 
c) 23 
d) 1 
e) – 1 
 
 
 
4
1
3
2
4
3
2
 − (Colocando 
3
2
 em evidência, fica:) ===




 −
=





− 
12
30
4
15
3
2
4
116
3
2
4
1
4
3
2
 
 
84. (NOKIA – 2002) A expressão 251 – 250 – 249 vale: 
 
a) 2– 48 
b) – 249 
c) 248 
d) 249 
e) 250 
 
Solução: 
 
• 
 
• Resolvendo, fica: 
53x = 8 
53x = 23 
5x  5x  5x = 23 
x
x
5
1
5 =− 
5x = a 
a = 2 
2
1
 
Solução: 
• 8 = 23 
• Resolvendo, fica: 
 
( ) ( ) 223
2
 3
3
2
 3
3
2
 33
2
33
2
 
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
8
3
2
8
3
2 −




−−−
 −=−=−=−

 
2,5 
Solução: 
• Colocando 249 em evidência, fica: 
 
251 – 250 – 249 = 249(22 – 21 – 20) = 249(4 – 2 – 1) = 249  1 = 249 
Professor Paulo Lobão 
 36 
 
MÉDIAS 
 
85. (FUVEST – SP) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, 
estritamente positivos, é 16. O maior valor que um desses números pode assumir é: 
 
a) 16 
b) 20 
c) 50 
d) 70 
e) 100 
 
( ) ( ) ( )
16
5
n3a2a1aa
=
+++++++
 
5) (m.m.c 16
5
n3a2a1aa
==
+++++++
 
a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + n = 80 
 
• Fazendo “a = 1”, fica: 
n = 74 – 4  1 → n = 74 – 4 → 
 
86. (MCS – PL) A média aritmética entre os números 
4
21
 e 
4
1
 ,
2
1
 é: 
a) 
4
23
 
b) 2 
c) 
10
24
 
d) 4 
e) 
6
23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
87. (MCS – PL) A média geométrica dos números 2 e 8, é: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 8 
 
 
 
 
Solução: 
• “A média aritmética é igual à soma dos números dividido pela quantidade deles”. 
• Considere “a”, “a + 1”, “a + 2”, “a + 3” e “n” os números. 
• “n” é o maior valor que um deles pode assumir. Então: 
4a + 6 + n = 80 
 
4a + n = 80 – 6 
 
4a + n = 74 → n = 74 – 4a 
n = 70 
Solução: 
• “A média aritmética é igual à soma dos números dividido pela quantidade deles”. 
• Considerando Ma = média aritmética, fica: 
4)(m.m.c 
3
4
21
4
1
2
1
aM =
++
= 
 
3
4
2112
aM
++
= 
 
3
4
24
aM = → 
3
6
aM = → Ma = 2 
Solução: 
• “A média geométrica de 2 e 8 é igual à raiz quadrada do produto deles”. Então: 
• Considere gM = média geométrica. 
→=
= 
16M
28M
g
g
 
Mg = 4 
Matemática Com Solução 2 
 37 
 
88. (MCS – PL) A média geométrica entre 15, 36 e 50 é: 
 
a) 20 
b) 30 
c) 50 
d) 10 
e) 40 
 
 
 
 
89. (IBGE – 2005) A média aritmética simples de três números inteiros positivos e 
consecutivos é 24. O produto desses números será: 
 
a) 9 240 
b) 10 624 
c) 10 626 
d) 12 144 
e) 13 800 
 
 
 
 
 
( )
→−=→+=→
+
=→
+
=→
++++
= 124x1x24
3
1x3
24
3
33x
24
3
2x1xx
24 
• Os números são: 
 x x + 1 x + 2 
    
23 24 25 
 
90. (UFMS – 2005) Uma empresa tem 18 funcionários. Um deles pede demissão e é substituído 
por um funcionário de 22 anos de idade. Com isso, a média das idades dos funcionários 
diminui dois anos. Assim, a idade do funcionário que se demitiu é de: 
 
a) 50 anos 
b) 48 anos 
c) 54 anos 
d) 56 anos 
e) 58 anos 
 
• Equacionando e resolvendo, fica: 





−=
+
=
+
2Ma
18
22x
Ma
18
yx
 
• Substituindo “Ma” de em , fica: 
→=+→−+=+→=−
+
=
+
y362236yx22x 18)(m.m.c 2
18
yx
18
22x
 
Solução: 
• Considere “n” a quantidade de números. 
“A média geométrica é igual a raiz “n” do produto dos números”. 
• Os números são: 15, 36 e 50 (n = 3) . 
• O produto deles é: (15  36  50 = 27000). Resolvendo, fica: 
=====  10310310002727000Mg 3 3333 30 
Solução: 
• “Média aritmética é a razão entre a soma dos números e a quantidade deles”. 
• Ma = média aritmética = 24. 
• Os três números são: 
x, x+1, x+2 (inteiros e consecutivos). Então: 
( ) ( )
3
2x1xx
Ma
++++
= 
x = 23 
• O problema pede o produto deles, então: 
 
23  24  25 = 13 800 
Solução: 
• Total de funcionários = 18. 
• Considere “x” o somatório das idades dos outros 17 funcionários. 
• Considere “y” a idade do funcionário demitido. 
• Ma = média aritmética. 
1 
 
2 
 
y = 58 anos 
1 
 
2 
 
Professor Paulo Lobão 
 38 
 
91. (MACKENZIE – 2006) A média aritmética de “n” números positivos é 7. Retirando-se do 
conjunto desses números o número 5, a média aritmética dos números que restam passa a ser 
8. O valor de “n” é: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 6 
e) 9 
 
 
 
 
• Substituindo “x” por 7n, fica: 
x – 5 = 8(n – 1) → 7n – 5 = 8 n – 8 → – 5 + 8 = 8n – 7n → 
 
92. (MANAUS ENERGIA) De acordo com a tabela abaixo, determine o valor da temperatura 
média às 6 horas da manhã no período de uma semana em Santa Catarina: 
 
a) 12 °C 
b) 11 °C 
c) 10 °C 
d) 9 °C 
e) 10,5 °C 
 
 
 
Fonte: IBGE 
Solução: 
• Temperatura Média = Média Aritmética. 
• 
Dias de Quantidade
asTemperatur das Soma
 Média aTemperatur = 
7
10110909101315
 Média aTemperatur
++++++
= 
→=
7
77
 Média aTemperatur 
 
93. (MCS – PL) A média aritmética ponderada de 5, 6, 8 e 21 com pesos respectivos de 6, 4, 3 e 
2, é? 
 
a) 12 
b) 4 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
 
 
 
Dias da Semana Temperatura °C 
segunda-feira 
terça-feira 
quarta-feira 
quinta-feira 
sexta-feira 
sábado 
domingo 
15 
13 
10 
09 
09 
11 
10 
Solução: 
• Considere “x” o somatório dos “n” números. Então: 
→= 7
n
x
 
• Retirando o número “5”, fica: 
→=
−
−
8
1n
5x
 
x = 7n 
x – 5 = 8(n – 1) 
n = 3 
Temperatura Média = 11 °C 
Solução: 
• “A Média Aritmética Ponderada é igual ao quociente da soma dos produtos de 
cada valor por seu respectivo peso pela soma dos pesos”. 
 
→=→
+++
=
+++
+++
=

15
120
M
15
42242430
M
2346
221384665
M
APAP
AP
 
MAP = 8 
Matemática Com Solução 2 
 39 
 
94. (UFSC) O quadro abaixo representa a distribuição de notas de uma turma de 20 alunos, 
numa prova de química. Determine a média da turma: 
 
NOTA 50 40 60 80 90 100 
N° de Alunos 2 4 5 3 4 2 
 
a) 21 
b) 48 
c) 68 
d) 40 
e) 58 
 
 
 
 
VALOR NUMÉRICO 
95. (PSM/UFAM – 2007) Se 3
x
1
x =− , então o valor de 
2
3
3
2
x
1
x
x
1
x ++− é: 
 
a) 27 
b) 47 
c) 36 
d) 11 
e) 63 
 
 
 
 
• Elevando ambos os membros da igualdade 





=− 3
x
1
x ao cubo, fica: 
( )3
3
3
x
1
x =





− 
27
x
1
x
1
x3
x
1
x3x
32
23 =





−





+−  
27
x
1
x
1
3x
x
3x
x
32
2
3 =−+−  
• Substituindo 
""






−
x
1
x por “3”, fica: 
27
x
1
x3
x
1
x
3
3 =





−−− 
2733
x
1
x
3
3 =−−  
→=−− 279
x
1
x
3
3
 
 
Solução: 
• M = Média Ponderada. 
→=
+++++
=→
+++++
+++++
=

20
1360
M
20
200360240300160100
M
243542
2100490380560440250
M
 
M = 68 
11
x
1
x
2
2 =+ 
Solução: 
• Elevando ambos os membros da igualdade 





=− 3
x
1
x ao quadrado, fica: 
( ) →+=+→=+−→=





+−→=





−  29
x
1
x9
x
1
2x9
x
1
x
1
x2x3
x
1
x
2
2
2
2
2
22
2
 
72
x
1
x
3x
x
3x
x
32
2
3 =−+− 
27
x
1
x
3
3xx
3
3 =−+− 
27
x
3
3x
x
1
x
3
3 =+−− 
27
x
1
x3
x
1
x
3
3 =





−−− 
36
x
1
x
3
3 =− 
• O problema pede o valor de 
2
3
3
2
x
1
x
x
1
x ++− . 
Então: 
+





=+ 11
x
1
x
2
2






=−36
x
1
x
3
3 
   
 11 + 36 = 47 
Professor Paulo Lobão 
 40 
 
96. (CMM/AM – 2006) O valor da expressão 
1
2
2
23
2
44aa
4a
2aa
23aa
−






++
−






+
+−
 para 2a = , é: 
a) 2 
b) 1 
c) 12 − 
d) 12 + 
e) 
2
12 −
 
 
• Substituindo esses valores na expressão, fica: 
1
2
2
23
2
44aa
4a
2aa
23aa
−






++
−






+
+−
 → 
( )( )
( )
( )( )
( )( )
1
2
2a2a
2a2a
2aa
1a2-a
−






++
−+






+
−
 
OBS.: O 2º fator está elevado a menos um (– 1) . É só inverter numerador com denominador. 
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
22
a
1a
2a2a
2a2a
2aa
1a2a −
=
−+
++
+
−−
 
• Substituindo “a” por 2 , fica: 
 
( )22
12 −
 = Letra “e”. 
 
97. (CMM/AM – 2006) Sendo x = 1,32 e y = 0,68, o valor da expressão x2 + y2 + xy2 + yx2 será: 
 
a) 2 
b) 4 
c) 8 
d) 16 
e) 32 
 
• Fatorando, fica: 
x2(1 + y) + y2(1 + x) 
• Substituindo os valores, fica: 
x2(1 + y) + y2(1 + x) → (1,32)2(1 + 0,68) + (0,68)2(1 + 1,32) → (1,7424)(1,68) + (0,4624)(2,32) 
2,927232 + 1,072768 = letra “b” 
 
98. (IBGE – 2005) Se x + y = 4 e xy = 1, então 
y
1
x
1
+ vale: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
Solução: 
 
• Aplicando as regras de produtos notáveis e de fatoração de trinômio, fica: 
• a2 – 3a + 2 = (a – 2)(a – 1) Fatoração de Trinômio. 
• a3 + 2a2 = a2(a + 2) Fatoração Simples. 
• a2 – 4 = (a + 2)(a – 2) Produtos Notáveis. 
• a2 + 4a + 4 = (a + 2)(a + 2 ) Produtos Notáveis. 
2
12 −
 
Solução: 
• x = 1,32 
• y = 0,68 
• x2 + y2 + xy2 + yx2 = ? 
4 
Solução: 
• ==
+
==+
1
4
xy
xy
 xy)(m.m.c 
y
1
x
1
 
• “É só substituir os valores dados no problema”. 
4 
Matemática Com Solução 2 
 41 
 
99. (CESGRANRIO) Se 
2
1
a = e b = – a, então 
1 
2b
2
a
 
−+ vale: 
a) 
4
11
− 
b) 
4
13
− 
c) 
4
15
− 
d) 
4
13
 
e) 
4
15
 
 
 
 
100. (CEFET/AM – 2006) O valor da expressão 
ab
ba +
, para 
2
1
a = e 
3
2
b −= é: 
a) 
2
7
− 
b) 
2
7
 
c) 
2
3
− 
d) 
2
1
 
e) 
2
1
− 
 
101. (MCS – PL) O valor de “x” na expressão 
62x
4x
−
+
 não possui valor numérico para: 
a) x = 1 
b) x = 2 
c) x = 3 
d) x = – 3 
e) x = 4 
 
Solução: 
• É só fazer o denominador da expressão igual a zero. 
 
62x
4x
−
+
 , então: 
 
2x – 6 = 0 → 2x = 6 → 
2
6
x = → 
 
OBS.: Não se pode dividir por zero. 
 
Solução: 
• 
2
1
a = 
• b = – a 
• Substituindo esses valores na expressão dada, fica: 
( )
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
a
2
2
2
1
a
1
2
2
2
1
a2
2
2
1
2b
2
a
 
1 1  −=
−
+=
−
+=
−
+=−+=+
−−
 
=
−
==−
4
161
 4)(m.m.c 
1
4
4
1
 
4
15
− 
Solução: 
• Substituindo os valores, fica: 
 
==





−





−=
−
−
=
−
−
=
−
−
=






−











−+
=
+

6
3
1
3
6
1
3
1
6
1
3
1
6
43
 
3
1
3
2
2
1
3
2
2
1
3
2
2
1
ab
ba
 
 
(m.m.c = 6) 
2
1
 
x = 3 
Professor Paulo Lobão 
 42 
 
102. (FUVEST – SP) Se b
x
1
x =+ , calcule 
2
2
x
1
x + . 
 
a) b2 – 1 
b) 2 
c) 2b 
d) b2 – 2 
e) b2 – 4 
 
DIVISÃO (D = d  q + r) 
 
103. (NOKIA – 2006) Dividindo-se 35 por “b” com b  ℕ*, obtém-se quociente 5 e resto o 
maior possível. O valor de “b” é: 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
 
Lembre-se: “Em uma divisão, o dividendo (D) é igual ao divisor (d) vezes o quociente (q) mais 
o resto (R)”. Logo: 
 
 
 
OBS.: O resto maior possível é igual ao divisor menos uma unidade. 
 
 
D = d  q + Rm 
35 = b  5 + (b – 1) → 35 = 5b + b – 1 → 35 = 6b – 1 → 36 = 6b → 
6
36
b = → 
 
104. (MSC – PL) Em uma divisão o quociente é 5, o divisor é 4 e o resto é o maior possível. O 
dividendo é: 
 
a) 15 
b) 13 
c) 17 
d) 19 
e) 23 
 
 
• q = quociente = 5 
• d = divisor = 4 
• Rm = resto → Rm = d – 1 → 4 – 1 = 3 
• D = Dividendo = ? 
D = d  q + Rm → D = 4  5 + 3 → D = 20 + 3 → 
 
Solução: 
 
• D = dividendo = 35 
• d = divisor = b 
• q = quociente = 5 
• Rm = resto = (b – 1) 
D = d  q + R 
Rm = d – 1 
b = 6 
 
Solução: 
 
• OBS.: O resto maior possível é igual ao divisor menos uma unidade. 
 
 
 
 
Rm = d – 1 
D = 23 
Solução: 
• Elevando ambos os membros ao quadrado, fica: 
 b
x
1
2xb
x
1
x
1
x2x b
x
1
x b
x
1
x
2
2
22
2
2
 
2
2
→=++→=++→=





+→=+  2b
x
1
x
2
2
2 −=+ 
Matemática Com Solução 2 
 43 
 
105. (SEAD/AM – 2005) Se multiplicarmos um número “ℕ” por 
4
3
 e dividirmos o resultado 
por 
5
3
, podemos afirmar que ℕ foi: 
a) multiplicado por 
20
9
 
b) multiplicado por 5/4 
c) dividido por 
20
9
 
d) dividido por 
4
5
 
e) dividido por 
3
4
 
 
5
3
4
3
N 
 → 
3
5
4
3
N  → OBS.: “ℕ” ficou multiplicado por 
4
5
. (letra “b”) 
 
106. (MCS – PL) Seja “A” um número natural que ao ser dividido por “9” deixa resto 5, e ao 
ser dividido por “3” deixa resto “2”. Sabendo-se que a soma dos quocientes obtidos nessas 
divisões é “9”, pode-se afirmar que “A” é igual a: 
 
a) 23 
b) 27 
c) 28 
d) 33 
e) 35 
 
• Equacionando e resolvendo, fica: 
A 9 
5 q 
 
A 3 
2 1q 
 
• Igualando “A” e substituindo “ 1q ” por seu valor, fica: 
3(9 – q) + 2 = 9 q + 5 
27 – 3q + 2 = 9 q + 5 
29 – 5 = 9q + 3q 
 
24 = 12q → 
 
1q = 9 – q → 1q = 9 – 2 → 
 
• A = 9q + 5 → A = 9  2 + 5 → A = 18 + 5 → letra “a” 
 
Solução: 
 
• Resolvendo, fica: 
5
3
4
3
N 
 
• Divisão de fração: “repete-se a 1ª fração, muda-se o sinal de 
dividir para multiplicar e inverte-se a 2ª fração”. 
4
5
N  
Solução: 
• LEMBRE-SE: 
 
• →=+ 9qq 1 
D = d  q + R 
q9q1 −= 
A = 9q + 5 
A = 3
1q + 2 
q = 2 
1q = 7 
A = 23 
Professor Paulo Lobão 
 44 
 
107. (MCS – PL) Em uma divisão o divisor é igual a (x – 1), o dividendo é igual a (x2 + x – 3). 
Achar o quociente sabendo que o resto é o maior possível. (Considere x – 1  0) 
 
a) 2x + 1 
b) 2x – 1 
c) x + 1 
d) x – 1 
e) x 
 
 
 
x2 + x – 3 = (x – 1)  q + (x – 2) 
x2 + x – 3 – x + 2 = q(x – 1) 
x2 – 1 = q(x – 1) 
notáveis) (produtos 
1x
1x
q
2
−
−
= → 
( )( )
( )1x
1x1x
q
−
−+
= → letra “c” 
 
108. (MCS – PL) O polinômio ax3 + bx2 + cx + d é o quociente exato da divisão de 
x5 – x4 – 34x3 + 34x2 + 225x – 225 por x2 – 4x + 3. O resultado de | a + b + c + d | é: 
 
a) 100 
b) 196 
c) 86 
d) 98 
e) 96 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Igualando, fica: 
ax3 + bx2 + cx + d = x3 + 3x2 – 25x – 75 → a = 1 ; b = 3 ; c = – 25 e d = – 75 
• O problema pede: 
| a + b + c + d | 
| 1 + 3 – 25 – 75 | 
| 4 – 100 | 
| – 96 | 
 
 
 
OBS.: O resultado do módulo sempre será positivo. 
 
Solução: 
D = x2 + x – 3 
d = x – 1 
Rm = d – 1 = (x – 1) – 1 = x – 2 
q = ? 
D = d  q + R 
q = x + 1 
Solução: 
• Vamos fazer a divisão dos polinômios e igualar o resultado. Então: 
 
 x5 – x4 – 34x3 + 34x2 + 225x – 225 x2 – 4x + 3 
– x5 + 4x4 – 3x3 + x3 + 3x2 – 25x – 75 
 3x4 – 37x3 + 34x2 + 225x – 225 
 – 3x4 + 12x3 – 9x2 
 – 25x3 + 25x2 + 225x – 225 
 25x3 – 100x2 + 75x 
 – 75x2 + 300x – 225 
 75x2 – 300x + 225 
 ( 0 ) 
96 
Matemática Com Solução 2 
 45 
 
109. (CEFET/AM – 2006) Dividindo-se x4 + 2x2 – 3 por x2 – 2x + 1 obtém-se resto “R”, que, 
multiplicado por – 2x + 1, para x = 1 é: 
 
a) – 2 
b) – 1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
 
 
 
 
 
• O resto é igual a: 
 
• Vamos multiplicar o “RESTO” por “– 2x + 1” e substituir “x” por “1”. Fica: 
(8x – 8)(– 2x + 1) 
(8  1 – 8)( – 2  1 + 1) 
(8 – 8)(– 2 + 1) = 0  (–1) = 
 
 
RAZÃO 
 
110. (ESA– 97) Os comprimentos de dois postes estão entre si assim como 3 está para 5. 
Sabendo-se que o menor deles mede 6 metros, então o maior mede: 
 
a) 12m 
b) 18m 
c) 10m 
d) 15m 
e) 20m 
 
 
 
 
111. (MCS – PL) A terceira proporcional dos números 
2
1
 e 2, é: 
a) 8 
b) 12 
c) 10 
d) 6 
e) 1 
 
 
→=→=  4x
2
1
x
2
2
2
1
 
R = 8x – 8 
0 
Solução: 
• Fazendo a divisão de trinômio por trinômio, fica: 
x4 + 2x2 – 3 x2 – 2x + 1 
– x4 + 2x3 – x2 + x2 + 2x + 5 
 2x3 + x2 – 3 
 – 2x3 + 4x2 – 2x 
 5x2 – 2x – 3 
 – 5x2 + 10x – 5 
 8x – 8 
Solução: 
 
• Considere “A” o menor poste e “B” o maior. Então: 
A B 
x = ? 
6m 
5
3
x
6
= 
3x = 30 
x = 10m 
x = 8 
Solução: 
• Dados dois números racionais “a” e “b”, não nulos, denomina-se terceira 
proporcional desses números um número “x”, tal que: 
x
b
b
a
= . Então: 
2
1
a = e b = 2 
Professor Paulo Lobão 
 46 
 
112. (NOKIA/AM – 2002) Um prêmio da sena saiu para dois cartões, um da cidade “A” e 
outro da cidade “B”. Nesta última, o cartão era de seis apostadores, tendo cada um 
contribuído com a mesma importância para a aposta. A fração do prêmio total para cada 
apostador da cidade “B” é de: 
 
a) 
6
1
 
b) 
8
1
 
c) 
9
1
 
d) 
10
1
 
e) 
12
1
 
 
113. (CEFET/AM – 2005) A razão de 0,45 para 22,5 é igual a: 
 
a) 0,02 
b) 0,2 
c) 2 
d) 0,5 
e) 0,002 
 
 
 
 
 
 
 
114. (CEAM – 2007) O valor de x   que é solução de (x + 6) está para (x + 4) assim como 5 
está para 2 é: 
 
a) – 8/3 
b) – 7/2 
c) – 4/3 
d) – 5/2 
 
• Resolvendo, fica: 
5(x + 4) = 2(x + 6) → 5x + 20 = 2x + 12 → 5x – 2x = 12 – 20 → 3x = – 8 → 
115. (MCS – PL) Quantos 
7
3
 cabem em 
14
9
? 
a) 7/3 
b) 14/7 
c) 3/2 
d) 2/3 
e) 7/14 
 
Solução: 
• O prêmio total foi dividido entre “A” e “B”. 
• Cada parte ganhou metade do prêmio. (1/2) 
• Na cidade “B”, que ganhou ½, o prêmio foi dividido por 6. Então: 
== 
6
1
2
1
6
2
1
 
OBS.: 
12
1
 é o prêmio para cada apostador ganhador da cidade “B”. 
12
1
 
Solução: 
• Razão é o resultado da divisão entre dois números. Então: 
10
225
100
45
R
22,5
0,45
R
=
=
 
22500
450
R
225
10
100
45
R
=
= 
 
( 450) 
→=
50
1
R R = 0,02 
Solução: 
• Equacionando, fica: 






=
+
+
extremos dos produto ao
igual é meios dos Produto
 
2
5
4x
6x
 
x = – 8/3 
Solução: 
• É só dividir 
14
9
 por 
7
3
. Então: ===  
42
63
3
7
14
9
7
3
14
9
 ( 21) 
2
3
 
Matemática Com Solução 2 
 47 
 
116. (SEMSA/MANAUS – AM – 2005) Uma ripa de madeira com 28cm foi dividida em 2 
pedaços na razão de 3 para 4. O comprimento do pedaço maior, em centímetros, é: 
 
a) 18 
b) 16 
c) 15 
d) 13 
e) 12 
 
• Equacionando o problema, fica: 
 
 
 
 
• Aplicando as propriedades das proporções, fica: 
 
4
43
y
yx +
=
+
 
• Substituindo “x + y” por “28”, fica: 
→=→=→
+
=
7
112
y1127y
4
43
y
28
 
OBS.: O pedaço maior tem 16cm de comprimento. letra “b” 
 
117. (UNIFOR – CE) Se a razão entre dois números é 
5
3
, a razão entre o quíntuplo do 
primeiro e a terça parte do segundo é igual a: 
 
a) 
9
1
 
b) 
3
1
 
c) 1 
d) 3 
e) 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A x C y B 
28 
Solução: 
 
• x = comprimento da menor parte. 
• y = comprimento da maior parte. 




=+
=
28yx
4
3
y
x
 
1 
2 
1 
y = 16 
Solução: 
• x = primeiro número. 
• y = segundo número. 
• 
5
3
y
x
= (razão entre os números) 
• 5x = quíntuplo do primeiro. 
• 
3
y
 = terça parte do segundo. 
• O problema pede 
3
y
5x
 = ? 
• Resolvendo, fica: 
• 
y
x
15
y
3
1
5x
3
y
1
5x
3
y
5x
 === 
• Substituindo 











5
3
por 
y
x
, fica: 
=== 
5
45
5
3
15
y
x
15 9 
Professor Paulo Lobão 
 48 
 
118. (ESA – 97) A razão entre as idades de um pai e seu filho é 
2
5
. Se o pai tinha 21 anos 
quando o filho nasceu, a idade do filho é: 
 
a) 14 anos 
b) 16 anos 
c) 24 anos 
d) 28 anos 
e) 35 anos 
 
• Isolando “x” na equação e substituindo em , fica: 
 
x – y = 21 → 
 
( )
→=
=
=−
+=
+=
=
+
3
42
y
423y
422y5y
2y425y
y2125y
2
5
y
y21
 
 
119. (IBGE – 2005) Um grupo de estudantes foi entrevistado. Destes, 
5
1
 afirmou ler 
regularmente, 
3
1
 disse ler eventualmente, e os restantes afirmaram não possuir o hábito de 
leitura. A razão entre o número de leitores que lêem regularmente e aqueles que não possuem 
hábito de leitura pode ser expressa pela fração: 
 
a) 
3
1
 
b) 
4
1
 
c) 
7
3
 
d) 
8
3
 
e) 
7
5
 
 
• “O problema pede a razão entre os que lêem regularmente e os que não possuem hábito de 
leitura”. Resolvendo, fica: 
 
==  
7
15
5
1
15
7
5
1
 
 
Solução: 
• Considere “x” = idade do pai. 
• Considere “y” = idade do filho. 
• Equacionando e resolvendo, fica: 




=−
=
21yx
2
5
y
x
 
1 
2 
OBS: A diferença das 
idades é de 21 anos. 
2 1 
x = 21 + y 
y = 14 
Solução: 
• Lêem regularmente = 
5
1
 
• Lêem eventualmente = 
3
1
 
• O restante não possui o hábito de leitura. Então: 
=
+
=+
15
53
3
1
5
1
 =−
15
8
15
15
 
15
8
 
15
7
 Os que não possuem o 
hábito de leitura. 
7
3
 ( 5) 
Matemática Com Solução 2 
 49 
 
120. (FUVEST – SP) Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por: 
 
a) 
125
1
 
b) 
8
1
 
c) 8 
d) 12,5 
e) 80 
 
PROPORÇÃO 
 
121. (MCS – PL) A diferença entre dois números é igual a 28. A razão entre eles é 
9
16
. A soma 
desses números é: 
 
a) 81 
b) 70 
c) 80 
d) 90 
e) 100 
 
 





=
=−
9
16
y
x
28yx
 
• ATENÇÃO! 
Vamos aplicar a seguinte regra na equação : 
REGRA: 
“A diferença entre o 1º e o 2º termo de uma proporção está para o 1º assim como a 
diferença entre o 3º e o 4º está para o 3º”. 
 
 
 
 
 
• Substituindo “(x – y)” por “28”, fica: 
 
 16287x
16
7
x
28
=→= ( 7) 
 164x →=  
 
 
• O problema pede (x + y). Então: 
 
 
 
OBS.: “A regra acima é importantíssima para a solução de problemas de proporção”. 
Solução: 
• x = número objeto do problema. Fica: 
====  80
1
x
125
10000
1
x
10000
125
x
0,0125
x
 
 
80  x 
É o mesmo que 
multiplicá-lo 
por 80 . 
Solução: 
• Considere “x” e “y” os números. 
• O problema pede (x + y = ?) 
• Estamos diante de um problema que envolve razão e proporção. 
• Pelos dados do problema, temos o seguinte sistema: 
1 
2 
2 
3º
4º 3º
1º
2º 1º −
=
−
 →
16
916
x
yx
9
16
y
x −
=
−
→= 
x = 64 
• Substituindo “x” por “64”, fica: 
x – y = 28 – y = – 36  (– 1) 
64 – y = 28 
– y = 28 – 64 
y = 36 
64 + 36 = 100 
Professor Paulo Lobão 
 50 
 
122. (CEF – 2004) Curiosamente, dois técnicos bancários observaram que, durante o 
expediente de certo dia, os números de clientes que haviam atendidos eram inversamente 
proporcionais às suas respectivas idades: 36 e 48 anos. Se um deles atendeu 4 clientes a mais 
que o outro, então o total de pessoas atendidas pelo mais velho foi: 
 
a) 20 
b) 18 
c) 16 
d) 14 
e) 12 
 
 
 
 
Mais Novo Mais Velho 
Clientes: x x – 4 
Idade: 36 48 
 
 
 
( ) 





=−
144
7
x42x
36
1
 
 
144
7x
36
42x
=
−
 
 
 
123. (MCS – PL) Um pai deixou de herança a importância de R$ 60.000,00 para ser dividida 
em partes diretamente proporcionais às idades dos seus dois filhos. Sabendo que as idades são 
de 2 e 4 anos, o filho mais velho recebeu: 
 
a) 20.000,00 
b) 40.000,00 
c) 10.000,00 
d) 15.000,00 
e) 30.000,00 
 




=
=+
4
y
2
x
60.000yx
 
 
Resolvendo o sistema fica: 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
• Na divisão diretamente proporcional, a maior parte recebe mais. 
 
• Na divisão inversamente proporcional, a maior parte recebe menos. 
 
Solução: