Aula 5 - Bases Matematicas

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Bases Matemáticas para
Engenharia
Aula 5 - Função A�m ou polinomial do primeiro
grau
INTRODUÇÃO
No contexto da matemática escolar, com vistas às aplicações, funções podem ser entendidas como um conceito que
trata de problemas de variação e quanti�cação de fenômenos. Em outras palavras, pode ser entendido como o estudo
de relações entre grandezas que variam. Dentro desta concepção, uma variável representa os valores do domínio de
uma função, surgindo a noção de variáveis dependente e independente.
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Nesta Aula 5, abordaremos a função polinomial do 1º grau. O estudo das funções permite ao aluno adquirir a
linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar
situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da
própria Matemática.
OBJETIVOS
Identi�car uma função polinomial do 1º grau;
Reconhecer o grá�co de uma função a�m;
Resolver situações-problema envolvendo função a�m.
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Função a�m ou função polinomial do primeiro grau
No estudo das funções matemáticas, toda função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝒂𝒙 + 𝒃, com 𝑎, 𝑏 ∈ e 𝑎 ≠ 0, é denominada função
a�m ou função polinomial do 1º grau.
Note que 𝒂, 𝒃 são parâmetros e 𝒙 é variável, enquanto que 𝑓(𝑥) é o valor da função a�m na variável 𝑥.
Exemplo
, a) y = 6x + 9 é uma função a�m, em que a = 6 e b = 9., , b) y = 5x é uma função a�m, em que a = 5 e b = 0., , c) y = 2x - 4 é uma
função a�m, em que a = 2 e b = -4., , d) y = -0,8x - 0,7 é uma função a�m, em a = -0,8 e b = -0,7.
COEFICIENTES NUMÉRICOS
Considere 2 pontos (𝑥 , 𝑦 ) e (𝑥 , 𝑦 ) quaisquer, nesta reta, sabendo que 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Observe que, isolando b, nas duas igualdades, temos:
Isso signi�ca que, em uma função a�m, a taxa de variação é constante e igual ao parâmetro 𝒂, ou seja:
1 1 2 2 1 1 2 2
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Geometricamente, o parâmetro 𝒂 é chamado de coe�ciente angular, enquanto que o parâmetro 𝒃 é chamado de
coe�ciente linear.
Convém observar que o coe�ciente angular é a tangente do ângulo de inclinação:
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM
De acordo com a tabela a seguir, vamos construir um grá�co correspondente aos valores registrados.
Observe que para cada valor, na coluna de tempo em 𝒙, existe um valor correspondente na coluna de temperatura em
𝒚. O grá�co de uma função a�m é uma reta não perpendicular ao eixo 𝑶𝒙.
Agora, podemos construir o grá�co interligando os pontos no eixo das abscissas (0𝑥) aos pontos correspondentes nas
ordenadas (0𝑦).
Note que a variação dos valores de 𝒚, que indicaremos por Δ𝑦, é diretamente proporcional à variação dos valores
correspondentes de 𝒙, indicada por Δ𝑥.
Portanto, quando 𝒙 varia de 0 a 4, a variação correspondente para 𝒚 é de 15 a 75, isto é, Δ𝑦 = 75 – 15 = 60 e Δ𝑥 = 4 – 0
= 4, sendo Δ𝑦/Δ𝑥 = 60/4 = 15.
Assim, a cada variação de 1 minuto, em 𝒙, corresponderá a uma variação de 15 graus Celsius em 𝒚.
Se, em uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), as variações de 𝒙 e 𝒚 são diretamente proporcionais, então podemos concluir que o
grá�co da função sempre será uma reta, e postular o seguinte resultado: o grá�co de toda função a�m é uma reta.
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Observação 1: 
Para construir o grá�co de uma função a�m, precisamos representar dois pontos distintos da função, no plano
cartesiano, e traçar a reta que passa por eles.
Observação 2: 
Devemos observar que, se 𝑏 = 0, a função será de�nida por 𝑦 = 𝑎𝑥, e, portanto, o grá�co será uma reta que passará
sempre pelo ponto (0,0) dos eixos das abscissas (0𝑥) e ordenadas (0𝑦), pois quando 𝑥 = 0 temos que 𝑦 = 0.
CASOS PARTICULARES DE UMA FUNÇÃO AFIM
Função Constante
É a função 𝑓: → , de�nida por 𝑓(𝑥) = 𝑏, onde 𝑎 = 0.
Observe o grá�co da função constante 𝑓(𝑥) = −3:
Função Linear
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Uma característica das funções lineares é que o seu grá�co passa pelo ponto (0, 0), a origem do sistema de
coordenadas cartesianas.
Vamos construir o grá�co da função 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏:
Vamos traçar o Grá�co de 𝒚 = 𝟑𝒙 – 𝟏:
ATIVIDADE
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Fonte da Imagem:
Antes de continuar seus estudos, resolva alguns exercícios para reforçar o seu aprendizado. Não se esqueça de
resolvê-los em seu caderno e, depois de concluídos, conferir os resultados.
1. Em linguagem matemática, sempre que relacionamentos duas grandezas variáveis estamos empregando o conceito
de função. Faça a representação grá�ca da função polinomial do 1º grau 𝒚 = −𝒙 + 𝟓.
2. Em certa cidade, operam duas empresas de táxis. A empresa E cobra pela bandeirada inicial R$6,00 e por quilômetro
rodado R$3,00. Enquanto que a empresa F cobra apenas, por quilômetro rodado, R$4,00. Qual a função de cada
empresa e o grá�co comparativo entre elas?
3. Em uma corrida de táxi é cobrada uma taxa �xa de R$3,00 e mais R$2,50 por quilômetro rodado. Pergunta-se:
a) Se um passageiro percorrer 10 Km no táxi, qual o valor a pagar? E 15 Km?
b) Se um passageiro pagou R$23,00 em uma corrida, qual a distância percorrida pelo táxi?
c) Que fórmula matemática relaciona o valor a pagar y com a quilometragem percorrida x?
Gabarito
, Antes de dar continuidade, clique aqui (galeria/aula5/docs/a05_03_01.pdf) para conferir suas respostas.
Função custo, função receita e função lucro
Podemos utilizar o conceito de função a�m no estudo das funções custo, receita e lucro.
Vamos veri�car em um exemplo prático:
Uma fábrica produz um kit de material de limpeza. O custo �xo mensal de R$900,00 inclui conta de energia elétrica, de
água, impostos, salários etc. Existe também um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos,
sendo a unidade R$40,00. Considerando que o valor de cada pistão no mercado seja equivalente a R$ 120,00:
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula5/docs/a05_03_01.pdf
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Elabore a Função Custo
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria, loja, na
produção ou aquisição de algum produto. O custo pode possuir duas partes: uma �xa e
outra variável.
Podemos representar uma função custo usando a seguinte expressão: C(x) = Cv . x + Cf,
onde Cv:custo variável e Cf: custo �xo.
Função Custo total mensal:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
C(x) = Cv . x + Cf
C(x) = 40x + 900
Elabore a Função Receita
A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do número
de vendas de determinado produto.
Podemos representar uma função receita usando a seguinte expressão:
R(x) = px, onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas.
Função Receita Mensal
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (na função receita, temos b = 0)
R(x) = px
R(x) = 120x
Elabore a Função Lucro
A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, ou seja, o lucro oriundo da
subtração (diferença) entre a função receita e a função custo.Função Lucro Mensal
L(x) = Função Receita – Função Custo
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = 120x – (40x + 900)
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
L(x) = 80x - 900
Calcule o valor do lucro líquido na venda de 500 kits de material de limpeza
L(x) = 80x - 900
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L(x) = 80. 500 – 900 (substituímos o valor de x pela quantidade 500)
L(x) = 40000 – 900
L(x) = R$ 39.100,00
O lucro líquido na produção e venda de 500 kits de material de limpeza será de R$39.100,00.
Saiba Mais
, Antes de encerrar seus estudos, clique aqui (galeria/aula5/docs/a05_04_01.pdf) e veja algumas situações – problemas
envolvendo função a�m.
Glossário
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula5/docs/a05_04_01.pdf