MICRO I (Aula 05 - Escolha)

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UFC/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 05 
 
ESCOLHA DO CONSUMIDOR 
 
O Problema de Maximização de Utilidade (PMU) 
 
Considere um consumidor individual com preferências definidas no seu conjunto (ou espaço) 
de consumo, que conhece os preços dos bens e a sua renda. Então, o problema deste 
consumidor será determinar as quantidades dos bens que compõem a cesta de 
consumo do mais alto nível de preferência (curva de indiferença) de forma a maximizar 
a sua utilidade tendo como restrição o seu orçamento. 
 
Especificação do Problema do Consumidor, 𝑿 = 𝑹+ 
𝒏 : 
𝑴𝒂𝒙 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, … , 𝒙𝒏) 
sujeito a ∑ 𝒑𝒊𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 ≤ 𝑴. 
Onde, 
𝑈(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) é a função utilidade (função objetivo) 
𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝑅+
𝑛 é uma cesta de consumo, 
𝑥 ∈ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅+ 
𝑛 , ∑ 𝑝𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ≤ 𝑀 } é o conjunto orçamentário (função de restrição) 
𝑝 = (𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, … , 𝑝𝑛) são os preços praticados na venda dos bens (p>>0) 
M é a disponibilidade de renda (ou riqueza) para consumo (M>0) 
 
A solução deste problema de otimização condicionada resulta nas quantidades ótimas de 
cada um dos bens na cesta 𝒙∗ = (𝒙𝟏
∗ , 𝒙𝟐
∗ , 𝒙𝟑
∗ , … , 𝒙𝒏
∗ ) 
𝒙𝟏
∗ (𝒑𝟏, 𝒑𝟐, … , 𝒑𝒏,𝑴), demanda marshalliana ou ordinária pelo bem 1; 
𝒙𝟐
∗ (𝒑𝟏, 𝒑𝟐, … , 𝒑𝒏,𝑴), demanda marshalliana ou ordinária pelo bem 2; 
𝒙𝟑
∗ (𝒑𝟏, 𝒑𝟐, … , 𝒑𝒏,𝑴), demanda marshalliana ou ordinária pelo bem 3; 
⋮ 
𝒙𝒏
∗ (𝒑𝟏, 𝒑𝟐, … , 𝒑𝒏,𝑴), demanda marshalliana ou ordinária pelo bem n; 
 
Estas quantidades ótimas são, na realidade, funções demandas cujos argumentos são os 
preços e a renda. 
 
Existência da Solução do PMU 
O Teorema de Weierstrass afirma que “toda função contínua, 𝑓, definida em um intervalo 
fechado e limitado [𝑎, 𝑏], assume pelo menos um valor mínimo, 𝑓(𝑥1) e, pelo menos um 
valor máximo, 𝑓(𝑥2).” 
Desse modo, a existência da solução do PMU é assegurada, pois 𝑈(𝑥) é uma função 
contínua e o conjunto orçamentário é não-vazio, fechado e limitado. 
 
O PMU para o caso de dois bens (𝑿 = 𝑹+
𝟐 ) 
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑈(𝑥1, 𝑥2) 
(𝑥1, 𝑥2 ) ∈ 𝑅+
2 
sujeito a 𝑝1. 𝑥1 + 𝑝2. 𝑥2 = 𝑀 
 
Solução Gráfica 
Supondo-se preferências definidas no espaço bidimensional de consumo, a cesta com as 
quantidades ótimas (𝒙𝟏
∗ (𝒑𝟏, 𝒑𝟐,𝑴), 𝒙𝟐
∗ (𝒑𝟏, 𝒑𝟐,𝑴)) se situa no ponto de tangência entre a reta 
orçamentária e a curva de indiferença mais alta possível. Ou seja, onde a inclinação da reta 
orçamentária (razão entre os preços) se iguala à inclinação da curva de indiferença (TMS). 
 
 
 
Solução Algébrica 
(1) Função Lagrangeana: 
ℒ(𝑥1, 𝑥2, 𝜆) = 𝑈(𝑥1, 𝑥2) + 𝜆(𝑀 − 𝑝1. 𝑥1 − 𝑝2. 𝑥2) 
 
(2) Condições de Primeira Ordem (CPO) 
𝜕ℒ(. )
𝜕𝑥1
=
𝜕ℒ(. )
𝜕𝑥2
=
𝜕ℒ(. )
𝜕𝜆
= 0 
 
(3) Trabalhando-se algebricamente as CPO resulta, 
𝑈𝑀𝑔1
𝑝1
=
𝑈𝑀𝑔2
𝑝2
 ⇒
𝑼𝑴𝒈𝟏
𝑼𝑴𝒈𝟐
=
𝒑𝟏
𝒑𝟐
 
Esta expressão, chamada de condição de equilíbrio do consumidor, expressa o 
ponto (ou cesta) onde a mais alta curva de indiferença tangencia a reta orçamentária 
do consumidor, ou ainda, onde a inclinação da curva de indiferença (TMS) se iguala 
à inclinação da reta orçamentária (razão entre os preços). 
 
(4) Substitutindo-se a condição de equilíbrio na função de restrição resultam as 
quantidades ótimas ou demandas marshallianas ou ordinárias como funções dos 
preços e da renda, 
𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) Demanda Marshalliana pelo bem 1 
𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) Demanda Marshalliana pelo bem 2 
 
Condições de Segunda Ordem (CSO) para restrições de igualdade1 
O determinante da Matriz Hessiana Orlada, |�̂�| , deverá ter sinal positivo se a Matriz 
Hessiana, H, for de ordem par e, sinal negativo, se se a Matriz Hessiana, H, for de ordem 
ímpar. 
|�̂�| =
|
|
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝜆2
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝜆𝜕𝑥1
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝜆𝜕𝑥2
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝑥1𝜕𝜆
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝑥1
2
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝑥1𝜕𝑥2
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝑥2𝜕𝜆
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝑥2𝜕𝑥1
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝑥2
2
|
|
= |
0 −𝑝1 −𝑝2
−𝑝1 𝑈11 𝑈12
−𝑝2 𝑈21 𝑈22
| > 0 
 
Solução Única e Soluções Múltiplas 
 
 
1 Para maiores detalhes, veja CHIANG, A. C. e WAINWRIGHT, K. – Matemática para Economistas. Tradução da 4ª Edição. 
Rio de Janeiro: Campus/Elsevier, 2006. Cap. 12, pág. 337 a 345. 
(a) Curva de indiferença estritamente convexa (solução única) 
(b) Curva de indiferença convexa (múltiplas soluções) 
 
Propriedades da Função Demanda Marshalliana: 
 
(i) Homogeneidade de Grau Zero em p e M: 
Se todos os preços e a renda forem multiplicados pela mesma proporção, 𝜶 > 𝟎, a 
demanda (escolha ótima) do consumidor não se altera. 
𝒙𝒊
∗(𝜶𝒑, 𝜶𝑴) = 𝒙𝒊
∗(𝒑,𝑴) 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒑,𝑴, 𝜶 > 𝟎 𝒆 𝒊 = 𝟏,… , 𝒏 
 
(ii) Lei de Walras 
O consumidor esgota sua renda na aquisição da cesta ótima. 
∑𝑝𝑖𝑥𝑖
∗(𝑝,𝑀)
𝑛
𝑖=1
= 𝑀 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥𝑖 ∈ 𝑥
∗(𝑝,𝑀) 
Assumindo-se a diferenciabilidade da demanda Marshalliana 𝒙𝒊
∗(𝒑,𝑴), 𝒊 = 𝟏,… , 𝒏, 
então, valem as seguintes propriedades: 
∑ 𝑝𝑖 [
𝜕𝑥𝑖
∗(𝑝,𝑀)
𝜕𝑀
]𝑛𝑖=1 = 1 (Agregação de Engel) 
∑ 𝑝𝑖 [
𝜕𝑥𝑖
∗(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝𝑖
]𝑛𝑖=1 + 𝑥𝑖
∗
(𝑝, 𝑀) = 0 (Agregação de Cournot) 
 
Exemplos de Soluções Gráficas Interiores e de Fronteira (Canto) 
 
(1) Preferências por Bens Substitutos Perfeitos: 
 
𝑥1=
{
 
 
 
 
𝑀
𝑝1
 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝1 < 𝑝2
(0,
𝑀
𝑝1
) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝1 = 𝑝2
0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝1 > 𝑝2
 
 
 
(2) Preferências por Bens Complementares Perfeitos: 
 
𝑥1 = 𝑥2 =
𝑀
𝑝1 + 𝑝2
 
 
(3) Preferências Quase-lineares: 
 
 
 
(4) Preferências Côncavas: 
 
 
O consumidor se especializará no consumo de apenas um dos bens. 
 
Mais de uma solução 
 
Exemplos de Solução Interior sem ponto de tangência 
 
 
Função Utilidade Indireta 
É a função 𝒗(𝒑,𝑴) obtida pela substituição das quantidades ótimas (demandas 
marshallianas) resultantes da solução do PMU na função utilidade. É função dos preços e 
da renda e representa a utilidade máxima obtida pelo consumidor. Para as preferências 
definidas no 𝑅+ 
2 (apenas dois bens compõem a cesta), tem-se que: 
𝒗(𝒑𝟏, 𝒑𝟐,𝑴) = 𝑼[𝒙𝟏
∗ (𝒑𝟏, 𝒑𝟐,𝑴), 𝒙𝟐
∗ (𝒑𝟏, 𝒑𝟐,𝑴)] 
 
Propriedades da Função Utilidade Indireta: 
(i) 𝑣(𝑝,𝑀) é Homogêna de Grau Zero nos preços e na renda. 
𝑣(∝ 𝑝, ∝ 𝑀) = 𝑣(𝑝,𝑀) ∀∝> 0 
(ii) 𝑣(𝑝,𝑀) é estritamente crescente na renda. 
Se 𝑀′ > 𝑀 ⇒ 𝑣(𝑝,𝑀′) > 𝑣(𝑝,𝑀) 𝑜𝑢 
𝜕𝑣(𝑝,𝑀)
𝜕𝑀
> 0 
(iii) 𝑣(𝑝,𝑀) é não-crescente nos preços: 
Se 𝑝′ ≥ 𝑝 ⇒ 𝑣(𝑝′, 𝑀) ≤ 𝑣(𝑝,𝑀) 𝑜𝑢 
𝜕𝑣(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝
≤ 0 
Identidade de Roy 
A demanda Marshalliana pelo bem i é igual à razão negativa entre as derivadas parciais 
da função utilidade indireta em relação ao preço do bem i e em relação à renda M. 
−
𝜕𝑣(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝑣(𝑝,𝑀)
𝜕𝑀
= 𝑥𝑖(𝑝,𝑀) 
 
Literatura: 
VARIAN, Hal R. (2016) Cap. 5 
VASCONCELLOS (2011) Cap. 5 
RESENDE, José G. de L. (Notas de Aula 4, 5) 
JEHLE & RENY (2001) 
MAS-COLELL/WHINSTON (1995) 
 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
 
1. Resolva as “Questões de Revisão” do final do Capítulo 5 do Varian. 
 
2. A função utilidade de certo consumidor é U(x,y)=(x+2)(y+1), onde x e y são as 
quantidades consumidas dos bens. Pede-se: 
(a) Defina a equação para a curva de indiferença desse consumidor que passa pelo ponto 
(2,8); 
(b) Supondo que os preços de ambos os bens sejam iguais a $1 e que o consumidor 
tenha renda $11, determine as demandas ótimas dos bens; 
(c) Qual o valor da TMS no ponto de equilíbrio do consumidor? 
(d) Examine as Condições de Segunda Ordem (CSO) para a existência da utilidade 
máxima. 
 
3. Avalie as seguintes proposições: 
(a) Um consumidor de dois bens não estaria disposto a efetuar trocas entre estes bens 
em trechos horizontais de uma curva de indiferença. 
(b) O nível de utilidade do consumidor não varia ao longo de uma curva de demanda 
Marshalliana. 
 
4. Determine as funções demanda Marshallianas para um consumidor de doisbens que 
encara uma função utilidade U(x,y)=x, com preços e renda positivos. 
 
5. Encontre as demandas marshallianas de um consumidor que encara preços px>0 e py>0 
e a renda m>0 e cuja função utilidade é dada por U(x,y)=máx {ax,ay} + mín {x,y}.onde 
0<a<1. 
 
6. Um consumidor encara uma função utilidade Cobb-Douglas dada por: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏, com 𝑎 > 0 e 𝑏 > 0, preços 𝑝1, 𝑝2 >> 0 e renda 𝑀 > 0. 
Pede-se: 
(a) As demandas marshallianas 𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) e 𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(b) Prove as propriedades da demanda pelo bem 1, 𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(c) A função-utilidade indireta, 𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) 
(d) Prove as propriedades da função-utilidade indireta, 𝑣(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(e) Prove a Identidade de Roy para a demanda pelo bem 1. 
 
 
 
7. Um consumidor encara uma função utilidade CES dada por: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = [𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎]1/𝑎, com 𝑎 ≠ 0, 𝑎 > 1, preços 𝑝1, 𝑝2 >> 0 e renda 𝑀 > 0. 
Pede-se: 
(a) As demandas marshallianas 𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) e 𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(b) Prove as propriedades da demanda pelo bem 1, 𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(c) A função-utilidade indireta, 𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) 
(d) Prove as propriedades da função-utilidade indireta, 𝑣(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(e) Prove a Identidade de Roy para a demanda pelo bem 1. 
 
8. Um consumidor encara uma função utilidade Quase-Linear dada por: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 + √𝑥2, paga preços 𝑝1, 𝑝2 >> 0 e possui renda 𝑀 > 0. 
Pede-se: 
(a) As demandas marshallianas 𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) e 𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(b) Prove as propriedades da demanda pelo bem 1, 𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(c) A função-utilidade indireta, 𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) 
(d) Prove as propriedades da função-utilidade indireta, 𝑣(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(e) Prove a Identidade de Roy para a demanda pelo bem 1.