MICRO I (Aula 09 - Slutsky)

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UFC/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 09 
 
EQUAÇÃO DE SLUTSKY 
 
Derivando a Equação de Slutsky 
Vimos nas relações duais que no ponto de equilíbrio do consumidor, vale a relação que 
diz que a demanda hicksiana ao nível da utilidade máxima, 𝑈∗ , equivale à demanda 
marshalliana quando se iguala a renda M ao nível de dispêndio mínimo. 
𝑥𝑖
ℎ(𝑝, 𝑈∗) = 𝑥𝑖[𝑝, 𝑒(𝑝, 𝑈
∗)] (1) 
Diferenciando-se a equação (1) em relação à 𝑝𝑗 tem-se, 
𝜕𝑥𝑖
ℎ(𝑝,𝑈∗)
𝜕𝑝𝑗
=
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝𝑗
+
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑒(𝑝,𝑈
∗))
𝜕𝑒(𝑝,𝑈∗)
.
𝜕𝑒(𝑝,𝑈∗)
𝜕𝑝𝑗
 (2) 
Pelo Lema de Shepard, o último termo do produto do lado direito da equação (2) é igual 
a, 
𝜕𝑒(𝑝, 𝑈∗)
𝜕𝑝𝑗
= 𝑥𝑗
ℎ(𝑝, 𝑈∗) 
Que por sua vez, torna-se, 
𝑥𝑗
ℎ(𝑝, 𝑈∗) = 𝑥𝑗
ℎ(𝑝, 𝑣(𝑝, 𝑚)) = 𝑥𝑗(𝑝, 𝑀)1 (3) 
Substituindo-se (3) em (2), tem-se, 
𝜕𝑥𝑖
ℎ(𝑝,𝑈∗)
𝜕𝑝𝑗
=
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝𝑗
+ 𝑥𝑗(𝑝, 𝑀)
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑀
 (4) 
Rearrumando-se a equação (4), resulta a conhecida Equação de Slutsky: 
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝𝑗
=
𝜕𝑥𝑖
ℎ(𝑝,𝑈∗)
𝜕𝑝𝑗
− 𝑥𝑗(𝑝, 𝑀)
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑀
 
A equação de Slutsky diz que o Efeito Total (ET) de uma mudança no preço de um bem 
sobre a demanda pode ser decomposto em dois efeitos: 
 
1 Este mesmo resultado pode ser alcançado derivando-se a equação de restrição em relação a 𝑝𝑗 . Assim, se 
𝑀 = ∑ 𝑝𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 = 𝑝1𝑥1 + ⋯ + 𝑝𝑗𝑥𝑗 + ⋯ + 𝑝𝑛𝑥𝑛 , então, 
𝜕𝑀
𝜕𝑝𝑗
= 𝑥𝑗(𝑝, 𝑀) 
 
(1) o Efeito Substituição de Hicks (ES): resultante da mudança da taxa pela qual o bem 
cujo preço mudou é trocado com os outros bens; e, 
(2) o Efeito Renda (ER): resultante da mudança no poder aquisitivo (renda real) do 
consumidor. 
Para variações no preço do próprio bem, a Equação de Slutsky é especificada por, 
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝𝑖
=
𝜕𝑥𝑖
ℎ(𝑝,𝑈∗)
𝜕𝑝𝑖
− 𝑥𝑖(𝑝, 𝑀)
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑀
 
Onde: 
𝜕𝑥𝑖(𝑝, 𝑀)
𝜕𝑝𝑖
 é 𝑜 𝐸𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝐸𝑇); 
𝜕𝑥𝑖
ℎ(𝑝, 𝑈∗)
𝜕𝑝𝑖
 é 𝑜 𝐸𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜 (𝐸𝑆); 
𝑥𝑖(𝑝, 𝑀)
𝜕𝑥𝑖(𝑝, 𝑀)
𝜕𝑀
 é 𝑜 𝐸𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎 (𝐸𝑅) 
Análise dos Sinais 
O sinal do Efeito Substituição de Hicks é sempre negativo. Isso decorre do fato de que o 
consumidor sempre reagirá aumentando ou diminuindo a demanda do bem no sentido 
contrário ao da variação do preço. 
Já o sinal do Efeito Renda pode ser positivo ou negativo, dependendo se o bem é normal 
ou inferior, respectivamente. 
Exemplos de Efeitos Renda e Substituição 
1. Substitutos Perfeitos 
Neste caso, o efeito renda é zero, pois o consumidor sempre substituirá totalmente o 
bem de maior preço e escolherá gastar toda a sua renda com o bem cujo preço for 
menor. Portanto, o efeito total é igual ao efeito substituição. 
 
2. Complementares perfeitos 
Neste caso, o efeito substituição é zero, pois não há como o consumidor efetuar trocas 
entre os bens mantendo o mesmo nível de utilidade. Os bens complementares 
perfeitos são, por definição, consumidos juntos e em proporções fixas. Desta forma, 
não há como o consumidor ser compensado pela variação do preço. Portanto, o efeito 
total é igual ao efeito renda. 
 
3. Preferências Quase-Lineares 
 
 
 
 
 
 
 
Vimos que a demanda pelo bem 1 não depende da renda e que toda variação da 
renda será destinada à aquisição do bem 2. Isto significa que toda variação da 
demanda do bem 1 será devida ao efeito substituição. O efeito renda é zero. 
Portanto, o efeito total é igual ao efeito substituição. 
 
Compensação na Renda 
 
Suponha uma variação no preço de um dos bens. Para essa variação pode-se relacionar 
dois conceitos de compensação na renda: 
 
Compensação de Slutsky - é a variação na renda do consumidor necessária para fazer 
com que a renda do consumidor seja suficiente, e não mais do que suficiente, para 
comprar a cesta de bens consumida antes da variação no preço. 
 
Compensação de Hicks - é a variação na renda do consumidor necessária para fazer com 
que a cesta de consumo final escolhida por ele seja indiferente à cesta de consumo 
escolhida antes da variação no preço. 
 
 
Efeitos Substituição e Renda de Hicks e Slutsky 
 
Na sequência, observe os gráficos explicativos dos efeitos substituição e renda de Hicks e 
Slutsky a partir de variações para menos e para mais do preço do bem 1 
 
 
 
 
 
 
 
Literatura: 
VARIAN, Hal R. (2012) Cap. 8 
VASCONCELLOS (2011) Cap. 7 
RESENDE, José G. de L. (Notas de Aula 8) 
JEHLE & RENY (2001) 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Um consumidor encara uma função utilidade dada por 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
3𝑥2 , gasta toda a sua 
renda (M=$16) com a compra dos bens 1 e 2 da cesta (𝑥1, 𝑥2) e paga os preços 𝑝1 = $2 e 𝑝2 =
$1, respectivamente. Supondo uma redução de 50% no preço do bem 1, determine: 
(a) As quantidades da cesta ótima e o nível de utilidade no ponto de equilíbrio; 
(b) A compensação de renda de Hicks, o efeito substituição, o efeito renda e o novo nível de 
utilidade; 
(c) A compensação de renda de Slutsky, o efeito substituição, o efeito renda e o novo nível de 
utilidade. 
 
2. Seja um consumidor que encara uma função utilidade 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑥2 , possui renda M=$100 
e paga os preços 𝑝 = ($1, $1) . Supondo-se que o preço do bem 1 aumente para $1,20, 
determine: 
(a) A compensação de renda de Hicks, o efeito substituição, o efeito renda e o novo nível de 
utilidade; 
(b) A compensação de renda de Slutsky, o efeito substituição, o efeito renda e o novo nível de 
utilidade. 
 
3. Demonstre a Equação de Slutsky para uma variação do preço do bem 1 de um consumidor 
cuja função utilidade é dada por 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏 .