MATEMATICA BÁSICA II - PROGRESSÕES

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Progressão Aritmética 
(PA) e Progressão 
Geométrica (PG) 2
Prof.ª Ms. Beatriz Consuelo Kuroishi Mello Santos
1. OBJETIVOS
• Entender a história das progressões.
• Definir Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geomé-
trica (PG).
• Reconhecer o padrão de regularidade de uma Progressão 
Aritmética (PA) e de uma Progressão Geométrica (PG).
• Classificar e reconhecer quando a Progressão Aritmética 
(PA) ou a Progressão Geométrica (PG) é crescente, de-
crescente, constante ou alternante.
• Analisar e calcular o termo geral de uma Progressão Arit-
mética (PA) e a soma dos n termos de uma Progressão 
Aritmética (PA) finita.
© Matemática Básica II54
• Entender as aplicações de Progressão Aritmética (PA) nos 
estudos das funções afim e quadrática.
• Analisar e calcular o termo geral de uma Progressão Geo-
métrica (PG) e a soma dos n termos de uma Progressão 
Geométrica (PG) finita.
• Entender a fórmula do limite da soma dos termos de uma 
Progressão Geométrica (PG) infinita.
2. CONTEÚDOS
• A história das progressões.
• Definição e classificação de Progressão Aritmética.
• Fórmula do termo geral da Progressão Aritmética.
• Fórmula da soma dos n termos da Progressão Aritmética 
finita.
• A Progressão Aritmética e suas aplicações na função afim 
e quadrática.
• Definição e aplicação da Progressão Geométrica.
• Fórmula do termo geral da Progressão Geométrica.
• Fórmula da soma dos n termos da Progressão Geométrica 
finita.
• Fórmula do limite da soma dos termos de uma Progres-
são Geométrica infinita.
• Situações problemas sobre PA e PG.
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE
Antes de iniciar o estudo desta unidade, é importante que 
você leia as orientações a seguir:
1) É importante ler os Parâmetros Curriculares Nacionais 
– Ensino Médio (PCN +) no que toca Progressão Aritmé-
tica e Geométrica. Eles se encontram disponíveis em: 
Claretiano - Centro Universitário
55© U2 - Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG)
<http://www.sbfisica.org.br/arquivos/PCN_CNMT.pdf>. 
Acesso em: 16 set. 2013.
2) Pesquise em livros ou na internet como ensinar Progres-
sões Aritméticas e Geométricas. Mostre ao aluno a im-
portância desse estudo, motivando-o sempre. Relacio-
ne-os com os conceitos sobre modelagem matemática e 
também de resolução de problemas. Para complemen-
tar o seu estudo, é importante que acesse o site que se 
encontra disponível em: <http://www.portaldoaluno.
org.br/public/webquest.htm.jsp>. Acesso em: 16 set. 
2013. Vale ressaltar que nesse site existe a WebQuest 
como recurso tecnológico e que pode transformar esses 
estudos em atividades diferenciadas. Lembre-se de que 
você é o protagonista deste processo educativo.
3) Alguns cálculos estudados aqui deverão ser realizados 
em uma calculadora científica; caso não tenha uma, in-
dicamos uma calculadora on-line com maior capacidade 
de dígitos, que pode ser encontrada no site disponível 
em: <www.calculadoraonline.com.br>. Acesso em: 16 
set. 2013.
4. INTRODUÇÃO À UNIDADE
Antes de iniciarmos nossos estudos acerca dos conceitos de 
progressões, é importante conhecer o seu desenvolvimento histó-
rico, bem como a relação que é possível estabelecer com outras 
áreas do conhecimento.
Você já estudou em outras obras como é possível transfor-
mar um conhecimento do conteúdo em conhecimento para a prá-
tica docente.
Iniciaremos nossos estudos conhecendo um pouco da Pro-
gressão Aritmética (PA), revelada por Gauss.
Carl Friedrich Gauss viveu de 1777 a 1855. Contribuiu para 
todos os ramos da Matemática e, em particular, para a teoria dos 
números. No que diz respeito aos estudos sobre Progressão Arit-
© Matemática Básica II56
mética (PA), ele foi capaz de deduzir a fórmula dos "n" primeiros 
termos de uma PA, quando teve que somar os "números de 1 a 
100". Nesse sentido, faz-se necessário nos reportamos à História 
da Matemática, pois a história da Matemática “[...] pode ser vista 
como um elemento importante no processo de atribuição de sig-
nificado aos conceitos matemáticos” (BRASIL, 2006, p. 86). Corro-
borando esse pensamento, devemos resgatar a História da Mate-
mática, sobretudo nos estudos referente às progressões, para que 
o aluno do Ensino Médio tenha um melhor entendimento.
Quando se pensa em Progressão Aritmética (PA), a primeira 
coisa que vem à mente é a soma. Já ao tratarmos de Progressão 
Geométrica (PG), é a multiplicação. Uma palavra muito comum 
tanto em PA quanto em PG é razão, que terá dois significados di-
ferentes. Em PA, a palavra razão é identificada pela letra inicial mi-
núscula "r" e em PG, identificamos pela letra inicial minúscula "q".
Será possível, no decorrer desta unidade, estabelecermos 
uma relação entre a Aritmética, que estuda os números e suas 
operações, e a Álgebra, que estuda as equações. É a partir delas 
que iremos calcular os valores das variáveis ou incógnitas, que são 
representadas por letras.
Essa conexão pode ser vista sob duas perspectivas. Observe:
• Uma empresa produziu, em 2008, 5.000 unidades de com-
putadores. Sabendo que o aumento anual de produção 
dessa empresa é de 15.000 unidades, quantas unidades 
ela produzirá no decorrer de cinco anos? Você será capaz 
de entender que essa relação que se dá entre a quanti-
dade produzida e o tempo de produção, nos remete aos 
conceitos sobre sequência e Progressão Aritmética (PA).
• Agora imagine a seguinte situação: você é cliente de um 
banco e tem um crédito pré-aprovado, denominado de 
"cheque especial" e o banco cobra uma taxa de juros com-
posto correspondente a 12% ao mês sobre o valor utiliza-
do. Suponhamos que você tenha utilizado R$ 500,00 de 
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57© U2 - Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG)
seu cheque especial e demorou sete meses para pagar 
a dívida. Você quer saber o valor do empréstimo a cada 
mês e também qual é o valor dos juros pagos ao final do 
empréstimo. Desse modo, você será capaz de responder 
a essas perguntas de acordo com os seus estudos referen-
tes à Progressão Geométrica (PG).
Sendo assim, é preciso uma mudança de paradigma do pro-
fessor, pois é importante resgatar o interesse do aluno pelos estu-
dos desses conteúdos, fazendo-o entender que eles estão presen-
tes em situações cotidianas.
A conexão com outras áreas do conhecimento também se 
faz presente nos estudos das progressões. Em Biologia, por exem-
plo, com o intuito de conceituar "seleção natural", Malthus revela 
que
[...] enquanto o crescimento populacional se dá em progressão 
geométrica, a produção de alimentos aumenta em progressão 
aritmética. Isso seria uma das explicações para a fome que assola 
boa parte da humanidade. Essas e outras conclusões constam em 
seu Ensaio sobre a lei da população, de 1798 (SÓ BIOLOGIA, 2013).
Ainda em relação aos estudos da Biologia, um cientista im-
portante, Darwin,
[...] chega à conclusão de que a luta pela existência leva, na natu-
reza, à seleção natural. Este combate pela vida é, segundo o evolu-
cionista inglês, a consequência necessária e “inevitável” do princí-
pio do aumento geométrico que rege o crescimento dos seres vivos 
e constitui a aplicação aos reinos animal e vegetal da doutrina de 
Malthus (SILVA; ZAMBONI; MARQUES, 2013).
Dando continuidade e conhecendo a importância sobre pro-
gressões, podemos relacionar a teoria e a prática, baseando-nos 
especialmente na resolução de problemas. De acordo com os ob-
jetivos dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) de Matemá-
tica para o Ensino Médio, essa metodologia diz que o aluno será 
capaz de utilizar [...] “com confiança procedimentos de resolução 
de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos ma-
temáticos” (BRASIL, 2000, p. 42).
© Matemática Básica II58
Nesta segunda unidade, iniciaremos nossos estudos fazen-
do uma retrospectiva da história da Matemática, particularmente 
sobre Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG). 
Na sequência, vamos definir e classificar uma PA, utilizar as fórmu-
las do termo geral e da somafinita e, posteriormente, relacionar 
o estudo desse conteúdo com as funções afim e quadrática. Em 
relação à PG, trataremos a respeito do conceito e classificação, 
das fórmulas do termo geral e da soma finita. Comentaremos com 
breves palavras a respeito da PG infinita e sua aplicação. Também 
será possível relacionar a sua aplicação aos estudos da função ex-
ponencial. Finalmente, vamos elencar os estudos de PA e PG em 
situações-problema.
Dessa forma, não será possível abordar todo o conteúdo no 
decorrer dos estudos desta unidade, entretanto pretendemos aju-
dá-los a pensar e trilhar alguns caminhos para mudar significativa-
mente a sua prática docente. Sob essa perspectiva, os alunos po-
derão adquirir o conhecimento do conteúdo, estabelecendo uma 
relação entre o que aprendem e a vida cotidiana.
Vamos em frente!
5. UM POUCO DE HISTÓRIA
Iniciar a aula de Matemática com uma breve introdução his-
tórica a respeito das progressões se faz necessário no cotidiano es-
colar. Os alunos não veem mais sentido nas aulas que se baseiam 
em fórmulas e cálculos. Sendo assim, utilizar esse recurso se faz 
necessário quando se trata de progressões.
Na Antiguidade, particularmente no Egito Antigo, são encon-
trados, no Papiro de Rhind, ou Ahmes (Figura 1), alguns indícios do 
estudo desses conteúdos.
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Figura 1 Fragmento do Papiro de Rhind.
De acordo com site da Universidade de Lisboa (2013a),
O papiro de Rhind intitula-se Instruções para conhecer todas as coi-
sas secretas e é, sem dúvida, o mais precioso documento de quan-
tos existem relativos aos conhecimentos matemáticos dos egípcios.
[...]
Basicamente o papiro dá-nos informações sobre aritmética, fra-
ções, cálculo de áreas, volumes, progressões, repartições propor-
cionais, regra de três simples, equações lineares e trigonometria 
básica.
O papiro, segundo os estudiosos da época, é composto por 
85 problemas. Dentre esses, podemos revelar conhecimentos so-
bre PA e PG em dois deles:
Problema 40: divida 100 pães por 5 homens, de modo que a par-
tilha seja feita numa progressão aritmética e que a soma das duas 
menores partes seja 1/7 da somas das três partes maiores. Qual é 
a diferença entre as partes?
Problema 79: Supõe-se que Ahmes se referia a um problema, pos-
sivelmente já conhecido, em que cada casa há 7 gatos, cada gato 
comeu 7 ratos, cada rato comeu 7 espigas de trigo, cada espiga 
produziu 7 heqat de trigo e se pretende saber a soma de todos as 
coisas enumeradas (EDUC, 2013a).
De acordo com o site Matemática (2013)
No Papiro de Rhind também aparece uma progressão geométrica 
muito interessante formada pelas frações ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, 
1/64 do Hekat, (unidade comum do volume usada para medir 
© Matemática Básica II60
quantidade de grãos). Os termos dessa seqüência são conhecidos 
como frações dos olhos do deus Hórus.
Observe a Figura 2:
Figura 2 Fragmento dos olhos do Deus Hórus.
Assim, podemos constatar que:
Os egípcios estavam aptos a somar progressões geométricas com 6 
elementos, usando multiplicação por um fator comum:
Os egípcios multiplicariam todos os elementos por 64 (o último de-
nominador) [...] (MATEMÁTICA, 2013).
A integração da Matemática com a História resgata o interes-
se do aluno, fazendo com que ele entenda que estudar Matemáti-
ca não significa apenas "decorar fórmulas".
6. PROGRESSÃO ARITMÉTICA PA
Encontramos frequentemente situações-problema que 
apresentam grandezas que variam mantendo uma regularidade. 
Essa regularidade deverá ser observada sempre a partir do segun-
do termo. Desse modo, apresentaremos, a seguir, dois exemplos 
cotidianos que poderão contribuir significativamente com a defi-
nição de PA.
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Exemplo 1
Uma fábrica de roupas produz 60 camisetas no primeiro dia; 
110 no segundo dia; 160 no terceiro dia; 210 no quarto dia e 260 
no quinto dia. Ao final dos cinco dias, verificou-se que a quantida-
de de camisetas aumentou de acordo com a Tabela 1.
Tabela 1 Produção de camisetas.
Dia Quantidade de camisetas
1 60
2 110
3 160
4 210
5 260
A quantidade de camisetas pode ser representada pela se-
guinte sequência:
(60, 110, 160, 210, 260)
A partir do segundo termo, subtraímos de cada termo o an-
tecedente e sempre obtemos o mesmo resultado, ou seja, 50.
2 1
3 2
4 3
5 4
110 60 50
160 110 50
210 160 50
260 210 50
a a
a a
a a
a a
   
   
   
   
Esse resultado que se repete é denominado razão e é repre-
sentado pela letra inicial minúscula "r” quando estudamos PA.
Assim, cada termo, a partir do segundo, pode ser obtido adi-
cionando a razão ao antecedente.
Exemplo 2
Uma pessoa foi ao médico e o mesmo prescreveu a ela que 
aumentasse sua massa, pois ela se encontraria “abaixo do peso”. 
© Matemática Básica II62
Sendo assim, a Tabela 2 demonstra, após sete dias, qual é a massa 
apresentada pela pessoa.
Tabela 2 Quantidade de massa.
Dia Massa (KG)
1 38
2 40
3 42
4 44
5 46
6 48
7 50
A quantidade de massa, em quilograma, pode ser represen-
tada pela sequência:
(38, 40, 42, 44, 46, 48, 50)
A partir do segundo termo, subtraímos de cada termo o 
antecedente e sempre obtemos o mesmo resultado, ou seja, o 
número 2.
6 5
7 6
2 1
3 2
4 3
5 4
40 38 2
42 40 2
44 42 2
46 44 2
48 46 2
50 48 2
a a
a a
a a
a a
a a
a a
   
   
   
   
   
   
Esses dois exemplos nos remetem ao conceito de Progressão 
Aritmética (PA) sob a perspectiva de alguns autores. Para Ribeiro 
(2010, p. 256),
Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a 
diferença entre um termo, a partir do 2º, e o termo antecedente é 
constante. Essa constante é chamada razão da PA e é representada 
pela letra r. 
Já para Dante (2011, p. 137),
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Progressão Aritmética (PA) é toda sequência de números na qual 
a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo an-
terior é constante. Essa diferença constante é chamada razão da 
progressão e é representada pela letra r.
Exemplos:
• A sequência (8, 13, 18, 23, 28, 33, 38) é uma PA finita de 
sete termos, em que, ao subtrairmos o 2º termo do 1º, 
obtemos 5, e assim por diante. Portanto, a razão é r = 5.
• A sequência (30, 20, 10, 0, -10, -20,...) é uma PA infinita 
em que 1 30a  e r = -10.
Atenção!
• (7, 7, 7, 7) é uma PA finita de razão r = 0.
Classificação das Progressões Aritméticas (PA)
Podemos classificar as Progressões Aritméticas (PA) sob três 
perspectivas, sendo elas:
• Crescente: uma PA é crescente quando, a partir do segun-
do termo, os termos seguintes são maiores que o ante-
cedente. Portanto, para que seja crescente, é necessário 
que a razão seja positiva, ou seja, r > 0. De acordo com o 
Exemplo 1, podemos dizer que temos uma PA crescente 
e com r = 50. No Exemplo 2, podemos também identificar 
uma PA crescente com razão r = 2.
• Decrescente: uma PA é decrescente quando, a partir do 
segundo termo, os termos seguintes são menores que o 
antecedente. Portanto, para que seja decrescente, é ne-
cessário que a razão seja negativa, ou seja, r < 0. Exemplo: 
uma cidade localizada no Estado de Santa Catarina apre-
sentou durante três dias a temperatura em °C, conforme 
dados da Tabela 3:
© Matemática Básica II64
Tabela 3 Temperatura em °C.
Dia Temperatura em °C
1º 20
2º 12
3º 4
De acordo com os dados apresentados pela tabela, é possí-
vel identificar que houve um decréscimo de valores entre os ter-
mos posteriores ao segundo. Sendo assim, constatamos que essa 
PA é decrescente e possui: 
3
1
2
20;
12;
4
8
a
a
r
a 


 
Exemplo 1
Uma indústria de roupas está enfrentando alguns problemas 
financeiros e a produção de saias vem caindo em 30 unidades por 
dia. No 1º dia, essa indústria produziu 180 saias, no 2º dia, 150 
saias, no 3º dia, 120 saias e assimpor diante. Quantas saias essa 
indústria produziu no 6º dia? Podemos afirmar que não haverá 
mais produção de saias a partir do 7º dia?
De acordo com o enunciado, essa PA fica assim definida:
(180, 150, 120, 90, 60, 30, 0) e r = - 30. (r < 0)
Sendo assim, no 6º dia, a indústria produziu 30 saias e, no 7º 
dia, não haverá produção.
• Constante: uma PA é constante quando todos os seus ter-
mos são iguais, ou seja, r = 0.
Exemplos:
(-3, -3, -3, ...) é uma PA infinita de razão r = 0.
(9, 9, 9, 9) é uma PA de quatro termos, em que 1 9a  e a 
razão é r = 0.
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Observação
De acordo com a definição de PA, é necessário que, a partir 
do segundo termo, tenhamos uma sucessão de números em que 
a razão seja constante. Sendo assim, a sequência a seguir mostra 
que não podemos classificá-la como uma PA de razão constante.
(2, -2, 2, -2, 2, -2,...)
O primeiro termo é igual a 2, o segundo termo é igual a -2; 
ao subtrairmos os dois termos, chegamos ao seguinte resultado: 
 2 2 2 2 4       
Se subtrairmos o terceiro termo do segundo termo, chegamos 
a um resultado diferente do anterior, ou seja,  2 2 2 2 4     . 
Portanto, a razão não é igual a zero e nem se caracteriza por uma PA.
Fórmula do termo geral de uma PA
Segundo as definições dos autores Ribeiro (2010) e Dante 
(2011), de modo geral, uma sequência é uma PA quando dizemos 
que se os termos são 1 32( , , ,..., ,...)na aa a e temos:
1 12 2
3 2 3 2
r r
r r
a a
a a a a
a a    
    
Nesse contexto, em uma PA com 1º termo 1a e razão r, o 
n-ésimo termo será dado por:
 1 1na a n r   
Essa é a fórmula do termo geral da PA para todo número 
natural 2n  .
Sendo que:
• na = termo geral;
• 1a = 1º termo;
© Matemática Básica II66
• n = número de termos;
• r = razão da PA.
Veja alguns exemplos.
Exemplo 1
Considere a seguinte PA (7, 11, 15, ..., 123). Determine qual 
é:
• O termo geral
Sabemos que, para utilizarmos a fórmula do termo geral, 
precisamos conhecer o primeiro termo e a razão. O pri-
meiro termo está no enunciado da questão e a razão é 
possível calcular subtraindo o segundo termo do primeiro 
ou o terceiro termo do segundo. Dessa forma, a razão é:
11 7r   ou 15 11r  
4r 
1 7a 
Considerando o valor do primeiro termo, que é 7, e a ra-
zão, que é 4, podemos substituir na fórmula:
 7 1 4
7 4 4
3 4
n
n
n
a n
a n
a n
   
  
 
• O vigésimo termo
Utilizamos a fórmula do termo geral que calculamos ante-
riormente, e substituímos n por 20, ficando assim:
20 20
3 4
3 4 20 3 80 83
na n
a a
 
      
• Se o último termo é igual a 123, quantos termos têm essa 
sequência?
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Devemos considerar que esse valor corresponde ao ter-
mo na . Desse modo, substituímos na fórmula do termo 
geral e assim descobrimos quantos termos tem essa PA.
3 4na n 
120123 3 4 4 123 3 4 120
4
30
n n n n
n
        

Exemplo 2
Suponhamos que uma montadora de automóveis, ao final 
do primeiro semestre, apresente uma produção mensal que vem 
aumentando sucessivamente. Se, em janeiro, a empresa produziu 
20.000 carros e, em junho, 120.000 unidades, quais foram as pro-
duções dos meses de fevereiro, março, abril e maio?
No contexto, temos que o primeiro termo é 20.000 unida-
des. E devemos formar uma PA, de seis termos utilizando a fór-
mula do termo geral, considerando o sexto termo como 120.000 e 
também n = 6.
Substituindo os valores, temos:
 6 1 66 1 20.000 5
120.000 20.000 5 100.000 5
100.000 20.000
a a r a r
r r
r r
       
     
  
A partir do cálculo da razão, conseguimos determinar os me-
ses seguintes:
• 2a = 20.000 + 20.000 = 40.000 unidades.
• 3a = 40.000 + 20.000 = 60.000 unidades.
• 4a = 60.000 + 20.000 = 80.000 unidades.
• 5a = 80.000 + 20.000 = 100.000 unidades.
© Matemática Básica II68
Concluímos, portanto, que a PA é: (20.000, 40.000, 60.000, 
80.000, 100.000, 120.000).
Esses são apenas alguns exemplos acerca do termo geral de 
uma PA. Nesse sentido, é preciso que você pesquise em livros di-
dáticos, nas indicações da bibliografia, em sites, bem como consul-
tar sempre o portal do professor no MEC.
Para fortalecer os conceitos estudados até aqui, resolva as duas 
primeiras questões autoavaliativas, disposta ao final desta unidade.
Fórmula da soma do termo geral de uma PA finita
Na introdução da unidade, comentamos a respeito da impor-
tância de Karl Friedrich Gauss para este estudo. Certo dia, quando 
era estudante da escola primária e tinha aproximadamente oito 
anos, seu professor propôs a seguinte questão:
[...] “Escrevam todos os números de 1 a 100 e depois vejam quanto 
dá a sua soma.” 
[...]
O problema em questão não era difícil para alguém que tivesse al-
guma familiaridade com as progressões aritméticas.
[...]
No final da aula os resultados foram examinados. A grande maioria 
dos alunos tinha apresentado resultados errados pelo que foram 
severamente corrigidos com uma cana-da-índia. Na ardósia de 
Gauss, que se encontrava no fim, estava apenas um número: 5050 
(É desnecessário dizer que o resultado esta correcto.) Como seria 
de esperar, Gauss teve que explicar ao espantado professor Büttner 
como é que tinha obtido aquele resultado:
“Então, 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, e por ai em diante, até 
finalmente 49+52=101 e 50+51=101. Isto dá um total de 50 pa-
res de números cuja soma dá 101. Portanto, a soma total é 50 x 
101=5050.”
Desta maneira aparentemente simples, Gauss tinha encontrado a 
propriedade da simetria das progressões aritméticas, derivando a 
fórmula da soma para uma progressão aritmética arbitrária – fór-
mula que, provavelmente, Gauss descobriu por si próprio (UNIVER-
SIDADE DE LISBOA, 2013b).
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Você pode estar se perguntando como Gauss desenvolveu o 
seu raciocínio.
Ele percebeu que, somando o primeiro termo com o últi-
mo, ou seja, 1 + 100, o resultado era 101; o segundo termo com o 
penúltimo, obteria o mesmo resultado, portanto, 2 + 99 = 101; o 
terceiro termo com o antepenúltimo, 3 + 98 = 101, e assim sucessi-
vamente. Dessa forma, Gauss concluiu que, se somasse cinquenta 
vezes o número 101, teria o resultado da “soma dos números de 1 
a 100”, conforme proposto anteriormente, pois 50 x101=5.050 . É 
interessante nesse momento você acessar o vídeo que se encontra 
disponível em: <http://www.uff.br/sintoniamatematica/curiosida-
desmatematicas/curiosidadesmatematicas-html/audio-gauss-br.
html>. Acesso em: 17 set. 2013.
A partir do conhecimento acerca da “soma dos números de 
1 a 100”, estabelecido por Gauss, quando consideramos uma pro-
gressão aritmética finita de razão r, é possível utilizarmos a seguin-
te fórmula:
Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA:
1( )
2
n
n
a a nS  
Em que:
• 1a é o primeiro termo;
• na é o enésimo termo;
• n é o número de termos;
• nS é a soma dos “n” termos.
Exemplo 1
Em uma residência, a torneira da cozinha está danificada e 
com isso está havendo um vazamento. O dono da casa resolveu 
verificar quantas gotas de água caem por minuto, durante 5 mi-
nutos. Utilizando um cronômetro, foi marcando em uma folha de 
© Matemática Básica II70
papel que, no primeiro minuto, caíram 30 gotas; no segundo mi-
nuto, caíram 15 gotas a mais que no minuto anterior; no terceiro 
minuto, caíram 15 gotas a mais que no segundo minuto, e assim 
sucessivamente. Se representássemos esses dados em uma tabe-
la, perceberíamos que os mesmos formam uma PA crescente e fi-
nita de razão 15.
Sendo assim, conseguimos saber que a quantidade total de 
gotas de água que caíram durante os cinco primeiros minutos é: 30 
+ 45 + 60 + 75 + 90 = 300. Nesse contexto, podemos estabelecer 
uma relação entre a quantidade de gotas e o tempo.
Exemplo 2
Uma empresade telefonia móvel demonstrou a sua produ-
ção anual de acordo com a Tabela 4.
Tabela 4 Produção anual.
Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Quantidade 
Produzida
12.000 15.000 18.000 21.000 24.000 27.000
Quantas unidades de telefone celular a empresa produziu no 
ano de 2000 a 2005?
Observando a Tabela 4, podemos somar as quantidades pro-
duzidas anualmente: 12.000 + 15.000 + 18.000 + 21.000 + 24.000 
+ 27.000 = 117.000.
Nesse contexto, concluímos que as parcelas formam uma PA 
finita, em que a razão é 3.000. Portanto, (12.000, 15.000, 18.000, 
21.000, 24.000, 27.000). A soma dos termos dessa PA é 117.000.
Exemplo 3
Em uma PA, o primeiro termo é -15 e r = 4. Nessas condições, 
quais são os quatro primeiros termos e a soma deles?
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71© U2 - Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG)
2 1a a r  , 2 15 4 11a     
3 1 2a a r  , 3 15 2 4 15 8 7a         
4 1 3a a r  , 4 15 3 4 15 12 3a         
Os quatro primeiros termos são  15, 11, 7, 3    . Quando 
somamos esses termos, temos:
       15 11 7 3 36        
Exemplo 4
Uma PA tem 1 4a  e 2r  . Determine a soma dos 15 pri-
meiros termos. Podemos fazer esse cálculo de forma direta, adi-
cionando 2 ao termo imediatamente anterior, para obter o segun-
do termo. O terceiro é obtido pela adição de 2 ao segundo termo 
e assim por diante. 
A representação desta PA é (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 
22, 24, 26, 28, 30, 32). Ao somarmos os valores, obteremos como 
resultado 270.
Exemplos resolvidos
Se voltarmos ao problema da quantidade de gotas de água 
que são despejadas em cinco minutos, utilizando a fórmula, te-
mos:
© Matemática Básica II72
 
 
5 5 5
5
5
5
5
1 , 15
30 4 ; 30 4 15 ; 30 60 90
30 90 5
2
120 5
2
600
2
300
( )
2
n
n r
a r a a
S
S
S
S
a a nS 
        
 





 

Já no que toca o problema referente à quantidade de 
telefones celulares produzidas no final de 6 anos, podemos 
inserir os dados na fórmula da soma finita dos n termos de uma 
progressão aritmética. Nesse contexto, temos que:
 
 
 
1
6 6 6
6
6
6
6
1 , 3.000
12.000
12.000 5 ; 12.000 5 3.000 ; 12.000 15.000 27.000
12.000 27.000 6
2
39.000 6
2
234.000
2
117.000
( )
2
n
n r
a
a r a a
S
S
S
S
a a nS 

        
 





 

Para saber se você entendeu o conceito da soma dos n termos de 
uma PA finita, resolva as Questões Autoavaliativas 3 e 4.
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7. APLICAÇÃO DO CONCEITO DE PA NAS FUNÇÕES 
AFIM E QUADRÁTICA
Podemos relacionar o conceito de Progressão Aritmética 
(PA) ao conceito de função afim e quadrática de acordo com os 
exemplos a seguir.
Exemplo 1
Considere a função afim   4 2f x x  e (6, 14, 
22, 30,...), uma PA de razão igual a oito. Verifique que 
        6 , 14 , 22 , 30 ...f f f f também é uma PA e determine 
sua razão.
Substituindo os valores de x por 6, 14, 22 e 30, temos os no-
vos resultados, sendo eles uma sequência (22, 54, 86, 118,...), que 
é uma PA de razão 32, ou seja, multiplicamos o coeficiente angular 
(a) pela razão (r), ficando assim: 4 8 32a r    . Portanto, estabe-
lecemos uma relação entre PA e função afim, com domínio e ima-
gem no conjunto dos números reais e definida por:  f x ax b  .
Agora, retomando a definição de uma função quadrática, em 
que o domínio e a imagem pertencem ao conjunto dos números 
reais, suponha o seguinte exemplo.
Exemplo 2
Segundo Ribeiro (2010), temos uma função quadrática de-
finida por   2 1f x x  , e a PA (1, 2, 3, 4, 5, ...) com razão igual 
a 1. Calculando           1 , 2 , 3 , 4 , 5 ...f f f f f , obtemos a se-
quência (2, 5, 10, 17, 26,...). Podemos verificar que essa sequên-
cia, pela definição, não é uma PA, pois não existe uma constante. 
Entretanto, ao fazermos a diferença entre os termos consecutivos, 
verificamos que é uma PA de segunda ordem, com razão igual a 2.
Sendo assim, temos:
5 – 2 = 3; 10 – 5 = 5; 17 – 10 = 7; 26 – 17 = 9...
© Matemática Básica II74
Escrevendo a sequência dos resultados obtidos, concluímos 
que (3, 5, 7, 9,...) é uma PA, pois a diferença entre dois termos con-
secutivos é constante.
A partir desse momento, entenderemos outra progressão, 
a Geométrica. É importante que, no decorrer do estudo de PG, 
você faça uma comparação com o que estudou em PA. Lembre-se, 
também, de que esse material tem o intuito de nortear os seus 
estudos e ajudá-lo a conduzir a sua própria prática cotidiana.
8. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA PG
No que diz respeito à definição de Progressão Geométri-
ca, corroboramos o pensamento de alguns autores. Para Ribeiro 
(2010, p. 273), Progressão Geométrica "É uma sequência numéri-
ca em que o quociente entre um termo, a partir do 2º, e o termo 
antecedente é constante. Essa constante chama-se razão da PG e 
é representada pela letra ‘q’". Já Dante (2011, p. 142) afirma que
Progressão Geométrica (PG) é toda sequência de números não-
-nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a 
partir do segundo) pelo termo anterior. Esse quociente constante 
é chamado razão (q) da progressão. Ou seja, uma progressão geo-
métrica é uma sequência na qual a taxa de crescimento relativo de 
cada termo para o seguinte é sempre a mesma.
Dante (2011) afirma ainda que, a partir da definição, o ené-
simo termo é calculado pela multiplicação da razão (q) por seu an-
tecedente.
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75© U2 - Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG)
2
1
3
2
4
3
1
1
2 1
3 2
4 3
...
n
n n
n
aa q a
aa q a
aa q a
a qa
a q
a q
a q
a a q





 
 




 
 
Exemplos:
1) A sequência 
1 1, ,...
2 6
 
 
 
 é uma PG infinita. Qual é a razão 
e a taxa de crescimento dos seus termos?
De acordo com a definição anterior, para acharmos a ra-
zão, basta dividirmos o segundo termo pelo primeiro ter-
mo, portanto, q é:
2
2
1
1
1
2
1
6
1
1 2 2 16
1 6 1 6 3
2
1
3
a
aq q q
a
a
q


       

© Matemática Básica II76
Em relação à taxa de crescimento, basta utilizarmos a se-
guinte fórmula: 1
1
n n
n
a a
ai


 ; portanto, se substituir-
mos o segundo e o primeiro termo, conseguimos achar o 
valor dessa taxa de crescimento:
1 1 1
26 2 3 0,66... 66,66%1 1 3
2 2
i
 
      
2) Sabendo que o primeiro termo de uma PG é quatro e sua 
razão é cinco, que valor corresponde ao quinto termo?
Nesse contexto, sabemos que, se multiplicarmos o pri-
meiro termo por q = 5, obteremos o segundo termo que, 
multiplicado por cinco, é o resultado do terceiro termo, e 
assim por diante. Portanto,
2 1
3 2
4 3
5 4
4 5 20
20 5 100
100 5 500
500 5 2500
a a q
a a q
a a q
a a q
    
    
    
    
Concluímos que o quinto termo equivale a 2500 e a PG é 
(20, 100, 500, 2500).
Confira alguns exemplos de contextos reais em que os con-
ceitos sobre Progressão Geométrica se mostram úteis.
Exemplo 1
Suponha que um grupo de estudantes está estudando o cres-
cimento de uma população de vírus em uma aula de Biologia. Eles 
observaram que, ao final do primeiro minuto, havia uma bactéria; 
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77© U2 - Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG)
no segundo minuto, havia três e, ao final do terceiro minuto, ha-
via nove. Perceberam que existe um padrão de regularidade e que 
não é pertinente aos conceitos estudados em Progressão Aritméti-
ca. Sendo assim, perguntaram ao professor de Matemática se esse 
padrão está de acordo com a definição de Progressão Geométrica.
Exemplo 2
Foi feita uma gincana em uma escola e os participantes ga-
nham pontos de acordo com a modalidade "perguntas e respos-
tas''. Foi estipulado pela comissão organizadora que são 5 pergun-
tas, sendo que a primeira resposta correta vale 10 pontos e que, 
em cada resposta posterior, o número depontos seria "dobrado". 
A Tabela 5 a seguir evidencia a respeito.
Tabela 5 Dados da gincana.
Pergunta Pontos
1 10
2 20
3 40
4 80
5 160
Os dados apresentados na Tabela 5 nos remetem à definição 
de Progressão Geométrica.
Diante do perfil do aluno do Ensino Médio, enquanto ser 
humano crítico e participativo, ao iniciar esse conteúdo, é preciso 
estabelecer que existe uma relação muito próxima entre o estudo 
de Progressão Geométrica e as situações presentes no cotidiano 
escolar. Sob essa perspectiva, e de acordo com os exemplos cita-
dos acima, é possível verificar que há uma sequência de números 
que tem alguma relação com o seu antecedente, sendo que esse 
valor é constante.
No primeiro exemplo, temos a seguinte sequência numérica: 
(1, 3, 9,...). A partir dela identificamos que a população de bacté-
© Matemática Básica II78
rias está triplicando. Seguindo essa linha de pensamento, pode-
mos afirmar que o quarto termo dessa sequência é 27, pois o tri-
plo de nove é igual a 27.
A partir do segundo termo, se dividimos cada termo pelo an-
tecedente, vamos obter o mesmo resultado. Veja como isso acon-
tece:
2 1
3 2
4 3
: 3 :1 3
: 9 :3 3
: 27 :9 3
a a
a a
a a
 
 
 
Já no segundo exemplo, temos a sequência (10, 20, 40, 80, 
160) e observamos que os termos subsequentes ao segundo são 
"dobrados". Desse modo, se continuássemos essa sequência, o 
próximo número seria correspondente a 320 pontos.
Sendo assim, concluímos que, se dividirmos cada termo, a 
partir do segundo, pelo anterior, obteremos o seguinte resultado:
2 1
3 2
4 3
5 4
: 20 :10 2
: 40 : 20 2
: 80 : 40 2
: 160 :80 2
a a
a a
a a
a a
 
 
 
 
Classificação de uma PG
A classificação de uma Progressão Geométrica (PG) depen-
de do valor da sua razão (q), podendo ser crescente, decrescente, 
constante ou alternante.
• Crescente: quando a razão é maior que 1 (q > 1) e os ter-
mos são positivos, ou quando a razão q está em um inter-
valo maior do que zero e menor do que 1 (0 < q < 1), e os 
termos são negativos. Por exemplo:
(4, 8, 16, 32, 64,...), 2.q 
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(- 64, -32, -16, -8,...), 1 .
2
q 
• Decrescente: quando a razão q está em um intervalo 
maior que zero e menor que 1 (0 < q < 1) e os termos 
são positivos, ou quando a razão é maior que 1 (q > 1) 
e os termos são negativos. Observe isso nos exemplos a 
seguir:
(243, 81, 27, 9,...), 1
3
q  .
(- 3, - 9, - 27, -81, - 243, ...), 3q  .
• Constante: quando q = 1. Pelos exemplos a seguir, é pos-
sível verificar que a razão vale 1 e os termos podem ser 
positivos ou negativos:
(150, 150, 150,...), q = 1 e os termos são positivos.
(-8, -8, -8, ...), q = 1 e os termos são negativos.
• Alternante: sempre que a razão de uma PG for um número 
negativo (q < 0), podemos classificá-la em alternante. 
Nesse contexto, verifique o exemplo:
(2, -8, 32, -128,...), q = -4 (q < 0).
Observe outros exemplos a seguir e suas classificações.
Exemplos resolvidos
1) 
14,2,1, ,...
2
 
 
  : de acordo com a definição de uma PG, se 
dividirmos o segundo termo pelo primeiro termo, o ter-
ceiro termo pelo segundo e assim por diante, é possível 
concluir que 
1
2
q  , ou seja, os termos da sequência são 
positivos e 0 < q < 1. Portanto, é uma PG decrescente.
© Matemática Básica II80
2) 
1 3 9 27, , , ,...
4 4 4 4
   
  : segundo a definição de PG, se di-
vidirmos, por exemplo, o segundo termo pelo primeiro 
termo e o terceiro termo pelo segundo, encontramos 
um número constante e igual a -3, ou seja, q = -3. Desse 
modo, a razão é um número negativo (q = -3) e os ter-
mos se alternam em números positivos e negativos.
3)  7, 42, 252, 1512,...    : de acordo com a definição 
de PG, esta é decrescente, pois q = 6 (q > 1) e os termos 
são todos negativos.
4)  6, 6, 6,...   : os termos são todos iguais; portanto, é 
constante e q = 1.
5)  20, 20,20,... : ao dividirmos o segundo termo pelo 
primeiro termo, é possível notar que q = -1. Desse modo, 
essa PG é alternante.
Fórmula do termo geral de uma PG
Quando escrevemos uma Progressão Geométrica (PG), sa-
bemos que o segundo termo é o resultado da multiplicação do 
primeiro termo pela razão denominada q; isso significa que avan-
çamos uma vez. O terceiro termo é obtido pelo resultado da multi-
plicação do primeiro termo pelo quadrado da razão q; avançamos 
duas vezes. O quarto termo é calculado fazendo a multiplicação 
do primeiro termo pelo cubo da razão q; avançamos três termos 
e assim por diante. Desse modo, podemos representar uma PG: 
 1 2 3 4, , , ,..., ,...na a a a a e os termos:
2 1
2
3 1
3
4 1
a a q
a a q
a a q
 
 
 
Sendo assim, o termo de ordem n é denominado termo geral 
da PG e é representado pela seguinte fórmula: 11
n
na a q
  . Quan-
do passamos do primeiro termo para um termo na qualquer, po-
demos dizer que avançamos  1n  termos. De acordo com essa 
fórmula, temos que:
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81© U2 - Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG)
• na é o termo geral.
• 1a é o primeiro termo.
• n é o número de termos.
• q é a razão.
Exemplo 1
Sabendo-se que o quarto termo de uma PG é igual a 2 e o 
nono termo vale 64. É possível calcular o sétimo termo, apenas 
com esses dados?
Substituindo na fórmula do termo geral 11
n
na a q
  , consi-
deramos que o termo 59 4a a q  , pois, ao passar do quarto termo 
para o nono termo, avançamos cinco termos.
5
5
5
64 2
64
2
32
2
q
q
q
q
 



Como a razão q = 2, substituímos na fórmula do termo geral 
novamente. Dessa forma, 37 4a a q  . Pois, ao passar do quarto 
termo para o sétimo termo, avançamos três termos.
3
7 4
3
7
7
7
2 2
2 8
16
a a q
a
a
a
 
 
 

Sendo assim, conforme a proposta inicial, o sétimo termo 
vale 16.
© Matemática Básica II82
Exemplo 2
No primeiro semestre de 2010, a produção mensal de uma 
empresa cresceu em PG. Como o gerente financeiro não pode re-
velar os valores de todos os meses, ele informou apenas que, no 
mês de janeiro, a produção foi de 3.000 unidades e, no mês de 
junho, foi de 729.000 unidades. Quais os resultados apresentados 
pela empresa nos meses de fevereiro, março, abril e maio?
Esse enunciado é muito comum em avaliações externas e li-
vros didáticos. O primeiro passo é descobrir o valor da razão para, 
posteriormente, calcular o segundo termo, terceiro termo, quarto 
termo e quinto termo.
Portanto, fazendo as substituições:
5 5 5
6 1
5 5
729.000729.000 3.000
3.000
243 243 3
a a q q q
q q q
      
    
Agora que já sabemos o valor da razão, basta substituirmos 
novamente na fórmula do termo geral. Nesse contexto, temos:
2
2
3
3
4
4
5
3.000 3 9.000
3.000 3 27.000
3.000 3 81.000
3.000 3 243.000
(3.000,9.000,27.000,81.000,243.000,729.000)
a
a
a
a
  
  
  
  
Exemplo 3
Se as raízes da equação quadrática 2 5 4 0x x   corres-
pondem ao primeiro e segundo termo de uma PG crescente, qual 
é o valor do terceiro termo?
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O primeiro passo é resolvermos a equação, determinando 
as raízes de uma equação do segundo grau. Portanto, resolvendo 
essa equação, chegamos aos valores: as raízes são 1 e 4.
Se a PG é crescente, o primeiro termo é a raiz menor, e o 
segundo termo é a raiz maior (1, 4,...).
Para descobrirmos o valor da razão, basta dividir o segundo 
termo pelo primeiro; portanto, a razão q = 4. Sendo assim, o tercei-
ro termo corresponde à multiplicação do primeiro termo pelo qua-
drado da razão. Desse modo, 23 1 4 1 16 16a      . Portanto, essa 
PG é (1, 4, 16) e, se continuássemos, o próximo termo seria 64.
Exemplo 4
Numa PG temos que o primeiro termo é 512 e a razão 
1
2
q  . 
Qual é o valor do quinto termo?
Devemos substituir na fórmula do termo geral. Portanto, o 
quinto termo é igual à multiplicação do primeirotermo pela razão 
elevada à quarta potência. Desse modo:
5 5 5 5
41 1 512512 ( ) 512 32
2 16 16
a a a a       
Aprendemos até aqui a calcular o enésimo termo de uma 
Progressão Geométrica (PG). Dando continuidade aos nossos 
estudos, iremos descobrir como se calcula a soma dos termos de 
uma PG finita.
Para colocar em prática o conhecimento adquirido até esse mo-
mento, responda às Questões Autoavaliativas 5, 6 e 7.
© Matemática Básica II84
Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG finita
Os conhecimentos adquiridos até aqui foram de extrema 
importância para prosseguirmos em nossos estudos. A partir de 
agora, você vai conhecer qual é a fórmula que permite calcular 
a soma dos termos de uma PG finita. Mas lembre-se de que 
enquanto, nos estudos de PA, definimos a razão por r e, nos 
estudos de PG, ela é definida por q. O mais importante é que você 
reconheça nos contextos reais esses conceitos, que muitas vezes 
se encontram subentendidos.
Para Dante (2011, p. 147), "A soma dos n primeiros 
termos de uma progressão geométrica ( na ) de razão q ≠ 1 é 
1
1 , 1
1
n
n
qS a q
q

  

”.
Segundo Ribeiro (2010, p. 283),
Assim como na PA, existem casos que é muito trabalhoso, obter 
a soma dos termos de uma PG adicionando termo a termo. 
Nesse caso, podemos obter uma fórmula que permite calcular 
a soma dos n primeiros termos de uma PG, cuja razão é q, 
 1 1 , 1
1
n
n
a q
S q
q
 
 

.
Exemplo 1
Se uma empresa produziu, no ano de 2008, 15.000 unidades 
de um produto químico e a cada ano ela produz 30% a mais que no 
ano anterior, quantas unidades desse produto ela produziu entre 
2008 e 2011?
É evidente que se trata de um problema de soma dos termos 
de uma PG. Desse modo, basta aplicar a fórmula do termo geral e 
substituirmos o primeiro termo por 15.000, sendo  1,30 30%q  
e 4n  .
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1
1 , 11
n
n
qS a qq
 

4
4 4
1 (1,30) 1 2,856115.000 15.000
1 1,30 0,30
S S     
 
4 4 4
1,856115.000 15.000 6,187 92.805
0,30
S S S      

Portanto, ao final dos quatro anos, o total de produtos quí-
micos foi de 92.805.
Exemplo 2
Se a soma dos dez primeiros termos de uma PG é 1.024 e a 
razão q = 2, qual é o valor do primeiro termo?
Devemos aplicar a fórmula da soma substituindo os valores 
segundo o enunciado. Portanto,
10
1 1 1
1 1
1
(2 1) (1024 1) 10231024 1024 1024
2 1 1 1
1024 1,00977
1023
1
a a a
a a
a
 
       

  

O primeiro termo vale 1.
Exemplo 3
Qual é a soma dos dez primeiros termos da PG (3, -6, 12,...).
Dividindo o segundo termo pelo primeiro, temos que o 
primeiro termo é 3 e q = -2. De acordo com a fórmula:
© Matemática Básica II86
10
10 10
10 10
( 2) 1 (1024) 13 3
2 1 3
10233 1.023
3
S S
S S
  
     
  
    

Sendo assim, a soma dos dez primeiros da PGE termos vale 
-1.023.
Para verificar se você realmente aprendeu o conceito da soma dos 
termos de uma PG finita, é importante que você responda às duas 
últimas questões autoavaliativas.
Limite da soma dos termos de uma PG infinita
Dada uma PG infinita, com n  (n tende para o infinito), 
cuja razão é maior que -1 e menor que 1 ( 1 1q   ), podemos 
calcular o limite da soma dessa PG, aplicando a seguinte fórmula 
 1 1
1
n
n
a q
S
q
 


.
Quando temos essa tendência para o infinito, utilizamos, na 
fórmula anterior, “zero” e, substituindo, ficamos com a seguinte 
fórmula:
1 1(1 0)lim lim
1 1n nn n
a aS S
q q 
  
 
Exemplo 1
Qual é o valor do limite da soma dos infinitos termos da 
sequência 1 1 11, , , ,...
3 9 27
    
 
?
Primeiramente, precisamos calcular a razão q, dividindo o 
segundo termo pelo primeiro termo. Teremos: 1 1a  e 
1
3
q  . Se-
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87© U2 - Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG)
gundamente, aplicamos os dados na fórmula do limite da soma de 
uma PG infinita. Desse modo:
1
11
3
1
2
3
3
2
n
n
n
S
S
S




Exemplo 2
Qual é a soma dos termos da PG infinita 
6 12 24(3, , , ,...)
5 25 125 ?
1 3
6
25
3 5
3 3 53 52 3 31
5 5
a
q
S S

 
     

Exemplo 3
Numa PG ilimitada decrescente, a razão é 
1
2
 e o limite da 
soma dos seus infinitos termos é 32. Qual é o primeiro termo desta 
PG?
Segundo os dados do problema,
1
2
32
q
S


© Matemática Básica II88
Substituindo na fórmula da soma dos termos de uma PG 
infinita, temos:
1 1
1 1
132 32 32 161 1 21
2 2
a a a a       

9. TEXTO COMPLEMENTAR
Esse texto revela a relação que existe entre o jogo de xadrez 
e a Progressão Geométrica.
A origem do jogo de xadrez –––––––––––––––––––––––––––––––––
[...] O infeliz monarca passava longas horas traçando, sobre uma grande caixa de 
areia, as diversas manobras executadas pelas tropas durante o assalto. Com um 
sulco indicava a marcha da infantaria; ao lado, paralelo ao primeiro, outro traço 
mostrava o avanço dos elefantes de guerra; um pouco mais abaixo, representada 
por pequenos círculos dispostos em simetria, perfi lava a destemida cavalaria 
chefi ada por um velho radj que se dizia sob a proteção de Techandra, a deusa da 
Lua. Ainda por meio de gráfi cos esboçava o rei a posição das colunas inimigas, 
desvantajosamente colocadas, graças à sua estratégia, no campo em que se feriu 
a batalha decisiva.
Uma vez completado o quadro dos combatentes, com as minudências que pudera 
evocar, o rei tudo apagava, para recomeçar novamente, como se sentisse íntimo 
gozo em reviver os momentos passados na angústia e na ansiedade. À hora 
matinal em que chegavam ao palácio os velhos brâmanes para a leitura dos Vedas, 
já o rei era visto a riscar na areia os planos de uma batalha que se reproduzia 
interminavelmente.
– Infeliz monarca! – murmuravam os sacerdotes penalizados. – Procede como um 
sudra a quem Deus privou da luz da razão. Só Dhanoutara, poderosa e clemente, 
poderá salvá-lo!
E os brâmanes erguiam preces, queimavam raízes aromáticas, implorando à 
eterna zeladora dos enfermos que amparasse o soberano de Taligana. Um dia, 
afi nal, foi o rei informado de que um moço brâmane – pobre e modesto – solicitava 
uma audiência que vinha pleiteando havia já algum tempo.
Como estivesse, no momento, com boa disposição de ânimo, mandou o rei que 
trouxessem o desconhecido à sua presença. Conduzido à grande sala do trono, foi 
o brâmane interpelado, conforme as exigências da praxe, por um dos vizires do rei.
– Quem és, de onde vens e que desejas daquele que, pela vontade de Vichnu, é 
rei e senhor de Taligana?
– Meu nome – respondeu o jovem brâmane – é Lahur Sessa e venho da aldeia de 
Namir, que trinta dias de marcha separam desta bela cidade. Ao recanto em que 
eu vivia chegou a notícia de que o nosso bondoso rei arrastava os dias em meio 
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89© U2 - Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG)
de profunda tristeza, amargurado pela ausência de um fi lho que a guerra viera 
roubar-lhe. Grande mal será para o país, pensei, se o nosso dedicado soberano 
se enclausurar, como um brâmane cego, dentro de sua própria dor. Deliberei, pois, 
inventar um jogo que pudesse distraí-lo e abrir em seu coração as portas de novas 
alegrias. É esse o desvalioso presente que desejo neste momento oferecer ao 
nosso rei Iadava.
Como todos os grandes príncipes citados nesta ou naquela página da história, 
tinha o soberano hindu o grave defeito de ser excessivamente curioso. Quando 
o informaram da prenda de que o moço brâmane era portador, não pôde conter o 
desejo de vê-la e apreciá-la sem mais demora.
O que Sessa trazia ao rei Iadava consistia num grande tabuleiro quadrado, dividido 
em sessenta e quatro quadradinhos, ou casas, iguais; sobre esse tabuleiro 
colocavam-se, não arbitrariamente, duas coleções de peças que se distinguiam, 
uma da outra, pelas cores branca e preta, repetindo, porém, simetricamente, 
os engenhososformatos e subordinados a curiosas regras que lhes permitiam 
movimentar-se por vários modos. Sessa explicou pacientemente ao rei, aos vizires 
e cortesãos que rodeavam o monarca em que consistia o jogo, ensinando-lhes as 
regras essenciais:
– Cada um dos partidos dispõe de oito peças pequeninas – os peões. Representam 
a infantaria, que ameaça avançar sobre o inimigo para desbaratá-la. Secundando 
a ação dos peões vêm os elefantes de guerra, representados por peças maiores 
e mais poderosas; a cavalaria, indispensável no combate, aparece igualmente, no 
jogo, simbolizada por duas peças que podem saltar, como os corcéis, sobre as 
outras; e, para intensifi car o ataque, incluem-se – para representar os guerreiros 
cheios de nobreza e prestígio – os dois vizires do rei. Outra peça, dotada de amplos 
movimentos, mais efi ciente e poderosa do que a demais, representará o espírito 
de nacionalidade do povo e será chamada rainha. Completa a coleção uma peça 
que isolada pouco vale, mas se torna muito forte quando amparada pelas outras. 
É o rei.
O rei Iadava, interessado pelas regras do jogo, não se cansava de interrogar o 
inventor:
– E por que é a rainha mais forte e mais poderosa que o próprio rei?
– É mais poderosa – argumentou Sessa – porque a rainha representa, nesse jogo, 
o patriotismo do povo. A maior força do trono reside, principalmente, na exaltação 
de seus súditos. Como poderia o rei resistir ao ataque dos adversários se não 
contasse com o espírito de abnegação e sacrifício daqueles que o cercam e zelam 
pela integridade da pátria?
Dentro de poucas horas o monarca, que aprendera com rapidez todas as regras do 
jogo, já conseguia derrotar os seus dignos vizires em partidas que se desenrolavam 
impecáveis sobre o tabuleiro. Sessa, de quando em quando, intervinha, respeitoso, 
para esclarecer um dúvida ou sugerir novo plano de ataque ou de defesa.
Em dado momento, o rei fez notar, com grande surpresa, que a posição das peças, 
pelas combinações resultantes dos diversos lances, parecia reproduzir exatamente 
a batalha de Dacsina.
– Reparai – ponderou o inteligente brâmane – que para conseguirdes vitória, 
indispensável se torna, de vossa parte, o sacrifício deste vizir!
E indicou precisamente a peça que o rei Iadava, no desenrolar da partida e por 
vários motivos, grande empenho pusera em defender e conservar.
© Matemática Básica II90
O judicioso Sessa demonstrava, desse modo, que o sacrifício de um príncipe é, por 
vezes, imposto como uma fatalidade, para que dele resulte a liberdade de um povo. 
Ao ouvir tais palavras, o rei Iadava, sem ocultar o entusiasmo que lhe dominava o 
espírito, assim falou:
– Não creio que o engenho humano possa produzir maravilha comparável a este 
jogo interessante e instrutivo! Movendo essas tão simples peças, aprendi que um 
rei nada vale sem o auxílio e a dedicação constante de seus súditos. E que, às 
vezes, o sacrifício de um simples peão vale mais, para a vitória, do que a perda de 
uma poderosa peça.
E, dirigindo-se ao jovem brâmane, disse-lhe:
– Quero recompensar-te, meu amigo, por este maravilhoso presente, que de tanto 
me serviu para alívio de velhas angústias. Dize-me, pois, o que desejas, para que 
eu possa, mais uma vez, demonstrar o quanto sou grato àqueles que se mostram 
dignos de recompensa.
As palavras com que o rei traduziu o generoso oferecimento deixaram Sessa 
imperturbável. Sua fi sionomia serena não traía a menor agitação, a mais 
insignifi cante mostra de alegria ou surpresa. Os vizires olhavam-no atônitos, e 
entreolhavam-se pasmados diante da apatia de uma cobiça a que se dava o direito 
da mais livre expansão.
– Rei poderoso! – redarguiu o jovem com doçura e altivez – Não desejo, pelo 
presente que hoje vos trouxe, outra recompensa além da satisfação de ter 
proporcionado ao senhor de Taligana um passatempo agradável, que lhe vem 
aligeirar as horas dantes alongadas por acabrunhante melancolia. Já estou, 
portanto, sobejamente aquinhoado e outra qualquer paga seria excessiva.
Sorriu, desdenhosamente, o bom soberano ao ouvir aquela resposta, que refl etia 
um desinteresse tão raro entre os ambiciosos hindus. E, não crendo na sinceridade 
das palavras de Sessa, insistiu:
– Causa-me assombro tanto desdém e desamor aos bens materiais, ó jovem! A 
modéstia, quando excessiva, é como o vento que apaga o archote, cegando o 
viandante nas trevas de uma noite interminável. Para que possa o homem vencer 
os múltiplos obstáculos que se lhe deparam na vida, precisa ter o espírito preso 
às raízes de uma ambição que o impulsione a um ideal qualquer. Exijo, portanto, 
que escolhas, sem mais demora, uma recompensa digna de tua valiosa oferta. 
Queres uma bolsa cheia de ouro? Desejas uma arca repleta de jóias? Já pensaste 
em possuir um palácio? Almejas a administração de uma província? Aguardo a tua 
resposta, por isso que à minha promessa está ligada a minha palavra!
– Recusar o vosso oferecimento depois de vossas últimas palavras – acudiu Sessa 
– seria menos descortesia do que desobediência ao rei. Vou, pois, aceitar, pelo 
jogo que inventei, uma recompensa que corresponde à vossa generosidade; não 
desejo, contudo, nem ouro, nem terras ou palácios. Peço o meu pagamento em 
grãos de trigo.
– Grãos de trigo? – estranhou o rei, sem ocultar o espanto que lhe causava 
semelhante proposta – Como poderei pagar-te com tão insignifi cante moeda?
– Nada mais simples – elucidou Sessa – Dar-me-eis um grão de trigo pela primeira 
casa do tabuleiro; dois pela segunda, quatro pela terceira, oito pela quarta, e, assim 
dobrando sucessivamente, até a sexagésima quarta e última casa do tabuleiro. 
Peço-vos, ó rei, de acordo com a vossa magnânima oferta, que autorizeis o 
pagamento em grãos de trigo, e assim como indiquei!
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91© U2 - Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG)
Não só o rei como os vizires e venerandos brâmanes presentes riram-se, 
estrepitosamente, ao ouvir a estranha solicitação do jovem. A desambição que ditara 
aquele pedido era, na verdade, de causar assombro a quem menos apego tivesse 
aos lucros materiais da vida. O moço brâmane, que bem poderia obter do rei um 
palácio ou uma província, contentava-se com grãos de trigo! – Insensato! – clamou 
o rei – Onde foste aprender tão grande desamor à fortuna? A recompensa que me 
pedes é ridícula. Bem sabes que há, num punhado de trigo, número incontável de 
grãos. Devemos compreender, portanto, que com duas ou três medidas de trigo eu 
te pagarei folgadamente, consoante o teu pedido, pelas 64 casas do tabuleiro. É 
certo, pois, que pretendes uma recompensa que mal chegará para distrair, durante 
alguns dias, a fome do último pária do meu reino.
Enfi m, visto que minha palavra foi dada, vou expedir ordens para que o pagamento se 
faça imediatamente, conforme teu desejo (adaptado PORTAL DO PROFESSOR, 2013).
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
10. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS
Confira, a seguir, as questões propostas para verificar o seu 
desempenho no estudo desta unidade:
1) Durante certo período, a produção de uma confecção correspondeu a 
uma PA crescente. No primeiro dia, essa confecção produziu 9 blusas; no 
segundo, dia 12 blusas; no terceiro dia, 15 blusas, e assim por diante, até o 
12º dia. Quantas blusas essa confecção produziu no 12º dia?
2) Quantos múltiplos de 8 existem entre 20 e 80?
3) Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira, 14 na segunda, 16 na 
terceira, e as demais fileiras se compõem na mesma sequência. Quantas 
fileiras são necessárias para o teatro ter um total de 620 poltronas?
4) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Num 
triângulo, as medidas dos ângulos estão em PA e o menor desses ângulos 
mede 40°. Calcule a medida do outro ângulo, sabendo que um deles é o 
dobro do primeiro ângulo.
5) Cinco meios geométricos foram inseridos entre 4 e 2916. Qual é a razão q 
da PG obtida? 
6) Sabendo que a quantia de R$ 1.000,00 foi aplicada em um certo investimento 
cujo rendimentoé de 2% ao mês, qual será essa quantia ao final de 1 ano?
7) Qual é o primeiro termo de uma PG cuja razão é -2 e seu 11º termo é 256?
8) (UFPB – Adaptado). Um maratonista percorreu um total de 158 km, em 
cinco dias de treino. Considerando que, a partir do segundo dia, o percurso 
diário foi o dobro do dia anterior, quantos quilômetros, após três dias desse 
treinamento, o maratonista percorreu?
© Matemática Básica II92
9) Qual é a soma dos cinco primeiros termos de uma PG que possui 1 2a   
e 3q   .
Gabarito
Confira, a seguir, as respostas corretas para as questões au-
toavaliativas propostas:
1) 42 blusas.
2) 8 múltiplos.
3) 20 fileiras.
4) 60°.
5) q = 3 ou q = - 3.
6) 1268,24.
7) 1
4
q  .
8) 35 km.
9) S = 122.
11. CONSIDERAÇÕES
Nesta unidade, estudamos história, conceitos, classificação e 
as fórmulas do termo geral e da soma dos n termos de Progressões 
Aritméticas (PA) e Progressões Geométricas (PG), mas vale desta-
car que é importante sempre estabelecer uma relação entre esses 
conteúdos com o cotidiano do aluno do Ensino Médio. Também a 
conexão com outras áreas do conhecimento pode resgatar dele o 
interesse em aprender Matemática, particularmente PA e PG.
Vários exemplos foram apresentados no sentido de mostrar 
que é possível motivar os alunos antes de iniciar uma aula sobre 
progressões. Entender como e onde surgiu esse conteúdo talvez 
seja o primeiro passo, revelando ao aluno o interesse pela Histó-
Claretiano - Centro Universitário
93© U2 - Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG)
ria da Matemática e também por aqueles que fizeram parte des-
se contexto. A metodologia de resolução de problemas é um dos 
caminhos que fazem o aluno “pensar” e conduzem o trabalho do 
professor.
Pense, por exemplo, num problema simples em que temos 
que tomar alguns mililitros de medicamento e que essa quanti-
dade vai sofrendo um aumento durante um tempo e utilizamos 
conceitos de PA para determinar as próximas doses. Você faz uma 
dívida no banco e a mesma sofre um percentual de aumento a 
cada dia e precisamos utilizar os conceitos de Progressão Geomé-
trica (PG) para entender o que acontece com o capital após algum 
tempo.
Tentamos, nesta unidade, trazer o que é mais importante 
nos estudos acerca das progressões. Pesquise, em livros didáticos 
ou na internet, outros exemplos que auxiliarão você, futuro pro-
fessor, a buscar novos caminhos que contribuirão positivamente 
com sua prática docente.
Na próxima unidade, vamos estudar matrizes e suas aplicações.
Esperamos que as sugestões de sites, livros, vídeos, a leitura 
dos Parâmetros Curriculares, as Orientações Curriculares para o 
Ensino Médio e também a Proposta Curricular do estado de São 
Paulo citados nesta unidade sirvam de apoio às discussões, à re-
flexão sobre a própria prática, ao planejamento de suas aulas, à 
análise e seleção de materiais didáticos e de recursos tecnológicos 
e, especialmente, que contribuam para sua formação e atualiza-
ção profissional.
12. E REFERÊNCIAS
Lista de figuras
Figura 1 Fragmento do Papiro de Rhind. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/
docentes/opombo/seminario/rhind/inicio.htm>. Acesso em: 16 set. 2013.
© Matemática Básica II94
Figura 2 Fragmento dos olhos do Deus Hórus. Disponível em: <http://3.bp.blogspot.
com/_48xzWKwbkdU/Sgdhxhy37nI/AAAAAAAAA64/BDUfDtitu88/s1600-h/OSIRYS.
bmp>. Acesso em: 16 set. 2013.
Sites pesquisados
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Parâmetros Curriculares 
Nacionais: Ensino Médio. Parte III: Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias. 
2000. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf>. Acesso 
em: 16 set. 2013.
______. Orientações Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática 
e suas Tecnologias. Brasília, v. 2, 2006. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/
arquivos/pdf/book_volume_02_internet.pdf>. Acesso em: 16 set. 2013.
UNIVERSIDADE DE LISBOA. Papiro de Rhind. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/
docentes/opombo/seminario/rhind/inicio.htm>. Acesso em: 16 set. 2013a.
______. Resumo da biografia de Gauss. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/
docentes/opombo/seminario/gauss/gauss.htm>. Acesso em: 16 set. 2013b.
MATEMÁTICA. História, conceitos, e aplicações sobre PA e PG. Disponível em: <http://
matematica-online-clc.blogspot.com.br/2009/05/historia-conceitos-e-aplicacoes-sobre.
html>. Acesso em: 16 set. 2013.
PORTAL DO PROFESSOR. A origem do jogo de xadrez. Disponível em: <http://
portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1578>. Acesso em: 19 set. 
2013.
SÃO PAULO. Secretaria da Educação do Estado. Proposta Curricular do estado de São 
Paulo. Matemática – Ensino Fundamental ciclo II e Ensino Médio. São Paulo: SEE, 2008. 
Disponível em: <www.rededosaber.sp.gov.br/portais/Portals/18/arquivos/Prop_MAT_
COMP_red_md_20_03.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2012.
SILVA, P. R.; ZAMBONI, R. R.; MARQUES, A. F. Evolução de Charles Darwin. Disponível em: 
<http://www.coladaweb.com/biologia/evolucao/evolucao-de-charles-darwin>. Acesso 
em: 16 set. 2013.
SÓ BIOLOGIA. Ideias e pessoas que influenciaram Darwin. Disponível em: <http://www.
sobiologia.com.br/conteudos/Evolucao/evolucao16.php>. Acesso em: 16 set. 2013.
13. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DANTE, L. R. Matemática. Volume Único. São Paulo: Ática, 2011.
RIBEIRO, J. Matemática: ciência, linguagem e tecno logia, 1: Ensino Médio. 1. ed. São 
Paulo: Scipione, 2010.