Aula1 - compacta

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Aula 1 - Espaço Vetorial 
17/08/2020 
 
Definição 1. (Espaço Vetorial) 
 
Um espaço vetorial V é uma coleção 
de objetos denominados vetores 
munida de duas operações: 
 
(A) Adição vetorial: (u,v) ——> u+v 
 
(M) Multiplicação 
 por escalar : (λ,u) ——> λu 
 
escalar = número real •
 
 
Estas operações devem satisfazer uma 
lista de 8 propriedades (axiomas). 
Mais precisamente, para todos os 
vetores u, v e w de V e para todos os 
números reais λ, λ₁ e λ₂, os seguintes 
axiomas são válidos: 
 
 
Lista de axiomas: 
 
 
 
(A1) u+v = v+u (comutatividade) 
 
(A2) u+(v+w)=(u+v)+w (associatividade) 
 
(A3) ∃O∊V : u+O=u (vetor nulo) 
 
(A4)∃-u∊V: u+(-u)=0 (elemento oposto) 
 
(M1) (λ₁+λ₂)u = λ₁u+λ₂u (distributiva 1) 
 
(M2) λ(u+v) = λu+λv (distributiva 2) 
 
(M3) λ₁(λ₂u)=(λ₁λ₂)u 
 
(M4) ∃1∊V : 1u=u 
 
 
OBS. O vetor O é chamado vetor nulo. 
 
 
Exemplos de vetores 
 
Exemplo 1: Lista de n números reais 
 
n=1 (número real) 
 
Por exemplo, v=2 
 
n=2 (par ordenado ou vetor coluna) 
 
Por exemplo, 
 
v=(2,3) ou 
 
n=3 (tripla ordenada ou vetor coluna) 
 
Por exemplo, 
 
v=(-4, 7/2, 0,52) ou 
 
 
 
 
e 3 ouvi
aff ou v É0,52
Caso geral 
 
n natural (ênupla ou vetor coluna) 
 
 
 
 
v vetor 
vᵢ i-ésima entrada ou componente 
Por exemplo, 
v=(2,4,-9,5,6,9), 
 
O Espaço Vetorial 
 
O conjunto de todas as ênuplas é 
denotado por Em outras palavras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
www vn ou V ou K
9 e Y 9
n
IR
IR
IR CYVa vn ER A kien
OU
IR vier Hsien
 
Em particular, 
 
 Conjunto dos números reais 
 
 Conjunto dos pares ordenados 
 de números reais 
 
 Conjunto das triplas ordenadas 
 de números reais 
 
Operações no 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lá R
iii
lá
e
n
IR
v Up U2 Un V V Vá Un de R
Vtv ftp.UZTVz Um Un
1 µ d k Nr
0 10,0 a Vetor nulo
Teorema: é um espaço vetorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ã
Prova
A1 U 4,4 Un E Ã
4 vai vn eÃ
U tv fvptvp.lkVz Unt
U Vp 1 Up VzTU 2 Un t Un
4tYUztVzUn
VA
logo f 1 é verdadeira
Exercício Verificar as outras 7
propriedades
Aplicações de vetores do 
 
1) Posição de um ponto do plano ou 
do espaço 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Deslocamento, força, velocidade, 
 aceleração, etc... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
IR
34 ii 1 EM
n
É
i iii ati 7 L
1 2 X X
Y 2
V12 1 ER
to
2 se
 
3) Cores RGB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Séries temporais 
 
Preço de uma ação no final de cada 
dia útil do mês de julho. 
 
Média diária de temperatura na 
cidade de Ribeirão Preto em cada dia 
do ano de 2020 
 
CIR CIR E IR
20
E IR
Epios
 
 
Exemplos de vetores 
 
Exemplo 2. Matrizes mxn de números 
 reais 
 
m = número de linhas 
n = número de colunas 
 
 
 Matriz 3x2 
 
 
 
 Matriz 2x2 
 
 
 Matriz 2x3 
 
 
 
 
 
A
 
A E
 
A III
 
O espaço vetorial M 
 
Vamos denotar por o conjunto 
de todas as matrizes com m linhas, n 
colunas e entradas reais. 
 
Por exemplo, 
 
 
 
Teorema. M. é um espaço vetorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mxn
Mmxn
Mãe II a b C de R
Mxn
Prova
Al m 2 n 2
A II e mar B Ii a e Man
art 1
Bia logo 1M1 é verdadeira
Aplicações (Imagens binária) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CMAOXIO
 
Exemplos de vetores 
 
Exemplo 3. Polinômios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pcr _anzntan.sn tt tapetão
9 Ix bmrmibm.fm I biaba
Ex
PINK 3
2
2 8 grau 2
f a 7h 152 4 graus
G x _7
3 3243 4 grau
2ps x Gi ha 16 grana
3714 21
3
15 12 graus
 
O Espaço vetorial P 
 
O conjunto de todos os polinômios 
vai ser denotado pelo letra P. 
Teorema. P é um espaço vetorial 
Prova. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M ppl 3 é 14
f se 3x 2 5
Pt 7 z 3 741 323 2kt 5
3N 3
2
22 9
Atp m 3K 2kt St 3
2
4
323 3
2
2 9
Pt g a trem
Logo p iq q.pe
Isto vale para todo pepe qe P
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da mesma forma as outras 7
propriedades são válidas