Transformações Lineares entre Espaços Vetoriais

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Aula 9 - Transformações 
Lineares entre espaços 
vetoriais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
µ
veU
V Fue V
Definição Uma função T.nu V entre
dois espaços vetoriais Ue é linear se
1 T Us Ue TCUp T luz
II T du d T 4
para todo 4,4 EU e de IR
Outra caracterização té linear se e
somente se
1 94 1 Cruz t En Un 9T Un Cnt Un
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t Toda transformação
linear leva vetor nulo em vetando
isto é TO O
o Toda transformaçãomatricial
ta é uma transformação linear de
U ir em trem
tanta
Exemplo seja t M mm Mmm
a
função defenda por T A At
Então T é linear
trova
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A c Mmm BEM men de IR
TIA B A B AÍ É T A Tl B
T x A KAT aAt A TIA
Exemplo
7 f m R I f é contínua
D g R IR 1g tem
derivada contínua em
todo ponto
T D 7
T f f
T é uma transformação linear pois
1 f g g t t É T f Tt g
1 it e X f if xTIA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exempt
T Mas IR
1 A deteA
não é linear pois
TIPI D
ftp.aafihtffj
tt fá o O É
E
T IR IR
the 2 não é linear pois
1 o É 170
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sat
Df Sejam Tv V e S V W transf
lineares Então a composição Sat
é uma transformação linear
Sat u 5 Tre
Exempt Sejam T.ir M e S Ei Pa
as transformações lineares
T fab at la b r S pra _xpIx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Satµ TED Sp Peta
S 3 Tr 3 set é
sotta s a la b a ar at b É
Transformação identidade
Io U U
tu u a
Definição Uma transformação
linear
t.eu é envertível se existir uma
transformação s v U tal que
5 T Iv e T a S Iv
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso 5 é chamada de urna
de T e é derrotada por S T
t
Proposição A inversa de uma transf
linear envertível é uma transfilenear
Exemple A inversa da transflinear
T Ã Pr defenda por
1 e a at b x
é o transf s P ir defenda por
5 c da É 7 is
Isoff s ftp.D s atla b a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t.at 4
os c da T 5kt da Tµ
c Ctd c c da Iv c du
Defenição seja T U V uma transe
linear Então podemos definir dois
conjuntos de vetores
Núcleo ou Kernel de T
Net ker G VEU tu o EU
Imagendet
Im T T.at u e V EV
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÉ N G é subespaço
vetorial de V e Ism T é
subespaço veto real de V
Prova
O e Nlt pois TO 0
U eN G
Uze N A
T 4 TUA 4 tt 0 0
Logo Ur TUAN T
1 Ans AT un AO O Men eNET
mo
Assim N G é um subespaço
vetorial
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição seja T U v transflunear
nulidade T dim N E
posto t dum Im t
Exempts Encontre NH Im G
nulidade t e posto T se T Ã
defenda por
TÊ
demais
Resolução
NAI ft Tpi
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hititis
III xD ftp.t
N H spanµ
B ff é base de N
pubdã
dun N A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Im ftp.t rer yen zen
FÉ rer yen zen
pEI ILHA renyer zen
f ty.pl tz.ff ikER yeR zeIR
Imh span lDdDIII eir
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
são l i
E p µ III
B ftp I é base do posto G
É Am In H
ExempIo seja S Rs
a transf
linear
skiff
amir
Núcleo de 5
NA ftp.sfif9
HI E fED
p D
nuhdYg _dimNlg
ImlS1 fs E rer e S ERJ
II D
L EI t.EE neres e r
x fé rer e yen
Iml g span FÉ
B f III III é base de Inch
postos de mim s
Teorema do Rosto Seja T U
Uma transformação linear com Um vaca
Então
nulidade T posto t dum U
Exemplo Encontre a nulidade
e oposto
de t Ç TE defenda por
1 plus _xp
Nulidade
N G a br 1 T a br o
4 a br ar bato Y
Y
A 0 e b O
O O x OI
nulidade T dum N T O_
nulidade T posto Ct dm 7 2
posto t 2 O L
Transformação linear injetora
Def Uma tramp linear T u V é enjetora
ou ang e tu a se T leva vetores distintos
de U em vetores distintos de V
µ T O V é enjetora se e somente se
1 4 TWD Us Ur
Exemplo_ti IR Ã Ta µ
1 é linear pois
Tu f se é uma transf matinal
T é injetorapois
tety ftp.tD III
IXemplo T.ir IR T G
T é uma transfunearpois
1 E 1 Df é uma tramp
matricial
1 não é injetora pois
tfd r.fi