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7
LISTA 7 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES ENTRE ESPAÇOS VETORIAIS
Prof. Benito Pires 5 de Novembro de 2020
1. Sejam B =
�"
1
0
#
,
"
1
1
#✏
, C =
�"
1
0
#
,
"
0
1
#✏
bases do R2 e T : R2 ! R2 a transformação
linear definida por T
"
x
y
#
=
"
2x- y
2y- x
#
. Encontre as matrizes indicadas abaixo:
(i) [T ]C B;
(ii) [T ]C = [T ]C C;
(iii) [T ]B = [T ]B B;
(iv) As matrizes mudança de base PC B e PB C.
Verifique que [T ]C = PC B[T ]BPB C.
2. Sejam B = {1+ x, 1- x} base de P1 e S : P1 ! P1 a transformação linear S(a+ bx) =
b+ bx. Encontre a matriz [S]B = [S]B B.
3. Sejam B =
� 
1 0
0 0
!
,
 
1 1
0 0
!
,
 
1 1
1 0
!
,
 
1 1
1 1
!✏
base de M22 e R : M22 ! M22 a
transformação linear definida por R(A) = A+AT . Encontre a matriz [R]B = [R]B B.
4. Considerando cada uma das transformações lineares T definidas nos Exerćıcios 1, 2 e 3:
(a) Encontre a nulidade de T ;
(b) Encontre o posto de T ;
(c) Determine se T é injetora ou sobrejetora.
5. Mostre que R4 é isomorfo a M22.
6. Mostre que R3 é isomorfo ao conjunto das matrizes simétricas MS de ordem 2⇥ 2.
7. Mostre que a transformação linear T : M22 ! M22 definida por T(A) = AT é um
isomorfismo linear.
.
1
 
511 x 1 1 se 1 An t 0.11 se
5 1 a 1 se 1 1 2 0 I a
estilo
rt
lista 7 - transformações lineares entre espaços vetoriais 2
respostas
1. (i) [T ]C B =
"
2 1
-1 1
#
(i) [T ]C =
2
4
2 -1
-1 2
3
5
(iii) [T ]B =
"
3 0
-1 1
#
(iv) PC B =
"
1 1
0 1
#
, PB C =
"
1 -1
0 1
#
2. [S]B =
"
-1 -1
0 0
#
.
3. [R]B =
2
666664
2 1 0 0
0 0 0 0
0 1 2 0
0 0 0 2
3
777775
.
4. (a) nulidade (T) = 0, nulidade (S) = 1, nulidade (R) = 3.
(b) posto (T) = 2, posto (S) = 1, posto (R) = 1.
(c) T é injetora; S não é nem injetora nem sobrejetora; R não é injetora nem sobrejetora
5. A transformação linear T : R4 !M22 definida por
T
2
666664
a
b
c
d
3
777775
=
"
a b
c d
#
é um isomorfismo linear.
6. A transformação linear T : R3 !MS definida por
T
2
664
a
b
c
3
775 =
"
a b
b c
#
é um isomorfismo linear.