Gabarito - Lista 0

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LISTA 0: GABARITO 
 REVISÃO - Cálculo 1 
 1. a) V b) V c) V d) F e) V f) F g) V h) V i) F j) V k) F 
l) F m) F n) V o) F p) V q) F r) V s) V t) V u) V v) F 
 2. a) ]0, 5] b) ]2, 4[ c) ]0, 1[ d) ∅ e) [4, 5] f) ]0, 2] 
g) ]2, 5] h) [1, 4[ i) ]0, 4[ j) ]0, 1[ ∪ ]2, 4[ k) (−∞, 5] 
 3. a) 𝑞(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 6 e 𝑟(𝑥) = 13 b) 𝑞(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 e 𝑟(𝑥) = 3 
 c) 𝑞(𝑥) = 5 e 𝑟(𝑥) = −2𝑥 + 17 d) 𝑞(𝑥) = 3𝑥 + 1 e 𝑟(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 3 
 4. a) −44𝑥5𝑦5 b) 
𝑎2
𝑏2
+ 2 +
𝑏2
𝑎2
 c) 𝑥6𝑦4𝑧8 + 4𝑥3𝑦2𝑧4𝑎 + 4𝑎² 
 d) 52𝑥 − 2. 20𝑥 + 42𝑥 e) 4𝑥2 − 9𝑦² f) 𝑥2 − 25 
 g) 𝑥4 − 4 h) 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8 i) 8𝑥3 − 12𝑥2𝑦 + 6𝑥𝑦2 − 𝑦³ 
 j) 
4𝑚4
9
+
4𝑚²𝑛
15
+
𝑛2
25
 k) 7 − 4√3 
 5. a) 𝑥²(𝑥3 − 3) b) 𝑥𝑦(1 − 3𝑥) 
c)4𝑚𝑛(4𝑚2 + 3𝑛) d) 2𝑥²𝑦²𝑧(16𝑥3 + 9𝑥𝑦𝑧 − 6𝑦𝑧2) 
e) 5(5𝑥 + 6𝑦) f) (2𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑦) 
 g) (𝑎 + 1)²(𝑎 − 1) h) (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) 
i) (𝑥 + 9)(𝑥 − 9) j) (2𝑦 + 4)(2𝑦 − 4) 
k) (𝑥2 + 𝑦)(𝑥2 − 𝑦) l) (𝑎2 + 2)(𝑎2 − 2) 
m) (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) n) (𝑎 − 3)(𝑎2 + 3𝑎 + 9) 
 o) (𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1) p) 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏=(𝑥2 − 1)(2𝑥 − 1) 
 q) (𝑥 − 3)2 r) (𝑎 + 7)² 
 s) (𝑥 − 4)(𝑥 + 1) t) (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(2𝑥 − 3)(2𝑥 − 1) 
 6. a) 
5𝑎
3𝑏
 b) 
𝑥2+𝑦²
𝑥𝑦+𝑦²
 c) 
𝑎𝑏+6𝑏2+2𝑎²
2𝑎𝑏
 d) 
𝑥2+4𝑦−𝑦²
2(𝑥2−𝑦2)
 e) 
2𝑥−1
𝑥2−1
 f) 
2𝑚2−3𝑚−6
(𝑚−2)2(𝑚+2)
 
 7. a) 𝑆 =] − ∞,
3
2
[ b) 𝑆 =] − ∞, −
4
3
[ c) 𝑆 =] − 1,
1
2
[ 
d) 𝑆 = (−∞, −
1
3
) ∪ (2, +∞) e) 𝑆 = [
2
3
, 2] f) 𝑆 = (−∞, 3) ∪ (5, +∞) 
g) 𝑆 =] − 1, 0[ ∪ ]
1
2
, +∞[ h) 𝑆 = (−∞, −2) ∪ (2, +∞) i) 𝑆 = (1, 3) 
j) 𝑆 = [−1, 1] k) 𝑆 = (−∞,
3
2
) l) 𝑆 = (−∞, 7) 
 8. a) 𝐴 = 10𝑥 − 𝑥² b) 𝑃 = 2𝑥 +
32
𝑥
 c) 𝐴 =
𝑥2√3
4
 
 d) 𝐴 = 6√𝑉²
3
 e) 𝑉 = (20 − 2𝑥)(12 − 2𝑥)𝑥 f) 𝑉 =
4
3
𝜋√(
𝐴
4𝜋
)
3
 
 g) 𝐴 =
𝐶²
4𝜋
 h) 𝐶 = 5√𝑥2 + 810000 − 4𝑥 + 12000 
 i) 𝐴 = 80𝑥 − 2𝑥² j) 𝐶 = 0,15𝜋𝑟2 +
37,5𝜋
𝑟
 
7. a) 𝐷𝑓 = ℝ b) 𝐷𝑓 = ℝ − {
5
3
} c) 𝐷𝑓 = ℝ d) 𝐷𝑓 = [−5, +∞) 
e) 𝐷𝑓 = ℝ
∗ f) 𝐷𝑓 = (−∞, −5[ ∪ [
3
2
, +∞) g) 𝐷𝑓 =]
3
2
, +∞) h) 𝐷𝑓 = (−∞,
5
3
) 
i) 𝐷𝑓 = (−∞, −3) ∪ (3, +∞) 
8. 1) a) 𝐷𝑓 = ℝ e 𝐼𝑚 = ℝ b) 0 e 3 c) Eixo x: (0, 0) e (3, 0). Eixo y: (0, 0) 
d) 𝑓(𝑥) > 0 → 𝑥 > 3; 𝑓(𝑥) < 0 → 𝑥 < 3 𝑒 𝑥 ≠ 0. 
e) 𝑓(𝑥) é crescente em (−∞, 0) ∪ (2, +∞) e é decrescente em (0, 2). 
f) Não possui. 
2) a) 𝐷𝑓 = ℝ e 𝐼𝑚 = [−4, +∞) b) -2 e 3 c) Eixo x: (−2, 0) e (3, 0). Eixo y: (0, −3) 
d) 𝑓(𝑥) > 0 → 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 3; 𝑓(𝑥) < 0 → −2 < 𝑥 < 3. 
e) 𝑓(𝑥) é crescente em (1, +∞, ) e é decrescente em (−∞, 1). 
f) Não possui máximo e o mínimo é o ponto (1, −4). 
3) a) 𝐷𝑓 = ℝ e 𝐼𝑚 = ℝ b) 2 c) Eixo x: (2, 0). Eixo y: (0, 4) 
d) 𝑓(𝑥) > 0 → 𝑥 < 2, 𝑓(𝑥) < 0 → 𝑥 > 2. 
e) 𝑓(𝑥) é decrescente em (−∞, +∞), ou seja, 𝑓(𝑥) é decrescente ∀𝑥 ∈ ℝ. 
f) Não possui. 
4) a) 𝐷𝑓 = [−4, 4[ e 𝐼𝑚 = [0, 5] b) -4 c) Eixo x: (−4, 0). Eixo y: (0, 1) 
d) 𝑓(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓. 
e) 𝑓(𝑥) é crescente em [−4, −2) ∪ (0, 3) e é decrescente em (−2, 0) ∪ (3, 4). 
f) O máximo é o ponto (3, 5) e o mínimo é o ponto (−4, 0). 
9. a) 𝐷𝑓 = ℝ e 𝐼𝑚𝑓 = ℝ. 𝐷𝑔 = ℝ e 𝐼𝑚𝑔 = ℝ. 
(𝑓°𝑔)(𝑥) = 18𝑥2 + 21𝑥 + 6 e (𝑔°𝑓)(𝑥) = 6𝑥2 − 3𝑥 + 2. 
b) 𝐷𝑓 = ℝ e 𝐼𝑚𝑓 = ℝ. 𝐷𝑔 = ℝ
∗ e 𝐼𝑚𝑔 = ℝ
∗. 
(𝑓°𝑔)(𝑥) = 1 −
1
𝑥3
 e (𝑔°𝑓)(𝑥) =
1
1−𝑥³
. 
c) 𝐷𝑓 = ℝ e 𝐼𝑚𝑓 = [−1, 1]. 𝐷𝑔 = ℝ+ e 𝐼𝑚𝑔 = (−∞, 1]. ∄(𝑓°𝑔)(𝑥) e ∄(𝑔°𝑓)(𝑥). 
d) 𝐷𝑓 = ℝ e 𝐼𝑚𝑓 = ℝ. 𝐷𝑔 = ℝ e 𝐼𝑚𝑔 = ℝ. 
(𝑓°𝑔)(𝑥) = −15𝑥2 − 9𝑥 − 5 e (𝑔°𝑓)(𝑥) = 45𝑥2 − 39𝑥 + 10. 
e) 𝐷𝑓 = ℝ e 𝐼𝑚𝑓 = ℝ. 𝐷𝑔 = ℝ e 𝐼𝑚𝑔 = ℝ. (𝑓°𝑔)(𝑥) = (𝑥 − 1)
5 e (𝑔°𝑓)(𝑥) = 𝑥5 − 1. 
10. cos(𝑥) = −
1
2
, 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = ±
√3
2
, tg(𝑥) = ±√3, 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) = ±
2√3
3
, 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) = ±
√3
3
, 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) =
±
√3
2
, cos(2𝑥) = −
1
2
.