CÁLCULO APLICADO - UMA VARIÁVEL - A2

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23/03/2021
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Pergunta 1
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Comentário
Uma função, definida por várias sentenças pode ser derivada,
respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição
para que a derivada de uma função exista num ponto : as derivadas laterais a
direita, , e a derivada lateral à esquerda, , existem e são iguais.
Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua num ponto é derivável, no
entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável num ponto é
contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias sentenças: 
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s)
e F para a(s) falsa(s). 
I. (  ) A função   é derivável em . 
II. (  ) A derivada de existe, pois as derivadas laterais são: . 
III. (  ) A função  não é derivável em porque  não é contínua em . 
IV. (  ) A função  é derivável em , porque  é contínua em . 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
F, F, V, F.
F, F, V, F.
Resposta correta. A a�rmativa I é falsa, sendo que   é derivável em , logo,
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da
resposta:
. De fato:
 
. 
A a�rmativa II é falsa, visto que a derivada de existe, pois 
, pois, . De fato:
 
. 
A a�rmativa III é verdadeira, dado que  não é derivável em , porque  não
é contínua em . De fato,  , portanto, f não é derivável em
x=2. 
 
 
Já a a�rmativa  IV é falsa, uma vez que  é derivável em  porque  é
contínua em . O fato de uma função ser contínua não garante a sua
derivabilidade.
Pergunta 2
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da
resposta:
Numa avaliação, um professor solicitou que os alunos encontrassem a derivada da seguinte
função racional polinomial: . Chamou a atenção do professor a resolução do aluno
Paulo, que derivou a função uma vez e fez as a�rmações descritas nas asserções I e II, a seguir. 
  
A partir do apresentado, analise as asserções I e II  e a relação proposta entre elas. 
  
I. A derivada da função é  igual 
Pois: 
II. para derivar nesse caso é necessário usar a regra do quociente. 
  
A seguir, assinale a alternativa correta.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição
verdadeira.
Resposta correta. A asserção I é uma proposição falsa. De acordo com a regra
do quociente, a derivada da função racional é igual a ,
diferentemente da derivada proposta na a�rmativa I. É evidente que a
a�rmativa II é verdadeira, pois foi utilizada a regra do quociente para derivar.
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Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados
tabelados. Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da
derivada. Assim, é importante conhecer as derivadas das funções elementares
para derivar funções com maior facilidade. 
A respeito das derivadas de funções elementares, considere  e
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s)
falsa(s). 
I. (  ) Se , então . 
II. (  ) Se , então 
III. (  ) Se , então . 
IV. (  ) Se  então . 
  
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, F, V, F.
V, F, V, F.
Resposta correta. A a�rmativa I é verdadeira, se , então
, por regra de derivação. A a�rmativa II é falsa, visto que se
, então , pois a derivada de uma constante é igual a zero. A
a�rmativa III é verdadeira, porque se , então ,
como consta na tabela de derivadas. E, �nalmente, a a�rmativa IV é falsa, dado
que se então .
Veri�que que a função  é uma função composta e, portanto, através da
regra da cadeia 
Pergunta 4
Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras
operatórias: deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou
mais funções, derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para
derivar as funções constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas
fórmulas: 
  
1 - Derivada do Produto. 
2 - Derivada do Quociente. 
3 - Derivada da Soma. 
4 - Derivada da Cadeia. 
1 em 1 pontos
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Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
  
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
  
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a
sequência 
correta.
2, 3, 1, 4.
2, 3, 1, 4.
Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos que
 = Derivada do Quociente.  =
Derivada da Soma. = Derivada do
Produto. = Derivada da Cadeia.
Pergunta 5
Resposta Selecionada: 
Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade
média em um intervalo de tempo inicial (  e tempo final  é dada por
 . A derivada de uma função aplicada a um ponto pode ser vista
como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a função
velocidade  é a derivada da função espaço em relação ao tempo
 , enquanto que a aceleração é a derivada da função
velocidade em relação ao tempo . Com essas informações,
considere a seguinte situação-problema: uma bola é atirada no ar com uma
velocidade inicial de 40 m/s e sua altura (em metros), após t segundos, é dada por
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir: 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando  e dura
  é igual a -25,6 m/s.  
II. A velocidade instantânea quando  é igual a . 
III. O instante em que a velocidade é nula é . 
IV. A altura máxima atingida pela bola é de 25 metros. 
  
Está correto o que se afirma em:
I, III e IV, apenas.
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Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
I, III e IV, apenas.
Resposta correta. A a�rmativa I é correta, visto que a velocidade média para o
período de tempo que começa quando  e dura  é igual a -25,6
m/s. De fato:
. A
a�rmativa II é incorreta, uma vez que a velocidade instantânea quando  é
igual a . 
A velocidade instantânea é dada por: 
 A a�rmativa III é correta, porque o instante em que a velocidade é nula é
. De fato:
Por �m, a
a�rmativa IV é incorreta, dado que a altura máxima atingida pela bola é de 25
metros. De fato, nesse caso, o tempo para atingir a altura máxima é de
 e . Portanto, a altura de máxima é de
.
Pergunta 6
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
Quando a indeterminação do limite é igual a 0/0, e a função é racional polinomial,
recomenda-se utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Nesse caso
de funções racionais polinomiais, utiliza-se a fatoração do polinômio através da 
regra prática de Ruffini para facilitar  os cálculos. 
 Nesse sentido, encontre o limite  e assinale a alternativa que indique
qual é o resultado obtido para o limite.
 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 21/19. Inicialmente,
veri�ca-se que, ao substituir a tendência do limite, a indeterminaçãoé do tipo
0/0. Assim, pela regra de Ru�ni, e
, portanto, o valor do limite é igual a :
.
Pergunta 7
Para derivar a função , é necessário conhecer a
derivada da função polinomial e regras operatórias da derivada. No entanto,
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Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
inicialmente, deve-se simplificar a função, utilizando as regras operatórias da
potência: soma, produto e quociente. 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indica qual o valor de 
 
 
 
Resposta correta. Os seguintes cálculos mostram que inicialmente foram
aplicadas as propriedades de potência para simpli�car a função e depois
derivou-se a função adequadamente, obtendo o resultado de . 
  
  
  
Pergunta 8
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte forma: 
 funções contínuas não deriváveis, funções contínuas, que só admitem até 1ª
derivada, funções contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim
sucessivamente até a função de classe . Toda função polinomial
racional é uma função de classe , ou seja admite as derivadas de todas as
ordens. 
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1. 
  
Nesse contexto, encontre a derivada da função , sabendo que , e
assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para .
Resposta correta. A derivada correta é igual a . Inicialmente,  
deve-se utilizar a regra do quociente para obter a primeira derivada, que é igual
a: . Daí, deriva-se novamente para obter a
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segunda derivada, aplicando novamente a regra do quociente. Portanto, temos: 
  
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0.
Nesse caso, para determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos para
simplificar a função. Para  funções racionais polinomiais de grau 2, é recomendável
utilizar a fatoração do polinômio, através da  regra prática em que
 . Assim, basta encontrar as raízes do polinômio por
Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, encontre o limite
  e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o
limite.
-2.
-2.
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a -2 . Para fatorar o
polinômio , utiliza-se o quadrado da diferença, portanto:
. Para fatorar o polinômio de grau 2, por Bhaskara, as
raízes são -1 e -2, portanto . Assim,
.
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da
função tangente e a regra da cadeia, pois essa função é uma composição da
função tangente, polinomial e potência. Assim, inicialmente, deve-se aplicar a
derivada da função potência, depois da função tangente e, por fim, a função
polinomial. 
  
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual o valor de 
Resposta correta. Aplicando-se os passos evidenciados, a derivada
da função potência, depois a derivada da tangente e, em seguida, a
derivada da função polinomial, o seguinte cálculo mostra que 
.  
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Terça-feira, 23 de Março de 2021 19h39min15s BRT