Modelagem - Aula 2

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Aula 2
Britagem e 
peneiramento
M
od
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ag
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aç
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 d
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ro
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D
ou
gl
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 R
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c.
 –
20
21
Conceitos 
fundamentais
Peneiramento e 
seus modelos
Conteúdo
Britagem e seus 
modelos
Aplicações e 
exemplos
0
1
0
2
0
4
0
3
1. Conceitos 
fundamentais
Recordar é viver!
O britador brita, o moinho 
mói, a peneira peneira e o 
classificador classifica!”
“
— Arthur Pinto Chaves
Tamanhos de partículas
DIÂMETRO
Medida mais comum
ÁREA 
PROJETADA
Volume ou área de projeção 
desse volume em um plano
As partículas sempre se 
apresentam com apenas duas
dimensões expostas 
SUPERFÍCIE
Superfície específica (flotação)
Distribuição granulométrica
Retido, passante, passante acumulado
Série de peneiras: ISO 565
Consultar materiais adicionais da disciplina!
Lembramos que distribuição é uma função que 
correlaciona tamanho e porcentagem passante
acumulada!
A função de distribuição granulométrica tem as 
seguintes propriedades gerais:
• P(0) = 0
• P(∞) = 1
• P(dp) aumenta monotonicamente entre 0 e 1 
conforme o diâmetro aumenta de 0 ao máximo
Funções de distribuição
Apesar de P(dp) ser perfeitamente bem definida e 
permitir medidas diretas no laboratório, não é útil 
para modelagem e simulação. Para isso, torna-se 
necessário obter uma função de densidade derivada 
que retorna a fração retida simples a partir de P(dp):
Função de tamanho de 
partícula discreta
𝑝𝑖 𝑑𝑝 = න
𝐷𝑖
𝐷𝑖−1
𝑑𝑃 𝑑𝑝 =𝑃 𝐷𝑖−1 − 𝑃 𝐷𝑖
= ∆𝑃𝑖
Funções de distribuição 
empíricas
LOGNORMAL
Também chamada de 
Gaussiana ou normal (função G 
e valor de sigma descritos 
abaixo)
ROSIN-RAMMLER
D63.2 é o tamanho no qual a 
função de distribuição tem 
valor 0,632
LOGÍSTICA
𝑃 𝐷 = 1 − 𝑒
−
𝐷
𝐷63.2
𝜆
𝑃 𝐷 = 𝐺
𝑙𝑛
𝐷
𝐷50
𝜎
𝐺 𝑥 =
1
2𝜋
න
−∞
𝑥
𝑒−
𝑡2
2 𝑑𝑡
𝜎 =
1
2
ln 𝐷84 − ln𝐷16
𝑃 𝐷 =
1
1 +
𝐷
𝐷50
−𝜆
Funções empíricas truncadas 
para tamanho máximo (D’)
10
LOGARÍTMICA LOGNORMAL
GAUDIN-MELOY HARRIS LOGÍSTICA
ROSIN-RAMMLER
𝑃 𝐷 =
𝐷
𝐷′
𝜆
𝑃 𝐷 = 1 −
1 − 𝐷
𝐷′
𝑛
𝑃 𝐷 = 1 − 1 −
𝐷
𝐷′
𝑠 𝑛
𝜉 =
𝐷
𝐷′
𝜂 =
𝜉
1 − 𝜉
𝑃 𝐷 = 1 − 𝑒
−
𝜂
𝜂63.2
𝜆
𝑃 𝐷 = 𝐺
𝑙𝑛
𝜂
𝜂50
𝜎
𝑃 𝐷 =
1
1 +
𝜂
𝜂50
−𝜆
Exemplos gráficos
LINEAR LINEAR-L
Exemplos gráficos
LOG-LOG ROSIN-RAMMLER
Exemplos gráficos
LOG-NORMAL LOGÍSTICA
2. Peneiramento 
e seus modelos
Modelando peneiras vibratórias
Existem dois tipos 
de classificadores
Podem ser grelhas estáticas ou vibratórias ou 
peneiras vibratórias
A reologia do fluido, o formato das partículas e 
o balanço de forças individual e coletivo do 
sistema influenciam na separação
É o caso dos ciclones hidráulicos e pneumáticos
GABARITOS FÍSICOS
EQUIPAMENTOS QUE 
DEPENDEM DE REOLOGIA
A peneira representa uma barreira que evita a 
passagem de grossos, enquanto deixa os finos 
passarem.
Deve-se buscar garantir que cada partícula tenha a 
oportunidade de alcançar a malha de peneiramento.
Na prática, cada partícula possui várias 
oportunidades de passar.
Peneiras vibratórias
Método tradicional de avaliação da capacidade de 
peneiramento. Representa a capacidade da peneira 
em aceitar e processar a alimentação.
Premissa mais importante: capacidade da peneira 
diretamente proporcional à área de peneiramento.
Uso de fatores de capacidade:
Modelos baseados na capacidade 
unitária (Iu, em t/(h.m²))
𝐴 = 𝐼𝑢ෑ
𝑖=1
10
𝐾𝑖
𝐼𝑢 = ቊ
0,783ℎ + 37 ℎ ≥ 25 𝑚𝑚
20ℎ0,33 − 1,28 ℎ < 25 𝑚𝑚
Fatores de capacidade
18
ÁREA ABERTA
Para materiais cuja densidade 
aparente seja inferior a 0,8, 50 
deverá ser 60
Padrão é 40% menor que meia 
malha
FATOR DE OVERSIZE
DENSIDADE APARENTE
Consegue perceber qual é a 
unidade correta?
POSIÇÃO DO DECK
S é a posição do deck 
(adimensional)
ÂNGULO DA TELA
Consegue perceber qual é a 
unidade correta?
MEIA MALHA
𝐾5 = 1,1 − 0,1𝑆
𝐾2 = 2𝑃
𝐹 0,5ℎ + 0,2 ത𝑃𝐹 ℎ = 1 − 𝑃𝐹 ℎ
𝐾1 =
𝐴𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎 (%)
50
𝐾3 = 0,914𝑒
𝑒
4,22ഥ𝑃𝐹 ℎ −3,5
𝐾4 =
𝜌𝑏
1600 𝐾6 = 1 − 0,01 𝛼 − 15
Fatores de capacidade
Contabiliza o efeito da injeção de água na 
superfície de peneiramento:
PENEIRAMENTO A ÚMIDO FORMA DA TELA
𝐾7 = ቊ
1 + 0,00024 25 − ℎ 2,5 ℎ ≤ 25 𝑚𝑚
1,0 𝑠𝑒 ℎ > 25 𝑚𝑚
Fatores de capacidade
Partículas alongadas e “chapinha” são de 
processamento mais difícil que as isométricas.
Caso a alimentação contenha 15% de partículas 
assim, K9 = 0,9. Montantes maiores demandam 
investigação.
E para montantes menores?
FORMA DA PARTÍCULA UMIDADE DO MATERIAL
Idealmente a peneira deveria ser capaz de transmitir 
todo o material menor que a malha da alimentação 
para o US. Premissa mais importante: capacidade da 
peneira diretamente proporcional à área de 
peneiramento.
Conforme King (2012), WF é a massa de alimentação 
atual na peneira.
Eficiência de transmissão
𝑅𝑅 =
𝑊𝐹
ሶ𝑚𝑎𝑙𝑖𝑚,𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐
𝑒 = ൝
0,95 − 0,25 𝑅𝑅 − 0,8 − 0,05 𝑅𝑅 − 0,8 2 𝑅𝑅 ≥ 0,8
0,95 − 1,67 0,8 − 𝑅𝑅 2 𝑅𝑅 < 0,8
Equações de simulação
Uma vez determinado o US, determina-se OS 
através do balanço granulométrico por faixa
UNDERSIZE (US) OVERSIZE (OS)
𝑊𝑈 = 𝑒𝑃𝐹 ℎ 𝑊𝐹
𝑊𝑂 = 𝑊𝐹 −𝑊𝑈
𝑝𝑖
𝑈𝑓 𝑥 = ൞
𝑝𝑖
𝐹
𝑃𝐹 ℎ
, 𝑑𝑝𝑖 < ℎ
0, 𝑑𝑝𝑖 ≥ ℎ
3. Britagem e 
seus modelos
Modelos matemáticos e suas 
aplicações específicas à britagem
Quais britadores?
MANDÍBULAS
Britagem primária, raramente 
secundária
Modelo de Whiten
GIRATÓRIOS
Um cone se aproxima e se 
distancia do manto
Britagem primária (giratórios), 
secundária e terciária (cônicos)
ROLOS DUPLOS
O material é fragmentado pela 
ação de dois rolos, 
normalmente dentados
Todos os estágios de britagem
A fragmentação de um material sólido deve ser 
considerada sob vários aspectos.
Para britagem, do ponto de vista estatístico, é mais 
importante considerar várias partículas se 
fragmentando em eventos únicos de quebra de 
partículas únicas e dando origem a várias partículas 
filhas.
Processo de fragmentação e 
função de quebra
𝐵 𝑥; 𝑦 = 𝐾
𝑥
𝑦
𝑛1
+ 1 − 𝐾
𝑥
𝑦
𝑛2
O primeiro termo da 
função representa a 
distribuição 
granulométrica dos finos.
Válida quando se tem 
dados. Caso contrário, n1 e 
n2 são apresentados
Processo de fragmentação e 
função de quebra
𝐵 𝑥; 𝑦 = 𝐾
𝑥
𝑦
𝑛1
+ 1 − 𝐾
𝑥
𝑦
𝑛2
Britadores dependem dos equipamentos de 
peneiramento. Podemos indicar como objetivos:
• Maior redução de tamanho possível
• Maior vazão de produto em uma faixa 
granulométrica ou formato específicos
• Redução no tamanho máximo para fins de 
manuseio
• Menor produção possível de finos
Objetivos de processo
Britadores de mandíbulas são limitados em suas
capacidades de britagem, assim como os de rolos. O 
mesmo não ocorre com os giratórios ou cônicos.
Para os cônicos e giratórios, interações entre 
partículas são exploradas. Alimentação afogado ou
atolado (choke feeding) pode reduzir ulteriormente o 
tamanho do produto.
Descrição do processo
Tamanho máximo da alimentação
Tamanho máximo da “pega”  gape
Tamanho máximo das partículas que “passam direto” 
quando a mandíbula está fechada  APF
Tamanho máximo das partículas que “passam direto” 
quando a mandíbula está aberta  APA
Movimento do excêntrico (E)
Variáveis principais 
(mandíbulas)
𝐴𝑃𝐴 = 𝐴𝑃𝐹 + 𝐸
Além dos indicados para mandíbulas, deve-se incluir:
O espaço entre o cone e o revestimento
Os perfis de revestimento variados
Variáveis principais (cônicos e 
giratórios)
piF = fração da alimentação na classe de tamanhos i
pi = fração do produto na classe de tamanhos i
M = massa de material no interior do britador
bij = fração de partículas britadas na classe j que vão 
para a classe i
mi = fração de material no britador na classe i
ci = c(di), fração do material na classe i retida para 
britagem na próxima pegada do britador
W = massa total da alimentação que é aceita em uma 
única abertura, que é a massa de produto 
descarregada
Mecanismos de britagem e 
distribuições granulométricas
𝑝𝑖 =
1 − 𝑐𝑖
1 − 𝑐𝑖𝑏𝑖𝑖
𝑝𝑖
𝐹+෍
𝑗=1
𝑖−1
𝑐𝑗
𝑀𝑚𝑗
𝑊
𝑏𝑖𝑗
Cabe acompanhar atentamente a descrição no 
capítulo 5.6 do livro do King, especialmente a página 
191
Mecanismos de britagem e 
distribuições granulométricas
𝑝𝑖 =
1 − 𝑐𝑖
1 − 𝑐𝑖𝑏𝑖𝑖
𝑝𝑖
𝐹 +෍
𝑗=1
𝑖−1
𝑐𝑗
𝑀𝑚𝑗
𝑊
𝑏𝑖𝑗
𝑐𝑖 =
1 −
𝑑𝑝𝑖 − 𝑑2
𝑑1 − 𝑑2
𝑛
, 𝑑1 < 𝑑𝑝𝑖 < 𝑑2
0, 𝑑𝑝𝑖 ≤ 𝑑1
1, 𝑑𝑝𝑖 ≥ 𝑑2
𝑑1 = 𝛼1𝐴𝑃𝐹
𝑑2 = 𝛼2𝐴𝑃𝐹 + 𝑑
∗
4. Aplicações e 
exemplos
Achou que ia ficar só olhando de 
câmera fechada?
Re
de
s s
oc
ia
is:
 th
eb
el
ow
se
ve
n
É nóis!
Se tiver dúvidas, pode entrar em contato pelo Classroom, 
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