Geometria Plana: Noções Primitivas

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GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA
Noções e proposições primitivas
@cicero.hitzschky
Introdução
A geometria euclidiana plana, como qualquer área em matemática, é completamente regida
por axiomas1. Partindo deles constrúımos todo o resto da teoria. Podemos pensar neles como
”as regras do jogo”. Todas as afirmações2 conseguintes terão que ser provadas usando eles. Além
disso, temos que exibir os chamados conceitos primitivos. Estas são noções que conseguimos
entender sem precisar de definição.
1 Noções Primitivas
Na geometria euclidiana plana, três entes matemáticos são estabelecidos sem definição: ponto,
reta e plano. Para cada um desses conceitos usamos uma notação distinta.
Pontos - Letras Latinas Maiúsculas: A,B,C...
Retas - Letras Latinas Minúsculas: a,b,c...
Pontos - Letras Gregas Minúsculas: α, β, γ
Podemos imaginar o plano como uma folha de papel que nunca ”acaba”. Para reta, imagine
uma linha esticada que nunca tem fim. Finalmente, para o ponto, suponha uma formiga vista
de longe sobre uma folha de papel. Assim, representamos, graficamente:
Figura 1: Ponto P
Figura 2: Reta r
Figura 3: Plano α
1Afirmações que tomamos como verdade. Sem demonstração.
2Chamadas proposições.
1
Geometria Plana 2
2 Axiomas de Existência
A geometria plana consiste em construir figuras geométricas em um plano. Isso é posśıvel
devido ao
Axioma E1: Em um plano há infinitos pontos
Além disso, outro postulado nos auxilia bastante nas demonstrações:
Axioma E2: Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos
A figura ao lado apresenta a reta s e os pontos
A,B,C,D e E de modo que
� Os pontos A,B e E estão na reta s. De-
notamos isso como:
A ∈ s, B ∈ s e E ∈ s
� Os pontos C e D não estão na reta s. As-
sim,
C /∈ s e D /∈ s
3 Posições Relativas entre pontos e retas
3.1 Posições entre pontos
Dados dois pontos A e B no plano.
� Ou são coincidentes, isto é, são o mesmo
ponto.
� Ou são distintos.
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Geometria Plana 3
3.2 Posições entre reta e pontos
Dados um ponto P e uma reta r.
� Ou a reta r passa por P . Podemos
também dizer que o ponto P pertence a
reta r,isto é, P ∈ r.
� Ou a reta r não passa por P, ou seja, P /∈
r.
OBS: Dizemos que dois ou mais pontos são colineares quando pertencem a uma mesma reta.
3.3 Posições entre retas
Dadas duas retas r e s no plano.
� Ou são coincidentes. Ou seja,
possuem todos os pontos em co-
mum (a mesma reta) e denota-
mos r = s.
� Ou são concorrentes. isto é, pos-
suem um ponto em comum. Se
r e s tem o ponto P, em comum,
denotamos: r ∩ s = P .
� Ou são paralelas. Quando não
possuem pontos em comum. De-
notamos r//s mais comumente.
Contudo podemos representar
r ∩ s = ∅
Embora aceitemos na educação básica , sem questionar,a existência de retas concorrentes e pa-
ralelas; o que nos garante que essas relações existem? Para responder esta pergunta precisamos
de outro grupo de axiomas chamados:
4 Axiomas da Determinação
Axioma D1: Dados dois pontos distintos existe uma única reta que os contêm
Para indicar que uma reta u é determinada pelos pontos R e T denotamos u =
↔
RT ou
simplesmente a reta RT . Com isso, vamos provar a existência de retas paralelas e concorrentes.
Proposição 1. Dadas duas retas distintas no plano. Ou elas se intersectam em um único
ponto ou elas não se intersectam em ponto algum.
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Geometria Plana 4
Demonstração. Sejam a e b duas retas distintas. A intersecção dessas duas retas não pode ter
dois, ou mais, pontos. Pois, caso tivessem pelo menos dois pontos em comum seriam a mesma
reta devido ao axioma D1. Assim, ou elas têm um único ponto em comum ou elas não têm
ponto nenhum em comum.
Axioma D2: Três pontos distintos não colineares determinam um único plano.
Se o plano γ é formado pelos pontos K,L e M , denotamos γ = (K,L,M).
Observações:
→ Pontos coplanares são pontos que estão em um mesmo plano.
→ Figura é qualquer conjunto de pontos.
→ Figura plana é uma figura que tem todos os seus pontos em um mesmo ponto.
→ A Geometria Plana estuda figuras planas.
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