Exercício Probabilidade 5

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24/03/2021
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Probabilidade e Estatística

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Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
Instituto de Ciência e Tecnologia
Diamantina - Minas Gerais
CTD113 - Probabilidade e Estat́ıstica Prof. Dr. Ricardo Luis dos Reis
Lista de Exerćıcios: Distribuição de Probabilidade Normal
Exerćıcios Resolvidos
1. Calcule as seguintes probabilidades para o Modelo Normal.
(a) P (0 < Z < 1, 26);
(b) P (Z > 2, 01);
(c) P (−1, 32 < Z < 0);
(d) P (Z < −3, 05);
(e) P (−1 < Z < 2);
(f) P (−2, 5 < Z < −2);
(g) P (Z > −1, 5);
(h) X ∼ N(2; 4), P (−1 < X < 5);
(i) X ∼ N(−1; 9), P (−1 < X < 5);
(j) X ∼ N(3; 4), P (−7 < X < 5);
Solução
• Lembre-se que o Modelo Normal é simétrico em torno da média. Para a variável aleatória X,
temos que o centro da Figura é uma determinada média µ fornecida no exerćıcio. Quando
1
convertemos a variável aleatória X para Z, o centro passa a ser 0, que é a média de Z.
Lembre-se que o centro de Z sempre será 0. A área total do Modelo Normal é 1, sendo que
da média (0) até mais infinito é 0,5 e da média (0) até menos infinito é 0,5. Simetria em
torno do 0.
• Figura 1
• Iniciamos os exerćıcios sempre construindo o gráfico de Z, com centro em 0.
• Figura 2
(a) P (0 < Z < 1, 26)
• Primeiro passo: temos que Z assume dois valores Z = 0 e Z = 1, 26;
• A Figura 3 apresenta a probabilidade pedida;
• Segundo passo: a variável aleatória Z precisa ter parte inteira + duas casas decimais.
Assim, organizando Z = 0, 00 e Z = 1, 26;
• Terceiro passo: seria buscar as probabilidades na Tabela Z;
• Iniciando com Z = 1, 26; Parte inteira + primeira casa decimal (1,2) na primeira coluna;
Segunda casa decimal (6) na primeira linha.
2
• Cruzando esse valores 1,2 (coluna) e 6 (linha) encontra-se 0,3962, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na Tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,3962 é a probabilidade do 0 até 1,26; Veja Figura 4;
• Figura 4
• Não preciso procurar o segundo valor de Z = 0, 00, pois já encontramos o resultado;
Compare a Figura 3 (probabilidade pedida) com a Figura 4 (probabilidade encontrada
na Tabela Z);
• P (0 < Z < 1, 26) = 0,3962.
(b) P (Z > 2, 01)
• Primeiro passo: temos que Z assume o valor Z = 2, 01;
• Segundo passo: a variável aleatória Z precisa ter parte inteira + duas casas decimais.
Já está organizada;
• Terceiro passo: seria buscar a probabilidade na Tabela Z;
• O valor é Z = 2, 01; Parte inteira + primeira casa decimal (2,0) na primeira coluna;
Segunda casa decimal (1) na primeira linha;
• Cruzando esse valores 2,0 (coluna) e 1 (linha) encontra-se 0,4778, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,4778 é a probabilidade do 0 até 2,01;
• Tenho que a probabilidade de 0 até 2,01 (0,4778) + P (Z > 2, 01) = 0,5;
• P (0 < Z < 2, 01) + P (Z > 2, 01) = 0, 5;
• 0, 4778 + P (Z > 2, 01) = 0, 5;
• P (Z > 2, 01) = 0, 5 − 0, 4778 = 0,0222.
3
(c) P (−1, 32 < Z < 0)
• Primeiro passo: temos que Z assume os valores Z = −1, 32 e Z = 0;
• Segundo passo: a variável aleatória Z precisa ter parte inteira + duas casas decimais.
Assim, temos Z = −1, 32 e Z = 0, 00;
• Terceiro passo: seria buscar as probabilidades na Tabela Z;
• Iniciando com o valor é Z = −1, 32; Como a tabela não apresenta valores negativos,
observamos o valor positivo Z = 1, 32. Lembre-se que a área do -1,32 até o 0 é igual a
área do 0 até 1,32, ou seja, P (−1, 32 < Z < 0) = P (0 < Z < 1, 32). Assim, procuramos
na tabela parte inteira + primeira casa decimal (1,3) na primeira coluna; Segunda casa
decimal (2) na primeira linha;
• Cruzando esse valores 1,3 (coluna) e 2 (linha) encontra-se 0,4066, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,4066 é a probabilidade do 0 até 1,32, que é a mesma probabilidade
do -1,32 até o 0;
• Não preciso procurar o segundo valor de Z = 0, 00, pois já encontramos o resultado;
• P (−1, 32 < Z < 0) = 0,4066.
(d) P (Z < −3, 05)
• Primeiro passo: temos que Z assume o valor Z = −3, 05;
• Segundo passo: a variável aleatória Z precisa ter parte inteira + duas casas decimais.
Já está organizada;
• Terceiro passo: seria buscar as probabilidade na Tabela Z;
• O valor é Z = −3, 05; Como a tabela não apresenta valores negativos, observamos o
valor positivo Z = 3, 05. Lembre-se que a área do -infinito até o -3,05 é igual a área
do 3,05 até +infinito, ou seja, P (Z < −3, 05) = P (Z > 3, 05). Assim, procuramos na
tabela parte inteira + primeira casa decimal (3,0) na primeira coluna; Segunda casa
decimal (5) na primeira linha;
• Cruzando esse valores 3,0 (coluna) e 5 (linha) encontra-se 0,4989, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,4989 é a probabilidade do 0 até 3,05, que é a mesma probabilidade
do -3,05 até o 0;
4
• P (Z < −3, 05) + probabilidade do -3,05 até 0 (0,4989) = 0,5;
• P (Z < −3, 05) + P (−3, 05 < Z < 0) = 0, 5;
• P (Z < −3, 05) + 0, 4989 = 0, 5;
• P (Z < −3, 05) = P (Z > 3, 05) = 0, 5 − 0, 4989 = 0,0011.
(e) P (−1 < Z < 2)
• Primeiro passo: temos que Z assume dois valores Z = −1 e Z = 2;
• Segundo passo: a variável aleatória Z precisa ter parte inteira + duas casas decimais.
Assim, organizando Z = −1, 00 e Z = 2, 00;
• Terceiro passo: seria buscar as probabilidades na Tabela Z;
• Iniciando com Z = −1, 00; Olhando o valor positivo Z = 1, 00; Parte inteira + primeira
casa decimal (1,0) na primeira coluna; Segunda casa decimal (0) na primeira linha;
• Cruzando esse valores 1,0 (coluna) e 0 (linha) encontra-se 0,3413, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,3413 é a probabilidade do 0 até 1, que é a mesma probabilidade do
-1 até o 0;
• Depois do Z = −1, 00, agora analisamos o Z = 2, 00; Parte inteira + primeira casa
decimal (2,0) na primeira coluna; Segunda casa decimal (0) na primeira linha;
• Cruzando esse valores 2,0 (coluna) e 0 (linha) encontra-se 0,4772, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,4772 é a probabilidade do 0 até 2;
• Nosso interesse é na probabilidade do -1 até o 2, ou seja, P (−1 < Z < 2);
• Temos a probabilidade do -1 até o 0 (0,3413) e a probabilidade do 0 até o 2 (0,4772);
• Assim, P (−1 < Z < 2) = P (−1 < Z < 0) + P (0 < Z < 2);
• P (−1 < Z < 2) = 0, 3413 + 0, 4772;
• P (−1 < Z < 2) = 0,8185.
(f) P (−2, 5 < Z < −2)
• Primeiro passo: temos que Z assume dois valores Z = −2, 5 e Z = −2;
5
• Segundo passo: a variável aleatória Z precisa ter parte inteira + duas casas decimais.
Assim, organizando Z = −2, 50 e Z = −2, 00;
• Terceiro passo: seria buscar as probabilidades na Tabela Z;
• Iniciando com Z = −2, 50; Olhando o valor positivo Z = 2, 50; Parte inteira + primeira
casa decimal (2,5) na primeira coluna; Segunda casa decimal (0) na primeira linha;
• Cruzando esse valores 2,5 (coluna) e 0 (linha) encontra-se 0,4938, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,4938 é a probabilidade do 0 até 2,50, que é a mesma probabilidade
do -2,50 até o 0;
• Depois do Z = −2, 50, agora analisamos o Z = −2, 00; Olhando o valor positivo Z =
2, 00; Parte inteira + primeira casa decimal (2,0) na primeira coluna; Segunda casa
decimal (0) na primeira linha;
• Cruzando esse valores 2,0 (coluna) e 0 (linha) encontra-se 0,4772, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na tabela Z sempre será a probabilidade do
0 atéo valor de z;
• Assim, o valor de 0,4772 é a probabilidade do 0 até 2, que é a mesma probabilidade do
-2 até o 0;
• Nosso interesse é na probabilidade do -2,5 até o -2, ou seja, P (−2, 5 < Z < −2);
• Temos a probabilidade do -2,5 até o 0 (0,4938) e a probabilidade do -2 até o 0 (0,4772);
• Assim, a probabilidade do -2,5 até o 0 é igual a probabilidade do -2,5 até -2 mais a
probabilidade do -2 até o 0;
• Assim, P (−2, 5 < Z < 0) = P (−2, 5 < Z < −2) + P (−2 < Z < 0);
• 0, 4938 = P (−2, 5 < Z < −2) + 0, 4772;
• P (−2, 5 < Z < −2) = 0, 4938 − 0, 4772 = 0,0166.
(g) P (Z > −1, 5)
• Primeiro passo: temos que Z assume o valor Z = −1, 5;
• Segundo passo: a variável aleatória Z precisa ter parte inteira + duas casas decimais.
Assim, Z = −1, 50;
• Terceiro passo: seria buscar a probabilidade na Tabela Z;
6
• O valor é Z = −1, 50; Como a tabela não apresenta valores negativos, observamos o
valor positivo Z = 1, 50. Lembre-se que a área do -1,50 até o 0 é igual a área do 0 até
1,50, ou seja, P (−1, 50 < Z < 0) = P (0 < Z < 1, 50). Assim, procuramos na tabela
parte inteira + primeira casa decimal (1,5) na primeira coluna; Segunda casa decimal
(0) na primeira linha;
• Cruzando esse valores 1,5 (coluna) e 0 (linha) encontra-se 0,4332, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,4332 é a probabilidade do 0 até 1,50, que é a mesma probabilidade
do -1,50 até o 0;
• Nosso interesse está em P (Z > −1, 5);
• Isso significa que a nossa probabilidade de interesse começa no -1,50 e vai para + infinito;
• Sabemos que a probabilidade de -1,50 até + infinito é igual a probabilidade de -1,50 até
0 mais a probabilidade de 0 até + infinito;
• Lembre que a probabilidade do 0 até + infinito é igual a 0,5 (Figura 1);
• P (Z > −1, 5) = P (−1, 5 < Z < 0) + P (Z > 0);
• P (Z > −1, 5) = 0, 4938 + 0, 5;
• P (Z > −1, 5) = 0,9938.
(h) X ∼ N(2; 4), P (−1 < X < 5)
• Aqui temos uma variável aleatória X e devemos transformá-la em uma variável aleatória
Z;
• Usamos Z = X−µσ ;
• X ∼ N(µ;σ2) significa que X segue o modelo Normal (N) com média (µ) e variância
(σ2);
• X ∼ N(2; 4), em que a média µ = 2, a variância σ2 = 4 e o desvio-padrão é σ = 2;
• P (−1 < X < 5) significa que X tem dois valores X = −1 e X = 5;
• Temos que converter X para Z usando Z = X−µσ ;
• Começamos com X = −1, µ = 2 e σ = 2;
• Z = X−µσ =
−1−2
2 =
−3
2 = −1, 5;
• Agora trabalhamos com X = 5, µ = 2 e σ = 2;
• Z = X−µσ =
5−2
2 =
3
2 = 1, 5;
• Assim, P (−1 < X < 5) = P (−1, 5 < Z < 1, 5);
7
• O cálculo de P (−1, 5 < Z < 1, 5) seguirá os mesmos passos dos exerćıcios anteriores;
• Temos que Z assume os valores Z = −1, 5 e Z = 1, 5;
• A variável aleatória Z precisa ter parte inteira + duas casas decimais. Assim, organi-
zando Z = −1, 50 e Z = 1, 50;
• Agora vamos buscar as probabilidades na Tabela Z;
• Iniciando com Z = −1, 50; Analisamos o valor positivo Z = 1, 50; Parte inteira +
primeira casa decimal (1,5) na primeira coluna; Segunda casa decimal (0) na primeira
linha;
• Cruzando esse valores 1,5 (coluna) e 0 (linha) encontra-se 0,4332, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,4332 é a probabilidade do -1,50 até 0;
• O valor de 0,4332 também é a probabilidade do 0 até 1,50;
• O interesse é na P (−1, 5 < Z < 1, 5) = P (−1, 50 < Z < 0) + P (0 < Z < 1, 50);
• P (−1, 5 < Z < 1, 5) = 0, 4332 + 0, 4332;
• P (−1, 5 < Z < 1, 5) = 0,8664.
(i) X ∼ N(−1; 9), P (−1 < X < 5)
• Aqui temos uma variável aleatória X e devemos transformá-la em uma variável aleatória
Z;
• Usamos Z = X−µσ ;
• X ∼ N(µ;σ2) significa que X segue o modelo Normal (N) com média (µ) e variância
(σ2);
• X ∼ N(−1; 9), em que a média µ = −1, a variância σ2 = 9 e o desvio-padrão é σ = 3;
• P (−1 < X < 5) significa que X tem dois valores X = −1 e X = 5;
• Temos que converter X para Z usando Z = X−µσ ;
• Começamos com X = −1, µ = −1 e σ = 3;
• Z = X−µσ =
−1−(−1)
3 =
0
3 = 0;
• Agora trabalhamos com X = 5, µ = −1 e σ = 3;
• Z = X−µσ =
5−(−1)
3 =
6
3 = 2;
• Assim, P (−1 < X < 5) = P (0 < Z < 2);
• O cálculo de P (0 < Z < 2) seguirá os mesmos passos dos exerćıcios anteriores;
• Temos que Z assume os valores Z = 0 e Z = 2;
8
• A variável aleatória Z precisa ter parte inteira + duas casas decimais. Assim, organi-
zando Z = 0, 00 e Z = 2, 00;
• Agora vamos buscar as probabilidades na Tabela Z;
• Iniciando com Z = 2, 00; Parte inteira + primeira casa decimal (2,0) na primeira coluna;
Segunda casa decimal (0) na primeira linha;
• Cruzando esse valores 2,0 (coluna) e 0 (linha) encontra-se 0,4772, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,4772 é a probabilidade do 0 até 2, que já é o resultado procurado;
• P (0 < Z < 2) = 0,4772.
(j) X ∼ N(3; 4), P (−7 < X < 5)
• Aqui temos uma variável aleatória X e devemos transformá-la em uma variável aleatória
Z;
• Usamos Z = X−µσ ;
• X ∼ N(µ;σ2) significa que X segue o modelo Normal (N) com média (µ) e variância
(σ2);
• X ∼ N(3; 4), em que a média µ = 3, a variância σ2 = 4 e o desvio-padrão é σ = 2;
• P (−7 < X < 5) significa que X tem dois valores X = −7 e X = 5;
• Temos que converter X para Z usando Z = X−µσ ;
• Começamos com X = −7, µ = 3 e σ = 2;
• Z = X−µσ =
−7−3
2 =
−10
2 = −5;
• Agora trabalhamos com X = 5, µ = 3 e σ = 2;
• Z = X−µσ =
5−3
2 =
2
2 = 1;
• Assim, P (−7 < X < 5) = P (−5 < Z < 1);
• O cálculo de P (−5 < Z < 1) seguirá os mesmos passos dos exerćıcios anteriores;
• Temos que Z assume os valores Z = −5 e Z = 1;
• A variável aleatória Z precisa ter parte inteira + duas casas decimais. Assim, organi-
zando Z = −5, 00 e Z = 1, 00;
• Agora vamos buscar as probabilidades na Tabela Z;
• Iniciando com Z = −5, 00; Analisamos o valor positivo Z = 5, 00; Parte inteira +
primeira casa decimal (5,0) na primeira coluna; Segunda casa decimal (0) na primeira
linha;
9
• Cruzando os valores 5,0 (coluna) e 0 (linha) verificamos que este valor de Z não consta
na Tabela Z. Lembre-se que para valores de z maiores que 4,09, usamos a probabilidade
0,5;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na Tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,5 é a probabilidade do -5,00 até 0, que é a mesma probabilidade do
0 até o 5,00;
• Depois do Z = −5, 00, agora analisamos o Z = 1, 00; Parte inteira + primeira casa
decimal (1,0) na primeira coluna; Segunda casa decimal (0) na primeira linha;
• Cruzando esse valores 1,0 (coluna) e 0 (linha) encontra-se 0,3413, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,3413 é a probabilidade do 0 até 1;
• Nosso interesse é na probabilidade do -5 até o 1, ou seja, P (−5 < Z < 1);
• Temos a probabilidade do -5 até o 0 (0,5) e a probabilidade do 0 até o 1 (0,3413);
• Assim, P (−5 < Z < 1) = P (−5 < Z < 0) + P (0 < Z < 1);
• P (−5 < Z < 1) = 0, 5 + 0, 3413;
• P (−5 < Z < 1) = 0,8413.
2. Uma máquina de refrigerante está regulada de modo a despejar uma média de 200 mililitros de
refrigerante por copo. Se a quantidade da bebida é normalmente distribúıda com desvio padrão
de 15 mililitros,
(a) que fração de copos conterá mais de 224 mililitros?
(b) qual é probabilidade de que um copo contenha entre 191 e 209?
Solução
(a) Os exerćıcios de aplicação do Modelo Normal sempre estão relacionados à variável aleatória
X. Pelo enunciado temos média µ = 200 e desvio-padrão σ = 15. Que fração de copos conterá
mais de 224 mililitros significa que X = 224 e como temos a palavra mais, a probabilidade
é P (X > 224).
10
• Aquitemos uma variável aleatória X e devemos transformá-la em uma variável aleatória
Z;
• Usamos Z = X−µσ ;
• Média (µ = 200) e desvio-padrão (σ = 15);
• P (X > 224) significa que X tem valor X = 224;
• Temos que converter X para Z usando Z = X−µσ ;
• Usando X = 224, µ = 200 e σ = 15;
• Z = X−µσ =
224−200
15 =
24
15 = 1, 6;
• Assim, P (X > 224) = P (Z > 1, 6);
• Temos que Z assume o valor Z = 1, 6;
• A variável aleatória Z precisa ter parte inteira + duas casas decimais. Assim, organi-
zando Z = 1, 60;
• Agora vamos buscar a probabilidade na Tabela Z;
• O valor é Z = 1, 60; Parte inteira + primeira casa decimal (1,6) na primeira coluna;
Segunda casa decimal (0) na primeira linha;
• Cruzando esse valores 1,6 (coluna) e 0 (linha) encontra-se 0,4452, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,4452 é a probabilidade do 0 até 1,60;
• Tenho que a probabilidade de 0 até 1,60 (0,4452) + P (Z > 1, 60) = 0,5;
• P (0 < Z < 1, 60) + P (Z > 1, 60) = 0, 5;
• 0, 4452 + P (Z > 1, 60) = 0, 5;
• P (Z > 1, 60) = 0, 5 − 0, 4452 = 0,0548.
(b) Os exerćıcios de aplicação do Modelo Normal sempre estão relacionados à variável aleatória
X. Pelo enunciado temos média µ = 200 e desvio-padrão σ = 15. Qual é probabilidade de
que um copo contenha entre 191 e 209 significa que X = 191 e X = 209 e como temos a
palavra entre 191 e 209, a probabilidade é P (191 < X < 209).
• Aqui temos uma variável aleatória X e devemos transformá-la em uma variável aleatória
Z;
• Usamos Z = X−µσ ;
• Média (µ = 200) e desvio-padrão (σ = 15);
• P (191 < X < 209) significa que X tem valor X = 191 e X = 209;
11
• Temos que converter X para Z usando Z = X−µσ ;
• Usando X = 191, µ = 200 e σ = 15;
• Z = X−µσ =
191−200
15 =
−9
15 = −0, 6;
• Usando X = 209, µ = 200 e σ = 15;
• Z = X−µσ =
209−200
15 =
9
15 = 0, 6;
• Assim, P (191 < X < 209) = P (−0, 6 < Z < 0, 6);
• Temos que Z assume os valores Z = −0, 6 e Z = 0, 6;
• A variável aleatória Z precisa ter parte inteira + duas casas decimais. Assim, organi-
zando Z = −0, 60 e Z = 0, 60;
• Agora vamos buscar as probabilidades na Tabela Z.
• Iniciando com Z = −0, 60; Analisamos o valor positivo Z = 0, 60; Parte inteira +
primeira casa decimal (0,6) na primeira coluna; Segunda casa decimal (0) na primeira
linha;
• Cruzando esse valores 0,6 (coluna) e 0 (linha) encontra-se 0,2257, que é uma probabili-
dade;
• Lembre-se que a probabilidade encontrada na tabela Z sempre será a probabilidade do
0 até o valor de z;
• Assim, o valor de 0,2257 é a probabilidade do -0,60 até 0;
• O valor de 0,2257 também é a probabilidade do 0 até 0,60;
• O interesse é na P (−0, 60 < Z < 0, 60) = P (−0, 60 < Z < 0) + P (0 < Z < 0, 60);
• P (−0, 60 < Z < 0, 60) = 0, 2257 + 0, 2257;
• P (−0, 60 < Z < 0, 60) = 0,4514.
Exerćıcios Propostos
1. Encontre os valores numéricos das probabilidades pedidas a seguir a partir da Tabela Z.
(a) X ∼ N(2; 4), P (X > 1, 12);
(b) X ∼ N(2; 4), P (1, 03 < X < 2, 30);
(c) X ∼ N(−1; 9), P (X < −4, 35);
(d) X ∼ N(−1; 9), P (−0, 25 < X < 3, 21);
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2. O diâmetro interno de um segmento de um motor de automóvel é uma variável aleatória que
segue uma distribuição Normal com média 10 cm e desvio padrão 0,03 cm.
(a) Que porcentagem de segmentos têm diâmetro interno superior a 10,075 cm?
(b) Qual a probabilidade de um segmento ter um diâmetro interno entre 9,997 e 10,03 cm?
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