Matemática Simulado

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SIMULADO 
1. (Unicamp) A figura abaixo exibe, em porcenta-
gem, a previsão da oferta de energia no Brasil em 
2030, segundo o Plano Nacional de Energia. 
 
 
 
Segundo o plano, em 2030, a oferta total de energia 
do país irá atingir 557 milhões de tep (toneladas 
equivalentes de petróleo). Nesse caso, podemos 
prever que a parcela oriunda de fontes renováveis, 
indicada em cinza na figura, equivalerá a 
a) 178,240 milhões de tep. 
b) 297,995 milhões de tep. 
c) 353,138 milhões de tep. 
d) 259,562 milhões de tep. 
 
2. (Unicamp) Sabe-se que, em um grupo de 10 
pessoas, o livro A foi lido por 5 pessoas e o livro 
B foi lido por 4 pessoas. Podemos afirmar correta-
mente que, nesse grupo, 
a) pelo menos uma pessoa leu os dois livros. 
b) nenhuma pessoa leu os dois livros. 
c) pelo menos uma pessoa não leu nenhum dos 
dois livros. 
d) todas as pessoas leram pelo menos um dos dois 
livros. 
 
3. (Unicamp) Sejam c um número real e 
2
f (x) x 4x c= − + 
uma função quadrática definida para todo número 
real x. No plano cartesiano, considere a parαbola 
dada pelo gráfico de y f(x).= 
a) Determine c no caso em que a abscissa e a or-
denada do vιrtice da parαbola tκm soma nula e 
esboce o respectivo grαfico para 0 x 4.  
 
 
b) Considere os pontos de coordenadas 
A (a, f(a))= e B (b, f(b)),= onde a e b são núme-
ros reais com a b. Sabendo que o ponto médi 
do segmento AB ι M (1, c),= determine a e b . 
 
4. (Unicamp) Considere o quadrado de lado a 0 
exibido na figura abaixo. Seja A(x) a função que 
associa a cada 0 x a  a área da região indicada 
pela cor cinza. 
 
 
O gráfico da função y A(x)= no plano cartesiano é 
dado por 
a) 
b) 
 
 
c) 
d) 
 
5. (Unicamp) Seja f (x) uma função tal que para 
todo número real x temos que 
(x 1) (x f x 3 3) .)f (x= − +− 
Então, f (1) é igual a 
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. 
 
6. (Unicamp) Considere as funções xf (x ) 3= e 
3
g(x) x ,= definidas para todo número real x. O nú-
mero de soluções da equação f (g(x)) g(f(x))= é 
igual a 
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. 
 
7. (Unicamp) Sendo a um número real, considere 
a matriz 
1 a
.
0 1
 
 
− 
 Então, 2017A é igual a 
a) 
1 0
.
0 1
 
 
 
 
b) 
1 a
.
0 1
 
 
− 
 
c) 
1 1
.
1 1
 
 
 
 
d) 
2017
1 a
.
0 1
 
 
 
− 
 
 
8. (Unicamp) A figura abaixo exibe três círculos no 
plano, tangentes dois a dois, com centros em A, B 
e C e raios de comprimentos a, b e c, respectiva-
mente. 
 
 
a) Determine os valores de a, b e c, sabendo que 
a distância entre A e B é de 5 cm, a distância 
entre A e C é de 6 cm e a distância entre B e 
C é de 9 cm. 
b) Para a 2 cm= e b 3 cm,= determine o valor de 
c b de modo que o triângulo de vértices em 
A, B e C seja retângulo. 
 
9. (Unicamp) Sabendo que m é um número real, 
considere o sistema linear nas variáveis x, y e z : 
 
mx 2z 4,
x y z 3,
2x mz 4.
+ =

− + =
 + =
 
 
a) Seja A a matriz dos coeficientes desse sistema. 
Determine os valores de m para os quais a soma 
dos quadrados dos elementos da matriz A é 
igual à soma dos elementos da matriz 2A A A.=  
b) Para m 2,= encontre a solução do sistema linear 
para a qual o produto xyz é mínimo. 
 
10. (Unicamp) Sejam a e b números reais. Con-
sidere, então, os dois sistemas lineares abaixo, nas 
variáveis x, y e z : 
x y a,
z y 1,
− =

− =
 e 
x y 2,
y z b.
+ =

+ =
 
 
Sabendo que esses dois sistemas possuem uma 
solução em comum, podemos afirmar correta-
mente que 
a) a b 0.− = 
b) a b 1.+ = 
c) a b 2.− = 
d) a b 3.+ = 
 
11. (Unicamp) Um dado não tendencioso de seis 
faces será lançado duas vezes. A probabilidade de 
que o maior valor obtido nos lançamentos seja me-
nor do que 3 é igual a 
a) 1 3 . 
b) 1 5 . 
c) 1 7 . 
d) 1 9 . 
 
12. (Unicamp) Um paralelepípedo retângulo tem 
faces de áreas 22 cm , 23 cm e 24 cm . O volume 
desse paralelepípedo é igual a 
a) 32 3 cm . 
b) 32 6 cm . 
c) 324 cm . 
d) 312 cm . 
 
 
13. (Unicamp) Considere a circunferência de equa-
ção cartesiana 2 2x y x y.+ = − Qual das equações a 
seguir representa uma reta que divide essa circun-
ferência em duas partes iguais? 
a) x y 1.+ = − 
b) x y 1.− = − 
c) x y 1.− = 
d) x y 1.+ = 
 
14. (Unicamp) Considere o triângulo retângulo 
ABD exibido na figura abaixo, em que AB 2 cm,= 
BC 1 cm= e CD 5 cm.= Então, o ângulo θ é igual a 
 
 
 
a) 15 . b) 30 . c) 45 . d) 60 . 
 
15. (Unicamp) Seja i a unidade imaginária, isto é, 
2
i 1.= − O lugar geométrico dos pontos do plano 
cartesiano com coordenadas reais (x, y) tais que 
(2x yi)(y 2xi) i+ + = é uma 
a) elipse. 
b) hipérbole. 
c) parábola. 
d) reta. 
 
16. (Unicamp) Considere o polinômio 
n m
p(x) x x 1,= + + em que n m 1.  Se o resto da 
divisão de p(x) por x 1+ é igual a 3, então 
a) n é par e m é par. 
b) n é ímpar e m é ímpar. 
c) n é par e m é ímpar. 
d) n é ímpar e m é par. 
 
17. (Unicamp) Sabendo que a e b são números 
reais, considere o polinômio cúbico 
3 2
p(x) x ax bx 1.= + + + 
a) Mostre que, se r é uma raiz de p(x), então 
1
r
 é 
uma raiz do polinômio 3 2q(x) x bx ax 1.= + + + 
b) Determine os valores de a e b para os quais a 
sequência (p( 1), p(0), p(1))− é uma progressão 
aritmética (PA), cuja razão é igual a p(2). 
 
18. (Unicamp) Diversas padarias e lanchonetes 
vendem o “cafezinho” e o “cafezinho com leite”. 
Uma pesquisa realizada na cidade de Campinas re-
gistrou uma variação grande de preços entre dois 
estabelecimentos, A e B, que vendem esses pro-
dutos com um volume de 60 ml, conforme mostra a 
tabela abaixo. 
 
Produto A B 
Cafezinho R $ 2,00 R $ 3,00 
Cafezinho com leite R $ 2,50 R $ 4,00 
 
a) Determine a variação percentual dos preços do 
estabelecimento A para o estabelecimento B, 
para os dois produtos. 
b) Considere a proporção de café e de leite servida 
nesses dois produtos conforme indica a figura 
abaixo. Suponha que o preço cobrado se refere 
apenas às quantidades de café e de leite servi-
das. Com base nos preços praticados no estabe-
lecimento B, calcule o valor que está sendo co-
brado por um litro de leite. 
 
 
 
19. (Unicamp) Seja x um número real, 0 x 2,π  
tal que a sequência (tan x, sec x, 2) é uma progres-
são aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é 
igual a 
a) 1. b) 5 4 . c) 4 3 . d) 1 3 . 
 
20. (Unicamp) Sabendo que k é um número real, 
considere a função f (x) k sen x cos x,= + definida 
para todo número real x . 
a) Seja t um número real tal que f(t) 0.= Mostre 
que f(2 t) 1.= − 
b) Para k 3,= encontre todas as soluções da equa-
ção 2 2f (x) f ( x) 10+ − = para 0 x 2 .π  
 
21. (Unicamp) Considere o triângulo exibido na fi-
gura abaixo, com lados de comprimentos a, b e c 
e ângulos ,α β e .γ 
 
 
 
 
 
a) Suponha que a sequência ( , , )α β γ é uma pro-
gressão aritmética (PA). Determine a medida do 
ângulo .β 
b) Suponha que a sequência (a, b, c ) é uma pro-
gressão geométrica (PG) de razão q 2.= Deter-
mine o valor de tan .β 
 
22. (Unicamp) Seja (a, b, c ) uma progressão geo-
métrica de números reais com a 0. Definindo 
s a b c,= + + o menor valor possível para 
s
a
 é igual 
a 
a) 
1
.
2
 b) 
2
.
3
 c) 
3
.
4
 d) 
4
.
5
 
 
23. (Unicamp) O gráfico abaixo exibe o lucro lí-
quido (em milhares de reais) de três pequenas em-
presas A, B e C, nos anos de 2013 e 2014. 
 
 
Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que 
a) A teveum crescimento maior do que C. 
b) C teve um crescimento maior do que B. 
c) B teve um crescimento igual a A. 
d) C teve um crescimento menor do que B. 
 
24. (Unicamp) Considere a função 
f (x) | 2x 4 | x 5,= − + − 
definida para todo número real x. 
a) Esboce o gráfico de y f(x)= no plano cartesiano 
para 4 x 4.−   
 
 
 
b) Determine os valores dos números reais a e b 
para os quais a equação alog (x b) f(x)+ = admite 
como soluções 1x 1= − e 2x 6.= 
 
25. (Unicamp) Considere a função afim 
f (x) ax b= + definida para todo número real x, onde 
a e b são números reais. Sabendo que f (4) 2,= 
podemos afirmar que f (f (3) f(5))+ é igual a 
a) 5. b) 4. c) 3. d) 2. 
 
26. (Unicamp) Considere o gráfico da função 
y f(x)= exibido na figura a seguir. 
 
 
 
O gráfico da função inversa 1y f (x)−= é dado por 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
27. (Unicamp) Considere o polinômio cúbico 
3
p(x) x 3x a,= − + 
onde a é um número real. 
a) No caso em que p(1) 0,= determine os valores de 
x para os quais a matriz A abaixo não é invertí-
vel. 
 
x 1 0
A 0 x 1
a 3 x
 
 
=
 
  
 
 
b) Seja b um número real não nulo e i a unidade 
imaginária, isto é, 2i 1.= − Se o número complexo 
z 2 bi= + é uma raiz de p(x), determine o valor 
de | z | . 
 
28. (Unicamp) Em uma matriz, chamam-se ele-
mentos internos aqueles que não pertencem à pri-
meira nem à última linha ou coluna. O número de 
elementos internos em uma matriz com 5 linhas e 
6 colunas é igual a 
a) 12. b) 15. c) 16. d) 20. 
29. (Unicamp) Considere o sistema linear nas va-
riáveis reais x, y, z e w, 
 
x y 1,
y z 2,
w z 3.
− =

+ =
 − =
 
 
Logo, a soma x y z w+ + + é igual a 
a) 2.− b) 0. c) 6. d) 8. 
 
30. (Unicamp) Uma moeda balanceada é lançada 
quatro vezes, obtendo-se cara exatamente três ve-
zes. A probabilidade de que as caras tenham saído 
consecutivamente é igual a 
a) 
1
.
4
 b) 
3
.
8
 c) 
1
.
2
 d) 
3
.
4
 
 
31. (Unicamp) Considere os três sólidos exibidos 
na figura abaixo, um cubo e dois paralelepípedos 
retângulos, em que os comprimentos das arestas, 
a e b, são tais que a b 0.  
 
 
 
a) Determine a razão r a b= para a qual o volume 
de 1S é igual à soma dos volumes de 2S e 3S . 
b) Sabendo que a soma dos comprimentos de to-
das as arestas dos três sólidos é igual a 60 cm, 
determine a soma das áreas de superfície dos 
três sólidos. 
 
32. (Unicamp) Um cilindro circular reto, cuja altura 
é igual ao diâmetro da base, está inscrito numa es-
fera. A razão entre os volumes da esfera e do cilin-
dro é igual a 
 
a) 
4 2
.
3
 c) 
3 2
.
4
 
b) 
4
.
3
 d) 2. 
33. (Unicamp) A figura abaixo exibe o gráfico da 
função f (x) 1 x ,= definida para todo número real 
x 0. Os pontos P e Q têm abscissas x 1= e 
x a,= respectivamente, onde a é um número real 
e a 1. 
 
 
 
a) Considere o quadrilátero T com vértices em 
(0, 0), P, Q e (a, 0). Para a 2,= verifique que a 
área de T é igual ao quadrado da distância de P 
a Q. 
b) Seja r a reta que passa pela origem e é ortogo-
nal à reta que passa por P e Q. Determine o va-
lor de a para o qual o ponto de intersecção da 
reta r com o gráfico da função f tem ordenada 
y a 2.= 
 
34. (Unicamp) Considere o círculo de equação car-
tesiana 2 2x y ax by,+ = + onde a e b são números 
reais não nulos. O número de pontos em que esse 
círculo intercepta os eixos coordenados é igual a 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
 
35. (Unicamp) A solução da equação na variável 
real x, xlog (x 6) 2,+ = é um número 
a) primo. 
b) par. 
c) negativo. 
d) irracional. 
 
 
36. (Unicamp) A figura abaixo exibe um quadrilá-
tero ABCD, onde AB AD= e BC CD 2 cm.= = 
 
 
 
A área do quadrilátero ABCD é igual a 
a) 22 cm . 
b) 22 cm . 
c) 22 2 cm . 
d) 23 cm . 
 
37. (Unicamp) Considere o número complexo 
1 ai
z ,
a i
+
=
−
 onde a é um número real e i é a unidade 
imaginária, isto é, 2i 1.= − O valor de 2016z é igual 
a 
a) 2016a . 
b) 1. 
c) 1 2016i.+ 
d) i. 
 
38. (Unicamp) Considere o polinômio cúbico 
3 2
p(x) x x ax 3,= + − − 
onde a é um número real. Sabendo que r e r− são 
raízes reais de p(x), podemos afirmar que p(1) é 
igual a 
a) 3. 
b) 1. 
c) 2.− 
d) 4.− 
 
39. (Unicamp) Considere a matriz quadrada de or-
dem 3, 
cos x 0 sen x
A 0 1 0 ,
sen x 0 cos x
− 
 
=
 
  
 
onde x é um número real. 
Podemos afirmar que 
a) A não é invertível para nenhum valor de x. 
b) A é invertível para um único valor de x. 
c) A é invertível para exatamente dois valores de 
x. 
d) A é invertível para todos os valores de x. 
 
40. (Unicamp) O gráfico de barras abaixo exibe a 
distribuição da idade de um grupo de pessoas. 
 
 
 
a) Mostre que, nesse grupo, a média de idade dos 
homens é igual à média de idade das mulheres. 
b) Escolhendo ao acaso um homem e uma mulher 
desse grupo, determine a probabilidade de que a 
soma de suas idades seja igual a 49 anos. 
 
41. (Unicamp) Se 1 2 13( , ,..., )α α α é uma progressão 
aritmética (PA) cuja soma dos termos é 78, então 
7α é igual a 
a) 6. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 9. 
 
42. (Unicamp) Seja a um número real. Considere 
as parábolas de equações cartesianas 
2
y x 2x 2= + + e 2y 2x ax 3.= + + Essas parábolas 
não se interceptam se e somente se 
a) a 2.= 
b) a 2. 
c) a 2 2.−  
d) a 2 2.−  
 
43. (Unicamp) Seja r a reta de equação cartesi-
ana x 2y 4.+ = Para cada número real t tal que 
0 t 4,  considere o triângulo T de vértices em 
(0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t= perten-
cente à reta r, como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
a) Para 0 t 4,  encontre a expressão para a fun-
ção A(t), definida pela área do triângulo T, e es-
boce o seu gráfico. 
b) Seja k um número real não nulo e considere a 
função g(x) k x ,= definida para todo número real 
x não nulo. Determine o valor de k para o qual 
o gráfico da função g tem somente um ponto em 
comum com a reta r. 
 
 
 
44. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe o gráfico 
de uma função y f(x).= 
 
 
 
Então, o gráfico de y 2f(x 1)= − é dado por 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
45. (Unicamp) Considere a matriz 
a 0
A ,
b 1
 
=  
 
 
onde a e b são números reais. Se 2A A= e A é 
invertível, então 
a) a 1= e b 1.= 
b) a 1= e b 0.= 
c) a 0= e b 0.= 
d) a 0= e b 1.= 
 
46. (Unicamp) Considere o sistema linear nas va-
riáveis x, y e z 
x 2y 3z 20
7x 8y mz 26,
+ + =

+ − =
 
 
onde m é um número real. Sejam a b c  núme-
ros inteiros consecutivos tais que (x, y,z) (a,b,c)= é 
uma solução desse sistema. O valor de m é igual 
a 
a) 3. 
b) 2. 
c) 1. 
d) 0. 
 
47. (Unicamp) O número mínimo de pessoas que 
deve haver em um grupo para que possamos ga-
rantir que nele há pelo menos três pessoas nasci-
das no mesmo dia da semana é igual a 
a) 21. 
b) 20. 
c) 15. 
d) 14. 
 
48. (Unicamp) Um cilindro circular reto, com raio 
da base e altura iguais a R, tem a mesma área de 
superfície total que uma esfera de raio 
a) 2R. 
b) 3R. 
c) 2R. 
d) R. 
 
49. (Unicamp) No plano cartesiano, a equação 
x y x y− = + representa 
a) um ponto. 
b) uma reta. 
c) um par de retas paralelas. 
d) um par de retas concorrentes. 
 
 
50. (Unicamp) Considere a função 
1 x 1 x
f (x) 10 10 ,
+ −
= + 
definida para todo númeroreal x. 
a) Mostre que 10f (log (2 3 ))+ é um número inteiro. 
b) Sabendo que 10log 2 0,3, encontre os valores 
de x para os quais f (x) 52.= 
 
51. (Unicamp) Seja a um número real positivo e 
considere as funções afins f (x) ax 3a= + e 
g(x) 9 2x,= − definidas para todo número real x. 
a) Encontre o número de soluções inteiras da ine-
quação f (x)g(x) 0. 
b) Encontre o valor de a tal que f (g(x)) g(f(x))= 
para todo número real x. 
 
52. (Unicamp) A figura abaixo exibe um retângulo 
ABCD decomposto em quatro quadrados. 
 
 
 
O valor da razão 
AB
BC
 é igual a 
a) 
5
.
3
 
b) 
5
.
2
 
c) 
4
.
3
 
d) 
3
.
2
 
 
53. (Unicamp) A figura abaixo exibe um círculo de 
raio r que tangencia internamente um setor circular 
de raio R e ângulo central .θ 
 
 
 
a) Para 60 ,θ =  determine a razão entre as áreas 
do círculo e do setor circular. 
b) Determine o valor de cosθ no caso em que 
R 4r.= 
 
54. (Unicamp) Sejam x e y números reais tais que 
x yi 3 4i,+ = + 
onde i é a unidade imaginária. O valor de xy é 
igual a 
a) 2.− 
b) 1.− 
c) 1. 
d) 2. 
 
55. (Unicamp) Seja (a,b,c,d) uma progressão geo-
métrica (PG) de números reais, com razão q 0 e 
a 0. 
a) Mostre que 
1
x
q
= − é uma raiz do polinômio cú-
bico 2 3p(x) a bx cx dx .= + + + 
b) Sejam e e f números reais quaisquer e consi-
dere o sistema linear nas variáveis x e y, 
a c x e
.
d b y f
     
=     
     
 Determine para que valores da 
razão q esse tem solução única. 
 
56. (Unicamp) Considere o polinômio 
3 2
p(x) x x ax a,= − + − 
onde a é um número real. Se x 1= é a única raiz 
real de p(x), então podemos afirmar que 
a) a 0. 
b) a 1. 
c) a 0. 
d) a 1. 
 
57. (Unicamp) A tabela abaixo informa alguns va-
lores nutricionais para a mesma quantidade de dois 
alimentos, A e B. 
 
Alimento A B 
Quantidade 20 g 20 g 
Valor Energético 60 kcal 80 kcal 
Sódio 10 mg 20 mg 
Proteína 6 g 1 g 
 
Considere duas porções isocalóricas (de mesmo 
valor energético) dos alimentos A e B. A razão en-
tre a quantidade de proteína em A e a quantidade 
de proteína em B é igual a 
a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. 
 
58. (Unicamp) Uma compra no valor de 1 000 reais 
será paga com uma entrada de 600 reais e uma 
mensalidade de 420 reais. A taxa de juros aplicada 
na mensalidade é igual a 
a) 2%. b) 5% . c) 8% . d) 10%. 
 
 
59. (Unicamp) A figura a seguir exibe um pentá-
gono com todos os lados de mesmo comprimento. 
 
 
 
A medida do ângulo θ é igual a 
a) 105 . 
b) 120 . 
c) 135 . 
d) 150 . 
 
60. (Unicamp) O Código de Trânsito Brasileiro 
classifica as infrações, de acordo com a sua natu-
reza, em leves, médias, graves e gravíssimas. A 
cada tipo corresponde uma pontuação e uma multa 
em reais, conforme a tabela abaixo. 
 
Infração 
Pontua-
ção 
Multa* 
Leve 3 pontos R$ 53,00 
Média 4 pontos R$ 86,00 
Grave 5 pontos R$ 128,00 
Gravís-
sima 
7 pontos R$ 192,00 
* Valores arredondados 
 
a) Um condutor acumulou 13 pontos em infrações. 
Determine todas as possibilidades quanto à 
quantidade e à natureza das infrações cometidas 
por esse condutor. 
b) O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição 
de 1.000 infrações cometidas em certa cidade, 
conforme a sua natureza. Determine a soma das 
multas aplicadas. 
 
 
 
61. (Unicamp) Prazeres, benefícios, malefícios, lu-
cros cercam o mundo dos refrigerantes. Recente-
mente, um grande fabricante nacional anunciou 
que havia reduzido em 13 mil toneladas o uso de 
açúcar na fabricação de seus refrigerantes, mas 
não informou em quanto tempo isso ocorreu. O ró-
tulo atual de um de seus refrigerantes informa que 
200 ml do produto contêm 21 g de açúcar. 
Utilizando apenas o açúcar “economizado” pelo re-
ferido fabricante seria possível fabricar, aproxima-
damente, 
a) 124 milhões de litros de refrigerante. 
b) 2,6bilhões de litros de refrigerante. 
c) 1 365milhões de litros de refrigerante. 
d) 273 milhões de litros de refrigerante. 
 
62. (Unicamp) O perímetro de um triângulo retân-
gulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão 
em progressão aritmética (PA). A área desse triân-
gulo é igual a 
a) 3,0 m2. 
b) 2,0 m2. 
c) 1,5 m2. 
d) 3,5 m2. 
 
63. (Unicamp) Dizemos que uma sequência de nú-
meros reais não nulos 1 2 3 4(a , a , a , a ,...) é uma pro-
gressão harmônica se a sequência dos inversos 
1 2 3 4
1 1 1 1
, , , , ...
a a a a
 
 
 
 
é uma progressão aritmética (PA). 
 
a) Dada a progressão harmônica 
2 4 1
, , ,... ,
5 9 2
 
 
 
 en-
contre o seu sexto termo. 
b) Sejam a, b e c termos consecutivos de uma pro-
gressão harmônica. Verifique que 
2ac
b .
a c
=
+
 
 
64. (Unicamp) Sejam a e b reais. Considere as 
funções quadráticas da forma 2f (x) x a x b,= + + de-
finidas para todo x real. 
 
a) Sabendo que o gráfico de y f(x)= intercepta o 
eixo y no ponto (0,1) e é tangente ao eixo x, de-
termine os possíveis valores de a e b. 
b) Quando a b 1,+ = os gráficos dessas funções 
quadráticas têm um ponto em comum. Deter-
mine as coordenadas desse ponto. 
 
65. (Unicamp) Considere as funções f e g, cujos 
gráficos estão representados na figura abaixo. 
 
 
 
O valor de f (g(1)) g(f(1))− é igual a 
a) 0. 
b) – 1. 
c) 2. 
d) 1. 
 
66. (Unicamp) O gráfico abaixo exibe a curva de 
potencial biótico q(t) para uma população de micro-
organismos, ao longo do tempo t. 
 
 
 
Sendo a e b constantes reais, a função que pode 
representar esse potencial é 
a) q(t) at b.= + 
b) tq(t) a b .= 
c) 2q(t) at bt.= + 
d) bq(t) a log t.= + 
 
67. (Unicamp) A altura (em metros) de um arbusto 
em uma dada fase de seu desenvolvimento pode 
ser expressa pela função 3h(t) 0,5 log (t 1),= + + onde 
o tempo t 0 é dado em anos. 
 
a) Qual é o tempo necessário para que a altura au-
mente de 0,5 m para 1,5 m? 
b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase 
de desenvolvimento, tem sua altura expressa 
pela função composta g(t) h(3t 2).= + Verifique 
que a diferença g(t) h(t)− é uma constante, isto 
é, não depende de t. 
 
68. (Unicamp) O consumo mensal de água nas re-
sidências de uma pequena cidade é cobrado como 
se descreve a seguir. Para um consumo mensal de 
até 10 metros cúbicos, o preço é fixo e igual a 20 
reais. Para um consumo superior, o preço é de 20 
reais acrescidos de 4 reais por metro cúbico con-
sumido acima dos 10 metros cúbicos. Considere 
c(x) a função que associa o gasto mensal com o 
consumo de x metros cúbicos de água. 
 
a) Esboce o gráfico da função c(x) no plano carte-
siano para x entre 0 e 30. 
 
 
 
b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos 
de água, qual é o preço efetivamente pago por 
metro cúbico? E para um consumo mensal de 25 
metros cúbicos? 
 
69. (Unicamp) Considere a matriz 
1 a 1
M b 1 a ,
1 b 1
 
 
=
 
 
 
 
onde a e b são números reais distintos. Podemos 
afirmar que 
a) a matriz M não é invertível. 
b) o determinante de M é positivo. 
c) o determinante de M é igual a 2 2a b .− 
d) a matriz M é igual à sua transposta. 
 
70. (Unicamp) Considere a matriz 
a 1 1
A 1 0 b ,
c 2 0
 
 
= −
 
 − 
 
onde a, b e c são números reais. 
 
a) Encontre os valores de a, b e c de modo que 
T
A A.= − 
b) Dados a 1= e b 1,= − para que os valores de c e 
d o sistema linear 
x 1
A y 1
z d
   
   
=
   
   
   
 tem infinitas solu-
ções? 
 
71. (Unicamp) Uma loteria sorteia três números 
distintos entre doze números possíveis. 
a) Para uma aposta em três números, qual é a pro-
babilidade de acerto? 
b) Se a aposta em três números custa R$ 2,00, 
quanto deveria custar uma aposta em cinco nú-
meros? 
 
72. (Unicamp) Umcaixa eletrônico de certo banco 
dispõe apenas de cédulas de 20 e 50 reais. No 
caso de um saque de 400 reais, a probabilidade do 
número de cédulas entregues ser ímpar é igual a 
 
 
a) 
1
.
4
 
b) 
2
.
5
 
c) 
2
.
3
 
d) 
3
.
5
 
 
73. (Unicamp) Considere um cilindro circular reto. 
Se o raio da base for reduzido pela metade e a al-
tura for duplicada, o volume do cilindro 
a) é reduzido em 50%. 
b) aumenta em 50%. 
c) permanece o mesmo. 
d) é reduzido em 25%. 
 
74. (Unicamp) Considere a pirâmide reta de base 
quadrada, ilustrada na figura abaixo, com lado da 
base b = 6 m e altura a. 
 
 
 
a) Encontre o valor de a de modo que a área de 
uma face triangular seja igual a 15 m2. 
b) Para a = 2 m, determine o raio da esfera circuns-
crita à pirâmide. 
 
75. (Unicamp) No plano cartesiano, a reta de equa-
ção 2x 3y 12− = intercepta os eixos coordenados 
nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB 
tem coordenadas 
a) 
4
4, .
3
 
 
 
 
b) (3, 2) 
c) 
4
4, .
3
 
− 
 
 
d) (3, 2).− 
 
76. (Unicamp) Considere no plano cartesiano os 
pontos A ( 1, 1)= − e B (2, 2).= 
a) Encontre a equação que representa o lugar ge-
ométrico dos centros dos círculos que passam 
pelos pontos A e B. 
b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das 
ordenadas. Determine C de modo que o triângulo 
ABC tenha área igual a 8. 
77. (Unicamp) Considere um hexágono, como o 
exibido na figura abaixo, com cinco lados com com-
primento de 1cm e um lado com comprimento de 
x cm. 
 
 
 
a) Encontre o valor de x. 
b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 
150°. 
 
78. (Unicamp) O polinômio 
3 2
p(x) x 2x 9x 18= − − + 
tem três raízes: r, –r e s. 
a) Determine os valores de r e s. 
b) Calcule p(z) para z = 1+i, onde i é a unidade ima-
ginária. 
 
79. (Unicamp) O módulo do número complexo 
2014 1987
z i i= − é igual a 
a) 2. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 1. 
 
80. (Unicamp) O peso médio (média aritmética 
dos pesos) dos 100 alunos de uma academia de 
ginástica é igual a 75 kg. O peso médio dos homens 
é 90 kg e o das mulheres é 65 kg. 
a) Quantos homens frequentam a academia? 
b) Se não são considerados os 10 alunos mais pe-
sados, o peso médio cai de 75 kg para 72 kg. 
Qual é o peso médio desses 10 alunos? 
 
81. (Unicamp) A razão entre a idade de Pedro e a 
de seu pai é igual a 
2
.
9
 Se a soma das duas idades 
é igual a 55 anos, então Pedro tem 
a) 12 anos. 
b) 13 anos. 
c) 10 anos. 
d) 15 anos. 
 
82. (Unicamp) Seja x real tal que cos x tg x.= O 
valor de sen x é 
 
 
a) 
3 1
.
2
−
 
b) 
1 3
.
2
−
 
c) 
5 1
.
2
−
 
d) 
1 5
.
2
−
 
 
83. (Unicamp) A pizza é, sem dúvida, o alimento 
preferido de muitos paulistas. Estima-se que o con-
sumo diário no Brasil seja de 1,5 milhão de pizzas, 
sendo o Estado de São Paulo responsável por 53% 
desse consumo. O gráfico abaixo exibe a preferên-
cia do consumidor paulista em relação aos tipos de 
pizza. 
 
 
 
a) Se não for considerado o consumo do Estado de 
São Paulo, quantas pizzas são consumidas dia-
riamente no Brasil? 
b) Quantas pizzas de mozarela e de calabresa são 
consumidas diariamente no Estado de São 
Paulo? 
 
84. (Unicamp) Um investidor dispõe de R$ 200,00 
por mês para adquirir o maior número possível de 
ações de certa empresa. No primeiro mês, o preço 
de cada ação era R$ 9,00. No segundo mês houve 
uma desvalorização e esse preço caiu para R$ 
7,00. No terceiro mês, com o preço unitário das 
ações a R$ 8,00, o investidor resolveu vender o to-
tal de ações que possuía. Sabendo que só é per-
mitida a negociação de um número inteiro de 
ações, podemos concluir que com a compra e 
venda de ações o investidor teve 
a) lucro de R$ 6,00. 
b) nem lucro nem prejuízo. 
c) prejuízo de R$ 6,00. 
d) lucro de R$ 6,50. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Somando os percentuais indicados em cinza: 
9,1% + 13,5% + 18,5% + 5,5% = 46,6%. 
 
557 milhões 100% 557 46,6
 x 
x milhões 46,6% 100
x 259,562 milhões.
 → 
 = 
→
=
 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
A única alternativa correta é a [C]. Se cinco pes-
soas leram o livro A e quatro pessoas distintas le-
ram o livro B, há um total de 9 pessoas, sendo pos-
sível que ao menos uma pessoa não tenha lido ne-
nhum dos livros. 
 
Resposta da questão 3: 
 a) Sendo 
4
2
2 1
−
− =

 a abscissa do vértice, vem 
que a ordenada deve ser igual a 2.− Logo, temos 
2
2 2 4 2 c c 2.− = −  +  = 
 
Portanto, segue o gráfico de f. 
 
 
 
b) Desde que a b, vem 
2 2 2 2
2
a b
1
b 2 a2
a 4a c b 4b c a 4a (2 a) 4(2 a) 0
c
2
b 2 a
a 2a 2 0
a 1 3
.
b 1 3
+
=
= −

− + + − + − + − − − =
=
= −

− − =
= −

= +
 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Calculando: 
( )2 2 2a a x
A(x) a 2 a a ax A(x) ax
2
  −
= −  = − + → =  
 
 
 
O único gráfico que apresenta uma função linear é 
o mostrado na alternativa [D]. 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Calculando: 
x 0
(0 1) (0 ) (0)
(1 1) (1 ) (1) (0) (1) (1
0 f 3 f 3 f(0) 1
x 1
1 f 3 f 3 f 2 f f ) 13
 = − + → =
=
 = − + → = − + →
=
− 
−   =
 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Calculando: 
( )
( )
( ) ( ) ( )
3
3
x3
3
x x
3 xx 3 3 2
f (g(x)) f (x ) 3
g(f(x)) g(3 ) 3
x ' 0
3 3 x 3x x 3x 0 x x 3 0 x '' 3
x ''' 3
= =
= =
=
= → = → − = →  − = → =
= −
 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
Calculando: 
2
2
4 2 2
6 4 2
2016 2014 2
2017 2016 2017
1 a 1 a 1 0
A
0 1 0 1 0 1
A I
A A A I I I
A A A I I I
A A A I I I
1 a
A A A I A A A
0 1
     
=  =     
− −     
=
=  =  =
=  =  =
=  =  =
 
=  =  = → =  
− 
 
 
Resposta da questão 8: 
 a) Tem-se que 
a b 5 a b 5
a c 6 a b 3
b c 9 c 9 b
a 1cm
b 4 cm .
c 5 cm
+ = + = 
 
+ = − = − 
 
+ = = − 
=

=

=
 
 
b) Se c b, então a hipotenusa do triângulo ABC é 
BC. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem 
 
 
2 2 2
(c 3) (c 2) 5 (c 3 c 2)(c 3 c 2) 25
2c 5 25
c 10 cm.
+ = + +  + + + + − − =
 + =
 =
 
 
Resposta da questão 9: 
 a) Se 
m 0 2
A 1 1 1 ,
2 0 m
 
 
= − 
 
 
 então 
2
2
2
m 4 0 4m
A m 1 1 m 1
4m 0 m 4
 +
 
= + + 
 
+ 
 e, portanto, 
 
2 2
2m 8 3 2m 8 2m 2 8m 1 10m 0
m 0.
+ + = + + + + +  =
 =
 
 
b) Para m 2,= temos: 
{
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
𝑥 + 𝑧 = 2
∼ {
𝑦 = −1
𝑧 = 2 − 𝑥
  ⋅ 
 
Logo, tomando x k,= com 𝑘 ∈ ℝ, vem 
S {(k, 1, 2 k)}.= − − 
O produto xyz k ( 1) (2 k) k (k 2)=  −  − =  − é mínimo 
quando 
0 2
k 1.
2
+
= = 
Por conseguinte, a resposta é (1, 1, 1).− 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Se o sistema possui solução em comum, o sistema 
formado pelas quatro equações tem solução. Por-
tanto, pode-se escrever: 
x y a
z y 1
x y 2
y z b
z y 1
z x 3
x y 2
a b 3
x y a
z x a b
y z b
− =

− =

+ =
 + =
− =
+ =
+ =
+ =
− =
+ = +
+ =
 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
Ao se lançar um dado duas vezes há 36 possíveis 
resultados. Destes, apenas 4 podem ter o maior 
valor menor do que 3 (1 e 1, 1 e 2, 2 e 1 e 2 e 2). 
Assim, a probabilidade será igual a 
4 1
.
36 9
= 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
( )
22 2 2
3
V a b c
ab 2
bc 3
ac 4
ab bc ac a b c 2 3 4 a b c 24
V 24 2 6 cm
=  
=

=
 =
  =   =   →   =
= =
 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
Calculando: 
( ) ( )
( )
2 2
2 2 1 1 1x y x y x y
2 2 2
21 1C ; e R
2 2 2
+ = − → − + + =
=
 
 
A reta que divide a circunferência em duas partes 
iguais passa pelo centro C e pode ter equação 
igual a x y 1.− = 
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
Calculando: 
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 22
AC 2 1 AC 5
AD 2 6 AD 40
5 5 40 2 5 40 cos 2 200 cos 20
10 2
cos cos 45
210 2
θ θ
θ θ θ
= + → =
= + → =
= + −    →  =
= → = → = 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
Calculando: 
( )2 2
2 2
(2x yi)(y 2xi) i 2xy 2xy 4x y i i
4x y 1 eq. de uma elipse
+  + = → − + + =
+ = →
 
 
Resposta da questão 16: 
 [A] 
 
O resto da divisão de p(x) por x 1+ é igual a 3, por-
tanto m e n são números pares, pois: 
n
n m
m
( 1) 1
p( 1) 3 p( 1) ( 1) ( 1) 1 3 logo
( 1) 1
 − =
− = → − = − + − + = → 
− =
 
 
Resposta da questão 17: 
 a) Se r é uma raiz de p(x), então 3 2r ar br 1 0.+ + + = 
Daí, temos 
 
 
3 2
3 2
3
1 1 1 1
p b a 1
r r r r
1
(r ar br 1)
r
0.
     
= + + +     
     
= + + +
=
 
 
Portanto, segue o resultado. 
 
b) Sendo p( 1) a b,− = − p(0) 1,= p(1) a b 2= + + e 
p(2) 4a 2b 9,= + + temos 
a b 4a 2b 9 1 5a b 8
1 4a 2b 9 a b 2 3a b 8
a 0
.
b 8
− + + + = + = − 
 
+ + + = + + − − = 
=

= −
 
 
Resposta da questão 18: 
 a) A variação percentual do preço do cafezinho é 
igual a 
3 2
100% 50%,
2
−
 = 
 
enquanto que a variação percentual do preço do 
cafezinho com leite é 
4 2,5
100% 60%.
2,5
−
 = 
 
b) Desde que 60 mL de café custam R$ 3,00 em B, 
podemos concluir que 
2
60 40 mL
3
 = de café custam 
3 40
R$ 2,00.
60

= Portanto, é imediato que 20 mL de 
leite também custam R$ 2,00 e, assim, a resposta 
é 
1000 2
R$ 100,00.
20

= 
 
Resposta da questão 19: 
 [D] 
 
Calculando: 
( )1 2 3 2 1 3
2
2 2 2 2
PA a , a , a 2a a a
1 sen x
2 sec x 2 t g x 2 2 sen x 2 cos x 2 sen x 2 2 cos x
cos x cos x
sen x 1 cos x
1 cos x 2 2 cos x 1 cos x 4 8 cos x 4 cos x 5 cos x 8 cos x 3 0
3
cos x ou cos x 1 (não convém)
5
5 4
sec x ; tgx
3 3
5 4 1
PA r r
3 3 3
→ → = +
= + →  = + → + = → = −
= −
− = − → − = − + → − + =
= =
= =
→ = − → =
 
 
Resposta da questão 20: 
 a) Se f(t) 0,= então 
cos t
k sen t cos t 0 k .
sen t
+ =  = − 
 
Desse modo, lembrando que 2 2sen cos 1,α α+ = 
para todo ,α  vem 
2 2
2 2 2
2 2
f(2 t) k sen 2t cos 2t
cos t
2 sen t cos t cos t sen t
sen t
2 cos t cos t sen t
(sen t cos t)
1.
= +
= −  + −
= − + −
= − +
= −
 
 
b) Se k 3,= então f (x) 3 sen x cos x.= + Logo, sa-
bendo que sen( ) senβ β− = − e cos( ) cos ,β β− = 
para todo 𝛽 ∈ ℝ, vem 
2 2 2 2
2
f (x) f ( x) 10 (3 sen x cos x) (cos x 3 sen x) 10
1
sen x
2
2
sen x
2
 ou
2
sen x
2
3
x ou x
4 4
 ou .
5 7
x ou x
4 4
π π
π π
+ − =  + + − =
 =
=

= −
= =

= =
 
 
Portanto, o conjunto solução da equação é 
 3 5 7S , , , .
4 4 4 4
π π π π
= 
 
Resposta da questão 21: 
 a) Se ( , , )α β γ é uma PA, então a soma de seus 
termos será 180, pois a soma dos ângulos inter-
nos de um triângulo é sempre 180 . Assim, pode-
se escrever: 
( )
PA ( , , ) ( r, , r )
r r 3
S 180 180 3 60
2
α β γ β β β
β β
β β
 = − +
− + + 
= =  =  = 
 
 
b) Se (a, b, c ) é uma PG de raiz q 2,= então pode-
se escrever: 
PG (a, b, c) (a, a 2, 2a) = 
 
Pela lei dos cossenos, tem-se: 
( ) ( )
2 22 2 2 2 3
a 2 a 2a 2 a 2a cos 2a 5a 4a cos cos
4
β β β= + −     = −   = 
 
Pela relação fundamental: 
 
 
2 2 2 29 7 7
sen cos 1 sen 1 sen sen
16 16 4
β β β β β
 
+ =  + =  =  = 
 
 
 
Por fim, calculando a tangente: 
7
sen 7 4 74tg tg
3cos 4 3 3
4
β
β β
β
= = =   = 
 
Resposta da questão 22: 
 [C] 
 
Tem-se que 2(a, b, c ) (a, aq, aq ),= com a 0 e q 
sendo a razão da progressão geométrica. 
Desse modo, vem 
 
22
2s a aq aq 1 3
q q 1 q .
a a 2 4
+ +  
= = + + = + + 
 
 
 
Portanto, o valor mínimo de 
s
a
 é 
3
,
4
 ocorrendo para 
1
q .
2
= − 
 
Resposta da questão 23: 
 [B] 
 
É fácil ver que A teve um decrescimento, enquanto 
que B e C tiveram um crescimento. Além disso, o 
crescimento de B foi de 100 milhares de reais e o 
crescimento de C foi de 200 milhares de reais. 
Portanto, C teve um crescimento maior do que o 
de B. 
 
Resposta da questão 24: 
 a) Fazendo os cálculos, tem-se: 
f (x) | 2x 4 | x 5
f( 4) | 8 4 | 4 5 3 ( 4,3)
f ( 1) | 2 4 | 1 5 0 ( 1,0)
f (0) | 4 | 5 1 (0, 1)
f (2) | 4 4 | 2 5 3 (2, 3)
f (3) | 6 4 | 3 5 3 (3,0)
f (4) | 8 4 | 4 5 3 (4,3)
= − + −
− = − − − − =  −
− = − − − − =  −
= − − = −  −
= − + − = −  −
= − + − = − 
= − + − = →
 
 
Montando o gráfico: 
 
 
 
b) Substituindo uma das raízes dadas e desenvol-
vendo a equação: 
a
0
a a
log (x b) | 2x 4 | x 5
log ( 1 b) | 2 1 4 | 1 5 log ( 1 b) 0 a 1 b 1 b 1 b 2
+ = − + −
− + =  − − − −  − + =  = − + → = −  =
 
 
Substituindo a segunda raiz dada e desenvol-
vendo a equação: 
a
99 3 39
a a
log (x b) | 2x 4 | x 5
log (6 2) | 2 6 4 | 6 5 log (8) 9 a 8 a 8 2 a 2
+ = − + −
+ =  − + −  =  =  = =  =
 
 
Assim, os valores dos números reais a e b são 3 2
e 2, respectivamente. 
 
Resposta da questão 25: 
 [D] 
 
Tem-se que f (4) 2 4a b 2.=  + = Além disso, como 
f (3) 3a b= + e f (5) 5a b,= + vem 
 
f (3) f(5) 3a b 5a b 2(4a b) 2 2 4.+ = + + + = + =  = 
 
Portanto, segue que f (f (3) f(5)) f(4) 2.+ = = 
 
Resposta da questão 26: 
 [C] 
 
Lembrando que o gráfico de uma função e o de sua 
inversa são simétricos em relação à reta y x,= se-
gue-se que o gráfico de 1y f (x)−= é o da alternativa 
[C]. 
 
Resposta da questão 27: 
 a) Se p(1) 0,= pode-se escrever: 
p(1) 1 3 a 0 a 2= − + =  = 
 
Para que a matriz A não seja invertível, seu de-
terminante deve ser igual a zero. Assim, pode-se 
escrever: 
( ) ( )3 2
x 1 0
x 1
det A 0 x 1 0 x 3x 2 0 x 1 x x 2
x 2
a 3 x
=
= =  − + =  −  + − 
= −
 
 
 
b) Supondo como raízes do polinômio os números 
 2 bi; 2 bi ; r ,+ − pode-se escrever: 
( )2 bi (2 bi) r 0 r 4+ + − + =  = − 
 
Considerando 4− como raiz, pode-se deduzir o 
valor de a : 
64 12 a 0 a 52− + + =  = 
 
Fazendo o produto das três raízes (Relações de 
Girard), pode-se escrever: 
( ) 22 bi (2 bi) ( 4) 52 4 b 13+  −  − = −  + = 
 
Assim, | z | será: 
2
| z | | 2 bi | 4 b | z | 13= + = +  = 
 
Resposta da questão 28: 
 [A] 
 
O resultado pedido é igual a (5 2) (6 2) 12.−  − = 
 
Resposta da questão 29: 
 [D] 
 
Somando todas as equações do sistema, vem 
x w 6.+ = Logo, somando essa equação à se-
gunda, obtemos x y z w 6 2 8.+ + + = + = 
 
Resposta da questão 30: 
 [C] 
 
Existem (3)
4
4!
P 4
3!
= = modos de obter exatamente 
3 três caras em 4 lançamentos. Por outro lado, 
existem apenas duas maneiras de obter 3 caras 
consecutivamente: ccck e kccc. Em consequência, 
a probabilidade pedida é 
2
,
4
 ou seja, 
1
.
2
 
 
Resposta da questão 31: 
 a) Com os dados do enunciado pode-se escrever: 
3 2 2
1 2 3S S S a a b a b= +  =  +  
Desenvolvendo esta equação, tem-se: 
( )3 2 2 2 2 2 2
22 2
2
2 2 2
a a b ab 0 a a ab b 0 a ab b 0
a ab b a a
0 1 0 r r 1 0
b bb b b
1 5
r (não convém, r 0)
2
1 4 1 ( 1) 5
1 5
r
2
− − =   − − =  − − =
 
− − =  − − =  − − = 
 
−
= 
 = −   −   = 
+
=
 
 
b) Sendo a soma das medidas de todas as arestas 
dos três sólidos igual a 60, pode-se escrever: 
12a 8a 4b 8b 4a 60 24a 12b 60 2a b 5+ + + + =  + =  + = 
 
A soma das áreas dos três sólidos pode ser es-
crita como: 
( ) ( )22 2 2 2 2 2 2T TA 6a 2a 4ab 2b 4ab 8a 8ab 2b 2 4a 4ab b A 2 2a b= + + + + = + + =  + +  =  + 
 
Mas 2a b 5,+ = logo: 
( )
2 2
T TA 2 5 A 50 cm=   = 
 
Resposta da questão 32: 
 [A] 
 
Sejam r e R, respectivamente, o raio da esfera e o 
raio do cilindro. 
 
Sabendo que a relação entre o raio da esfera cir-
cunscrita ao cilindro equilátero e o raio do cilindro é 
r R 2,= temos 
 
3
3
3
3
4
r
2 r 2 4 23 ( 2 ) .
3 R 3 32 R
π
π
 
= = = 
 
 
 
Resposta da questão 33: 
 a) Se a abscissa do ponto P é igual a 1, então 
pela função f (x) dada, P terá coordenadas (1,1). 
Analogamente, se a 2,= então pela função f (x) 
dada, Q terá coordenadas ( 2,1 2 ). Assim, a área 
do quadrilátero T será: 
T T
111 1 1 1 52S 1 1 S
2 2 2 4 4

= + +  = +  = 
 
Calculando o quadrado da distância entre P e Q, 
tem-se: 
( ) ( ) ( )
2 22
PQ PQ PQ
1 551d 1 2 1 1 d d
2 4 4 4
= − + − = +  =  = 
 
b) Seja I o ponto de intersecção entre a reta r e a 
função f (x ). Se sua coordenada y é igual a a 2, 
então, pela função f (x) sua coordenada x será 
2 a. Ou seja, o ponto I tem coordenadas 
( )2 a,a 2 . 
 
Considerando como s a reta que passa por P e 
Q, tem-se que as coordenadas do ponto P são 
(1,1), e do ponto Q são (a, 1 a). O coeficiente an-
gular desta reta será: 
s
1 1 1a
a 1 a
α
−
= = −
−
 
 
Logo, o coeficiente angular da reta r que passa 
pela origem e é ortogonal à reta que contém P e 
Q será igual a r aα = (condição de perpendicu-
laridade). 
 
 
 
Assim, a equação da reta r pode ser escrita 
como: 
y 0 a (x 0)
reta r y ax
− =  −
 =
 
 
Como o ponto I pertence à reta r e tem suas co-
ordenadas ( )2 a, a 2 , pode-se escrever: 
a 2
y ax a a 4
2 a
=  =   = 
 
Resposta da questão 34: 
 [C] 
 
É fácil ver que a circunferência 2 2x y ax by,+ = + in-
tersecta a origem dos eixos cartesianos. Ademais, 
tomando x 0,= obtemos y 0= ou y b.= Por outro 
lado, fazendo y 0,= encontramos x 0= ou x a.= 
Em consequência, podemos afirmar que a resposta 
é 3. 
 
Resposta da questão 35: 
 [A] 
 
Sabendo que calog b c a b,=  = para quaisquer a 
e b reais positivos, e a 1, temos 
 
2
xlog (x 6) 2 x x 6 0 x 3,+ =  − − =  = 
 
que é um número primo. 
 
Resposta da questão 36: 
 [B] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo BCD, 
temos 
 
𝐵𝐷
2
= 𝐵𝐶
2
+ 𝐶𝐷
2
− 2 ⋅ 𝐵𝐶 ⋅ 𝐶𝐷 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝐵 �̂�𝐷 ⇔ 𝐵𝐷
2
= 22 + 22 − 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅
√2
2
 
  ⇒ 𝐵𝐷 =
2√2 − √2𝑐𝑚. 
 
Como AC é bissetriz de 𝐵�̂�𝐷 e 𝐵�̂�𝐷, segue que os 
triângulos retângulos ABE e ADE são congruen-
tes. Logo, podemos concluir que AE 2 2 cm.= − 
 
A resposta é dada por 
 
2
1 1
(ABD) (BCD) BD AE BC CD senBCD
2 2
2 2 2 2 2 1 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 cm .
+ =   +   
−  −
= +   
= − +
=
 
 
Resposta da questão 37: 
 [B] 
 
Tem-se que 
 
2
2
1 ai 1 ai a i a i a i a
z i.
a i a i a i a 1
+ + + + + −
= =  = =
− − + +
 
 
Portanto, o valor de 2016z é 2016 0i i 1.= = 
 
Resposta da questão 38: 
 [D] 
 
Se r e r− são raízes de p, então p(r) p( r ) 0.= − = 
Logo, segue que 3 2r r ar 3 0+ − − = e 
3 2
r r ar 3 0.− + + − = Somando essas equações, ob-
temos 22r 6 0,− = ou seja, 2r 3.= 
 
Por outro lado, sendo α a outra raiz real de p, pe-
las Relações de Girard, vem 
 
1
r ( r ) 1.
1
α α+ − + = −  = − 
 
Em consequência, tem-se 
 
2 2 2
p(x) (x r )(x ) (x 3)(x 1)α= − − = − + 
 
e, portanto, podemos afirmar que p(1) é igual a 
 
2
p(1) (1 3)(1 1) 4.= − + = − 
 
Resposta da questão 39: 
 [D] 
 
Calculando o determinante da matriz A, encontra-
mos 
 
 
 
2 2
cos x 0 sen x
det A 0 1 0 cos x sen x 1.
sen x 0 cos x
−
= = + = 
 
Portanto, como det A 0 para todo x real, segue-
se que A é invertível para todos os valores de x. 
 
Resposta da questão 40: 
 a) Pelo gráfico, pode-se calcular a média de ho-
mens e mulheres: 
hom ens hom ens
mulheres mulheres
4 21 5 22 4 23 1 24 2 25 360
M M 22,5 anos
4 5 4 1 2 16
5 21 2 22 3 23 3 24 1 25 315
M M 22,5 anos
5 2 3 3 1 14
 +  +  +  + 
= =  =
+ + + +
 +  +  +  + 
= =  =
+ + + +
 
 
b) Pelo gráfico, sabe-se que o grupo possui 14 mu-
lheres e 16 homens. Dadas as possibilidades de 
idade, a soma de idades de um homem e uma 
mulher escolhidos ao acaso será 49 somente se 
eles tiverem 24 e 25 anos. 
 
Assim, há de se considerar dois cenários: 
- Mulher com 25 anos e homem com 24 anos 
1
P(M25)
1 1 114
P(C1)
1 14 16 224
P(H24)
16
=
=  =
=
 
 
- Homem com 25 anos e mulher com 24 anos 
3
P(M24)
3 2 614
P(C2)
2 14 16 224
P(H25)
16
=
=  =
=
 
 
Logo, escolhendo ao acaso um homem e uma 
mulher desse grupo, a probabilidade de que a 
soma de suas idades seja igual a 49 anos será: 
1 6 7 1
P(total) P(total)
224 224 224 32
= +  = = 
 
Resposta da questão 41: 
 [A] 
 
Como 7α é o termo médio da progressão aritmé-
tica, segue-se que 778 13α=  e, portanto, temos 
7 6.α = 
 
Resposta da questão 42: 
 [C] 
 
Tem-se que 
 
2 2 2
2x ax 3 x 2x 2 x (a 2)x 1 0.+ + = + +  + − + = 
 
Logo, as parábolas não se intersectam se, e so-
mente se, o discriminante da equação acima for ne-
gativo, isto é, se 
 
2 2
(a 2) 4 1 1 0 (a 2) 4
| a 2 | 2.
− −     − 
 − 
 
 
Resposta da questão 43: 
 
 a) Sabendo que P pertence à reta r, temos 
t
P t, 2 .
2
 
= − 
 
 Além disso, para todo 0 t 4,  o 
triângulo T é retângulo em (t, 0). Em consequên-
cia, segue que 
 
1 t t
A(t) t 2 (t 4).
2 2 4
 
=   − = −  − 
 
 
 
O gráfico da função A é uma parábola com con-
cavidade voltada para baixo, e cujas raízes são 
0 e 4. Além disso, o vértice tem coordenadas 
(2, 1). 
 
 
 
b) As abscissas dos pontos de interseção da reta 
x
y 2
2
= − + com a função 
k
g(x) ,
x
= sendo x 0, 
satisfazem a equação 
 
2x k
2 x 4x 2k 0.
2 x
− + =  − + = 
 
Para que exista um único ponto de interseção, o 
discriminante dessa equação deve ser igual a zero, 
ou seja, 2( 4) 4 1 2k 0,Δ = − −   = o que implica em 
k 2.= 
 
Resposta da questão 44: 
 [B] 
 
Supondo 𝑓,  𝑔,  ℎ: ℝ → ℝ, tais que g(x) f(x 1)= − e 
h 2g(x),= segue-se que o gráfico de g é obtido a 
partir do gráfico de f, mediante uma translação ho-
rizontal de uma unidade no sentido positivo do eixo 
das abscissas. Além disso, o gráfico de h é obtido 
por meio de uma dilatação vertical do gráfico de g 
por um fator igual a 2. Portanto, o gráfico da função 
h é o da alternativa [B]. 
 
Resposta da questão 45: 
 [B] 
 
 
 
Sabendo que 2A I A = e 
1
2A A I ,
−
 = com 2I sendo 
a matriz identidade de segunda ordem, temos 
 
2
1 1
2 2
2
A A A A A
A A A A A
A I I
A I .
− −
=   =
   = 
  =
 =
 
Por conseguinte, segue que a 1= e b 0.= 
 
Resposta da questão 46: 
 [A] 
 
Sendo a b c  números inteiros consecutivos, te-
mos b a 1= + e c a 2.= + Em consequência, da pri-
meira equação do sistema, vem 
 
a 2 (a 1) 3 (a 2) 20 a 2.+  + +  + =  = 
 
Assim, encontramos (x, y, z) (2, 3, 4)= e, portanto, 
temos 7 2 8 3 m 4 26, +  −  = implicando em m 3.= 
 
Resposta da questão 47: 
 [C] 
 
Como a semana tem 7 dias, para garantir que há 
pelo menos três pessoas no mesmo dia da se-
mana, é necessário que haja pelo menos 
2 7 1 15 + = pessoas no grupo. 
 
Resposta da questão 48: 
 [D] 
 
Seja r o raio da esfera. Tem-se que 
 
2
4 r 2 R (R R) r R.π π =   +  = 
 
Resposta da questão 49: 
 [D] 
 
Supondo que 𝑥,  𝑦 ∈ ℝ, temos 
 
|𝑥 − 𝑦| = |𝑥 + 𝑦| ⇔ |
𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + 𝑦
 ou
𝑥 − 𝑦 = −𝑥 − 𝑦
 
   ⇔ |
𝑥 ∈ ℝ e 𝑦 = 0
 ou
𝑥 = 0 e 𝑦 ∈ ℝ
 , 
 
ou seja, a equação representa os eixos cartesia-
nos, cuja interseção é a origem. 
 
Resposta da questão 50: 
 a) Com efeito, temos 
 
x
x
1
f(x) 10 10 .
10
 
= + 
 
 
 
Logo, sabendo que alog ba b,= com a e b reais 
positivos e a 1, vem 
 
( )
10
10
log (2 3 )
10
log (2 3 )
1
f(log (2 3 )) 10 10
10
1
10 2 3
2 3
10 2 3 2 3
40.
+
+
 
+ = + 
 
 
= + + 
+ 
= + + −
=
 
 
Portanto, segue que 𝑓(𝑙𝑜𝑔10( 2 + √3)) = 40 ∈ ℤ. 
 
b) Tem-se que 
 
x
x
2x x
x
10 10
1
f(x) 52 10 10 52
10
5 10 26 10 5 0
26 24
10
10
x log 5 ou x log 5.
 
=  + = 
 
  −  + =

 =
 = = −
 
 
Dado que 10log 2 0,3, vem 
 
10 10 10 10
10
log 5 log log 10 log 2 1 0,3 0,7.
2
 
= = −  − = 
 
 
 
Portanto, os valores de x para os quais f (x) 52= 
são 0,7 e 0,7.− 
 
Resposta da questão 51: 
 a) Sendo a 0, temos 
 
9
f(x)g(x) 0 a(x 3) x 0
2
9
3 x .
2
 
  + −  
 
 −  
 
 
Portanto, segue que x { 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4}, − − ou 
seja, a inequação possui 7 soluções inteiras. 
 
b) Tem-se que 
 
f (g(x)) ag(x) 3a a(9 2x) 3a 2ax 12a= + = − + = − + 
 
e 
 
g(f(x)) 9 2f(x)9 2(ax 3a) 2ax 6a 9.= − = − + = − − + 
 
Logo, vem 
 
 
 
f (g(x)) g(f(x)) 2ax 12a 2ax 6a 9
1
a .
2
=  − + = − − +
 =
 
 
 
Resposta da questão 52: 
 [A] 
 
Há três tipos de quadrados, com 1 2 3  sendo 
os seus lados. É fácil ver que 2 12=  e 
3 1 2 13 .= + =  Portanto, temos 
3 2
3
AB 5
.
3BC
+
= = 
 
Resposta da questão 53: 
 a) Considere a figura. 
 
 
 
Como o círculo e o setor são tangentes interna-
mente, temos AC R,= OB OC r= = e BAO 30 .=  
Logo, segue que AO AC OC R r.= − = − Portanto, 
do triângulo ABO, vem 
 
OB r
senBAO sen 30
R rAO
r 1
R 3
=   =
−
 =
 
 
Em consequência, a razão pedida é igual a 
 
22
2
r r 2
6 .
60 R 3
R
360
π
π
 
=  = 
  


 
 
b) Se R 4r,= então, do triângulo ABO, obtemos 
 
r 1
sen sen .
2 R r 2 3
θ θ
=  =
−
 
 
Por conseguinte, vem 
 
2
2
cos 1 2 sen
2
1
1 2
3
7
.
9
θ
θ = −
 
= −   
 
=
 
 
Resposta da questão 54: 
 [D] 
Elevando os dois membros da igualdade ao qua-
drado, vem 
 
2 2 2 2
(x yi) ( 3 4i ) (x y ) 2xyi 3 4i.+ = +  − + = + 
 
Portanto, temos 2xy 4= se, e somente se, xy 2.= 
 
Resposta da questão 55: 
 a) Tem-se que 2b aq, c aq= = e 3d aq .= Logo, vem 
 
2 3
2 31 1 1 1
p a aq aq aq
q q q q
a a a a
0.
       
− = + − + − + −       
       
= − + −
=
 
 
Por conseguinte, 
1
x
q
= − é uma raiz do polinômio 
p(x). 
 
b) De (a), obtemos 
 
2
3
a c x e a aq x e
.
d b y f y faq aq
          
 =  =         
           
 
 
Sabendo que a 0, q 0 e 𝑞 ∈ ℝ, o sistema terá 
solução única se, e somente se, 
 
2
2 2 5
3
2 2 2
a aq
0 a q a q 0
aq aq
a q(1 q )(1 q ) 0.
  − 
 − + 
 
 
Portanto, além de q 0, deve-se ter q 1.  
 
Resposta da questão 56: 
 [C] 
 
Reescrevendo p(x) sob a forma 
2
p(x) (x a) (x 1),= +  − e sabendo que x 1= é a única 
raiz real de p(x), deve-se ter a 0. 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 57: 
 [C] 
 
Sabemos que a massa de proteína é proporcional 
à quantidade do alimento. Logo, tomando 20 g do 
alimento B, a quantidade do alimento A para que 
as porções sejam isocalóricas é igual a 
80 20 80
g.
60 3

= Desse modo, a massa de proteína 
presente nessa porção do alimento A é 
80 6
8 g
3 20

=

 
e, portanto, segue que o resultado pedido é 
8
8.
1
= 
 
Resposta da questão 58: 
 [B] 
 
O saldo devedor após o pagamento da entrada é 
igual 1000 600 R$ 400,00.− = Portanto, a taxa de ju-
ros aplicada na mensalidade é igual a 
420 400
100% 5%.
400
−
 = 
 
Resposta da questão 59: 
 [B] 
 
Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado 
 da figura. 
 
 
 
É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com 
CD ED.= 
 
Sabendo que BAE 90 ,=  tem-se que o triângulo 
ABE é retângulo isósceles, com BE 2.= Em con-
sequência, sendo ABC 135 ,=  concluímos que o tri-
ângulo ABC é retângulo em B. 
 
Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no tri-
ângulo BCE, encontramos CE 3.= 
 
Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triân-
gulo CDE, vem 
 
2 2 2 1
( 3 ) 2 cos cos
2
120 .
θ θ
θ
= + −     = −
 = 
 
Resposta da questão 60: 
 a) Sejam a, b, c e d, respectivamente, o número 
de multas leves, médias, graves e gravíssimas. 
Queremos determinar as soluções inteiras não 
negativas da equação 3a 4b 5c 7d 13.+ + + = 
 
Observando que a {0, 1, 2, 3}, temos 
 
(a, b, c, d) {(0, 2, 1, 0), (1, 0, 2, 0), (2, 0, 0, 1), (3, 1, 0, 0)}. 
 
b) O resultado pedido é dado por 
 
0,1 1000 53 0,4 1000 86 0,2 1000 128 0,3 1000 192 R$ 122.900,00.  +   +   +   = 
 
Resposta da questão 61: 
 [A] 
 
Como 3 913 10 ton 13 10 g =  e 1200 mL 2 10 L,−=  
segue que o resultado pedido é igual a 
9 1
613 10 2 10
124 10 L.
21
−
  
  
 
Resposta da questão 62: 
 [C] 
 
Sejam x, x r+ e x 2r+ as medidas, em metros, dos 
lados do triângulo, com x, r 0. 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos 
x 3r.= Logo, os lados do triângulo medem 3r, 4r e 
5r. 
 
Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, 
vem 
 
1
3r 4r 5r 6 r .
2
+ + =  = 
 
Portanto, a área do triângulo é igual a 
 
2
23r 4r 1
6 1,5 m .
2 2
  
=  = 
 
 
 
Resposta da questão 63: 
 a) Se a progressão 
2 4 1
, , ,
5 9 2
 
 
 
 é harmônica, 
então a sequência 
5 9
, , 2,
2 4
 
 
 
 é uma progres-
são aritmética de razão 
9 5 1
.
4 2 4
− = − Daí, seu 
sexto termo é dado por 
 
6
5 1 5
a 5 .
2 4 4
 
= +  − = 
 
 
 
 
 
Em consequência, o resultado pedido é 
4
.
5
 
 
b) Sabendo que em toda progressão aritmética 
cada termo é igual à média aritmética do seu an-
tecessor e do seu sucessor (exceto o primeiro e 
o último), tem-se 
 
1 1
1 2 a ca c
b 2 b ac
2ac
b .
a c
+
+
=  =
 =
+
 
 
Resposta da questão 64: 
 a) Se o gráfico de f intersecta o eixo das orde-
nadas em (0, 1), então b 1.= Além disso, como o 
gráfico é tangente ao eixo das abscissas, vem 
 
2
0 a 4 1 1 0
a 2.
Δ =  −   =
 = 
 
 
Portanto, a 2=  e b 1.= 
 
b) Se a b 1 b 1 a,+ =  = − então 2f (x) x ax 1 a.= + + − 
Agora, sem perda de generalidade, tomando a 0= 
e a 1,= obtemos 21f (x) x 1= + e 
2
2f (x) x x,= + res-
pectivamente. Ora, como os gráficos de 1f e de 2f 
possuem um ponto em comum, tem-se 
2 2
x 1 x x x 1.+ = +  = Em consequência, o resul-
tado pedido é (1, 2). 
 
Resposta da questão 65: 
 [D] 
 
Do gráfico, sabemos que g(1) 0= e f (1) 1.= − Logo, 
como f (0) 1= e g( 1) 0,− = obtemos 
 
f (g(1)) g(f (1)) f(0) g( 1)
1 0
1.
− = − −
= −
=
 
 
Resposta da questão 66: 
 [B] 
 
A lei da função q não pode ser q(t) at b,= + pois o 
gráfico de q não é uma reta. Além disso, como o 
ponto (0, 1000) pertence ao gráfico de q, segue-se 
que a lei de q não pode ser 2q(t) at bt= + nem 
bq(t) a log t,= + para quaisquer valores reais de a e 
b. Portanto, a única possibilidade é tq(t) a b .=  
 
Resposta da questão 67: 
 a) O valor de t para o qual se tem h(t) 0,5= é 
 
30,5 0,5 log (t 1) t 0.= + +  = 
 
Para h(t) 1,5,= obtemos 
 
31,5 0,5 log (t 1) t 1 3 t 2.= + +  + =  = 
 
Portanto, serão necessários 2 anos para que a 
altura aumente de 0,5 m para 1,5 m. 
 
b) A lei da função g pode ser escrita sob a forma 
 
3
3
3 3
g(t) h(3t 2)
0,5 log (3t 2 1)
0,5 log 3 (t 1)
0,5 log 3 log (t 1)
1 h(t).
= +
= + + +
= +  +
= + + +
= +
 
 
Por conseguinte, 
 
g(t) h(t) 1 h(t) h(t) 1,− = + − = 
 
para todo t 0. 
 
Resposta da questão 68: 
 a) A lei da função c é dada por 
 
20, se 0 x 10
c(x)
(x 10) 4 20, se x 10
20, se 0 x 10
.
4x 20, se x 10
 
= 
−  + 
 
= 
− 
 
 
Logo, o gráfico de c, para 0 x 30,  é 
 
 
 
b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos 
de água, o preço efetivamente pago por metro 
cúbico é dado por 
 
c(4) 20
R$ 5,00.
4 4
= = 
 
 
 
Para um consumo mensal de 25 metros cúbicos 
de água, o preço efetivamente pago por metro 
cúbico é dado por 
 
c(25) 4 25 20
R$ 3,20.
25 25
 −
= = 
 
Resposta da questão 69: 
 [B] 
 
Temos 
 
2 2
2
1 a 1
detM b 1 a
1 b 1
1 a b 1 ab ab
(a b) .
=
= + + − − −
= −
 
 
Logo, sabendo que a b (o que implica em M não 
ser simétrica), tem-se 2(a b) 0−  para quaisquer a 
e b reais distintos, ou seja, o determinante de M é 
positivo. Em consequência, M é invertível. 
 
Resposta da questão 70: 
 a) Se tA A,= − então A é antissimétrica. Logo, 
deve-se ter a 0,= b 2= e c 1.= − 
 
b) Se a 1= e b 1,= − a matriz ampliada do sistema 
x 1
A y 1
z d
   
   
=   
   
   
 é 
1 1 1 1
1 0 1 1 .
c 2 0 d
 
 
− − 
 − 
 Logo, efetuando 
as operações elementares sobre essa matriz, 
obtemos a matriz equivalente 
 
1 1 1 1
0 1 0 2 .
0 0 c c d 4
 
 
 
 − + + 
 
 
Por conseguinte, o sistema possui infinitas solu-
ções se c0= e d 4.= − 
 
Resposta da questão 71: 
 a) Podemos sortear três números distintos entre 
doze possíveis de 
12 12!
220
3 3! 9!
 
= = 
 
 maneiras. 
Portanto, a probabilidade pedida é 
1
.
220
 
 
b) Uma aposta em cinco números corresponde a 
5 5!
10
3 3! 2!
 
= = 
 
 apostas de três números. Em con-
sequência, uma aposta em cinco números deveria 
custar 2 10 R$ 20,00. = 
Resposta da questão 72: 
 [B] 
 
Sejam x, y e n, respectivamente, o número de cé-
dulas de 20 reais, o número de cédulas de 50 re-
ais e o número total de cédulas, isto é, n x y.= + 
Logo, para um saque de 400 reais, temos: 
 
20x 50y 400
5n 40 3x
n x y
.0 x 20
0 x 20
0 y 8
0 y 8
+ =
= +
= +
  
 
 
 
 
 
Como 40 3x+ é um múltiplo de 5, por inspeção, 
encontramos 
 
𝛺 = {(𝑥,   𝑦) ∈
ℕ2; (0,  8), (5,  6), (10,  4), (15,  2), (20,  0)}. 
 
Portanto, como os únicos casos favoráveis são 
(5, 6) e (15, 2), segue-se que a probabilidade pe-
dida é igual a 
2
.
5
 
 
Resposta da questão 73: 
 [A] 
 
Sejam V, r e h, respectivamente, o volume, o raio 
da base e a altura do cilindro. Logo, como 
2
V r h,π=   segue-se que a variação percentual 
pedida é dada por 
 
2
2
2
r
2h r h
2
100% 50%,
r h
π π
π
 
  −   
 
 = −
 
 
 
isto é, houve uma redução de 50% no volume do 
cilindro. 
 
Resposta da questão 74: 
 a) Considere a figura, em que V é o vértice da 
pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto 
médio da aresta PQ. 
 
 
 
 
 
Se a área da face VPQ é igual a 215 m , então 
 
VM PQ
15 VM 6 15 2
2
VM 5 m.

=   = 
 =
 
 
Portanto, como OM 3 m,= segue-se que 
a VO 4 m.= = 
 
b) Seja R o raio da esfera. 
 
A área do triângulo VSQ é dada por 
 
2
SQ VO
(VSQ)
2
6 2 2
2
6 2 m .

=

=
=
 
 
Sabendo que 
QS
OQ 3 2,
2
= = pelo Teorema de 
Pitágoras aplicado ao triângulo VOQ, obtemos 
 
2 2 2 2 2 2
2 2
VQ VO OQ VQ 2 (3 2 )
VQ 22 m .
= +  = +
 =
 
 
Portanto, como os pontos V, S e Q pertencem a 
um círculo máximo da esfera e VS VQ,= tem-se 
 
VS VQ QS 22 6 2
(VSQ) 6 2
4 R 4R
11
R m.
2
  
=  =
 =
 
 
Resposta da questão 75: 
 [D] 
 
A equação segmentária da reta AB é 
 
x y
2x 3y 12 1.
6 4
− =  + =
−
 
 
Desse modo, como A (6, 0)= e B (0, 4),= − segue-
se que o ponto médio do segmento AB tem coor-
denadas 
 
6 0 0 ( 4)
, (3, 2).
2 2
+ + − 
= − 
 
 
 
Resposta da questão 76: 
 a) O lugar geométrico pedido é a mediatriz do 
segmento de reta AB. Logo, como o ponto médio 
de AB é 
1 3
,
2 2
 
 
 
 e o coeficiente angular da reta 
AB é 
1
,
3
 segue-se que a equação da mediatriz 
de AB é dada por 
 
3 1
y 3 x 3x y 3 0.
2 2
 
− = − −  + − = 
 
 
 
b) Se C pertence ao semieixo negativo das orde-
nadas, então C (0, ),α= com 0.α  
 
Sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 
8, temos 
 
1 2 0 11
8 16 | 2 2 2 |
1 2 12
| 3 4 | 16
20
 ou 4.
3
α α
α
α
α α
− −
=   = − + − +
 − =
 = = −
 
 
Porém, sendo 0,α  só pode ser 4.α = − 
 
Resposta da questão 77: 
 a) Considere a figura. 
 
 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos 
ABC, ACD, ADE e AEF, vem 
 
2 2 2 2 2
AC AB BC 1 1 2,= + = + = 
 
2 2 2 2
AD AC CD 2 1 3,= + = + = 
 
2 2 2 2
AE AD DE 3 1 4= + = + = 
 
 e 
 
2 2 2 2 2
AF AE EF x 4 1
x 5 cm.
= +  = +
 =
 
 
b) É imediato que 𝐵�̂�𝐶 = 45°. 
 
 
 
Do triângulo ACD, temos 
 
𝑡𝑔 𝐶 �̂�𝐷 =
𝐶𝐷
𝐴𝐶
⇔ 𝐶�̂�𝐷 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1
√2
< 45°. 
 
Do triângulo ADE, vem 
 
𝑡𝑔𝐷 �̂� 𝐸 =
𝐷𝐸
𝐴𝐷
⇔ 𝐷 �̂� 𝐸 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1
√3
= 30°. 
 
Do triângulo AEF, segue 
 
𝑡𝑔𝐸 �̂� 𝐹 =
𝐸𝐹
𝐴𝐸
⇔ 𝐸 �̂� 𝐹 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1
√4
< 30°. 
 
Portanto, tem-se 
 
BAC CAD DAE EAF
45 45 30 30
150 .
α = + + +
  +  +  + 
= 
 
 
Resposta da questão 78: 
 a) Fatorando p(x), obtemos 
 
3 2
2
2
p(x) x 2x 9x 18
x (x 2) 9(x 2)
(x 2)(x 9).
= − − +
= − − −
= − −
 
 
Portanto, r 3= e s 2.= 
 
b) Se z 1 i,= + então 2 2z (1 i) 2i.= + = Logo, 
 
2
p(z) (1 i 2)(2i 9)
2i 9i 2i 9
7 11i.
= + − −
= − − +
= −
 
 
Resposta da questão 79: [A] 
 
Como 4 2 2 2i (i ) ( 1) 1,= = − = vem 
 
2014 1987
4 503 2 4 496 3
4 503 2 4 496 3
z i i
i i
(i ) i (i ) i
1 i.
 +  +
= −
= −
=  − 
= − +
 
 
Portanto, 
 
2 2
| z | | 1 i | ( 1) 1 2.= − + = − + = 
 
Resposta da questão 80: 
 a) Sejam hp 90kg= e mp 65kg,= respectiva-
mente, o peso médio dos homens e o peso 
médio das mulheres. Logo, 
 
h
hh
S
p S 90h
h
=  = 
 
e 
 
m
mm
S
p S 65(100 h),
100 h
=  = −
−
 
 
sendo h o número de homens, hS a soma dos 
pesos dos homens e mS a soma dos pesos das 
mulheres. 
 
Portanto, como o peso médio dos 100 alunos é 
igual a 75 kg, temos 
 
90h 65(100 h)
75 18h 13(100 h) 1500
100
h 40.
+ −
=  + − =
 =
 
 
b) Suponhamos que 91 92 100x , x , , x sejam os pe-
sos dos 10 alunos mais pesados. Logo, se 90x 
denota o peso médio dos outros 90 alunos, te-
mos 
 
90
90 90
90
S
x S 72 90
90
S 6480.
=  = 
 =
 
 
Seja 10 91 92 100S x x x .= + + + Daí, como 
100S 75 100 7500,=  = vem 
 
10 100 90S S S
7500 6480
1020.
= −
= −
=
 
 
Portanto, o resultado pedido é 
 
10
10 10
10
S 1020
x x
10 10
x 102 kg.
=  =
 =
 
 
Resposta da questão 81: [C] 
 
Se x é a idade de Pedro, e a soma das duas idades 
é igual a 55 anos, então a idade do pai de Pedro é 
igual a 55 x.− 
 
Portanto, sabendo que a razão entre as idades é 
igual a 
2
,
9
 obtemos 
 
 
 
x 2
11x 110 x 10.
55 x 9
=  =  =
−
 
 
Resposta da questão 82: [C] 
 
Sabendo que 
sen x
tg x ,
cos x
= com x k
2
π
π + e 
2 2
cos x 1 sen x,= − vem 
 
2
2
2
sen x
cos x tg x cos x
cos x
cos x sen x
sen x sen x 1
11
1sen x
42
1 5
sen x
2 2
5 1
sen x .
2
=  =
 =
 + =
 
 − =+ 
 
 + = 
−
 =
 
 
Resposta da questão 83: 
 a) O resultado pedido é 6(1 0,53) 1,5 10 705.000−   = 
pizzas. 
 
b) O número de pizzas de mozarela e calabresa 
consumidas diariamente no Estado de São Paulo é 
igual a 60,53 (0,35 0,25) 1,5 10 477.000. +   = 
 
Resposta da questão 84: [A] 
 
Seja 
a
b
 
 
 
 o quociente da divisão de a por b, com 
a, b e [
𝑎
𝑏
] ∈ ℕ∗. 
 
Nos dois primeiros meses, o investidor comprou 
200 200
22 28 50
9 7
   
+ = + =
   
  
 ações, ao custo total 
de 22 9 28 7 198 196 R$ 394,00. +  = + = Portanto, 
vendendo essas ações ao preço unitário de 
R$ 8,00, segue-se que o investidor teve um lucro de 
8 50 394 R$ 6,00. − = 
 
Observação: Note que é indiferente o fato do in-
vestidor comprar ou não ações no terceiro 
 
 
 
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