Aula 04 - Projeto de Compensador PD pelo Método do Lugar das Raízes

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SISTEMAS DE CONTROLE 2
Projeto de Compensador PD
pelo Método do Lugar das Raízes
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), Campus Pato Branco
Departamento de Elétrica
Prof. Dr. Rafael Cardoso
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Objetivo
 Uso do controlador PD.
 Circuito para implementação.
 Metodologia de projeto.
 Exemplo de projeto.
 Simulações.
 Ruído vs controlador PD.
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R(s) Y(s)
Uso do Compensador PD
Considere o sistema abaixo:
Planta a ser controladaControlador a ser projetado
 A compensação PD é útil quando:
 Deseja-se melhorar a resposta transitória de um sistema (resposta com sobressinal desejado e 
tempo de acomodação menor que o sistema sem compensação).
 Especificações típicas: 
 Sobressinal: Mp
 Tempo de pico: tp
 Tempo de subida: tr
 Tempo de acomodação: ts
𝜁, 𝜔𝑛 dos polos dominantes de MF.
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Uso do Compensador PD
A definição de 𝜁, 𝜔𝑛 estabelece os polos de MF dominantes. 
ζ = cos(𝛽)s1
𝑠1 = −𝜎 + 𝑗𝜔𝑑 𝜎 = 𝜁𝜔𝑛
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 1 − 𝜁
2
Relações úteis:
𝑀𝑝 = 𝑒
−
𝜁𝜋
1−𝜁2
𝑡𝑠(2%) =
4
𝜁𝜔𝑛
𝑡𝑟 =
𝜋 − 𝛽
𝜔𝑑
𝑡𝑝 =
𝜋
𝜔𝑑
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Circuito para Implementação
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e
Função de Transferência do Circuito
𝑍1(𝑠)
𝑍2(𝑠)
𝑍3(𝑠)
𝑍4(𝑠)
𝐺𝑐 𝑠 =
𝐸0(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
𝐸(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
𝐸0(𝑠)
𝐸(𝑠)
𝐸(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
= −
𝑍2(𝑠)
𝑍1(𝑠)
𝐸0(𝑠)
𝐸(𝑠)
= −
𝑍4(𝑠)
𝑍3(𝑠)
𝑍1 𝑠 =
1
𝑠𝐶1
𝑅1
1
𝑠𝐶1
+𝑅1
=
𝑅1
𝑅1𝐶1𝑠 + 1
𝑍2 𝑠 = 𝑅2
𝐸(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
= −
𝑅2
𝑅1
𝑅1𝐶1𝑠 + 1
𝐸0(𝑠)
𝐸(𝑠)
= −
𝑅4
𝑅3
𝐺𝑐 𝑠 =
𝑅2𝑅4
𝑅1𝑅3
𝑅1𝐶1𝑠 + 1 =
𝑅2𝑅4𝐶1
𝑅3
𝑠 +
1
𝑅1𝐶1
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Função de Transferência do Circuito
𝐺𝑐 𝑠 =
𝑅2𝑅4
𝑅1𝑅3
𝑅1𝐶1𝑠 + 1 =
𝑅2𝑅4𝐶1
𝑅3
𝑠 +
1
𝑅1𝐶1
𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 𝑇𝑑𝑠 + 1 = 𝐾𝑝𝑇𝑑 𝑠 +
1
𝑇𝑑
A função de transferência do controlador é:
Que pode ser escrita nas seguintes formas:
Por comparação:
𝑇𝑑 = 𝑅1𝐶1 𝐾𝑝𝑇𝑑 =
𝑅2𝑅4𝐶1
𝑅3
𝐾𝑝 =
𝑅2𝑅4
𝑅1𝑅3
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Metodologia de Projeto
1. A partir das especificações de desempenho, determine a posição desejada dos polos de 
malha fechada dominantes.
2. Através do método do lugar das raízes, verifica-se se os polos podem ser alocados 
modificando-se o ganho K de um controlador proporcional. Caso contrário, calcula-se a 
deficiência angular 𝜙 que será inserida pelo compensador.
3. Assuma que 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 𝑇𝑑𝑠 + 1 = 𝐾𝑝𝑇𝑑 𝑠 +
1
𝑇𝑑
. O parâmetro𝑇𝑑 é determinado a 
partir de 𝜙. O ganho 𝐾𝑝 é obtido através do requisito de magnitude do lugar das raízes.
4. Determine o zero tal que o compensador PD contribua com o ângulo 𝜙.
5. Determine o ganho de MA do sistema compensado a partir da condição de magnitude do 
lugar das raízes.
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Exemplo de Projeto
1) Considere uma planta 𝐺 𝑠 =
4
𝑠(𝑠+2)
, em malha fechada, como mostrado 
abaixo:
A função de transferência de malha fechada do sistema é:
𝐺𝑀𝐹 𝑠 =
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
Os polos de malha-fechada são: 𝑠1,2 = −1 ± 𝑗 3
Logo, o coeficiente de amortecimento e a frequência natural do sistema em malha 
fechada são:
𝜁 = 0,5 𝜔𝑛 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠
=
4
𝑠2 + 2𝑠 + 4
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Exemplo de Projeto
A resposta ao degrau do sistema em malha fechada é:
Deseja-se que o sistema em malha fechada tenha sobressinal de, no máximo, 
16,3% e tempo de acomodação de, no máximo, 2 s.
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Exemplo de Projeto
Resolução:
1) A partir das especificações de desempenho, determinar os polos de malha 
fechada dominantes:
𝑀𝑝 ≤ 0,163
𝑡𝑠 ≤ 2 𝑠
𝜁 = 0,5
𝜔𝑛 = 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑀𝑝 = 𝑒
−
𝜁𝜋
1−𝜁2
𝑡𝑠 =
4
𝜁𝜔𝑛
s1 𝑠1,2 = −𝜎 ± 𝑗𝜔𝑑
𝑠1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛 1 − 𝜁
2
ζ = cos(𝛽)
𝑠1,2 = −2 ± 𝑗2 3
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Exemplo de Projeto
2) Verificar se os polos desejados fazem parte do lugar das raízes do sistema G(s):
ቚ∠𝐺(𝑠)
𝑠=𝑠1
= ቤ∠
4
𝑠(𝑠 + 2)
𝑠=−2+𝑗2 3
Para que um polo faça parte do lugar das raízes:
ቚ∠𝐺(𝑠)
𝑠=𝑠1
= ±(2𝑘 + 1)180°
Logo, o compensador deve inserir o ângulo:
𝜙 = −180° − (−210°) = 30°
= −210°
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Exemplo de Projeto
4) Determine o zero para que o compensador introduza o ângulo 𝜙 = 30°.
𝜎
𝑗𝜔
XX
2 3
−2
𝑠1
O
a) O zero do compensador estará sobre o eixo 𝜎
de acordo com a geometria da figura, onde: 
𝜙 = 𝜃𝑧
𝜙 = 𝜃𝑧
𝑥
tan 𝜙 =
2 3
𝑥
𝑥 =
2 3
tan 30°
= 6
Logo, o zero do compensador é -8 e o
compensador tem a forma:
𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑑 𝑠 +
1
𝑇𝑑
= 𝐾𝑝𝑇𝑑 𝑠 + 8
𝑇𝑑 =
1
8
= 0,125
𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 ∙ 0,125 𝑠 + 8
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Exemplo de Projeto
5) Determine o ganho 𝐾𝑐 do compensador, através da condição de magnitude do 
lugar das raízes:
R(s) Y(s)
𝐺𝑐 𝑠 𝐺(𝑠) 𝑠=𝑠1 = 1
𝐾𝑝 ∙ 0,125 𝑠 + 8
4
𝑠(𝑠 + 2)
𝑠=−2+𝑗2 3
= 1
𝐾𝑝 = 4
Logo, o compensador é: 𝐺𝑐 𝑠 = 0,5 𝑠 + 8
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Exemplo de Projeto
Sistema compensado:
R(s) Y(s)
Onde:
𝐺 𝑠 =
4
𝑠(𝑠 + 2)
Função de transferência de MF:
𝐺𝑚𝑓𝑐 𝑠 =
𝐺𝑐 𝑠 𝐺(𝑠)
1 + 𝐺𝑐 𝑠 𝐺(𝑠)
Polos de MF:
𝑠1,2 = −2 ± 𝑗2 3
=
2𝑠 + 16
𝑠2 + 4𝑠 + 16
𝐺𝑐 𝑠 = 0,5 𝑠 + 8
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Exemplo de Projeto
Lugar das raízes do sistema compensado:
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Simulação - Matlab
%Planta
num=4;
den=[1 2 0];
G=tf(num,den);
%Planta sem compensação em malha fechada
Gmf=feedback(G,1);
%Compensador
numc=0.5*[1 8];
denc=1;
Gc=tf(numc,denc);
%Planta com compensação em malha fechada
Gmfc=feedback(Gc*G,1);
%Resposta ao degrau
step(Gmf);
hold;
step(Gmfc);
legend('Sem compensação', 'Com compensação');
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Simulação - Python
#As próximas 3 linhas são para selecionar entre plot inline ou em nova janela
#Útil para rlocus
from IPython import get_ipython
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'qt')
#get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')
import numpy as np #Biblioteca para cálculo numérico
import math #Funções matemáticas
import matplotlib.pyplot as plt # Funções de plot similares as do MATLAB
import control as ctrl # Biblioteca para Controle
from control.matlab import * # Funções para Controle similares as do MATLAB
#Planta
num=[4]
den=[1,2,0]
G=tf(num,den)
print(G)
#Planta sem compensação em malha fechada
Gmf=feedback(G,1)
#Compensador
numc=[0.5, 4] #0.5*[1, 8]
denc=1
Gc=tf(numc,denc)
print(Gc)
#Planta com compensação em malha fechada
Gmfc=feedback(Gc*G,1)
#Resposta ao degrau
t=np.linspace(0,6,1000)
y1, t1 = step(Gmf,t)
y2, t2 = step(Gmfc,t)
plt.figure()
plt.plot(t1,y1,t2,y2)
plt.legend(('Gmf','Gmfc'))
plt.xlabel('t(s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid()
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Exemplo de Projeto
Verificação do projeto por simulação:
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Exemplo de Projeto
Determinação dos componentes do circuito do compensador:
𝐺𝑐 𝑠 = 0,5 𝑠 + 8 = 𝐾𝑝𝑇𝑑 𝑠 +
1
𝑇𝑑
1
𝑇𝑑
= 8 𝐾𝑝𝑇𝑑 = 0,5 𝐾𝑝 = 4𝑇𝑑 = 0,125
Temos um sistema com 2 equações e 5 incógnitas. 
Para resolvê-lo, vamos atribuir o valor de 3 
incógnitas.
𝑇𝑑 = 𝑅1𝐶1 𝐾𝑝𝑇𝑑 =
𝑅2𝑅4𝐶1
𝑅3
𝐾𝑝 =
𝑅2𝑅4
𝑅1𝑅3
൞
𝑅1𝐶1 = 0,125
𝑅2𝑅4𝐶1
𝑅3
= 0,5
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Exemplo de Projeto
Atribuindo: 
De onde: 
𝐶1 = 5 𝜇𝐹 𝑅2 = 50 𝑘Ω
𝑅1 = 25 𝑘Ω
𝑅4 = 50 𝑘Ω
൞
𝑅1𝐶1 = 0,125
𝑅2𝑅4𝐶1
𝑅3
= 0,5
൞
𝑅1 ∙ 5 ∙ 10
−6 = 0,125
𝑅4 ∙ 50 ∙ 10
3 ∙ 5 ∙ 10−6
25 ∙ 103
= 0,5
𝑅3 = 25 𝑘Ω
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Exemplo de Projeto
Circuito para implementação:
𝐶1 = 5 𝜇𝐹
𝑅3 = 25 𝑘Ω
𝑅1 = 25 𝑘Ω
𝑅2 = 50 𝑘Ω
𝑅4 = 50 𝑘Ω
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Ruídos na Ação Derivativa
 Como o controlador PD tem uma parcela que deriva o erro de rastreamento da referência, variações 
abruptas de referência e ruídos no sinal medido podem gerar ações de controle muito elevadas.
 Esses ruídos são, geralmente, em alta frequência.
S
a
íd
a
A
çã
o
 d
e
C
o
nt
ro
le
t (s)
S
a
íd
a
A
çã
o
 d
e
C
o
nt
role
t (s)
S
a
íd
a
t (s)
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Ruídos na Ação Derivativa
 Caso deseje-se reduzir o impacto desses ruídos, pode-se adicionar um filtro passa-baixas com 
frequência de corte acima da frequência do zero do compensador.
 Para o PD em estudo:
𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 𝑇𝑑𝑠 + 1 = 𝐾𝑝𝑇𝑑 𝑠 +
1
𝑇𝑑
= 𝐾 𝑠 + 𝑧
𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾
𝑠 + 𝑧
𝑠 + 𝑝
, 𝑝 > 𝑧 Compensador de avanço.
𝐺𝑐 𝑠 = 0,5 𝑠 + 8 = 𝐾 𝑠 + 𝑧
𝐺𝑐 𝑠 ≈ 𝐺𝑎𝑣 𝑠 =
200 ∙ 0,5 𝑠 + 8
𝑠 + 200
=
100 𝑠 + 8
𝑠 + 200
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Comparação PD x Avanço sem Ruído 
de Medida
Compensador Ângulo L.G.R. Polos de MF
𝐺𝑐 𝑠 = 0,5 𝑠 + 8 ∠ ቚ0,5 𝑠 + 8 𝑠=−2+𝑗2 3
= 30𝑜 𝑠1,2 = −2 ± 𝑗3,46
𝐺𝑐 𝑠 ≈ 𝐺𝑎𝑣 𝑠 =
100 𝑠 + 8
𝑠 + 200
∠ ቤ
100 𝑠 + 8
𝑠 + 200
𝑠=−2+𝑗2 3
= 29𝑜 𝑠1,2 = −1,98 ± 𝑗3,5
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Comparação PD x Avanço com Ruído 
de Medida
𝐺𝑐1 𝑠 = 0,5 𝑠 + 8 𝐺𝑐2 𝑠 =
100 𝑠 + 8
𝑠 + 200
𝐺𝑐3 𝑠 =
4 𝑠 + 2
𝑠 + 4
A
çã
o
 d
e
 C
o
nt
ro
le
t (s)
S
a
íd
a
t (s)