Atividade 02 - 10 de 10

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29/03/2021 GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-14901.01
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_TEST_PLAYER&COURSE_ID=_67… 1/6
Usuário JEFFERSON GOMES LIRA
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -
202110.ead-14901.01
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 14/03/21 16:21
Enviado 29/03/21 21:40
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 365 horas, 19 minutos
Resultados
exibidos
Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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da resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal
a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular
à curva de nível   que passa por um P, para determinar a equação de
um plano tangente à função   no ponto P, precisamos conhecer o vetor
gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente
pode ser escrita como  . 
 A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação
do plano tangente à função   no ponto P(1,-1).
 
   
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função 
 são:   e  .  Calculando o valor da função e suas
derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos:  ,   e
. Assim, trocando essas informações na equação do plano
 obtemos 
 
.
Pergunta 2
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada
etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada regra da
cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as
variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente.
Sabemos que podemos escrever  . Se   e 
  e  .
 
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Comentário
da resposta:
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
  
As variáveis   e   são as variáveis independentes.
As variáveis e são as variáveis independentes.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável   depende
das variáveis   e  , pois  . No entanto, as variáveis   e   dependem
das variáveis   e   e essas últimas não possuem dependência de nenhuma
outra variável. Dessa forma, concluímos que as variáveis   e   são as variáveis
independentes.
Pergunta 3
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Comentário
da resposta:
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a
direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de
maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma
unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior
decrescimento da função. 
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da
função   no ponto P(1,2).
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é
. Precisamos então determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais da função  , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
 -                             
 
-                            
 
-                   
 
  
 A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é
. 
 
Assim, a direção de maior crescimento é  .
Pergunta 4
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de
aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um
ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de
uma placa retangular é determinada por meio da função  . 
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Resposta
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Comentário
da resposta:
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no
ponto   na direção do vetor  .
 
 
  
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93
unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93
unidades.
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e
seu vetor gradiente são:  ,   e  .
Assim, dado o ponto (3,4), temos  . O vetor   é
unitário, então a derivada direcional irá nos fornecer a taxa de variação
desejada:  .
Pergunta 5
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Comentário
da resposta:
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais
rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é
definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a
densidade  , medida em  , em todos os pontos de uma placa
retangular no plano   dada por  , assinale a alternativa que
corresponde à taxa máxima de aumento da densidade   no ponto  .
 
   
A taxa máxima de aumento da densidade é  .
A taxa máxima de aumento da densidade é .
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da
densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no
ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é
 e sua norma é  , concluímos
que a taxa máxima de aumento da densidade é  .
Pergunta 6
As derivadas parciais com relação a   e a   fornecem em cada uma delas a
inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis   quando
fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é
possível, também, determinar a derivada da função   com relação a
qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde
que essa direção seja fornecida por um vetor unitário. 
 
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Comentário
da resposta:
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser
expressa por  . Assinale a alternativa que corresponde à
derivada direcional da função   no ponto   na direção do vetor
 .
 
   
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função 
 são:   e  , que implicam que o vetor gradiente seja
. Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que
. Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor
unitário, assim, tome  . Logo, a derivada
direcional procurada é  .
Pergunta 7
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Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um
software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro
recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento
da função é o conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
  
  
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço  .
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas
variáveis é um conjunto de pontos do espaço  , para poder visualizar uma
representação geométrica da função no plano   recorremos ao uso das
curvas de nível, que são curvas planas do plano  . Portanto, uma curva de
nível é um subconjunto do plano  .
Pergunta 8
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem
trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido.
Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores
que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções
quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que nãozeraram o
denominador. 
 
1 em 1 pontos
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Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função   é o conjunto
 .
 II - O domínio da função   é o conjunto
 .
 III - O domínio da função   é o conjunto 
 .
 IV - O domínio da função   é o conjunto
 .
 
  
   
   
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada
função, concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função   é o
conjunto  . 
 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função   é o conjunto
.
Pergunta 9
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto
é, dada a função   o vetor gradiente é o vetor  .
Dado um ponto  , o vetor gradiente da função   no ponto P é obtido por
meio da seguinte expressão  . 
 
 Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função
  no ponto  .
 
   
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as
derivadas parciais da função: 
- Derivada de   em relação a   (a variável   é vista como constante):
 
 
- Derivada de   em relação a   (a variável   é vista como constante): 
. 
 
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Segunda-feira, 29 de Março de 2021 21h41min59s BRT
Calculando as derivadas parciais no ponto  , temos   e
. Logo, o vetor gradiente é  .
Pergunta 10
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Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Suponha que   seja uma função diferenciável de   e  , tal que  .
No entanto,   e   são funções de   expressas por   e  .
Para se obter a derivada de   com relação a variável   devemos fazer uso da
regra da cadeia. 
 Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à
derivada de   em relação a  , isto é,  , para quando  .
 
 
   
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que
, onde  . Assim,
. Dado que  , temos
.
1 em 1 pontos