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CÁLCULO: LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL E DERIVADAS Mariana Sacrini Ayres Ferraz Derivadas de funções trigonométricas Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: � Calcular derivadas de funções trigonométricas. � Definir derivadas de funções trigonométricas inversas. � Resolver problemas aplicados envolvendo derivadas trigonométricas e trigonométricas inversas. Introdução Derivadas são muito úteis para a avaliação de problemas reais, principal- mente os que envolvem taxa de variações. Dentre eles, muitos variam periodicamente, como as funções trigonométricas. Neste capítulo, você verá como derivar as funções trigonométricas e as funções trigonométricas inversas, além de alguns problemas aplicados. Derivadas das funções trigonométricas Nesta seção, você verá sobre as derivadas das funções trigonométricas. Ini- cialmente, será feita uma breve revisão sobre essas funções. Suponha que x seja um número real, ao qual se pode associar um ângulo no ciclo trigonométrico com medida em radianos. Assim, temos as funções (ADAMI; DORNELLES FILHO, LORANDI, 2015): � função seno: f (x)= sen (x); � função cosseno: f (x) = cos (x); � função tangente: f (x)= tg (x); � função cossecante: ; � função secante: ; � função cotangente: . A Figura 1, a seguir, mostra os gráficos das funções trigonométricas de- finidas acima dentro do intervalo [0,2π]. Figura 1. Gráficos das funções trigonométricas no intervalo [0,2π]. (a) f(x) = sen(x); (b) f(x) = cos(x); (c) f(x) = tg(x); (d) f(x) cossec(x); (e) g(x) = sec(x); (f) h(x) = cotg(x). Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandi (2015). f(x ) 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 x x g( x) 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 x h( x) 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 (a) (b) (c) (d) (e) (f ) Derivadas de funções trigonométricas2 Lembre-se de que podemos transformar radianos em graus, usando a relação π rad =180º. Os valores das funções trigonométricas para alguns ângulos estão mostrados na Figura 2. Figura 2. Valores das funções trigonométricas de alguns ângulos. Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, apêndice B6). As funções trigonométricas também apresentam funções inversas. Para encontrar a função inversa das funções trigonométricas, você deve imaginar uma função que “desfaça” o efeito da função. Por exemplo, a função inversa da função seno seria aquela que resulta no ângulo referente ao valor do seno. Ou seja, e . A seguir, estão as definições das funções trigonométricas inversas (ADAMI; DORNELLES FILHO, LORANDI, 2015): � função arco-seno: f-1 (x) = arcsen(x) ou f-1 (x) = sen-1 (x), no intervalo ; � função arco-cosseno: f-1 (x) = arccos(x) ou f-1 (x) = cos-1 (x), no intervalo [0, π]; � função arco-tangente: f-1 (x) = arctg(x) ou f-1 (x) = tg-1 (x), no intervalo ; � função arco-cotangente: f-1(x) = arccotg(x) ou f-1 (x) = cotg-1 (x), no intervalo [0, π]; � função arco-secante: f-1 (x)= arcsec(x) ou f-1 (x) = sec-1 (x), no intervalo ; 3Derivadas de funções trigonométricas � função arco-cossecante: f-1 (x)= arccossec(x) ou f-1 (x) = cossec-1 (x), no intervalo ; � f-1 (x) = arccossec(x) ou f-1 (x) = cossec-1 (x), no intervalo . Agora, passaremos ao estudo das derivadas das funções trigonométricas. Considere que x seja dado em radianos. Primeiramente, vamos relembrar dois teoremas: 1. ; 2. . Suponha a função f(x) = sen(x). Você pode encontrar a derivada da função f '(x) usando a definição de derivada (ANTON; BIVENS, DAVIS, 2014). Assim, temos que: Derivadas de funções trigonométricas4 Ou seja: Você pode usar a mesma metodologia aplicada para obter a derivada do seno para encontrar a derivada do cosseno (não mostrado aqui), que é dada por: Encontre a derivada em relação a x da seguinte função y = x cos(x). Para resolvermos essa questão, usaremos a regra do produto. Assim, a derivada de y é dada por: As derivadas das outras funções trigonométricas podem ser encontradas usando, também, a definição de derivada ou as derivadas já encontradas de seno e cosseno. Por exemplo, a derivada da tangente é: 5Derivadas de funções trigonométricas Portanto: A seguir, está o resumo das derivadas das funções trigonométricas: � ; � ; � ; � ; � ; � . Derivadas de funções trigonométricas6 Derivadas das funções trigonométricas inversas As funções inversas também apresentam derivadas. Para encontrá-las, podemos usar o seguinte teorema (STEWART, 2008): se f é uma função diferenciável, com inversa f-1 e f' ( f-1 (a))≠0, então a função inversa é diferenciável em a e Para mais detalhes e demonstrações, ver Stewart (2008). Como consequên- cia desse teorema, podemos escrever: Vamos ver um exemplo. Considere a função sen(y) = x e , com inversa y = sen-1 (x). Podemos escrever: Temos, então, que x = sen(y). Derivando em relação a y, encontramos: Mas, sabemos que cos2 (y) + sen2 (y) = 1, assim, podemos escrever: Ou seja, 7Derivadas de funções trigonométricas Substituindo, encontramos: com – 1< x < 1. Podemos encontrar as derivadas para as outras funções inversas trigo- nométricas da mesma maneira que mostrado para a função inversa do seno. A Figura 3, a seguir, mostra as derivadas das funções trigonométricas inversas. Figura 3. Derivadas das funções trigonométricas inversas. Fonte: Adaptada de Stewart (2008). Encontre a derivada da função arco-tangente. Temos, então, a função inversa y = arctg(x), e x = tg(y). Primeiramente, vamos encontrar a derivada de x em relação a y. Derivadas de funções trigonométricas8 Usando a regra do quociente, ficamos com: Por outro lado, temos que: Ou seja, Substituindo, encontramos: Agora, a derivada do arco-tangente será: Ou seja, 9Derivadas de funções trigonométricas As derivadas das funções inversas podem ser generalizadas da seguinte maneira. Se u é uma função diferenciável de x, podemos escrever: d dx d dx du dx’ [ [sen-1 u [ [tg-1 u = 1– u2 1 du dx1– u2 – 1 = [ [cotg-1 u = d dx [ [sec-1 u = [ [cos sec-1 u = 1+ u2 1 du dx’ 1+ u2 –1 du dx du dx’ 1 u u2 – 1 du dx –1 u u2 – 1 d dx d dx d dx [ [cos-1 u = Fonte: Adaptada de Derivadas... (2019, documento on-line). Problemas aplicados Nesta seção, você verá alguns problemas aplicados sobre derivadas de funções trigonométricas e trigonométricas inversas. Problema 1 Encontre a derivada em relação a x da seguinte função: y = x cos(x) + sen(x) Para encontrarmos a derivada de y, usaremos a regra do produto no primeiro termo. Assim, temos que: Derivadas de funções trigonométricas10 Problema 2 Usando as derivadas das funções trigonométricas mostradas neste capítulo, encontre a derivada em relação a x da seguinte função: Para encontrarmos a derivada de y, usaremos a regra do quociente. Assim, temos que: 11Derivadas de funções trigonométricas Portanto, temos que: Problema 3 Suponha uma massa presa a uma mola, como mostrado na Figura 4, a seguir. Alguém puxa a massa para baixo, esticando-a 5 cm além de sua posição de repouso. Após esticada, a massa é solta, deixando o sistema livre. A seguinte equação descreve a posição do topo da massa no tempo s(t) = 5 cos(t), com s em centímetros e t segundos. Sabendo que a velocidade é dada pela derivada da posição em relação ao tempo, encontre a função que descreve a velocidade. Derivadas de funções trigonométricas12 Figura 4. Massa presa a uma mola. Fonte: Adaptada de Anton, Bivens e Davis (2014). Para chegarmos à função que descreve a velocidade v(t), devemos encontrar a derivada da posição pelo tempo. Assim, temos que: Portanto: v(t) = –5 sen (t). 13Derivadas de funções trigonométricas A Figura 5 mostra um gráfico de s(t) e v(t) pelo tempo t. Note que, nos pontos de máxima amplitude, a velocidade é nula. E os máximos valores de velocidade ocorrem quando a mola passa pelo ponto de repouso. Figura 5. Gráfico do deslocamento s e da ve- locidade v. Fonte: Adaptada de Stewart (2008). 2π t 5 -50 s v π ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo, Porto Alegre: Bookman, 2015. 208 p. ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 2 v. 1352 p. DERIVADAS das funções trigonométricas inversas. Só Matemática, Porto Alegre, 2019. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp11.php. Acesso em: 12 set. 2019. STEWART, J. Single variable calculus: early transcendentals. 6. ed. Belmont: Thomson Brooks/Cole, 2008. 912 p. Derivadas de funções trigonométricas14
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