Cálculo Diferencial 1

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1. Pergunta 1
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O estudo do Cálculo Diferencial é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de funções. 
Considerando as funções  e  e com base nos seus conhecimentos acerca de funções compostas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em x=1/2 é igual a 3/2.
II. ( ) O gráfico de 3.f(x) é alongado verticalmente em relação ao gráfico de 
III. ( ) A derivada de  c.g(x)  onde  é constante, é igual a  
IV. ( )   possui derivada igual a .
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
V, V, V, F.
2. 
F, F, F, V.
3. 
V, V, V, F.
4. 
V, V, F, F.
5. 
V, F, F, V.
2. Pergunta 2
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Em ciências exatas e áreas correlatas utilizamos constantemente as funções para modelar situações nas quais é possível prever o comportamento de uma variável em função de outras. Sendo assim, é comum uma função ser expressa como a multiplicação de duas ou mais funções, de forma que é interessante, então, dominar a técnica da regra da derivada do produto de duas funções.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a regra da derivada do produto de duas funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Em todos os casos de derivação do produto de funções é necessário utilizar a regra da derivada do produto de duas funções.
II. ( ) Sendo  e  , a derivada de  é 
III. ( ) Sendo  e   a derivada de  no ponto (0,0) é  k´(0) = 0.
IV. ( ) f(x)g(x) possui derivada igual a 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
F, V, V, F.
2. 
V, F, V, F.
3. 
F, F, F, V.
4. 
F, V, F, V.
5. 
V, F, F, V.
3. Pergunta 3
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As funções trigonométricas estão relacionadas ao círculo trigonométrico de raio unitário, e relacionam-se entre si de diversas maneiras. A tangente, por exemplo, é a razão entre seno e cosseno, e esses referem-se a comprimentos dentro desse círculo trigonométrico. Compreender e manipular suas derivadas é fundamental para o desenvolvimento dos estudos de Cálculo Diferencial e Integral. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (  ) A função trigonométrica  tem como derivada  .
II. ( ) A função  é uma função trigonométrica composta, que pode ser derivada pela regra da cadeia.
III. ( ) As derivadas de  e  são iguais a, respectivamente,  e  .
IV. ( ) A função  tem sua derivada definida por  .
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
V, V, F, F.
2. 
F, F, V, F.
3. 
F, F, V, F.
4. 
V, V, F, V.
5. 
V, F, V, V.
4. Pergunta 4
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O estudo dos limites e de suas propriedades tem fundamental importância para o Cálculo, pois com esse conceito definimos a noção da derivada de uma função em um ponto por meio da aproximação de um intervalo infinitesimal em torno desse ponto, analisando sua taxa de variação.
De acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada como limite, seu uso em problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, analise as afirmativas a seguir.
I. A velocidade instantânea de um corpo em movimento uniformemente variado em determinado ponto de sua trajetória é sempre igual à sua velocidade média.
II. A reta tangente à curva da função  no ponto  tem seu coeficiente angular dado pelo limite de  quando  .
III. O limite citado no item II pode ser entendido como uma taxa de variação, e no caso de um gráfico de velocidade por tempo, em seus pontos de máximo ou mínimo temos que a taxa de variação (aceleração) vale zero.
IV. Em regiões crescentes de um gráfico, a derivada da função é maior que zero, e em regiões decrescentes, a derivada da função é negativa.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II e III.
2. 
II e IV.
3. 
I, II e III.II e IV.
4. 
II, III e IV.
5. 
I, e IV.
5. Pergunta 5
0/1
As funções hiperbólicas, consideradas funções circulares, são alvo do estudo das derivadas também por conta de sua analogia com as funções trigonométricas.
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca das derivadas hiperbólicas, é correto afirmar que a derivada da função  é:
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Pergunta 6
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Entender a mecânica clássica e como utilizá-la para compreender e modelar o dia a dia é um dos trabalhos que realiza o engenheiro. O estudo das derivadas é imprescindível para o estudante de engenharia nesse sentido, pois com ela o estudo dos movimentos se torna mais significativo. 
Suponha que um objeto se move seguindo a lei horária . Somado a isso, sabe-se que a velocidade é determinada pela derivada de uma equação horária, e a aceleração é determinada pela derivada da função velocidade.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos de derivação, analise as afirmativas a seguir.
I. A função que descreve a velocidade dessa partícula é dada por  .
II. É impossível determinar a derivada da velocidade.
III. A função que descreve a aceleração dessa partícula é  .
IV. A função velocidade é uma função polinomial.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I e III.
2. 
I, II e IV.
3. 
II e III.
4. 
II e IV.
5. 
I, II, III.
Pergunta 7
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A estudo de taxas de variação tem importantes aplicações em fenômenos físicos, como o do movimento de corpos, o do escoamento de líquidos, o do fluxo de campos magnéticos, entre outros.
Considerando a relevância dessas informações e dos seus conhecimentos sobre o significado das taxas de variação e sua relação com o estudo do Cálculo, analise as afirmativas a seguir.
I. O limite de  , quando é conhecido como a derivada da função f em x=a, caso a função seja diferenciável nesse ponto.
II. Encontrando a derivada da função em um ponto  para encontrar uma equação da reta tangente é possível substituir as coordenadas dos pontos e o valor da derivada na equação da reta, que pode ser escrita como  .
III. É impossível entender a derivada como uma função, pois ela é apenas uma taxa de variação da função no ponto que representa o ângulo de inclinação da reta tangente à função nesse mesmo ponto.
IV. A reta tangente  , que passa pelo ponto  , tem inclinação igual a f(a) que é a derivada de , onde x=a .
Está correto apenas o que se afirma em:
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6. 
I, e IV.
7. 
I, II e IV.
8. 
II e IV.
9. 
I, II e III.
10. 
II e III.
Pergunta 8
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Funções trigonométricas são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser categorizadas entre dois grupos: aquelas que são diretas e aquelas que são inversas. As funções inversas referem-se ao arco seno, arco cosseno, arco tangente, entre outros. Cada uma dessas funções possui uma derivada particular, que seguem as suas propriedades específicas.
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das trigonométricas inversas e suas derivadas, analise as afirmações a seguir:
I. Dada  , tem se que  .
II.  .
III. Todas as funções inversas são funções trigonométricas.
IV. Dada  tem-se que  .
Está correto apenas o que se afirma em:
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11. 
II, III e IV.
12. 
I e II.
13. 
II e III.
14. 
I e III.
15. 
I e IV.
Pergunta 9
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O Cálculo Diferencial é aplicado em diversas situações do cotidiano e serve como ferramenta nas diferentes ciências.
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das derivadas, analise as afirmações a seguir, referentes às suas aplicações.
I. As derivadas podem ser aplicadas para interpretar a taxa de variação de custos de produção.
II. As derivadas em pontos extremos da função são nulas, pois a reta tangente nesses pontos é horizontal.
III. A derivada muito utilizada em problemas que envolvem movimento de objetos em queda livre.
IV. Consegue-se mensurar a área sob a curva de uma funçãocom base em sua derivada.
Está correto apenas o que se afirma em:
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16. 
II, III e IV.
17. 
I, III e IV.
18. 
II e III.
19. 
I e IV.
20. 
I, II e III.
6. Pergunta 10
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O estudo das funções trigonométricas é muito importante dentro do cálculo, sendo inclusive feitas substituições de variáveis por variáveis trigonométricas em cálculos de integrais muito complexas. Dessa forma, conhecer as regras de derivação para funções trigonométricas é essencial no estudo de Cálculo Diferencial e Integral.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas derivadas.
1) .
2) .
3)  .
4) .
( ) -senx .
( ) -cosx.
( ) .
( ) .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
1, 2, 4, 3.
2. 
1, 3, 4, 2.
3. 
1, 3, 2, 4.
4. 
3, 1, 2, 4.
5. 
3, 1, 4, 2.