Resumo 37 - Lançamento Oblíquo

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LANÇAMENTO HORIZONTAL 
 
No lançamento oblíquo o corpo é lançando com uma velocidade que possui um ângulo 
(diferente de 0°, 90°, 180° e 270°) em relação a horizontal. Nesse tipo de lançamento, podemos 
estudar o movimento horizontal e vertical de forma separada, pois os dois movimentos são 
simultâneos. O movimento horizontal se comporta como um movimento uniforme (portanto a 
velocidade horizontal não se altera), já o movimento vertical se comporta como um lançamento 
vertical para cima na qual o movimento é uniformemente variado (portanto a velocidade vertical 
se altera de acordo com a aceleração da gravidade. 
 
Nesse tipo de lançamento, é comum decompor a velocidade inicial para determinar a 
velocidade horizontal e a velocidade vertical. 
𝑣𝑥 = |𝑣| ∙ cos⁡(𝜃) 
𝑣𝑦 = |𝑣| ∙ sen⁡(𝜃) 
 
 Ao fazer isso, é só utilizar a velocidade horizontal e a velocidade vertical nas funções 
horárias para cada caso. Lembrando que o movimento horizontal é uniforme e o movimento 
vertical é uniformemente variado. 
 É muito comum utilizar um sistema de referencial para estudar os casos de lançamentos 
oblíquos. Nesse caso, a orientação vertical é voltada para cima e a orientação horizontal é voltada 
para a direita. Sendo assim, temos as seguintes funções horárias: 
 
 
 
 
Na direção horizontal: 
𝑥 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥 ∙ 𝑡 
𝑣𝑥 = 𝑣𝑥(𝑖) 
 
Na direção vertical: 
𝑦 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖(𝑦).𝑡 −
𝑔. 𝑡2
2
 
𝑣𝑦 = 𝑣𝑦(𝑖) − 𝑔 ∙ 𝑡 
 
Módulo da velocidade 
Para determinar o módulo da velocidade em qualquer ponto ao longo da trajetória, basta 
determinar o módulo da velocidade vertical e o módulo da velocidade horizontal. Em seguida, 
utilizar o teorema de Pitágoras com os valores encontrados. 
|𝑣| = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 
 
Exemplo: 
Um projétil é lançado com velocidade inicial de intensidade igual a 100 m/s. Sabendo que a direção 
do lançamento faz um ângulo de 30° com a horizontal, determine (a) a altura, (b) a velocidade e (c) 
a posição horizontal em relação ao ponto de lançamento após 4 s de movimento. 
 
Resposta: 
Determinando as componentes da velocidade: 
𝑣𝑥 = |𝑣| ∙ cos(𝜃) = 100 ∙ cos(30°) = 100 ∙
√3
2
= 50√3⁡𝑚/𝑠 
𝑣𝑦 = |𝑣| ∙ sen(𝜃) = 100 ∙ sen(30°) = 100 ∙
1
2
= 50⁡𝑚/𝑠 
 
 
(a) determinando a altura: 
 
𝑦 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖(𝑦).𝑡 −
𝑔. 𝑡2
2
 
𝑦 = 0 + 50 ∙ 4 −
10. 42
2
 
𝑦 = 200 − 80 
𝑦 = 120⁡𝑚 
 
(b) Determinando a velocidade: 
Inicialmente determinamos as componentes das velocidades no instante de tempo igual a 4s. 
 
Velocidade horizontal: 
Não podemos esquecer que a velocidade horizontal não se altera, então: 
𝑣𝑥 = 50√3⁡𝑚/𝑠 
 
Velocidade vertical: 
𝑣𝑦 = 𝑣𝑦(𝑖) − 𝑔 ∙ 𝑡 
𝑣𝑦 = 50 − 10 ∙ 4 
𝑣𝑦 = 50 − 40 
𝑣𝑦 = 10⁡𝑚/𝑠 
 
Módulo da velocidade: 
|𝑣| = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 
|𝑣| = √(50√3)2 + 102 
|𝑣| = √2500 ∙ 3 + 100 
|𝑣| = √7500 + 100 
|𝑣| = √7600 
|𝑣| ≅ 87,2⁡𝑚/𝑠 
(c) Determinando a posição horizontal: 
 
𝑥 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥 ∙ 𝑡 
𝑥 = 0 + 50√3 ∙ 4 
𝑥 = 200 ∙ √3𝑚 
𝑥 ≅ 346⁡𝑚 
 
Altura máxima e alcance máximo 
 Para determinar a altura máxima, precisamos levar em consideração que no ponto mais 
alto a velocidade vertical é igual a zero. Sendo assim, utilizamos essa informação para determinar 
o tempo que leva para o corpo atingir a altura máxima e, em seguida, determinar a posição vertical 
que o corpo vai se encontrar nesse instante de tempo. Essa posição corresponde a altura máxima. 
 Para determinar o alcance máximo, precisamos levar em consideração que o alcance 
ocorre quando o corpo retorna ao solo (ou atinge um alvo que se encontra em uma certa altura). 
Se o alcance for o solo, a altura e igual a zero. Sendo assim, utilizarmos essa informação para 
determinar o tempo que leva para o corpo atingir o alcance e, em seguida, determinamos a 
posição horizontal que o corpo vai se encontrar nesse instante de tempo. Essa posição 
corresponde ao alcance máximo. 
 
Exemplo: 
Utilizando o exemplo anterior, determine (a) a altura máxima e (b) o alcance máximo. 
 
Resposta: 
(a) altura máxima 
Inicialmente utilizamos a função horária da velocidade vertical, pois sabemos que no ponto mais 
alto a velocidade vertical é igual a zero. 
𝑣𝑦 = 𝑣𝑦(𝑖) − 𝑔 ∙ 𝑡 
0 = 50 − 10 ∙ 𝑡 
−50 = −10 ∙ 𝑡 
50 = 10 ∙ 𝑡 
𝑡 =
50
10
 
 
𝑡 = 5⁡𝑠 
 
Agora, utilizamos esse instante de tempo para determinar a posição vertical (altura máxima) 
𝑦 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖(𝑦).𝑡 −
𝑔. 𝑡2
2
 
𝑦 = 0 + 50 ∙ 4 −
10. 52
2
 
𝑦 = 200 − 125 
𝑦 = 75⁡𝑚 
 
(b) Alcance máximo 
Inicialmente, utilizamos a função horária da posição vertical para determinar o instante de tempo, 
pois sabemos que ao retornar ao solo a altura é igual a zero. 
𝑦 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖(𝑦).𝑡 −
𝑔. 𝑡2
2
 
0 = 0 + 50. 𝑡 −
10. 𝑡2
2
 
0 = 50. 𝑡 −
10. 𝑡2
2
 
0 = 50. 𝑡 − 5. 𝑡2 
0 = 𝑡(50 − 5. 𝑡) 
Resolvendo, temos que: 
𝑡 = 0 
Ou 
50 − 5. 𝑡 = 0 
5. 𝑡 = 50 
𝑡 =
50
5
 
𝑡 = 10⁡𝑠 
Ou seja, no instante de tempo igual a 0 s o corpo está no solo. Em seguida, ele sobe e retorna ao 
solo no instante de tempo igual a 10 s. Utilizamos o instante de tempo igual a 10 s para determinar 
a posição horizontal do corpo (o alcance máximo). 
 
𝑥 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥 ∙ 𝑡 
𝑥 = 0 + 50√3 ∙ 10 
𝑥 = 500 ∙ √3𝑚 
𝑥 ≅ 866⁡𝑚