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RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ ANS 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヱヰ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱ 
 
AULA 10: RESUMO TEÓRICO 
 
Olá! 
 Com o resumo que veremos hoje encerramos o nosso curso. Quero 
aproveitar para agradecê-lo pela confiança em mim depositada. Espero que o meu 
curso tenha sido bem aproveitado por você, e que seja um diferencial para a sua 
aprovação no próximo concurso do MINISTÉRIO PÚBLICO DA UNIÃO! Permaneço 
à disposição para tirar dúvidas sobre o nosso material ou sobre qualquer outro 
assunto no qual eu possa ser útil! 
 Saudações, 
 Prof. Arthur Lima – www.facebook.com/ProfArthurLima 
 
1. RESUMO DO CURSO 
Lógica de proposições e operações com conjuntos 
- proposição é uma frase que admita um valor lógico (V – verdadeiro ou F – 
falso) 
- nem toda frase pode ser considerada uma proposição 
- princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser, ao mesmo 
tempo, Verdadeira e Falsa. 
- princípio da exclusão do terceiro termo: não há um meio termo entre 
Verdadeiro ou Falso. 
- duas ou mais proposições podem ser combinadas, criando proposições 
compostas, utilizando para isso os operadores lógicos. 
- Principais proposições compostas: 
o Conjunção ( “p e q”, ou “ p q ”): é F se pelo menos uma proposição 
simples for F. Uma variação da conjunção é: “p, mas q”. 
o Disjunção (“p ou q”, ou “ p q ”): só é F quando p e q são ambas F. 
o Disjunção exclusiva ou “Ou exclusivo” (“ou p ou q”, ou p q ): só é F 
quando ambas são V ou ambas são F. Uma variação: “p, ou q”. 
o Condicional ou implicação (“se p, então q”, ou p q ): só é F quando 
p é V e q é F. Variações: “Quando p, q”; “Toda vez que p, q”. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ン 
- a tabela-verdade de uma proposição terá sempre 2n linhas, onde n é o 
número de proposições simples envolvidas (não contar duas vezes se 
aparecerem p e ~p na mesma proposição composta) 
- Tautologia: proposição que é sempre V 
- Contradição: proposição que é sempre F 
- Contingência: proposições que podem ser V ou F, dependendo dos valores 
lógicos das proposições simples que a compõem 
- duas proposições lógicas são equivalentes quando elas possuem a mesma 
tabela-verdade 
- p q , ~ ~q p e ~p ou q são proposições equivalentes 
- duas formas distintas de negar uma mesma proposição são equivalentes. 
Ex.: ~ ( )p q é equivalente a ~ ~p q ; ~ ( )p q é equivalente a ~ ~p q . 
- Em pq, p é suficiente para q, e, por outro lado, q é necessária para p; 
- Em p q , p é necessária e suficiente para q, e vice-versa 
- Proposições abertas são proposições que possuem uma ou mais variáveis. 
Seu valor lógico depende dos valores que as variáveis assumirem. 
- um argumento é válido se, aceitando que as premissas são verdadeiras, a 
conclusão é verdadeira 
- no estudo da lógica de primeira ordem, faz-se necessário se habituar ao uso 
de alguns símbolos matemáticos. Os principais são: 
x  existe x... 
x  para todo x..., ou: qualquer x... 
  pertence 
  não pertence 
N  conjunto dos números naturais 
Z  conjunto dos números inteiros 
Q  conjunto dos números racionais 
R  conjunto dos números reais 
 vazio 
- No estudo da lógica de primeira ordem, temos proposições da forma P(x), onde a 
proposição P apresenta uma determinada característica a respeito dos elementos x 
que compõem um conjunto C. Essa característica é apresentada nos predicados 
destas proposições (ex.: “x < 0”); 
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- Chamamos P(x) de proposição funcional, pois o seu valor lógico (V ou F) é função 
do conjunto C e do próprio significado da proposição. Podemos ter também 
proposições funcionais baseadas em mais de uma variável (ex.: P(x, y, z)); 
 
- conjunto é um agrupamento de indivíduos ou elementos que possuem uma 
característica em comum. 
- a  A  elemento “a” pertence ao conjunto A 
- bA  elemento “b” não pertence ao conjunto A 
- Complementar de A é o conjunto formado pela diferença entre o conjunto 
Universo (todo o universo de elementos possíveis) e o conjunto A 
- A B é a intersecção entre os conjuntos A e B, formada pelos elementos em 
comum entre os dois conjuntos. 
- designamos por n(X) o número de elementos do conjunto X 
- ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B     
- se dois conjuntos são disjuntos (não possuem elementos em comum), então 
( ) 0n A B  
- B A (B está contido em A), A B (A contém B) ou “B é subconjunto de A” 
podem ser representadas assim: 
 
- outra forma de se representar um conjunto é enumerar os seus elementos 
entre chaves, listando os elementos ou utilizando notações matemáticas: 
   { | 0}Y x Z x 
-  significa “todo”, | significa “tal que”,  , que significa “existe” 
- Proposições categóricas: 
o Todo A é B: “todos os elementos do conjunto A são também do 
conjunto B”, isto é, A está contido em B. 
o Nenhum A é B: nenhum elemento de A é também de B, isto é, os dois 
conjuntos são totalmente distintos (disjuntos) 
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o Algum A é B: algum elemento de A é também elemento de B 
o Algum A não é B: existem elementos de A que não são de B 
 
Princípios de contagem 
- Princípio da contagem (regra do produto): quando temos eventos sucessivos e 
independentes, o número total de maneiras desses eventos acontecerem é igual a 
multiplicação do número de maneiras de cada evento acontecer separadamente. 
- Permutação simples: P(n) = n! 
- usada quando queremos calcular o número de formas de colocar n 
elementos em n posições. 
- a ordem dos elementos deve tornar uma disposição diferente da outra 
- exemplo: cálculo do número de anagramas de uma palavra (sem 
repetição de letras). Um anagrama é um rearranjo das letras. 
 
- Permutação com repetição: !( ; )
! !
nPR n m e p
m p


 (leia: permutação de n 
elementos, com repetição de m elementos e de p elementos) 
- usada para calcular permutações onde existem elementos repetidos 
- por ser uma permutação, a ordem dos elementos deve tornar uma 
distribuição diferente da outra. 
- exemplo: cálculo do número de anagramas de uma palavra que possua 
letras repetidas. 
 
- Arranjo simples: 
!( , )
( )!
nA n m
n m


 (leia: arranjo de n elementos em m posições) 
- trata-se de uma permutação de n elementos em m posições, onde temos 
mais elementos do que posições disponíveis. 
- Novamente, a ordem dos elementos deve diferenciar um arranjo do outro. 
- Exemplo: número de maneiras de preencher 3 posições disponíveis de 
uma fila usando 7 pessoas. Esses exercícios podem ser resolvidos com a 
simples multiplicação 7 x 6 x 5. 
 
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- Arranjo com repetição: AR (n, m) = nm (leia: arranjo de n elementos em m 
posições, com repetição) 
- trata-se do princípio fundamental da contagem, onde temos n elementos 
que podemos colocar em m posições, com repetição (isto é, não 
precisamos colocar apenas elementos distintos) 
- exemplo: número de placas formadas por 3 letras, distintas ou não, 
usando as 26 letras do alfabeto  A (26,3) = 263 = 26x26x26 
 
- Combinação: 
 
!( , )
! !
n nC n m
m m n m
 
    
 (leia: combinação de n elementos em 
gruposde m elementos; ou combinação de n elementos, m a m) 
- trata-se do cálculo do número de grupos de m elementos que podemos 
formar utilizando n elementos 
- deve ser utilizado quando a ordem dos elementos no grupo não 
diferenciar um grupo do outro. 
- lembrar que C(n, m) = C (n, n-m). Ex.: C(5,4) = C(5,1) = 5 
- para facilitar o cálculo de C(n,m), basta multiplicar os primeiros “m” termos 
de n! e dividir por m!. Ex.: C(7,3) é calculado pela multiplicação dos três 
primeiros termos de 7!, dividido por 3!. Isto é, C(7,3) = 7x6x5/3! = 35 
- exemplo: número de equipes de 3 profissionais que podemos montar 
utilizando 7 profissionais disponíveis  C(7,3) = 35. 
 
- Permutação circular: Pc (n) = (n-1)! (leia: permutação circular de n elementos) 
- usado para calcular o número de permutações de n elementos em 
disposições fechadas (circulares), onde não podemos fixar um início e um 
final. 
- exemplo: número de formas de dispor 4 pessoas ao redor de uma mesa 
quadrada com as 4 bordas iguais  Pc(4) = (4-1)! = 6 
 
Probabilidade 
- Espaço amostral: conjunto dos resultados possíveis de um experimento aleatório 
-Evento: subconjunto do espaço amostral formado pelos resultados que 
consideramos favoráveis 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Α 
- Probabilidade: é dada pela razão: 
n(Evento)Probabilidade do Evento=
n(Espaço Amostral)
 
ou simplesmente 
número de resultados favoráveisProbabilidade do Evento=
número total de resultados
 
- Calcular o número total e o número de resultados favoráveis através das fórmulas 
de princípios de contagem 
- A probabilidade de ocorrência do próprio espaço amostral é 100% 
- Eventos independentes: a ocorrência ou não de um deles não altera a 
probabilidade do outro ocorrer. Se A e B são independentes, então 
P(A B)=P(A) P(B)  (leia: probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente é a 
multiplicação das probabilidades de cada um ocorrer) 
- Eventos mutuamente exclusivos: a ocorrência de um impede a ocorrência do 
outro, e vice-versa. Assim, ( ) 0P A B  
- Probabilidade da união: trata-se da probabilidade de ocorrência do evento A ou do 
evento B (ou dos dois ao mesmo tempo). É dada por: 
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B     
 Se A e B são mutuamente exclusivos ( ( ) 0P A B  ), então basta somar a 
probabilidade de ocorrência de cada um deles. Isto é, P(A ou B) = P(A) + P(B). 
- Eventos complementares: dois eventos são considerados complementares quando 
não possuem intersecção e a sua soma equivale ao espaço amostral. Sendo E um 
evento e Ec o seu complementar, então: 
Probabilidade(E) = 1 - Probabilidade(Ec) 
- exemplo: E = probabilidade de sair resultado par em um dado; Ec = 
probabilidade de sair um resultado ímpar. 
 
- Probabilidade de ocorrer A, sabendo que B ocorre: ( )( / )
( )
P A BP A B
P B

 
- basta calcular o número de casos onde tanto A quanto B ocorrem, e 
dividir pelo número de casos em que B ocorre 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Β 
- exemplo: ao sortear um dos 7 dias da semana, calcular a probabilidade de 
a data obtida ser um “sábado”, dado que a data obtida caiu em um fim de 
semana  P = 1 / 2 = 50% 
- Se A e B são eventos independentes, então P(A/B) = P(A)  isto é, o fato de B ter 
ocorrido em nada altera a probabilidade de A ocorrer 
- Se repetirmos um determinado experimento N vezes, com probabilidade “p” de 
obter sucesso em cada repetição, o número esperado de vezes que obteremos 
sucesso é dado por N x p. 
 
 
Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos 
e matriciais 
Geometria básica: 
- Ângulo é uma abertura delimitada por duas semi-retas. 
- O ângulo de 90o é conhecido como ângulo reto. Os demais ângulos podem ser 
classificados em: 
 - Ângulos agudos: são aqueles ângulos inferiores à 90o. 
 - Ângulos obtusos: são aqueles ângulos superiores à 90o. 
- Dois ângulos podem ser: 
 - Ângulos congruentes: se possuem a mesma medida 
 - Ângulos complementares: se a sua soma é 90o 
 - Ângulos suplementares: se a sua soma é 180o 
- Um ângulo pode ser dividido em duas partes iguais pela semi-reta denominada 
Bissetriz. 
- Ângulos opostos pelo vértice tem o mesmo valor 
- Além da medida em graus, uma outra unidade de medida de ângulos é chamada 
de “radianos”. 180o correspondem a  (“pi”) radianos. 
 
Principais figuras geométricas planas: 
- Perímetro é a soma do comprimento dos lados da figura 
- Área é a mensuração do espaço (plano) ocupado por aquela figura. As principais 
figuras geométricas planas são: 
Figura Definição Área 
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Progressões Aritméticas e Geométricas: 
- Progressão Aritmética (PA): seqüência numérica onde o termo seguinte é igual ao 
termo anterior somado a um valor constante (razão da PA) 
- Para obter o termo da posição “n”, simbolizado por an, basta usar a fórmula do 
termo geral da PA, que é: 
1 ( 1)na a r n    
- Para obter a soma dos “n” primeiros termos da PA (Sn), a fórmula é: 
1( )
2
n
n
n a aS   
- Progressão Geométrica (PG): o termo seguinte é sempre igual ao termo anterior 
multiplicado por um valor constante (razão da PG) 
- Para obter o termo da posição “n”, simbolizado por an, basta usar a fórmula do 
termo geral da PG, que é: 
1
1
n
na a q
  
- Para obter a soma dos “n” primeiros termos da PG (Sn), a fórmula é: 
1 ( 1)
1
n
n
a qS
q
 


 
 
Porcentagem: 
- A porcentagem é uma divisão onde o denominador é o número 100. 
- Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um todo, 
basta efetuar a seguinte divisão: 
quantia de interessePorcentagem = 100%
total
 
- Podemos transformar um número percentual em um número decimal dividindo-o 
por 100. Podemos também fazer o caminho inverso, multiplicando um número 
decimal por 100 para chegar em um número percentual. 
- Podemos dizer que: 
quantia de interesse = porcentagem total 
- Em porcentagem, o “de” equivale à multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a 
20% x 300, e assim por diante. 
 
 
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Matrizes: 
- Uma matriz Mmxn é uma tabela com m linhas e n colunas. Os elementos desta 
tabela são representados na forma a j, onde i representa a linha e j representa a 
coluna deste termo. 
- A matriz transposta de A, simbolizada por AT, é construída trocando a linha de 
cada termo pela sua coluna, e a coluna pela linha. 
- Uma matriz é quadrada quando possui o mesmo número de linhas e colunas. 
- Para somar ou subtrair duas matrizes, basta somar ou subtrair os termos 
correspondentes. As matrizes precisam ser de mesma ordem. 
- Para multiplicar um número por uma matriz, basta multiplicar cada termo da matriz 
por aquele número. 
- Ao multiplicar 2 matrizes, cada termo da nova matriz é formado pela soma das 
multiplicações de cada termo de uma linha da primeira matriz por cada termo de 
uma coluna da segunda matriz. 
- A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, AxB não é, necessariamente, 
igual a BxA. 
- Chamamos de matriz Identidade de ordem “n” a matriz quadrada que possui todos 
os termos da diagonal principal iguais a 1, e todos os demais termos iguais a zero. 
- Dada uma matriz A, chamamos de inversa de A, ou A-1, a matriz tal que: 
A x A-1 = I (matriz identidade)- Nem toda matriz quadrada é inversível. 
- O determinante de uma matriz é um número a ela associado. Aqui estamos 
tratando apenas de matrizes quadradas. 
- Em uma matriz quadrada de ordem 1, o determinante é o próprio termo que forma 
a matriz. 
- Em uma matriz quadrada de ordem 2, o determinante é dado pela subtração entre 
o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária. 
- Em uma matriz quadrada de ordem 3, o determinante é calculado da seguinte 
forma: 
det
a b c
d e f aei bfg cdh ceg bdi afh
g h i
 
        
 
 
 
- As principais propriedades do determinante são: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΑ 
- o determinante de A é igual ao de sua transposta AT 
- se uma fila (linha ou coluna) de A for toda igual a zero, det(A) = 0 
- se multiplicarmos todos os termos de uma linha ou coluna de A por um valor 
“k”, o determinante da matriz será também multiplicado por k; 
- se multiplicarmos todos os termos de uma matriz por um valor “k”, o 
determinante será multiplicado por kn, onde n é a ordem da matriz; 
- se trocarmos de posição duas linhas ou colunas de A, o determinante da 
nova matriz será igual a –det(A); 
- se A tem duas linhas ou colunas iguais, então det(A) = 0 
- sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, det (AxB) = det(A) x 
det(B) 
- uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, det( ) 0A  
- se A é uma matriz inversível, det(A-1) = 1/det(A) 
 
ゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅ 
Final de curso! Continue contando comigo, ok? 
Saudações, 
Prof. Arthur Lima (www.facebook.com/ProfArthurLima)