Dinamica de rotores

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Universidade Federal de Santa Catarina 
Departamento de Engenharia Mecânica
Grupo de Análise e Projeto Mecânico
 
 
 
 
 
Introdução à Dinâmica de Rotores 
 
 
Prof. José Carlos Pereira 
 
 
Florianópolis, janeiro de 2005
 
SUMÁRIO 
 
1 - INTRODUÇÃO1 - INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................................................................................................... 44 
Modelo massa/molaModelo massa/mola ...................................................................................................................................................................................................... 55 
Movimento de um sistema rotativoMovimento de um sistema rotativo .................................................................................................................................................... 77 
Análise do modelo Jeffcott rotorAnálise do modelo Jeffcott rotor ........................................................................................................................................................ 1100 
Significado físico das soluçõesSignificado físico das soluções............................................................................................................................................................ 1122 
Três formas de reduzir a amplitude do giro síncronoTrês formas de reduzir a amplitude do giro síncrono .................................................................................... 1133 
Algumas definições sobre amortecimentoAlgumas definições sobre amortecimento ........................................................................................................................ 1144 
Efeito de mancais flexíveisEfeito de mancais flexíveis .......................................................................................................................................................................... 1144 
Instabilidade em rotoresInstabilidade em rotores.................................................................................................................................................................................... 1188 
Efeito da anisotropia dos mancais no amortecimentoEfeito da anisotropia dos mancais no amortecimento .................................................................................. 1199 
2 - EQUAÇÕES DE ENERGIA DOS ELEMENTOS DE ROTOR2 - EQUAÇÕES DE ENERGIA DOS ELEMENTOS DE ROTOR.................................................................... 2233 
2.1 - Energia cinética do disco2.1 - Energia cinética do disco................................................................................................................................................................ 2233 
2.1 - Energia de deformação do eixo em flexão2.1 - Energia de deformação do eixo em flexão ........................................................................................................ 2255 
2.3 - Energia de deformação do eixo devido a uma força axial2.3 - Energia de deformação do eixo devido a uma força axial ...................................................... 3300 
2.4 – Mancais2.4 – Mancais ........................................................................................................................................................................................................................ 3311 
2.5 – Equações de movimento do rotor2.5 – Equações de movimento do rotor .................................................................................................................................. 3322 
3 – MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ3 – MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ ............................................................................................................................................................ 3333 
3.1 – Rotor isotrópico bi-apoiado3.1 – Rotor isotrópico bi-apoiado ...................................................................................................................................................... 3333 
3.1.1 – Diagrama de Campbell para rotores isotrópicos................................... 34 
3.1.2 – Resposta do rotor a um desbalanceamento .......................................... 37 
3.1.3 – Diagrama de Campbell do rotor com uma força axial........................... 43 
3.1.4 – Resposta do rotor à uma força assíncrona............................................ 47 
3.1.5 – Resposta do rotor à uma força fixa no espaço...................................... 49 
3.2 – Rotor anisotrópico bi-apoiado3.2 – Rotor anisotrópico bi-apoiado .............................................................................................................................................. 5533 
3.3 – Efeito dos termos de acoplamento nos mancais3.3 – Efeito dos termos de acoplamento nos mancais .................................................................................. 5599 
3.4 – Efeito do amortecimento dos mancais3.4 – Efeito do amortecimento dos mancais .................................................................................................................. 6633 
3.5 – Efeito do amortecimento interno3.5 – Efeito do amortecimento interno ...................................................................................................................................... 6666 
3.3 – Rotor isotrópico em balanço3.3 – Rotor isotrópico em balanço .................................................................................................................................................. 7711 
 
4 – RESPOSTA TRANSIENTE DO ROTOR4 – RESPOSTA TRANSIENTE DO ROTOR.................................................................................................................................. 7788 
4.1 – Equações e soluções4.1 – Equações e soluções............................................................................................................................................................................ 7788 
4.2 – Exemplos de aplicação4.2 – Exemplos de aplicação...................................................................................................................................................................... 8822 
Rotor isotrópicoRotor isotrópico .............................................................................................................................................................................................................. 8822 
Rotor anisotrópicoRotor anisotrópico ...................................................................................................................................................................................................... 8855 
4.3 – Fadiga em eixos de rotores4.3 – Fadiga em eixos de rotores........................................................................................................................................................ 8899 
5 – BALANCEAMENTO EM ROTORES5 – BALANCEAMENTO EM ROTORES.............................................................................................................................................. 9944 
5.1 – Introdução5.1 – Introdução .............................................................................................................................................................................................................. 9944 
5.2 – Princípio básico do balanceamento5.2 – Princípio básico do balanceamento ............................................................................................................................ 9944 
5.3 – Método dos Coeficientes de Influência5.3 – Método dos Coeficientes de Influência .................................................................................................................. 9966 
6 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO À DINÂMICA DE ROTORES6 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO À DINÂMICADE ROTORES
........................................................................................................................................................................................................................................................................ 110088 
5.1 – Matrizes de um elemento de disco5.1 – Matrizes de um elemento de disco ............................................................................................................................ 110099 
5.2 – Matrizes de um elemento de eixo5.2 – Matrizes de um elemento de eixo ................................................................................................................................ 111100 
5.3 – Matrizes de rigidez e de amortecimento dos mancais5.3 – Matrizes de rigidez e de amortecimento dos mancais.............................................................. 111155 
5.4 – Efeito de uma massa desbalanceadora5.4 – Efeito de uma massa desbalanceadora ............................................................................................................ 111166 
5.5 – Equações de movimento do rotor5.5 – Equações de movimento do rotor .............................................................................................................................. 111188 
5.6 – Propriedades dos modos5.6 – Propriedades dos modos .......................................................................................................................................................... 112211 
5.7 – Técnica de montagem das matrizes globais5.7 – Técnica de montagem das matrizes globais ............................................................................................ 112233 
5.8 – Exemplos de aplicação5.8 – Exemplos de aplicação.................................................................................................................................................................. 112244 
Rotor bi-apoiado – caso 1Rotor bi-apoiado – caso 1 .......................................................................................................................................................................... 112244 
Rotor bi-apoiado – caso 2Rotor bi-apoiado – caso 2 .......................................................................................................................................................................... 112255 
Rotor bi-apoiado – caso 3Rotor bi-apoiado – caso 3 .......................................................................................................................................................................... 112266 
Rotor em balanço – caso 1Rotor em balanço – caso 1........................................................................................................................................................................ 112277 
Rotor em balanço – caso 2Rotor em balanço – caso 2........................................................................................................................................................................ 112288 
Rotor em balanço – caso 3Rotor em balanço – caso 3........................................................................................................................................................................ 112299 
6 – ANEXOS6 – ANEXOS .............................................................................................................................................................................................................................. 113311 
6.1 – Vibrações forçadas (Jeffcott rotor)6.1 – Vibrações forçadas (Jeffcott rotor) .......................................................................................................................... 113311 
6.2 – Vibrações livres (Jeffcott rotor)6.2 – Vibrações livres (Jeffcott rotor) ...................................................................................................................................... 113399 
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS...................................................................................................................................................................................................................... 114433 
4 Introdução à Dinâmica de Rotores 
11 -- IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
 
As mais comuns máquinas rotativas, também denominadas de rotores, podem 
ser turbo-compressores, turbinas de aviões, turbinas à vapor para a produção de 
energia elétrica, etc. 
A grande capacidade dos rotores de gerar energia mecânica vem da alta 
velocidade a qual seus eixos são submetidos. Associado à essa alta velocidade estão 
altas cargas devido a inércia de seus componentes e potenciais problemas de vibração 
e instabilidade dos rotores. A previsão do comportamento de rotores através de 
modelos matemáticos é relativamente bem sucedida quando comparado com medições 
experimentais. No entanto, a intuição humana pode muitas vezes levar à conclusões 
incorretas, como por exemplo, a massa desbalanceadora permanecerá internamente à 
órbita realizada pelo eixo do rotor em altas velocidades, assim como o aumento do 
amortecimento pode causar instabilidade também em altas velocidades. 
Em análises do comportamento dinâmico de rotores, os estudos mais 
freqüentemente realizados são: 
o Previsão das velocidades críticas: Velocidades nas quais a vibração devido ao 
desbalanceamento do rotor é máxima; 
o Modificações de projeto de forma a alterar as velocidades críticas: Quando é 
necessário alterar a velocidade de operação do rotor, modificações no projeto do 
rotor são necessárias para alterar as velocidades críticas; 
o Prever as freqüências naturais das vibrações torsionais: Quando vários eixos 
estão acoplados (por exemplo, caixa de engrenagens) e estes eixos são 
excitados pelas pulsações do motor durante o start-up; 
o Calcular as massas de correção e suas localizações a partir de dados de 
vibração: Balanceamento de rotores; 
o Prever as amplitudes de vibração causadas pelo desbalanceamento do rotor; 
o Prever as freqüências de vibração nas instabilidades dinâmicas: Nem sempre 
simples de ser alcançado, haja visto que nem todas as forças desestabilizadoras 
são conhecidas; 
o Modificações de projeto para eliminar instabilidades dinâmicas. 
Introdução à Dinâmica de Rotores 5
MMooddeelloo mmaassssaa//mmoollaa 
O modelo mais simples para análise de vibração de rotores é o modelo 
massa/mola, com somente um grau de liberdade, no qual a massa é considerada 
rígida, Figura 1.1c. A primeira velocidade crítica de um sistema rotor/mancais pode ser 
aproximado por um modelo massa/mola, da forma: 
1
60 kN r
2 m
=
π
pm (1.1) 
E I Y 
 Z
m
E I 
 
 t 
 F(t) = mω2u senωt 
 Z(t) 
 m 
 k = 2KB ou 48EI/ 3 
 Z
 Y 
m
KB KB 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
Figura 1.1 – Modelo rígido e flexível de rotor modelados como massa/mola 
6 Introdução à Dinâmica de Rotores 
onde k é a rigidez efetiva do rotor para o primeiro modo e m é a massa efetiva. 
 Para um rotor que é relativamente rígido comparado à rigidez do mancal, a 
massa efetiva é a massa do disco e do eixo, e a rigidez efetiva é a rigidez de todos os 
mancais trabalhando em paralelo, Figura 1.1a. Para um rotor que é relativamente 
flexível comparado à rigidez do mancal, a rigidez efetiva é determinada pela rigidez em 
flexão do eixo. Neste caso somente uma porção da massa do eixo contribui para a 
massa efetiva no modelo, já que a massa do rotor próxima dos mancais quase não 
participa do movimento de vibração, Figura 1.1b. 
Deve ser enfatizado que este modelo simples não pode ser utilizado em 
análises mais complexas de dinâmica de rotores, já que nestemodelo se executa um 
movimento em uma única direção, enquanto que, um rotor executa movimentos em 
duas direções ortogonais X e Z, formando uma órbita de diferentes forma. A forma da 
órbita depende das amplitudes e das fases entre os movimentos em X e Z, Figura 1.2a. 
 
 
 
 
 
 
. 
(a) (b) 
 Z 
 X k 
 m 
 t 
 Z 
 t 
 X 
 
 
 
 
 
 
 
 (c) (d) 
 Z 
 X 
α 
 Z
 X
Figura 1.2 – Combinações dos movimentos em X e Z produzindo órbitas: (b) circular, (c) 
eliptica e (d) translacional 
Introdução à Dinâmica de Rotores 7
 Um modelo mais elaborado para evidenciar o surgimento das velocidades 
críticas em rotores consiste de um disco rígido desbalanceado montado sobre um eixo 
flexível e mancais rígidos, Figura 1.3. Este modelo de rotor chamado de Jeffcott rotor, 
explica como a amplitude se torna máxima na velocidade crítica e porque a massa 
desbalanceadora se movimenta internamente à órbita do rotor. 
 
Disco rígido 
/2 
 Massa desbalanceadora 
 
Mancal rígido 
Eixo elástico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 – Modelo Jeffcott rotor 
 
MMoovviimmeennttoo ddee uumm ssiisstteemmaa rroottaattiivvoo 
 
Um sistema rotativo, que ser pode composto basicamente de um eixo, um disco 
e mancais, realiza dois movimentos rotativos superpostos: rotação em torno de si 
próprio (rotação própria ou spin) e rotação do eixo defletido em torno de sua 
configuração não defletida (precessão ou whirl). A órbita que realiza o centro 
geométrico pode ter uma trajetória no mesmo sentido que a rotação própria do rotor, 
movimento caracterizado como precessão direta (forward whirl), ou ter sentido oposto, 
caracterizado como precessão retrógrada ou inversa (backward whirl), Figura 1.4. Os 
problemas mais destrutivos em máquinas rotativas ocorrem quando as precessões são 
inversas. 
 
 
 
8 Introdução à Dinâmica de Rotores 
 
 
(b) precessão inversa 
sentido da 
órbita
 Z 
 X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sentido da 
órbita
rotação do 
rotor
 Z 
 X 
a 
Figur
do rot
desbala
qual é m
elemen
de varia
força de
constan
(preces
velocid
velocid
a veloc
(a) precessão diret
 
 
a 1.4 – Movimentos de precessão (a) direta (forward) e (b) inversa (backward) 
 
Os movimentos de precessão podem também ser sincronizados com a rotação 
or ou não. Normalmente, as precessões síncronas ocorrem devido ao 
nceamento de um rotor, no entanto, nem todas as precessões são síncronas. 
Para o entendimento deste comportamento do rotor, considere a Figura 1.5 na 
ostrado a precessão do rotor a partir da vista de uma de suas extremidades. O 
to hachurado representa uma massa desbalanceadora. Na Figura 1.5a, a taxa 
ção do ângulo φ (φ ) é a velocidade de precessão. Se o ângulo β, entre o vetor 
 excitação (U) e o vetor velocidade de precessão (V) (ou resposta), permanecer 
te, a velocidade de precessão e a rotação do eixo (Ω) são as mesmas 
são síncrona). Na Figura 1.5b, a taxa de variação do ângulo β (
i
β
i
) é a 
ade de rotação do rotor, relativa ao vetor velocidade de precessão V. Portanto, a 
ade do rotor é a soma de Ω = β+ φ
i i
. Neste caso, a velocidade da precessão φ
i
 e 
idade do rotor Ω não são as mesmas (precessão não síncrona). 
Introdução à Dinâmica de Rotores 9
 O motivo pelo qual as precessões inversas são destrutivas vem do fato deste 
movimento altenar as tensões normais na seção transversal do eixo, podendo levá-lo a 
falha por fadiga. As Figuras 1.6 e 1.7 ilustram a evolução das tensões na seção 
transversal ao longo de uma trajetória orbital em diferentes situações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ωφ =
i
 eixodisco 
 β 
 φ 
 Z 
 X 
 V 
Ω = φ+ β
i i
β
i
φ
i
 Z 
 X
 V
 U 
 
 (a) (b) 
Figura 1.5 – (a) Precessão síncrona e (b) precessão não síncrona 
 
 
Ω
Ωφ =
i
A 
A' 
A' 
A 
A'A 
Ω
Ωφ = −
i
-
+
A'
A
A' 
A
A'A 
 
 
 
 
 (b) precessão inversa (a) precessão direta 
 
Figura 1.6 – (a) Precessão direta e (b) precessão inversa (ambos síncronos) 
10 Introdução à Dinâmica de Rotores 
 
 
Ω
2
φ = −
i
A
A'
A
A A' 
Ω
Ω
Ω
2
φ =
i
A' A A' 
A 
A'A 
 
 
 
A'
 
 
 (a) precessão direta a 
 
Figura 1.7 – (a) Precessão direta e (b) precessã
 
AAnnáálliissee ddoo mmooddeelloo JJeeffffccootttt rroottoorr 
 
 A Figura 1.8 apresenta a vista de uma d
rotor realizando uma precessão. O centro de mas
centro geométrico do disco. O deslocamento estáti
a deflexão do eixo do rotor devido as cargas dinâm
é considerada desprezível comparada às forças din
 O eixo do rotor é considerado ter rigi
amortecimento viscoso do conjunto é c e a veloc
equações diferenciais que fornecem o moviment
cartesianas X e Z são da forma : 
 
2
2
mX c X kX mΩ d senΩt
mZ c Z kZ mΩ d cosΩt
+ + =
+ + =
ii i
ii i
 
 
(b) precessão invers
o inversa (ambos não síncronos) 
as extremidades do modelo Jeffcott 
sa está em M. O ponto C localiza o 
co do desbalanceamento é d CM= e 
icas é r . A força de gravidade 
âmicas. 
OC=
dez k, o disco tem massa m, o 
idade de rotação do rotor é Ω. As 
o do centro disco em coordenadas 
 (1.2) 
Introdução à Dinâmica de Rotores 11
 A solução da eq. (1.2) para a precessão síncrona é1: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 22
2
2 22
1
2
Ω dX s Ωt )
k /m Ω cΩ /m
Ω dZ Ωt
k /m Ω cΩ /m
cΩtan
m k /m Ω
−
= −
− +
=
− +
 
 β =
 − 
en(
cos( )
β
−β (1.3) 
 
 Da Figura 1.8, conclue-se que a deflexão do eixo do rotor é: 
 
( ) ( )
2
2 2
2 22
Ω dr X Z
k /m Ω cΩ /m
= + =
− +
 (1.4) 
 
 β 
 r M d 
 C
 O
 φ 
 Z
 X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.8 – Jeffcott rotor realizando uma precessão 
 
 
1 A determinação das equações diferenciais de movimento se encontram em anexo 
12 Introdução à Dinâmica de Rotores 
SSiiggnniiffiiccaaddoo ffííssiiccoo ddaass ssoolluuççõõeess 
 
 A Figura 1.9a mostra como a amplitude da precessão síncrona aumenta com a 
aproximação da velocidade crítica, e após a passagem pela velocidade crítica, diminui e 
se aproxima assintoticamente do deslocamento estático d do desbalanceamento nas 
velocidades supercríticas (acima das velocidades críticas). Desta forma, em altas 
velocidades, a amplitude em precessão síncrona pode ser pequena com o 
balanceamento do rotor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) 
pequeno 
amortecimento 
grande 
amortecimento 
 k m
A
m
pl
itu
de
 d
o 
gi
ro
 s
ín
cr
on
o 
r 
 d 
Velocidade 
do eixo Ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) 
k
m
180° 
0° 
90° 
 
grande 
amortecimento 
pequeno 
amortecimento 
Â
ng
ul
o 
de
 fa
se
 β
 
Velocidade 
do eixo Ω 
Figura 1.9 – Resposta à um desbalanceamento do Jeffcott rotor 
Introdução à Dinâmica de Rotores 13
 Em velocidades próximas da velocidade crítica, pode ser visto que o parâmetro 
mais importante para a redução da amplitude é o amortecimento. 
 
A Figura 1.9a também fornece a definição de velocidade crítica: velocidade na 
qual a resposta síncrona devido ao desbalanceamento é máxima. A Figura 1.9b 
explica a razão pela qual a amplitude se aproxima assintoticamente do deslocamento 
estático d do desbalanceamento. Quando a velocidade críticaé atravessada, o ângulo β 
passa por 90° e se aproxima de 180° nas velocidades supercríticas. Assim, para altas 
velocidades, o centro de massa M gira internamente à órbita realizada pelo disco, e o 
centro do disco C gira em torno do centro de massa M com uma amplitude igual ao 
deslocamento estático d do desbalanceamento. Este fenômeno é chamado de inversão 
da velocidade crítica. Observa-se que o centro de massa M se mantém externamente a 
órbita realizada pelo disco nas baixas velocidades kΩ m< , e o desbalanceamento 
está defasado de 90° do vetor V na velocidade crítica não amortecida ( k m ). 
 
TTrrêêss ffoorrmmaass ddee rreedduuzziirr aa aammpplliittuuddee ddoo ggiirroo ssíínnccrroonnoo 
 
 Da observação da Figura 1.9, pode-se concluir que as três formas de reduzir a 
amplitude do giro síncrono são: (1) balancear o rotor (minimizando a massa M), (2) 
alterar a velocidade de rotação do rotor Ω (distante da velocidade crítica) e (3) adicionar 
amortecimento no sistema rotor/mancais. Balancear o rotor é a forma mais direta de 
resolver o problema, já que isto ataca o problema na sua fonte. A segunda opção pode 
ser alterar a velocidade de operação do rotor ou alterar a velocidade crítica, 
modificando a rigidez dos mancais. Se o rotor deve atravessar uma velocidade crítica e 
isto não pode ser evitado, então a forma mais efetiva de reduzir a amplitude é 
adicionando amortecimento em mancais flexíveis ou utilizando mancais com filme de 
óleo. 
 
 
14 Introdução à Dinâmica de Rotores 
AAllgguummaass ddeeffiinniiççõõeess ssoobbrree aammoorrtteecciimmeennttoo 
 
 É muito comum quantificar o amortecimento presente em rotores em termos de 
porcentagem do amortecimento crítico ccr. O coeficiente de amortecimento crítico é o 
valor requerido de amortecimento para suprimir completamente qualquer vibração no 
sistema. Assim a relação de amortecimento é crc / cξ = . Para o modelo Jeffcott rotor, o 
coeficiente de amortecimento crítico é cr =c 2 e é assumido ser concentrado no 
centro do disco. 
km
Introduzindo o coeficiente de amortecimento crítico na eq. (1.3) e após na eq. 
(1.4), a amplitude do giro síncrono em k mω = é 
d
2=r ξ e a velocidade crítica é 
2(1 )ω − ξ2 . O fator 12ξ é as vezes referido como fator de amplificação ou Q factor 
do sistema rotor/mancais. 
 Colocando a eq. (1.4) em uma forma adimensional temos: 
 
( )
( ) ( )
2
22 2
Ωr
d
Ω Ω1 2
ω=
 − + ξ ω ω 
 (1.5) 
 
EEffeeiittoo ddee mmaannccaaiiss fflleexxíívveeiiss 
 
 A forma dos modos como o rotor irá vibrar é determinada pela distribuição da 
massa e da rigidez ao longo do mesmo, assim como da rigidez dos mancais. Os três 
primeiros modos, associados com as três mais baixas freqüências naturais de um eixo 
uniforme, muda com o aumento da rigidez dos mancais (ver Figura 1.10). Note que 
para baixa rigidez do mancal (K ≈ 0), os dois primeiros modos causam uma flexão no 
eixo do rotor quase desprezível. Nestes dois primeiros modos, o eixo do rotor 
permanece rígido (modo de corpo rígido) e percorre uma trajetória cilíndrica no primeiro 
modo e cônica no segundo. 
Introdução à Dinâmica de Rotores 15
 Se a velocidade do rotor é acrescida, o terceiro modo será atingido, causando 
flexão no eixo do rotor, Figura 1.10. Se a rigidez dos mancais é muito baixa, este modo 
é praticamente o modo livre-livre. 
 Para rotores com mancais hidrodinâmicos, o amortecimento pode ser suficiente 
para fazer desaparecer um ou os dois modos de corpo rígido. 
 
 
 
KK 
K → ∞ Valor intermediário 
de K 
K ≈ 0 
1° modo 
2° modo 
3° modo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.10 – Forma dos modos de vibração em função da rigidez dos mancais 
 
É desejável em qualquer máquina rotativa que os mancais sejam mais flexíveis 
que o eixo do rotor. Os motivos para isso são: 
o A baixa rigidez dos mancais reduz a transmissão das cargas dinâmicas para a 
sua fundação, prolongando a vida útil dos mancais e reduzindo as vibrações 
estruturais; 
o A baixa rigidez dos mancais permite que o amortecimento, em mancais 
hidrodinâmicos ou com amortecedores ditos externos, opere com maior 
eficiência, atenuando a amplitude do rotor nas velocidades críticas. 
 
O primeiro motivo pode ser explicado utilizando um rotor curto de rigidez k = 2 KB 
e amortecimento c = 2 CB. A deflexão r é a deflexão de todo o rotor e não mais OC=
16 Introdução à Dinâmica de Rotores 
somente do disco. 
 
CB 
KB 
CB KB 
KB CB CB 
m 
KB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.11 – Rotor curto amortecido por mancais flexíveis 
 
 Considerando que a força transmitida pelo mancal é a resultante da força 
devido a rigidez (proporcional ao deslocamento) e a força devido ao amortecimento 
(proporcional à velocidade tangencial), temos que: 
 
( )
( )
( )
k B
c B
22 2 2
t k c B B
F K r força devido a rigidez
F C Ω r força devido ao amortecimento
F F F r K C Ω
=
=
= + = +
 (1.6) 
 
 Utilizando a eq. (1.4), a expressão da força transmitida é: 
 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
B B2
t 2 22
B B
2K 2C Ω1F mΩ d
2 2K mΩ 2C Ω
+
=
− +
 (1.7) 
 
 Considere que, se o mancal fosse rígido, a força no mancal fosse dada por : 
 
21F mΩ d
2∞
= (1.8) 
Introdução à Dinâmica de Rotores 17
 Pode ser demonstrado através de um exemplo simples que, para um rotor de 
massa m = 10 kg, com um deslocamento estático d = 0,001 m e operando em uma alta 
velocidade, como por exemplo 25000 rpm 5000 rad/ s
60
Ω π= = , a força transmitida pode 
ser intolerável, da ordem de 1370 N. Portanto, a relação entre a força transmitida Ft e a 
força transmitida considerando o mancal rígido F∞ é: 
 
( )
( )( ) ( )
2
t
22 2
1 2 Ω /F
F 1 2 Ω / 2 Ω /∞
+ ξ ω
=
+ ξ ω + ξ ω
 (1.9) 
 
onde a velocidade crítica não amortecida é BKk 2mω = = m e a relação de 
amortecimento é B Bcr
2C Cc / c m2 km
ξ = = = ω . 
 
Observa-se na Figura 1.12 que : 
o A transmissibilidade tem o mesmo valor para qualquer amortecimento na 
velocidade de rotação * 2= ωΩ ; 
o O amortecimento nos mancais aumenta a força transmitida nas altas velocidades 
, onde o efeito da flexibilidade dos mancais é favorável; ( *Ω Ω> )
o O amortecimento nos mancais pode ser necessário para manter a força 
transmitida dentro de limites aceitáveis na passagem pela velocidade crítica ; 
o Baixa rigidez de mancal não é um fator incondicional, já que um valor 
impropriamente escolhido pode produzir forças dinâmicas superiores quando 
considerado o mancal rígido, eq. (1.8). 
 
 
 
 
 
18 Introdução à Dinâmica de Rotores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 Ω
ω
t
F∞
*Ω Ω=
 
 F 
 3 
 2 
 1 
 
 1 
 
grande 
amortecimento 
pequeno 
amortecimento 
Figura 1.12 – Transmissibilidade vs. relação de velocidade do rotor 
 
 Através da comparação da Figura 1.12 com a Figura 1.9, pode-se concluir que 
o efeito do amortecimento sobre a força transmitida é diferente do efeito do 
amortecimento sobre a amplitude de vibração. Enquanto que, o efeito do 
amortecimento sobre a amplitude de vibração é favorável ao longo de toda a faixa de 
rotações, o efeito do amortecimento sobre a força transmitida é favorável somente para 
Ω 2< ω . 
 
IInnssttaabbiilliiddaaddee eemm rroottoorreess 
 
 A instabilidade em máquinas rotativas é normalmente produzida por forças que 
são tangenciais à órbita de giro do rotor, chamadas deforças desestabilizadoras, 
agindo no mesmo sentido do movimento instantâneo. Se a intensidade da força 
desestabilizadora é proporcional a velocidade instantânea da órbita, esta força é 
classificada como uma força de amortecimento negativa. Se a intensidade da força é 
proporcional ao deslocamento do rotor (raio instantâneo da órbita), ela é classificada 
como força de rigidez de acoplamento. O termo acoplamento vem do fato de um 
deslocamento na direção X produzir uma força na direção Z, e vice-versa, Figura 1.13. 
A força tangencial Fφ é a força resultante das componentes FX e FZ. A instabilidade 
Introdução à Dinâmica de Rotores 19
pode também ser causada por forças axiais compressivas, menos freqüentes em 
rotores. 
 
 Fφ
FZ = KZXX 
FX = -KXZZ
 φ 
 C
 O
 Z
 X 
 
 
 
KXZ > 0 
KZX < 0 
 
 
 
 
 
 Figura 1.13 – Representação das forças de acoplamento (desestabilizadoras) 
 
EEffeeiittoo ddaa aanniissoottrrooppiiaa ddooss mmaannccaaiiss nnoo aammoorrtteecciimmeennttoo 
 
 Um mancal é dito anisotrópico ou assimétrico quando os coeficientes de rigidez 
nas direções X e Z são diferentes, KXX ≠ KZZ (ver Figura 1.14). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
KXZ CXZ
KZX CZX
Z
X
KXX CXX 
KZZ CZZ
 
Figura 1.14 – Rotor com mancais anisotrópicos – KXX ≠ KZZ 
20 Introdução à Dinâmica de Rotores 
 
Vários estudos já comprovaram a relação entre o amortecimento interno2 do 
material e a taxa de deformação a qual ele é submetido. Assim considerando, a tensão 
normal à seção transversal do eixo do rotor pode ser colocada da forma (ver figura 
1.15): 
 
vEσ = ε + η ε
i
E (1.10) 
 
onde E é o módulo de elasticidade do material do eixo, ηv é o fator de amortecimento 
viscoso do material do eixo, e ε é a taxa de deformação normal à face. 
i
 
 
 
Tensão normal trativa 
Tensão normal compressiva
 M 
Figura 1.15 – Distribuição da tensão normal à seção transversal do eixo do rotor 
 
 Em um desses estudos, foi observado que o amortecimento interno em um 
sistema rotativo não afeta a resposta ao desbalanceamento em rotores com mancais 
 
2 O amortecimento interno é inerente ao material do eixo do rotor, enquanto que, o amortecimento 
externo é devido aos mancais. 
Introdução à Dinâmica de Rotores 21
isotrópicos (KXX = KZZ), ao contrário do que acontece com mancais anisotrópicos (KXX ≠ 
KZZ). Se os mancais são isotrópicos, o eixo do rotor defletirá e girará em torno do eixo 
neutro na velocidade de rotação Ω, seguindo uma órbita circular. Ou seja, a forma de 
deflexão do eixo permanece inalterada durante o movimento. Portanto, em um eixo 
movimento de precessão síncrona (Ω )= φ
i
 e órbita circular, as deformações não variam 
durante o movimento de precessão, Figura 1.16a. Conseqüentemente, o amortecimento 
interno, inerente ao material, não afeta o estado de tensão na seção transversal do eixo 
do rotor. Porém, se o rotor está apoiado sobre mancais anisotrópicos, a órbita do 
movimento de precessão é elíptica, fazendo com que as deformações variem 
proporcionamente à diferença entre os eixos da elipse, Figura 1.16b. Neste caso, o 
amortecimento interno do eixo pode afetar consideravelmente o estado de tensão na 
seção transversal do eixo do rotor. 
 Uma forma do amortecimento interno afetar a resposta de um rotor com 
mancais isotrópicos é através de uma excitação assíncrona (Ω )≠ φ
i
. Neste caso, apesar 
do rotor movimentar seguindo uma órbita circular, as deformações na seção transversal 
do eixo irão variar na medida que este gira, pois a velocidade de precessão é diferente 
da velocidade de rotação do rotor, Figura 1.16c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 Introdução à Dinâmica de Rotores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ω
Ωφ =
i
Ωφ =
i Ω
2
φ =
i
(c) 
A' A A'
A
A' A
(b) 
A' 
A 
A' 
A 
ΩA' A 
(a) 
A'
A 
A'
A
A'A
 Ω
 
Figura 1.16 – Evolução da tensão normal na seção transversal do eixo de um rotor: 
(a) precessão síncrona e mancais isotrópicos; (b) precessão síncrona e mancais 
anisotrópicos; (c) precessão sub-síncrona ( Ω
2
φ =
i
) e mancais isotrópicos. 
 
Introdução à Dinâmica de Rotores 23
22 -- EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE EENNEERRGGIIAA DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS DDEE RROOTTOORR 
 
Este capítulo tem por objetivo avaliar o comportamento dinâmico de rotores 
partindo de um modelo mais complexo do que o modelo Jeffcott rotor (ou de Laval). De 
forma a facilitar a compreensão e evitar um número excessivo de equações, será 
considerado um rotor com um eixo e somente um disco e dois mancais. 
Para a obtenção das equações de movimento de rotores, é considerado 
somente a energia cinética do disco, sendo a energia cinética do eixo considerada 
desprezível com relação a energia cinética do disco. O disco é considerado rígido, logo 
a energia de deformação é devido somente ao eixo e o efeito das forças dos mancais é 
introduzido através do conceito de trabalhos virtuais. A equação de movimento do rotor 
é obtida aplicando-se a equação de Lagrange sobre as energias cinética do disco e de 
deformação do eixo, Lalanne et al, 1998. 
 
22..11 -- EEnneerrggiiaa cciinnééttiiccaa ddoo ddiissccoo 
y
 
Da Figura 2.1, pode-se deduzir o vetor velocidade instantânea de rotação do 
disco no sistema de coordenadas de referência (x, y, z) como sendo, Vance, 1988. 
 
ω = ψ + θ + φ
i i i
Z x ' (2.1) 
 
onde , e são vetores unitários. Os eixos (X, Y, Z) formam o sistema de 
coordenadas fixo (ou inercial), os eixos (x’, y’, z’) formam um sistema de coordenadas 
intermediário e os eixos (x, y, z) formam o sistema de coordenadas fixo no disco (ou de 
referência). 
Z x ' y
 Observa-se que a ordem das rotações deve ser: (1) ψ em torno de Z, (2) θ em 
torno de x’ e (3) φ em torno de y, já que a rotação do rotor Ω é em torno do eixo 
instantâneo y. A velocidade angular do disco é φ
i
 e as componentes do vetor 
velocidade instantânea ω no sistema de coordenadas de referência é: 
24 Introdução à Dinâmica de Rotores 
x
y
z
cos sen cos
sen
cos cos sen
 
−ψ θ φ + θ φ  ω
    ω = φ + ψ θ  
  ω   ψ θ φ + θ φ
  
i i
i i
i i


 (2.2) 
 
 
Ωφ =
i
ψ
i
θ
i
 z’
 y’ 
Ω
w
u
φ
φ
ψ
ψ 
θ
θ 
 Y 
 z 
Z
x x’
X 
 y 
Y 
 Z 
 X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1- Sistema de coordenadas de referência para um disco em um eixo flexível 
 
A energia cinética do disco pode ser expressa por: 
 
( )
2 2
2 2
D D Dz z Dy y Dz z
1 1T M u w I I I
2 2

= + + ω + ω +  
i i 2ω (2.3) 
 
onde u e w são coordenadas nas direções x e z do centro de inércia do disco, MD é a 
massa do disco de densidade volumétrica ρ e, IDx, IDy e IDz são momentos de inércia de 
massa do disco com relação ao sistema de coordenadas de referência, Figura 2.2. 
 
 
 
Introdução à Dinâmica de Rotores 25
 
dm 
 z
 x
 ∆
 x 
 z 
 
 
 
 
 
 
y 
 
Figura 2.2- Momentos de inércia de massa do disco no sistema de referência 
 
2
Dx
V
I z= ρ∫ dV dV, I x , I2Dz
V
= ρ∫ = ρ∫ 2Dy
V
∆ dV 
 
Considerando que os ângulos θ e ψ são pequenos, que a velocidade de rotação 
é e a simetria do disco, IΩφ =
i
Dx = IDz, segue que, a partir da eq. (2.3): 
 
2 2 2 2
2
D D Dx Dy Dy
1 1T M u w I I Ω I Ω
2 2
   
= + + θ + ψ + ψ θ +      
   
i i i i i 1
2
 (2.4) 
 
Osdeslocamentos transversais u, w e as rotações θ e ψ são as coordenadas 
ditas generalizadas. 
 
22..11 -- EEnneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo ddoo eeiixxoo eemm fflleexxããoo 
 
A expressão geral para a energia de deformação é: 
 
V
1U d
2
= σ ε∫ V (2.5) 
26 Introdução à Dinâmica de Rotores 
onde, dentro do regime elástico linear, a relação dada pela Lei de Hooke é, : Eσ = ε
O campo de deslocamento de um ponto qualquer sobre o eixo é definido como 
sendo (ver Figuras 2.3 e 2.4): 
 
o
o
o
u u
w w
u wv v x z
y y
=
=
∂ ∂
= − −
∂ ∂
 (2.6) 
 
onde os deslocamentos uo, wo e vo são os deslocamentos de um ponto situado no eixo 
neutro da seção transversal do eixo. 
A partir do campo de deslocamento definido pela eq. (2.6), as deformações 
lineares são tais que: 
 
x x o
z z o
2 2
y y o 2 2
u
x
w
z
v ux z
y y y
∂
ε = = ε
∂
∂
ε = = ε
∂
∂ ∂
ε = = ε − −
∂ ∂ ∂
w∂
 (2.7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) 
x 
P 
Mx (positivo) 
θ 
θ = ∂w/∂y (positivo)
wo
configuração 
deformada 
configuração não
deformada 
y, vo 
z 
Introdução à Dinâmica de Rotores 27
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
Mz (negativo) 
P 
ψ
ψ =–∂u/∂y (negativo)
uo 
configuração 
deformada 
configuração não
deformada 
y, vo 
z 
 (b) 
Figura 2.3 – Campo de deslocamentos de um ponto do eixo – (a) Plano zy (b) Plano xy 
 
Desprezando as deformações normais à espessura do eixo, εx0 e εz0, e a 
deformação de membrana εy0, somente as deformações de flexão 
2 2
2
u wx , z
y y
 ∂ ∂− − ∂ 
2

∂
 são consideradas. Assim, a expressão de tensão normal na 
direção y é da forma: 
 
2 2
y y 2
uE E x z
y y
 ∂ ∂
σ = ε = − −
∂ ∂ 
2
w
 (2.8) 
 
 Sabe-se que a relação entre curvatura e momento fletor é da forma: 
 
∂ ∂θ
= ⇒ =
∂∂
∂ ∂
= − ⇒ =
∂∂
2
x x
2
x
2
z z
2
z z
M Mw
E I y E Iy
M Mu
E I y E Iy
ψ
x (2.9) 
 
28 Introdução à Dinâmica de Rotores 
Substituindo as eqs. (2.9) na eq. (2.8), tem-se uma nova expressão de tensão 
normal: 
 
z
y
z x
M Mx z
I I
σ = − x (2.10) 
 
As deformações são medidas sobre o sistema de coordenadas de referência 
colocado no centro do eixo que gira a uma velocidade de rotação de . Para efeito 
de distinção, são denotados u* e w* como sendo componentes do deslocamento do 
centro do eixo no sistema de coordenadas de referência, Figure 2.4. A passagem para 
o sistema de coordenadas global (ou inercial), onde as componentes do deslocamento 
são u e w, é feita pela relação: 
Ωφ =
i
 
u* w senΩ t u cosΩ t
w* w cosΩ t u senΩ t
= − +
= +
 (2.11) 
 
onde Ωt é o ângulo entre o sistema de coordenadas de referência (x, y, z) e o sistema 
de coordenadas global (X, Y, Z) medido num instante t. 
 
z
x
Ωt
P
u
u*
w*
w
x
z
x 
z
X
Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figure 2.4 – Campo de deslocamento de um ponto P na seção transversal do eixo 
Introdução à Dinâmica de Rotores 29
Assim, a deformação longitudinal medida na direção y pode ser escrita sob a 
forma: 
 
2 2
y 2
u * w *x z
y y
∂ ∂
ε = − −
∂ ∂ 2
 (2.12) 
 
Substituindo a expressão de deformação, eq. (2.12), na expressão de energia 
de deformação, eq. (2.1), obtém-se a expressão final de energia de deformação do eixo 
em flexão: 
 
22 2
2 2
V
1 u * w *U E x z d
2 y y
 ∂ ∂
= − −
∂ ∂ ∫ V (2.13) 
 
Desenvolvendo a eq. (2.13), temos: 
 
2 22 2 2 2
2 2
2 2 2 2
V
1 u * w * u * w *U E x z 2 x z d
2 y y y y
       ∂ ∂ ∂ ∂ = + +      
 ∂ ∂ ∂ ∂       
∫ V (2.14) 
 
As integrais da eq. (2.14) podem ser separadas em um integral na seção 
transversal A e outra ao longo do comprimento L do eixo: 
 
L L2 22 2
2 2
2 2
A 0 A 0
L
2 2
2 2
A 0
1 u * wU E x dx dz dy z dx dz dy
2 y y
u * w *x z dx dz dy
y y
    ∂ ∂= +    ∂ ∂   
  ∂ ∂ +    ∂ ∂   
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
*
+
 (2.15) 
 
30 Introdução à Dinâmica de Rotores 
As integrais e 2 z
A
x dx dz I=∫ 2 x
A
z dx dz I=∫ são os momentos inércia de seção 
com relação aos eixos z e x, e a integral 
A
x z dx dz 0=∫ , já que os eixos x e z são eixos 
principais de inércia. Como Iz = Ix = I para o caso de um eixo simétrico, temos que a 
energia de deformação do eixo em flexão é da forma: 
 
L 2 22 * 2 *
2 2
0
1 u wU E I d
2 y y
    ∂ ∂ = +   
 ∂ ∂    
∫ y (2.16) 
 
Substituindo a eq. (2.11) na eq. (2.16), pode-se determinar a equação de 
energia de deformação no sistema de coordenadas global: 
 
L 2 22 2
2 2
0
1 u wU E I d
2 y y
    ∂ ∂= +   
 ∂ ∂    
∫ y (2.17) 
 
22..33 -- EEnneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo ddoo eeiixxoo ddeevviiddoo aa uummaa ffoorrççaa aaxxiiaall 
 
Considere que o rotor está submetido à uma força axial Fo sobre a seção 
transversal A do eixo. A energia de deformação devido a esta força é da forma: 
 
o
V
FU
A
= ε∫ dV (2.18) 
 
As deformações são como aquelas obtidas na eq. (2.7), com exceção dos 
termos não lineares, que são agora adicionados. 
 
Introdução à Dinâmica de Rotores 31
x x o
z z o
2 22 2
y y o 2 2
u
x
w
z
v u w 1 u 1x z
y 2 yy y
∂
ε = = ε
∂
∂
ε = = ε
∂
   ∂ ∂ ∂ ∂
ε = = ε − − + +   ∂ ∂∂ ∂    
w
2 y
∂
∂
 (2.19) 
 
Desprezando novamente as deformações normais à espessura do eixo, εxo e 
εzo, e a deformação de membrana εyo, e substituindo a eq. (2.19) na eq. (2.18), obtém-
se a expressão de energia de deformação devido a momentos fletores e à uma força 
axial no eixo: 
 
2 22 2
o
2 2
V
F u w 1 u 1 wU x z
A 2 y 2y y
    ∂ ∂ ∂ ∂= − − + +   ∂ ∂∂ ∂     ∫ dVy  (2.20) 
 
22..44 –– MMaannccaaiiss 
i
 
 A influência da rigidez e do amortecimento viscoso dos mancais no 
comportamento do rotor é considerada a partir do trabalho virtual das forças atuando no 
eixo (ver Figura 1.13). 
 
xx xz zz zx
xx xz zz zx
W k u u k w u k w w k u w
c u u c w u c w w c u w
δ = − δ − δ − δ − δ
− δ − δ − δ − δ
i i i (2.21) 
 
ou : 
 
u wW F u F uδ = δ + δ (2.22) 
 
onde, Fu e Fw são as componentes das forças generalizadas, colocadas da forma: 
 
32 Introdução à Dinâmica de Rotores 
u xx xz xx xz
w zx zz zx zz
F k k c cu
F k k c cw
w
u         = − −       
         
i
i
 (2.23) 
 
onde o sinal negativo significa que as forças nos mancais são no sentido contrário aos 
deslocamentos u e w e às velocidades u e . 
i
w
i
 
22..55 –– EEqquuaaççõõeess ddee mmoovviimmeennttoo ddoo rroottoorr 
 
 As eqs. (2.4), (2.17), (2.20) e (2.22) associadas à um método analítico do tipo 
Rayleigh-Ritz ou à um método numérico, permitem determinar as equações de 
movimento do rotor a partir da aplicação da equação de Lagrange, Lalanne et al. 
(1998). 
 
i
i i i i
d T T U D Fp
dt p p p p
 ∂ ∂ ∂ ∂
− + + = ∂ ∂ ∂ ∂ 
 (2.24) 
 
onde T é a energia cinética, U é a energia de deformação, D é uma energia dissipativa 
e Fpi são forças generalizadas correspondentes as coordenadas generalizadas pi (u, w, 
θ e ψ). 
 
Introdução à Dinâmica de Rotores 33
33 –– MMÉÉTTOODDOO DDEE RRAAYYLLEEIIGGHH--RRIITTZZ 
 
O método de Rayleigh-Ritz é utilizado para a determinação das n freqüências 
naturais mais baixas de um sistema, a partir de uma hipótese razoável do 
deslocamento dos pontos da estrutura. Logo: 
 
1
1 n
n
p
u ( , , )
p
 
 = γ γ  
 
 
 (3.1) 
 
onde u é o vetor deslocamento, γi são funções deslocamento que devem verificar as 
condições cinemáticas ou as condições de contorno e pi são novas variáveis em função 
do tempo. 
 
33..11 –– RRoottoorr iissoottrróóppiiccoo bbii--aappooiiaaddoo 
 
 
Como exemplo de utilização do método de Rayleigh-Ritz, determine a evolução 
da primeira freqüência natural em função da velocidade de rotação Ω de um rotor 
simplesmente apoiado como apresentado na Figure 3.1. O mancal é considerado 
rígido, não tendo portanto influência nas equações de movimento do rotor. 
 
 
2° modo
1° modo Ω 
 x 
 z 
 y 
2L/3L/3
 
 
 
 
Figura 3.1 – Rotor simplesmente apoiado3 
 
 
3 Para fins de simplificação, o sistema de coordenadas inercial (X, Y, Z) será substituído por (x, y, z). 
34 Introdução à Dinâmica de Rotores 
Uma hipótese razoável do deslocamento em flexão do rotor para esta 
configuração pode ser da forma: 
 
1
2
m yu(y,t) sen p (t)
L
m yw(y,t) sen p (t)
L
π
=
π
=
 (3.2) 
 
 Estas hipóteses de deslocamento verificam as condições de contorno do 
problema para y = 0 e y = L onde u = w = 0. O parâmetro m representa o número do 
modo em flexão a ser analisado. Neste caso, todas as análises serão realizadas 
considerando somente o 1° modo em flexão, logo m = 1. 
 As rotações de seção são determinadas fazendo (ver Figura 2.3): 
 
2
1
w y(y,t) cos p
y L L
u y(y,t) cos p
y L L
∂ π π
θ = =
∂
∂ π π
ψ = − = −
∂
 (3.3) 
 
3.1.1 – Diagrama de Campbell para rotores isotrópicos 
 
Introduzindo as eq. (3.2) e (3.3) na eq. (2.4), a energia cinética do disco é dada 
por: 
 
   π π π π π         = + + −                         
i i i2 22 2
2 2 2
D D Dx 1 2 Dy 1 2
1 y y yT M sin I cos p p I Ω cos p p
2 L L L L L (3.4) 
 
Substituindo a eq. (3.2) na eq. (2.17), a energia de deformação do eixo é dada 
da forma: 
 
Introdução à Dinâmica de Rotores 35
(
L4
2 22
1 2
0
1 yU E I sen dy p p
2 L L
 
π π    =          
∫ )+
=
 (3.5) 
 
Da aplicação da equação de Lagrange, eq. (2.24), nas eqs. (3.4) e (3.5), temos: 
 
11 2
22 1
m p a Ω p k p 0
m p a Ω p k p 0
− + =
+ +
ii i
ii i
 (3.6) 
 
com: 
2
2 2
D Dx
.y .yM sin I cos
L L L
 π π π     = +      
       
m , 
2
2
Dy
.ya I cos
L L
π π   =    
   
, 
3
I
L 2
k E π π   =    
   
. 
 
As eqs. (3.6) representam as equações de movimento do rotor. Observa-se que 
estas equações são acopladas pelos termos a e . Estes termos 
representam o efeito Giroscópico (ou efeito Coriolis) do disco e são função sua inércia 
rotacional I
2Ω p
i
1a Ω p−
i
DY e de sua posição y no eixo. Observa-se que, se o disco estiver 
posicionado no centro do eixo, y = L/2, este efeito é nulo. 
 A solução para a eq. (3.6) pode ser da forma: 
 
st
1 1
st
2 2
p (t) P e
p (t) P e
=
=
 (3.7) 
 
onde são as freqüências naturais em flexão para cada rotação Ω do rotor. s j (Ω)= ± ω
 
Substituindo as eqs. (3.7) nas eqs (3.6), obtém-se as expressões: 
 
2 st st st
1 2 1
2 st st st
2 1 2
m s P e aΩ s P e k P e 0
m s P e aΩ s P e k P e 0
− +
+ +
=
=
 (3.8) 
 
36 Introdução à Dinâmica de Rotores 
que colocadas em forma matricial, e considerando que est ≠ 0, são: 
 
( )
( )
2
1
2 2
m s k aΩ s P
0
PaΩ s m s k
 + −   =   + 


 (3.9) 
 
 A solução não trivial, P1 ≠ 0 e P2 ≠ 0, é determinada fazendo o determinante da 
matriz igual a zero. Fazendo isto, obtêm-se a equação característica (ou polinômio 
característico) do rotor onde as raízes são as freqüências naturais: 
 
2 2
4 2 2
2
2k a ks Ω s
m m m
 
+ + + = 
 
2 0 (3.10) 
 
A expressão para a primeira raiz, correspondente a primeira freqüência ω1 é : 
 
22 2
2 2 2
1 2 2
k a k a ks Ω Ω
m m2m 2m m
   
= − + − + −   
   
2
2 (3.11) 
 
onde s1 = ± jω1. E, a expressão para a segunda raiz, correspondente a segunda 
freqüência ω2 é : 
22 2
2 2 2
2 2 2
k a k a ks Ω Ω
m m2m 2m m
   
= − + + + −   
   
2
2 (3.12) 
 
onde s2 = ± jω2. 
 
Como exemplo de aplicação, considere a rotor com a configuração mostrada na 
Figura 3.1, com os seguintes dados; disco rígido: IDx = 0,1225 kg.m2, IDy = 0,2450 kg.m2, 
MD = 7,85 kg; eixo: L = 0,4 m, I = 0,49 10-9 m4, E = 2 10 11 N/m2. Como o disco situa-se 
a y = L/3 da origem do sistema inercial, m = 7,7766 e a = 3,7782, e k = 74578,8. 
A Figura 3.2 apresenta a curva de evolução das freqüências naturais em função 
Introdução à Dinâmica de Rotores 37
da rotação do rotor Ω, eqs. (3.11) e (3.12), também chamada de Diagrama de 
Campbell. A curva tracejada representa a evolução da freqüência ω1 associada ao 
movimento de precessão inversa (backward) e a curva contínua representa a evolução 
da freqüência ω2 associada ao movimento de precessão direta (forward). 
 
0 20 40 60 80
Velocidade de rotação (rps)
100
0
10
20
30
40
50
60
Fr
eq
ue
nc
ia
 (H
z)
Backward
Forward
 
 
Figure 3.2 – Diagrama de Campbell para o rotor isotrópico 
 
3.1.2 – Resposta do rotor a um desbalanceamento 
 
A velocidade crítica do rotor é determinada em função da força de excitação. 
Para isto, suponha uma massa md = 0,001 kg situada em uma posição M sobre o disco 
a uma distância d = 0,05 m do centro, a qual provocará um desbalanceamento do rotor 
(ver Figura 3.3). O vetor posição M da massa desbalanceadora md medido no sistema 
de coordenadas inercial, conforme mostra a Figura 3.4, é: 
 
38 Introdução à Dinâmica de Rotores 
 + 
 
=   
 +
 
Lu( ,t) d senΩt
3
OM cons tante
Lw( ,t) d cosΩt
3
 (3.13) 
 
 
d 
md
 Ω x 
 z 
 y 
2L/3L/3 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 – Massa desbalanceadora md no disco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 u 
 w
 M
 d 
 C
 O
 Ω t
 Z
 X 
 
Figura 3.4 – Movimento de precessão do disco excitado por uma massa md 
 
 Considerando que a aproximação por Rayleigh-Ritz do deslocamento de um 
ponto qualquer do rotor é da forma dada pela eq. (3.2), a eq. (3.13) se transforma em: 
 
Introdução à Dinâmica de Rotores 39
π +  + 
  = =  
  π +  +
 
1
1
2
2
sen p d senΩt 0,866 p d senΩt3
OM cons tante cons tante
0,866 p d cosΩtsen p d cosΩt
3



 (3.14) 
 
 A energia cinética da massa md é: 
 
 
=   
 
2
m d
1 dOMT m
2 dt
 (3.15) 
 
 Substituindo a eq. (3.14) na eq. (3.15) temos: 
 

= + +


− + 

i i
i i
2
2 2 2d
m 1 1
2
2 2 2
2 2
m
T 0,75 p 1,732 dΩcosΩt p d Ω cos Ωt
2
0,75 p 1,732 dΩsenΩt p d Ω sen Ωt
+
 (3.16) 
 
 Aplicando as equações de Lagrange na eq. (3.16) tem-se : 
 
 
∂ ∂ − = −  ∂ ∂ 
 
∂ ∂ − = −  ∂ ∂ 
ii
i
ii
i
2m m
d 1 d
1
1
2m m
d 2 d
2
2
T Td 0,75 m p 0,866 m dΩ senΩt
dt pp
T Td 0,75 m p 0,866 m dΩ cosΩt
dt pp
 (3.17) 
 
Introduzindo as eqs. (3.17) na eq. (3.6), e considerando que a massa 
desbalanceadora md é muito inferior a massa do disco (0,001 << 7,85), os termos 
 e 0, podem ser desprezados. Logo: 
ii
d 10,75 m p
ii
d 275 m p
 
40 Introdução à Dinâmica de Rotores 
2
1 2 1 d
2
2 1 2 d
m p aΩ p k p 0,866 m dΩ senΩt
m p aΩ p k p 0,866 m dΩ cosΩt
− + =
+ + =
ii i
ii i
 (3.18) 
 
 Em regime permanente, a solução para as equações diferenciais acima são: 
1 1
2 2
p P senΩt
p P cosΩt
=
=
 (3.19) 
 
Substituindo as eqs. (3.19) nas eqs. (3.18), e eliminado os termos em sen Ωt e 
cos Ωt temos: 
 
2 2
1 2 1 d
2 2
2 1 2 d
m PΩ a P Ω k P 0,866 m dΩ
m P Ω a PΩ k P 0,866 m dΩ
− + + =
− + + =
2
2
 (3.20) 
 
Subtraindo uma equação da outra na eq. (3.20) chega-se a P1 = P2. Logo: 
 
2
d
1 2 2
0,866 m dΩP P
k (a m)Ω
= =
+ −
 (3.21) 
 
Observa-se pela eq. (3.21) que a órbita percorrida pelo eixo do rotor é circular, 
P1 = P2. Na velocidade crítica, as amplitudes P1 e P2 teoricamente se tornam infinitas, o 
que corresponde a anular o denominador da eq. (3.21). 
 
c
kΩ
m a
=
−
 (3.22) 
 
A velocidade crítica, é o ponto onde a velocidade de rotação se iguala a 
freqüência natural do rotor, Ωc = ω = 136,6 rad/s = 21,7 hz. 
A resposta em freqüência (função da velocidade de rotação do rotor) de um 
ponto qualquer ao longo do comprimento do rotor é determinada a partir da eq. (3.2), 
onde p1 e p2 são dados pela eq. (3.8): 
Introdução à Dinâmica de Rotores 41
 
2
d
2
2
d
2
0,866 m dΩyu(y,t) sen senΩt
L k (a m)Ω
0,866 m dΩyw(y,t) sen cosΩt
L k (a m)Ω
 π
=  
+ − 
 π
=  
+ − 
 (3.23) 
 
 Como exemplo de aplicação, deseja-se determinar o deslocamento do centro 
do disco, y = L/3. Na Figura 3.6 é traçado a resultante das componentes do 
deslocamento, 2 2w= +R u . 
 
0 20 40 60 80 100
Velocidade de rotação (rps)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Fr
eq
ue
nc
ia
 (H
z)
1.0E-9
1.0E-8
1.0E-7
1.0E-6
1.0E-5
1.0E-4
1.0E-3
Am
pl
itu
de
 (M
)
Forward
Backward
Resposta em Freqüência
Freqüência = rotação
 
velocidade 
crítica 
 
Figure 3.5 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco 
 O sentido do movimento de precessão do rotor é de bastante interesse no 
estudo do seu comportamento dinâmico, uma vez que os problemas de fadiga em eixos 
de rotores ocorrem nos movimentos de precessão não síncronos. Para isso, considere 
a Figura 3.6, onde C é o centro do eixo e V é a velocidade tangente à órbita do centro 
do eixo. Assim podemos colocar os vetores, posição do centro do rotor ( ) e velocidade 
tangencial ( ) da seguinte forma (lembrando que, em uma excitação síncrona, do tipo 
r
V
42 Introdução à Dinâmica de Rotores 
massa desbalanceadora, a freqüência do movimento de precessão é igual a velocidade 
de rotação do eixo, ω = Ω): 
1
2
1
2
P senΩt . i
r 0 . j
P cosΩt . k
P ΩcosΩt . i
d rV 0 . j
dt
P ΩsenΩt . k
 
  =  
 
  
 
  = =  
 
−  
 (3.24) 
 
k̂
î
r
Ω
ω = Ω 
P1 sen Ωt
P2 cos Ωt 
V
C
OX
Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.6 – Sentido do movimento de precessão do rotor 
 
 O produto vetorial r V∧ fornece o sentido do movimento de precessão, 
lembrando que: : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j k, i j k∧ = ∧ ∧ =ˆ ˆk j,= − i


 
1 2
0 . i
r V P P Ω . j
0 . k
 
 ∧ = 
 
  
 (3.25) 
 
 Então, se o produto P1P2 > 0, a precessão é direta (forward), e se o produto 
Introdução à Dinâmica de Rotores 43
P1P2 < 0, a precessão é inversa (backward). Como P1 = P2, eq. (3.35), conclui-se que, 
um rotor isotrópico excitado por uma massa desbalanceadora precessiona sempre em 
sentido forward. 
 
3.1.3 – Diagrama de Campbell do rotor com uma força axial 
 
Substituindo as hipóteses de deslocamento, eq. (2.7), na eq. (2.20) e separando 
a integral de volume em uma integral na seção transversal A e outra ao longo do 
comprimento L do eixo, temos: 
 
( )
 π π π π π π     = + + +      
       ∫∫
L
2 2
o
1 2 1 2
A 0
F y 1 y 1 yU sen x p z p cos p cos p dxdzdy
A L L 2 L L 2 L L
2
 
(3.26) 
 
A primeira integral ( )
L
2
1 2
A 0
ysen x p z p dxdzdy
L L
 π π  + 
   ∫∫  é nula quando feita 
sobre toda a seção transversal, Figura 3.7: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
de = 2 re 
ϕ
 ∆
 x
 z
 z
 x 
Figura 3.7 – Seção transversal do eixo do rotor 
onde: 
x = ∆ sen ϕ, y = ∆ cos ϕ, dxdz = dA = ∆ dϕ d∆ 
44 Introdução à Dinâmica de Rotores 
 
 Substituindo as expressões de x, y e dxdy na segunda integral, temos: 
 
( )
r 2 Le 2
2
1 2
0 0 0
ysen sen p cos p d d dy
L L
π
 π π  ϕ + ϕ δ δ ϕ 
   ∫ ∫ ∫  (3.27) 
 
Resolvendo a integral sobre a área, observa-se que os limites de integração em 
ϕ se anulam, anulando assim a integral: 
 
( )
Lre2 32
1 2 0
0 0
ycos p sen p sen dy
L 3
ππ δ  − ϕ + ϕ 
  ∫ L
π (3.28) 
 
A expressão final de energia de deformação para uma força axial aplicada no 
eixo é: 
 
L
2 2
o
1 2
A 0
F 1 y 1 yU cos p cos p
A 2 L L 2 L L
 π π π π   = +    
     ∫∫ dxdzdy (3.29) 
Resolvendo esta integral, e sabendo que 2
2 y1 cosy Lcos
L 2
π+π
= , tem-se: 
 
(
2
2 2o
1 2
FU p
4L
π
= + )p (3.30) 
 
Aplicando as equaçõesde Lagrange, eq. (2.24), e introduzindo os termos 
resultantes nas eqs. (3.6), temos: 
 
Introdução à Dinâmica de Rotores 45
2
o
11 2
2
o
22 1
Fm p a Ω p k p
2 L
Fm p a Ω p k p
2 L
 π
− + + 
 
 π
+ + + 
 
ii i
ii i
0
0
=
=
 (3.31) 
 
Supondo uma força axial de Fo = 1.000 N, o Diagrama de Campbell é da forma 
como apresentado pela Figura 3.8. 
 Considerando que o rotor sujeito a força axial Fo é excitado por uma massa 
desbalanceadora md como visto anteriormente, as equações de movimento do rotor 
são: 
 
2
2o
1 d1 2
2
2o
2 d2 1
Fm p a Ω p k p 0,866 m dΩ senΩt
2 L
Fm p a Ω p k p 0,866 m dΩ cosΩt
2 L
 π
− + + = 
 
 π
+ + + = 
 
ii i
ii i
 (3.32) 
 
A solução das eqs. (3.32) em regime permanente, é da forma apresentada pela 
eq. (3.19). Eliminado os termos em sen Ωt e cos Ωt temos: 
 
2
2 2 o
1 2 1 d
2
2 2 o
2 1 2 d
Fm PΩ a P Ω k P 0,866 m dΩ
2 L
Fm P Ω a PΩ k P 0,866 m dΩ
2 L
 π
− + + + = 
 
 π
− + + + = 
 
2
2
 (3.33) 
 
Sabendo-se que P1 = P2, temos que: 
 
2
d
1 2 2
2o
0,866 m dΩP P
F k (a m)Ω
2 L
= =
 π
+ + − 
 
 (3.34) 
 
46 Introdução à Dinâmica de Rotores 
Novamente, a órbita realizada pelo eixo do rotor é circular, P1 = P2. Na 
velocidade crítica, as amplitudes P1 e P2 se tornam infinitas, o que corresponde a anular 
o denominador da eq. (3.34). 
 
2
o
c
F k
2 L
Ω
m a
 π
+ 
=
−
 (3.35) 
 
Assim, a velocidade crítica para um rotor sujeito à uma força axial Fo = 1.000 N 
é Ωr = 147,4 rad/s = 23,5 ciclos/s = 23,5 hz. 
A resposta em freqüência (função da velocidade de rotação do rotor) de um 
ponto qualquer ao longo do comprimento do rotor devido a uma força axial, é também 
determinada a partir da eq. (3.2) e da eq. (3.34): 
 
2
d
2
2o
2
d
2
2o
0,866 m dΩyu(y,t) sen senΩt
L F k (a m)Ω
2 L
0,866 m dΩyw(y,t) sen cosΩt
L F k (a m)Ω
2 L
π
=
 π
+ + − 
 
π
=
 π
+ + − 
 
 (3.36) 
 
 Na Figura 3.8, é traçado a resultante do deslocamento do centro do disco 
quando o rotor está sujeito à uma força axial Fo = 1.000 N. Comparando com a 
amplitude do centro do disco na velocidade crítica sem força axial, Figura 3.5, a 
amplitude neste caso é muito superior. Isto vem do fato da aplicação de uma força axial 
de tração, que aumentou a rigidez do eixo, e conseqüentemente a amplitude de 
vibração quando da passagem pela velocidade crítica. 
 
 
 
Introdução à Dinâmica de Rotores 47
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Velocidade de rotação (rps)
1E-9
1E-8
1E-7
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
Am
pl
itu
de
 (m
)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Fr
eq
ue
nc
ia
 (H
z)
 
Forward
Backward
Resposta em freqüência
Freqüência = rotação
velocidade 
crítica 
Figure 3.8 – Deslocamento do centro do disco, Fo = 1.000 N 
 
 Como P1 = P2, o sentido do movimento de precessão do rotor é forward. 
 
3.1.4 – Resposta do rotor à uma força assíncrona 
 
Considere agora, o rotor sendo excitado por forças assíncronas do tipo Fo sen 
µΩt e Fo cos µΩt atuando no disco do rotor. Este caso pode ocorrer em rotores coaxiais 
e as forças assíncronas podem surgir devido ao desbalanceamento de um rotor 
secundário, Lalanne et al. (1998). 
O trabalho virtual devido a força assíncrona é: 
 
δ = µ δ + µ δo oW F sen Ωt u F cos Ωt w (3.37) 
 
onde δu e δw são os deslocamentos virtuais devidos à uma força assíncrona e µ ≠ 1. 
Substituindo os deslocamentos da eq. (3.2) na eq. (3.37), as forças 
generalizadas Fp1 e Fp2 aplicadas em uma posição qualquer do rotor principal são: 
 
48 Introdução à Dinâmica de Rotores 
π
= µ =
π
= µ =
1 o
2 o
yFp sen F sen Ωt Fsen Ωt
L
yFp sen F cos Ωt Fcos Ωt
L
µ
µ
 (3.38) 
 
Introduzindo a eq. (3.38) na eq. (3.6), obtém-se as equações de movimento do 
rotor sujeito à uma força assíncrona: 
 
− + = µ
+ + = µ
ii i
ii i
1 2 1
2 1 2
m p aΩ p k p F sen Ωt
m p aΩ p k p F cos Ωt
 (3.39) 
 
onde m = 7,7766; a = 3,7782 e k = 74578,8. 
 
 Em regime permanente, a solução das equações diferenciais acima são: 
 
= µ
= µ
1 1
2 2
p P sen Ωt
p P cos Ωt
 (3.40) 
 
Substituindo a eq. (3.40) na eq. (3.39), temos: 
 
( )
= =
µ − µ +
1 2 2 2
FP P
a m Ω k
 (3.41) 
 
Aqui novamente, a órbita do eixo do rotor é circular, P1 = P2. Na velocidade 
crítica Ωc do rotor, as amplitudes P1 e P2 se tornam infinitas, logo da eq. (3.41): 
 
c 2
kΩ
m a
=
η − η
 (3.42) 
 
Observa-se que para µ = 1, a velocidade crítica é a mesma obtida no caso de 
Introdução à Dinâmica de Rotores 49
um desbalanceamento, Ωc = 136,6 rad/s = 21,7 ciclos/s = 21,7 hz. 
Como P1 = P2, o sentido a precessão é também forward. 
 
3.1.5 – Resposta do rotor à uma força fixa no espaço 
 
Considere agora, o rotor sendo excitado por uma força assíncrona do tipo F sen 
ωt atuando no disco do rotor principal. Este caso pode acontecer quando o rotor é 
acoplado a um rotor secundário que gira a uma velocidade ω e a força de excitação 
surge devido a um desbalanceamento no rotor secundário, Figure 3.9, ou excitando o 
rotor através de um mancal colocado numa posição y qualquer ao longo do eixo do 
rotor. 
 
 
 Rotor 
secundário 
 Rotor 
principal 
 Ω 
x
 y 
2L/3L/3
z
 ω 
 
 
 
 
 
Figura 3.9 – Rotor simplesmente apoiado acoplado 
 
Supondo que há uma força de excitação atuando na direção x, o trabalho virtual 
devido a esta força é: 
 
oW F sen t uδ = ω δ (3.43) 
 
onde δu é o deslocamento virtual devido a uma força assíncrona. 
 
Substituindo os deslocamentos da eq. (3.2) na eq. (3.43), a força generalizada 
Fp1 aplicada num ponto qualquer do rotor principal é: 
 
50 Introdução à Dinâmica de Rotores 
1 o
2
yFp sen F sen t
L
Fp 0
π
= ω
=
 (3.44) 
 
Introduzindo a eq. (3.44) na eq. (3.6), obtém-se as equações de movimento do 
rotor sujeito à uma força assíncrona: 
 
11 2
22 1
m p a Ω p k p F sen
m p a Ω p k p 0
− + =
+ + =
ii i
ii i
tω
t
tω
 (3.45) 
 
onde m = 7,7766, a = 3,7782 e k = 74578,8. 
 Em regime permanente, a solução para as equações diferenciais acima são: 
 
1 1
2 2
p P sen
p P cos
= ω
=
 (3.46) 
 
Substituindo a eq. (3.46) na eq. (3.45), e resolvendo o sistema temos: 
 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
1 2 22
2 2 22
k m
P F
k m aΩ
aΩ
P F
k m aΩ
− ω
=
− ω − ω
− ω
=
− ω − ω
 (3.47) 
 
Pela eq. (3.47), observa-se que a trajetória do eixo do rotor nãoé mais circular, 
mas sim elíptica, P1 ≠ P2. Na velocidade crítica, as amplitudes P1 e P2 se tornam 
infinitas, logo da eq. (3.47): 
 
( ) ( )2 22k m aΩ 0− ω − ω = (3.48) 
 
Introdução à Dinâmica de Rotores 51
ou : 
2 2
4 2 2
2
2k a kΩ 0
m m m
 
ω − + ω + = 
 
2 (3.49) 
 
A eq. (3.49) é semelhante a eq. (3.10), onde as raízes da equação são as 
velocidades críticas, em função da velocidade do rotor, dadas por: 
 
22 2
2 2 2
1 2 2
22 2
2 2 2
2 2 2
k a k a kΩ Ω
m m2m 2m m
k a k a kΩ Ω
m m2m 2m m
   
ω = + − + −   
   
   
ω = + + + −   
   
2
2
2
2
 (3.50) 
 
Diferentemente dos casos anteriores, desbalanceamento e força assíncrona, no 
caso de uma força fixa no espaço, em um mesmo modo de vibração, podem ocorrer 
duas velocidades críticas. Este comportamento é freqüentemente utilizado para 
reproduzir experimentalmente o Diagrama de Campbell do rotor. 
A resposta em freqüência de um ponto qualquer ao longo do comprimento do 
rotor devido a uma força fixa no espaço, é também determinada a partir da eq. (3.2) e 
da eq. (3.47): 
 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 22
2 22
k myu(y,t) sen Fsen t
L k m aΩ
aΩyw(y,t) sen Fcos t
L k m aΩ
− ωπ
= ω
− ω − ω
− ωπ
= ω
− ω − ω
 (3.51) 
 
 A Figura 3.10 apresenta as duas freqüências naturais na rotação do rotor em Ω 
= 80 rps. Uma comparação com a Figura 3.5 mostra que estas freqüências são ω1 ≅ 6 
Hz e ω2 ≅ 42 Hz. 
 
52 Introdução à Dinâmica de Rotores 
0 10 20 30 40 50 6
Frequencia (Hz)
1E-7
1E-6
1E-5
1E-4
A
m
pl
itu
de
 (m
)
 
Forward Backward
15,59 
0
 
Figure 3.10 – Deslocamento do centro do disco, Ω = 80 rps 
 
 O sentido do movimento de precessão é determinado da seguinte forma: P1P2 > 
0 (Forward) e P1P2 < 0 (Backward). Das eqs. (3.47), o produto P1P2 fornece: 
 
( ) (21 2PP k m aΩ= − ω − ω ) (3.52) 
 
ou: 
 
2
1 2PP k m= − + ω (3.53) 
 
 Observa-se na eq. (3.53) que, como k é >> m, para pequenos valores de ω, a 
equação é negativa, assim, a precessão é Backward, e para grandes valores de ω, a 
equação é positiva, sendo a precessão portanto Forward. A mudança de sinal ocorre 
quando a eq. (3.53) for nula, o que ocorre para ω = 15,59 hz, considerando que m = 
7,7766 e k = 74578,8. 
Introdução à Dinâmica de Rotores 53
33..22 –– RRoottoorr aanniissoottrróóppiiccoo bbii--aappooiiaaddoo 
 
No estudo do comportamento de rotores anisotrópicos, serão considerados 
mancais flexíveis, com Kxx = 10 104 N/m e Kzz = 20 104 N/m, Figura 3.11. Os termos de 
amortecimento Cxx, Czz e os termos de acoplamento Kxz, Kzx, Cxz e Czx são considerados 
nulos. 
 
1 modoo
Kxx Kxx
kzz kzz x 
 z 
y 
2L/3L/3
 
 
 
 
 
Figura 3.11 – Rotor com mancais flexíveis e anisotrópicos 
 
Uma hipótese razoável do deslocamento em flexão do rotor para esta 
configuração pode ser da forma: 
 
1
2
1 m yu(y,t) 1 sen p (t)
2 L
1 m yw(y,t) 1 sen p (t)
2 L
π = + 
 
π = + 
 
 (3.54) 
 
 Estas hipóteses de deslocamento verificam as condições de contorno do 
problema para y = 0 e y = L onde u ≠ 0 e w ≠ 0. Os deslocamentos uo e wo são função 
das rigidezes kxx e kzz nos apoios e podem ser considerados unitários para a 
determinação de freqüências e modos de vibração. O parâmetro m representa o 
número do modo em flexão a ser analisado. Todas as análises serão realizadas 
considerando somente o 1° modo em flexão, logo m = 1. 
 A partir da eq. (3.54), observa-se que as rotações de seção e a energia de 
deformação do eixo têm as mesmas expressões que as dadas pela eq. (3.3) e (3.5) 
respectivamente. 
54 Introdução à Dinâmica de Rotores 
Introduzindo as eq. (3.54) e (3.3) na eq. (2.4), a energia cinética do disco é 
dada por: 
 
   π π π π π          = + + + −                           
i i i2 2 22 2
2 2D
D Dx 1 2 Dy
M1 y y yT 1 sin I cos p p I Ω cos p p
2 4 L L L L L 1 2
 
(3.55) 
 
Substituindo as eqs. (3.54) na eq. (2.22), a expressão que fornece o trabalho 
virtual devido a flexibilidade dos mancais é: 
 
xx 1 1 zz 2 2
xx 1 1 zz 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0W k 1 sen p 1 sen p k 1 sen p 1 sen p
2 L 2 L 2 L 2 L
1 L 1 L 1 L 1 Lk 1 sen p 1 sen p k 1 sen p 1 sen p
2 L 2 L 2 L 2 L
  π π π       δ = − + δ + − + δ +                  
  π π π       − + δ + − + δ +                  
π


π


(3.56) 
 
Logo, a eq. (3.56) se resume em: 
 
xx 1 1 zz 2 2
1 1W k p p k p
2 2
δ = − δ − δp
1
 (3.57) 
 
 Assim, as forças generalizadas Fp1 e Fp2 são: 
 
= −
= −
4
1
4
2 2
Fp 5 10 p
Fp 10 10 p
 (3.58) 
 
Considerando a eq. (3.6), e a equação de Lagrange eq. (2.18), as equações de 
movimento para o rotor anisotrópico são: 
 
Introdução à Dinâmica de Rotores 55
− + = −
+ + = −
ii i
i i
4
1 2 1
4
2 1 2
m p aΩ p k p 5 10 p
m p aΩ p k p 10 10 p
1
2
=
 (3.59) 
 
ou: 
 
1 11 2
2 22 1
m p a Ω p k p 0
m p a Ω p k p 0
− + =
+ +
ii i
ii i
 (3.60) 
 
onde, 
2 2
2D
Dx
M ym 1 sin I cos
4 L L
 π π    = + +           
y
L
π 



, k1 = k + 5 104 e k2 = k + 10 104. As 
constantes a e k são as mesmas apresentadas na eq. (3.6). 
 
 A solução para a eq. (3.60) é também da forma apresentada pela eq. (3.7), que 
quando substituída na eq. (3.58) fornece a seguinte equação matricial: 
 
( )
( )
2
1 1
2 22
m s k aΩ s P
0
PaΩ s m s k
 + −   =   + 
 (3.61) 
 
 O polinômio característico obtido na procura da solução não trivial é: 
 
2
4 2 21 2 1 2
2
k k k kas Ω s
m m m mm
 
+ + + + = 
 
0 (3.62) 
 
A expressão para a primeira raiz, correspondente a primeira freqüência ω1 é : 
22 2
2 2 21 2 1 2 1 2
1 2 2
k k k k k ka as Ω Ω
2m 2m 2m 2m m m2m 2m
   
= − + + − + + −   
   
 (3.63) 
 
56 Introdução à Dinâmica de Rotores 
onde s1 = ± j ω1. E, a expressão para a segunda raiz, correspondente a segunda 
freqüência ω2 é : 
 
22 2
2 2 21 2 1 2 1 2
2 2 2
k k k k k ka as Ω Ω
2m 2m 2m 2m m m2m 2m
   
= − + + + + + −   
   
 (3.64) 
 
onde s2 = ± j ω2. 
Considerando o eixo e o disco do rotor da Figura 3.11 tendo as mesmas 
propriedades que o rotor da Figura 3.1, chega-se a m = 8,7226, a = 3,7782, k1 = 
124578,8 e k2 = 174578,8, o Diagrama de Campbell para o rotor anisotrópico é como 
apresentado pela Figura 3.12. 
 
 A resposta a um desbalanceamento em um rotor anisotrópico é analisada 
considerando o deslocamento da massa desbalanceadora da forma: 
 
o
o
uLu( ,t) r senΩt d senΩt (1 sen ) d senΩt
3 2 3
wLw( ,t) r cosΩt dcosΩt (1 sen ) d cosΩt
3 2 3
π 
= + = + + 
 
π 
= + =