Zaions D R (2012) - Elementos de Maquinas III

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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
CAMPUS DE JOAÇABA 
 
PRÓ-REITORIA DE ENSINO 
 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS 
DE 
MÁQUINAS III 
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
Joaçaba, 29 de Fevereiro de 2012 
 
 
UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
CAMPUS DE JOAÇABA 
 
PRÓ-REITORIA DE ENSINO 
 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA 
 
 
 
 
Disciplina de 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS III 
 
 
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
 
 
Joaçaba, 29 de Fevereiro de 2012 
Este material foi elaborado para a disciplina de Elementos de Máquinas III do curso 
de Engenharia de Produção Mecânica oferecido pela Universidade do Oeste de Santa 
Catarina Campus de Joaçaba 
 
O trabalho apresenta citações dos autores pesquisados e referências bibliográficas, 
constituindo-se em uma ótima fonte para aprofundamento do conhecimento sobre 
elementos de máquinas. 
 
O presente trabalho abrange o programa da disciplina de Elementos de 
Máquinas III do Curso de Engenharia de Produção Mecânica da Universidade do Oeste 
de Santa Catarina – UNOESC - Campus de Joaçaba. 
 
No mesmo são tratados assuntos como: “Engrenagens cilíndricas: análise cinemática 
e dimensionamento. Engrenagens coroa-parafuso sem fim. Cames: análise cinemática”. 
 
Tem a finalidade de proporcionar aos acadêmicos o conteúdo básico da disciplina, 
com o intuito de melhorar o aproveitamento dos mesmos. 
 
Qualquer sugestão com referência ao presente trabalho, serão aguardadas, pois 
assim poderei melhorá-lo com futuras modificações. 
 
Prof. Eng. Douglas Roberto Zaions 
Fevereiro de 2008 
 
 
 
DOUGLAS ROBERTO ZAIONS 
Engenheiro Mecânico formado pela Universidade Federal de Santa Maria em 1993. Em 
1994 iniciou o curso de especialização em Engenharia Mecânica na Universidade Federal de 
Santa Catarina obtendo o grau de Especialista em Engenharia Mecânica. Em 2003 concluiu o 
curso de Mestrado em Engenharia de Produção na Universidade Federal do Rio Grande do 
Sul na área de concentração de Gerência, desenvolvendo o trabalho intitulado Consolidação 
da Metodologia da Manutenção Centrada em Confiabilidade em uma Planta de Celulose e 
Papel. 
Foi Coordenador do Curso de Engenharia de Produção Mecânica de março/2000 até 
março/2006 e do Curso de Tecnologia em Processos Industriais – Modalidade Eletromecânica 
de março/2000 até Junho/2002 da UNOESC – Joaçaba. 
Conselheiro Estadual e membro da Câmara Especializada de Engenharia Industrial do 
Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia do Estado de Santa Catarina, 
CREA – SC no período de janeiro de 2001 até dezembro de 2003. Também foi Diretor do 
CREA – SC no período de janeiro de 2002 até dezembro de 2002. 
Doze anos de docência em cursos técnicos, tecnológicos, engenharia e especialização na 
área mecânica. 
Professor de várias disciplinas da área de projetos nos cursos Técnico em Mecânica e 
Eletromecânica do SENAI – CET Joaçaba. 
É Professor do curso de Engenharia de Produção Mecânica da UNOESC – Joaçaba onde 
atua nas disciplinas de Resistência dos Materiais, Elementos de Máquinas, Mecanismos, 
Processos de Usinagem e Comando Numérico, Pesquisa Operacional, Projeto de Máquinas e 
Manutenção Mecânica. É também pesquisador nas áreas de Projeto e Manutenção Industrial. 
Professor dos cursos de Especialização em Engenharia de Manutenção Industrial e Gestão 
da Produção da Universidade do Oeste de Santa Catarina ministrando respectivamente a 
disciplina de Manutenção de Elementos de Máquinas e Gestão da Manutenção. No curso de 
Especialização em Projetos de Sistemas Mecânicos atua nas disciplinas de Metodologia de 
Projeto de Sistemas Mecânicos e Projeto para a Confiabilidade e Mantenabilidade. 
É perito técnico judicial, desenvolvendo trabalhos nas áreas automotiva e industrial na 
busca de causa raiz de falhas. 
Contato: Universidade do Oeste de Santa Catarina – Campus de Joaçaba 
 e-mail: douglas.zaions@unoesc.edu.br 
 Fone/Fax: (49) 3551 - 2035 
mailto:douglas.zaions@unoesc.edu.br
 
ÍNDICE 
1 MECANISMOS DE CONTATO DIRETO .......................................................................................... 9 
1.1 RAZÃO DE VELOCIDADE ANGULAR EM MECANISMOS DE CONTATO DIRETO ...................................... 9 
2 CAMES .................................................................................................................................................. 13 
2.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 13 
2.2 PROJETO GRÁFICO DE CAMES ........................................................................................................ 13 
2.2.1 Came de Disco com seguidor Radial ................................................................................... 13 
2.2.2 Came de disco com seguidor oscilante ................................................................................ 16 
2.2.3 Came de Retorno Comandado ............................................................................................. 18 
2.2.4 Came Cilíndrico ................................................................................................................... 18 
2.2.5 Came Invertido ..................................................................................................................... 19 
2.3 TIPOS DE MOVIMENTO DO SEGUIDOR ............................................................................................. 19 
2.4 FABRICAÇÃO DE CAMES ................................................................................................................. 28 
2.5 PROJETO ANALÍTICO DE CAMES ..................................................................................................... 29 
2.5.1 Came de Disco com Seguidor Radial de Face Plana ........................................................... 30 
2.5.2 Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete ................................................................... 35 
2.5.3 Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete .............................................................. 44 
2.6 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 48 
3 ENGRENAGENS .................................................................................................................................. 50 
3.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 50 
3.2 PERFIL DOS DENTES DAS ENGRENAGENS ........................................................................................ 53 
3.2.1 Perfil Cicloidal ..................................................................................................................... 53 
3.2.2 Perfil Evolvental .................................................................................................................. 56 
3.3 LEI GERAL DO ENGRENAMENTO .................................................................................................... 59 
3.4 ENGRENAMENTO DE DUAS EVOLVENTES ........................................................................................ 60 
3.5 DESLIZAMENTO ESPECÍFICO ........................................................................................................... 64 
4 ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES RETOS .................................................................... 67 
4.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 67 
4.2 SIMBOLOS PRINCIPAIS DAS ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS ................................... 70 
4.3 ESPESSURA DO DENTADO ...............................................................................................................75 
4.4 FOLGA NO FLANCO DOS DENTES ..................................................................................................... 77 
4.5 ARCO ÚTIL DO PERFIL DO DENTE .................................................................................................. 80 
4.6 CREMALHEIRA ............................................................................................................................... 82 
4.7 INTERFERÊNCIA .............................................................................................................................. 83 
4.7.1 Interferência de fabricação com a cremalheira ferramenta ................................................ 86 
4.8 GRAU DE RECOBRIMENTO .............................................................................................................. 87 
4.9 MECÂNISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS .... 90 
 
4.9.1 Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Externos ....................................... 94 
4.9.2 Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Internos ........................................ 94 
4.9.3 Tipos de Engrenamentos ...................................................................................................... 95 
4.9.4 Engrenamento V (vê) ........................................................................................................... 99 
4.10 EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA .......................................................... 105 
4.11 CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT ......................................................................................... 106 
4.11.1 Distância entre centros NÃO IMPOSTA ............................................................................ 107 
4.11.2 Distância entre centros IMPOSTA ..................................................................................... 108 
5 ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES HELICOIDAIS .................................................... 109 
5.1 CURVA HELICOIDAL ..................................................................................................................... 109 
5.2 ENGRENAGENS ESCALONADAS .................................................................................................... 110 
5.3 ENGRENAGEM COM DENTADO HELICOIDAL .................................................................................. 111 
5.4 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS E SUAS RELAÇÕES ..................................................................... 112 
5.5 CREMALHEIRA HELICOIDAL ......................................................................................................... 114 
5.6 VOCABULÁRIO E RELAÇÕES FUNDAMENTAIS............................................................................... 115 
5.7 PROPORÇÕES DO DENTADO NORMAL ............................................................................................ 117 
5.7.1 Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais externos .................................................... 117 
5.7.2 Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais internos .................................................... 118 
5.8 NÚMERO DE DENTES IMAGINÁRIOS DE UM DENTADO HELICOIDAL - RODA VIRTUAL ................... 118 
5.9 INTERFERÊNCIA ............................................................................................................................ 119 
5.10 GRAU DE RECOBRIMENTO ............................................................................................................ 120 
5.11 MECANISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES 
HELICOIDAIS ................................................................................................................................................... 121 
5.11.1 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais Externos................................................. 121 
5.11.2 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais internos .................................................. 121 
5.12 TIPOS DE ENGRENAMENTOS .......................................................................................................... 122 
5.12.1 Engrenamento “V0” (Vê zero) ........................................................................................... 122 
5.12.2 Engrenamento “V” (vê) ..................................................................................................... 123 
5.13 REBAIXAMENTO DA ALTURA DO DENTE ....................................................................................... 125 
5.14 EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA DE FABRICAÇÃO ................................. 125 
5.15 CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT ......................................................................................... 125 
5.15.1 Distância entre centros NÃO IMPOSTA ............................................................................ 127 
5.15.2 Distância entre centros IMPOSTA ..................................................................................... 127 
6 TRENS DE ENGRENAGENS ........................................................................................................... 129 
6.1 GENERALIDADES .......................................................................................................................... 129 
6.2 ESCOLHA DA RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO ................................................................................... 130 
7 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS ................................................... 132 
7.1 EQUAÇÃO DE FLEXÃO DE LEWIS .................................................................................................. 132 
 
7.1.1 Efeitos dinâmicos ............................................................................................................... 134 
7.2 DURABILIDADE SUPERFICIAL ....................................................................................................... 136 
7.3 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DA 
RESISTÊNCIA A FLEXÃO UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA ................................................................ 138 
7.3.1 Tensões de Flexão .............................................................................................................. 138 
7.3.2 Resistência a Fadiga por Flexão ....................................................................................... 139 
7.3.3 Tensão admissível .............................................................................................................. 140 
7.3.4 Fator de Vida YN (KN) ........................................................................................................ 142 
7.3.5 Fator de Temperatura Y (KT) ............................................................................................ 142 
7.3.6 Fator de Confiabilidade YZ (KR) ........................................................................................ 142 
7.3.7 Fator Geométrico de Resistência a Flexão YJ (J) .............................................................. 143 
7.3.8 Fator Dinâmico Kv ............................................................................................................. 144 
7.3.9 Fator de Sobrecarga Ko ..................................................................................................... 146 
7.3.10 Fator de Tamanho Ks .............................................................................................................. 146 
7.3.11 Fator de Distribuição de Carga KH (Km) ........................................................................... 146 
7.3.12 Fator de Espessura de Borda KB ....................................................................................... 148 
7.4 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DO 
DESGASTE UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA .....................................................................................149 
7.4.1 Tensões de Contato ............................................................................................................ 150 
7.4.2 Resistência a Fadiga Superficial........................................................................................ 150 
7.4.3 Tensão Admissível de Contato ........................................................................................... 151 
7.4.4 Fator de vida ZN (CL) ......................................................................................................... 153 
7.4.5 Fator Razão de Dureza ZW (CH) ......................................................................................... 153 
7.4.6 Fator de Temperatura Y (KT) ............................................................................................ 154 
7.4.7 Fator de Confiabilidade YZ (KR) ........................................................................................ 154 
7.4.8 Fator Dinâmico Kv ............................................................................................................. 155 
7.4.9 Fator de Sobrecarga Ko ..................................................................................................... 156 
7.4.10 Fator de Tamanho Ks .............................................................................................................. 157 
7.4.11 Fator de Distribuição de Carga KH (Km) ........................................................................... 157 
7.4.12 Fator de Acabamento Superficial ZR (Cf) ........................................................................... 159 
7.4.13 Fator Geométrico de Resistência Superficial ZI (I) ........................................................... 159 
7.4.14 Coeficiente Elástico ZE (Cp) ............................................................................................... 160 
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................. 162 
 
 
 
 
 
1 MECANISMOS DE CONTATO DIRETO 
A Figura 1.1 e Figura 1.2 ilustram alguns mecanismos de contato direto que serão 
abordados nesta disciplina. 
 
(a) (b) (c) 
Figura 1.1 - Mecanismos de contato direto: (a) Came bidimencional; (b) Came tridimensional; 
(c) Trem de Engrenagens 
 
Figura 1.2 - Mecanismos de contato direto: (a) Tipos de Engrenagens 
1.1 RAZÃO DE VELOCIDADE ANGULAR EM MECANISMOS DE CONTATO 
DIRETO 
No estudo de mecanismos é necessário investigar o método pelo qual o movimento pode 
ser transmitido de um membro para outro. Pode-se transmitir movimento de três maneiras: (a) 
contato direto entre dois corpos tal como entre um excêntrico e um seguidor ou entre duas 
engrenagens, (b) através de um elemento intermediário ou uma biela e (c) por uma ligarão 
flexível, como uma correia ou uma corrente. Pode-se determinar a razão de velocidades 
angulares para o caso de dois corpos em contato. A Figura 1.3 mostra a came 2 e o seguidor 3 
 
em contato no ponto P. A came gira no sentido horário e a velocidade do ponto P considerado 
como um ponto da peça 2 é representada pelo vetor PM. A linha NN' é a normal as duas 
superfícies no ponto P e é conhecida por normal comum, linha de transmissão ou linha de 
ação. A tangente comum é representada por TT'. 0 vetor PM2 é decomposto em duas 
componentes Pn ao longo da normal comum e Pt2, ao longo da tangente comum. A came e o 
seguidor são corpos rigidos e devem permanecer em contato, por isso, a componente da 
velocidade de P, considerado como um ponto da peça 3, deve ser igual componente normal da 
velocidade de P considerado como pertencente a peça 2. Portanto, conhecendo-se a direção do 
vetor velocidade P como pertencente a peça 3 e sabendo-se que ela é perpendicular ao raio 
O,P e conhecendo-se também sua componente normal, é possível a determinação do vetor 
velocidade PM3, conforme mostrado na Figura 1.3. A partir desse vetor, pode-se determinar a 
velocidade angular do seguidor através da relação V =R onde V é a velocidade linear de um 
ponto que se move ao longo de uma trajetória de raio R e  é a velocidade angular do raio R. 
 
Figura 1.3 - Relação de Velocidade angular em mecanismo de contato direto 
Nos mecanismos em que há contato direto, é necessário determinar-se a velocidade de 
deslizamento. Da Figura 1.3 pode-se ver que a velocidade de deslizamento é a diferença 
vetorial entre as componentes tangenciais das velocidades dos pontos em contato. Esta 
diferença é dada pela distancia t2 t3, porque a componente Pt3 tem direção contraria a de Pt2. 
Se t2 e t3 estiverem do mesmo lado de P, a velocidade relativa será dada pela diferença dos 
segmentos Pt3 e Pt2. Se o ponto de contato estiver na linha de centros, os vetores PM2 e PM3 
serão iguais e, em conseqüência, terão a mesma direção. Portanto, as componentes tangenciais 
serão iguais e a velocidade de deslizamento será nula. As duas peças terão portanto um 
 
movimento de rolamento puro. Assim pode-se dizer que a condição para que exista rolamento 
puro é que o ponto de contato permaneça sobre a linha de centros. 
Para o mecanismo da Figura 1.3 o movimento entre a came e o seguidor será uma 
combinação de rolamento e deslizamento. O rolamento puro somente poderá correr quando o 
ponto de contato P cair sobre a linha de centros. Enquanto, o contato nesse ponto poderá não 
ser possível devido as proporções do mecanismo. Não poderá ocorrer deslizamento puro entre 
a came 2 e o seguidor 3. Para tal acontecer, um ponto de uma das peças, dentro dos limites de 
seu curso, deve entrar em contato com todos os pontos sucessivos da superfície ativa da outra 
peça. 
É possível se determinar uma relação de modo que a razão de velocidades angulares de 
duas peças em contato direto possa ser calculada sem a necessidade da construção geométrica 
delineada acima. A partir dos centros O2 e O3 baixam-se perpendiculares à normal comum 
cruzando-a nos pontos e f, respectivamente. 
As seguintes relações são obtidas da Figura 1.3: 
2
2
3
3
2
3
3
3
3
2
2
2
:log
 e 
PM
PO
PO
PM
o
PO
PM
PO
PM





 
como os triângulos PM2n e O2Pe são semelhantes, 
eO
Pn
PO
PM
22
2  
Também como os triângulos PM3n e O3Pe são semelhantes, 
fO
Pn
PO
PM
33
3  
Assim, 
fO
eO
Pn
eO
fO
Pn
3
22
32
3 


 
 
KO
KO
fO
eO
3
2
3
2
2
3 


 
Assim, para um par de superfícies curvas em contato direto, as velocidades angulares são 
inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha centros por sua interseção 
com a normal comum. Conclui-se então que para uma razão de velocidades angulares 
constante a normal comum deve cruzar a linha de centros em um ponto fixo. 
 
 
2 CAMES 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
As cames desempenham um papel importante nas máquinas e são extensivamente usadas 
em motores de combustão interna, máquinas operatrizes, antigamente em computadores 
mecânicos, instrumentos e muitas aplicações. Uma came pode ser projetada de duas maneiras: 
(i) Partindo do movimento desejado para o seguidor, projetar a came para dar este 
movimento; e (ii) Partindo-se da forma da came, determinar características de deslocamento, 
velocidade e aceleração, a partir do contorno da came. 
As cames com movimento especificado, podem ser projetadas graficamente e em certos 
casos, analiticamente. 
2.2 PROJETO GRÁFICO DE CAMES 
2.2.1 Came de Disco com seguidor Radial 
A Figura 2.1 mostra uma came de disco com um seguidor radial de face plana. Quando a 
came gira com velocidade angular constante na direção indicada, o seguidor se desloca para 
cima de uma distância aproximadamente de 20 mm, de acordo com a escala marcada na haste, 
durante meia volta da came. O movimento de retorno é o mesmo. A fim de determinar 
graficamente o contorno da came, será necessário inverter o mecanismoe manter a came 
estacionária enquanto o seguidor gira ao seu redor. Isto não afetará o movimento relativo 
entre a came e o seguidor e o procedimento é o seguinte: (i) Girar o seguidor em torno do 
centro da came no sentido oposto ao da rotação da came; (ii) Deslocar o seguidor radialmente 
de acordo com o indicado na escala para cada ângulo de rotação; e (iii) Desenhar o contorno 
da came tangente ao polígono formado pelas várias posições da face do seguidor. 
Infelizmente, para este último passo, não há um processo gráfico para determinar o ponto 
de contato entre a came e o seguidor. Este ponto deve ser determinado a olho empregando-se 
a curva francesa. O comprimento da face do seguidor deve ser determinado por tentativas. 
 
ocasionalmente pode ser escolhida uma escala de deslocamentos combinada com o raio 
mínimo da came de modo a se obter um contorno com uma ponta ou aresta. Esta aresta pode 
ser eliminada modificando-se a escala de deslocamento ou aumentando-se o raio mínimo da 
came. 
 
Figura 2.1 - Came de disco com seguidor radial 
 
Figura 2.2 - Came de disco com seguidor 
radial de rolete. 
 
Figura 2.3 - Came de disco com seguidor 
deslocado de rolete 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 15 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
A Figura 2.2 mostra o mesmo tipo de came com um seguidor de rolete. Com este tipo de 
seguidor o centro do rolete se deslocará com o movimento desejado. Os princípios de 
construção são idênticos aos do seguidor de face plana com exceção de que o contorno da 
came é tangente às várias posições do rolete. Na Figura 2.2 pode-se ver também, que a linha 
de ação entre a came e o seguidor não pode estar ao longo do eixo do seguidor, exceto quando 
este estiver em repouso (sem movimento de subida ou retorno). Isto produz uma força lateral 
no seguidor e pode causar uma deflexão ou quebra de sua haste. O ângulo existente entre a 
linha de ação e a linha de centros do seguidor é conhecido por ângulo de pressão e seu valor 
máximo deve ser o menor possível, especialmente em mecanismos de pequeno porte. 
Atualmente, esse valor máximo é de 30º. Embora seja possível medir o ângulo de pressão 
máximo na construção gráfica de uma came, muitas vezes é difícil determiná-lo 
analiticamente. Por esta razão será apresentado, mais adiante, um monograma para 
determinação do ângulo de pressão máxima em projetos analíticos de cames. O ângulo de 
pressão é constante para qualquer seguidor radial de face plana. O seguidor mostrado na 
Figura 2.1 tem a face perpendicular ao eixo da haste, de modo que o ângulo de pressão é zero 
e a força lateral exercida sobre o seguidor é desprezível comparada com a existente nos 
seguidores com rolete. Pode-se reduzir o ângulo de pressão aumentando-se o raio mínimo da 
came de modo que a trajetória do seguidor em relação à came seja para a mesma elevação. 
Isto eqüivale a aumentar o comprimento de um plano inclinado para a mesma elevação, a fim 
de reduzir o ângulo de inclinação do plano. Também, numa came com seguidor de rolete, o 
raio de curvatura de superfície primitiva deve ser maior do que o raio do rolete senão a 
superfície da came se tornará ponteaguda. 
Às vezes, as hastes dos seguidores de face plana ou rolete são deslocados lateralmente ao 
invés de serem radiais conforme mostrado nas Figura 2.1 e Figura 2.2 Isto é feito por razões 
estruturais ou no caso do seguidor de rolete, com a finalidade de reduzir o ângulo de pressão 
no curso de elevação. Pode-se notar, entretanto, que embora o ângulo de pressão seja reduzido 
durante o curso de elevação, no curso de retorno ele será aumentado. A Figura 2.3 ilustra uma 
came e um seguidor deslocado, com a mesma escala de deslocamento e o mesmo raio mínimo 
usados na Figura 2.2. se a direção do movimento de um seguidor deslocado, de face plana for 
paralela a uma linha radial de came, resultará a mesma came obtida com um seguidor radial. 
Entretanto, o comprimento da face do seguidor deve ser aumentado devido ao deslocamento 
haste. 
Elementos de Máquinas III 16 
2.2.2 Came de disco com seguidor oscilante 
A Figura 2.4 mostra uma came de disco com um seguidor de face plana, oscilante. Usando 
o mesmo princípio de construção empregado para a came de com seguidor radial, gira-se o 
seguidor em torno da came. Ao mesmo tempo o seguidor deve ser girado, em torno de seu 
centro de rotação, segundo os deslocamentos angulares correspondentes à cada posição 
indicada na escala. Há diversas maneiras de se girar o seguidor em torno de seu centro. O 
método indicado na Figura 2.4 é usar a interseção de dois arcos de circunferência (por 
exemplo, o ponto 3’) para determinar um ponto da face do seguidor em sua nova posição, 
após girar em torno de seu centro e em torno da came. O primeiro desses dois arcos tem como 
raio a distância do centro da came até a posição 3 da escala de deslocamento e como centro de 
curvatura o centro de rotação da came. O segundo arco é traçado com o centro de curvatura 
situado no centro de rotação do seguidor após ter girado até a posição 3 e usando para o raio a 
distância do centro do seguidor até a escala de deslocamento. A interseção desses dois arcos 
será o ponto 3’. Devido ao úmero infinito de retas que podem passar pelo ponto 3’, é 
necessário ter-se uma informação adicional para determinar a posição correta da face do 
seguidor correspondente ao ponto 3’. Conforme mostrado na figura , isto foi conseguido por 
uma circunferência tangente ao prolongamento da face do seguidor na posição zero. Na 
figura, houve coincidência dessa circunferência com o diâmetro externo do cubo do seguidor. 
essa circunferência é, então, traçada em cada posição do centro do seguidor. Para se 
determinar a posição 3 da face do seguidor traça-se uma reta que passa pelo ponto 3’ e é 
tangente à circunferência do cubo do seguidor em sua posição 3. Repetindo-se este processo, 
obtém-se um polígono formado por diversas posições da face do seguidor. A partir deste 
polígono desenha-se o contorno da came. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 17 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
Figura 2.4 - Came de disco com seguidor oscilante de face plana 
A Figura 2.5 mostra uma came de disco com seguidor oscilante, com rolete. O 
procedimento para a determinação dos pontos 1’, 2’, 3’ etc. é semelhante ao indicado na 
Figura 2.5. Entretanto, neste caso, estes pontos são as posições do centro do rolete 
determinadas pela rotação do seguidor em torno da came. Traçam-se as circunferências 
correspondentes à cada posição do rolete e o contornos da came é tangente a essas 
circunferências. Deve-se notar que num projeto real seriam usadas divisões menores de modo 
a minimizar o erro do contorno da came. Deve-se mencionar também que o mesmo 
procedimento pode ser empregado no projeto de uma came com seguidor oscilante, de rolete, 
como o usado para uma came com seguidor radial deslocado 
 
Figura 2.5 - Came de disco com seguidor oscilante 
Elementos de Máquinas III 18 
 
Figura 2.6 - Came de retorno comandada 
Embora a maioria das cames em uso seja dos tipos já mencionados, há muitos outros, 
alguns dos quais encontram grande aplicação. Nas seções seguintes serão abordados três 
desses tipos. 
2.2.3 Came de Retorno Comandado 
Em uma came de disco e um seguidor radial freqüentemente é necessário que o retorno do 
seguidor seja comandado pela came e não sob a ação da gravidade ou de uma mola. A Figura 
2.6 mostra um mecanismo deste tipo em que a came comanda o movimento do seguidor não 
somente durante a elevação como também no curso de retorno. Necessariamente, o 
movimento de retorno deve ser o mesmo que o de elevação, porém no sentido oposto. Esta 
came também é chamada de came de diâmetro constante. 
Este tipo de came pode também ser projetado empregando dois seguidores de rolete no 
lugar dos seguidores de face plana. Se for necessário ter-se um movimentode retorno 
independente do movimento de elevação, devem-se usar dois discos, um para a elevação e 
outro para o retorno. Estas cames duplas podem ser usadas com seguidores de rolete ou de 
face plana. 
2.2.4 Came Cilíndrico 
Este tipo de came encontra muitas aplicações, particularmente em máquinas operatrizes. 
Talvez o exemplo mais comum, entretanto, seja a alavanca niveladora do molinete de vara de 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 19 
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pescar. A Figura 2.7 mostra um desenho onde o cilindro gira em torno de seu eixo e aciona 
um seguidor que é guiado por uma ranhura existente na superfície do cilindro. 
2.2.5 Came Invertido 
Às vezes á vantajoso inverter o papel da came e do seguidor e deixar que o seguidor 
comande a came. Esta inversão encontra aplicação em máquinas de costura e outros 
mecanismos de natureza semelhante. A Figura 2.8 mostra o esboço de uma came de placa 
onde o braço oscila, causando um movimento alternativo do bloco por ação de um rolete 
dentro da ranhura da came. 
 
Figura 2.7 - Came Cilíndrico 
 
Figura 2.8 - Came invertido 
2.3 TIPOS DE MOVIMENTO DO SEGUIDOR 
Antes de se determinar o contorno de uma came é necessário selecionar o movimento 
segundo o qual se deslocará o sistema. Se a velocidade de operação deve ser baixa, o 
Elementos de Máquinas III 20 
movimento pode ser qualquer um dos movimentos comuns, por exemplo, parabólico 
(aceleração e desaceleração constantes), parabólico com velocidade constante, harmônico 
simples ou cicloidal. 
O movimento parabólico possui a mais baixa aceleração teórica para valores determinados 
de elevação do seguidor e rotação da came, dentre os movimentos citados e por esta razão tem 
sido empregado em muitos contornos de cames. Entretanto, em trabalhos a baixas velocidades 
isto tem pouco significado. O movimento parabólico pode ou não ter intervalos iguais de 
aceleração e desaceleração, dependendo das exigências do problema. O movimento 
parabólico também pode ser modificado para incluir um intervalo de velocidade constante 
entre a aceleração e a desaceleração; este movimento é muitas vezes denominado de 
velocidade constante modificada. 
O movimento harmônico simples apresenta uma vantagem de, ao empregar um seguidor 
radial de rolete, proporcionar um ângulo de pressão máximo menor do que no movimento 
parabólico com intervalos de tempo iguais ou no movimento cicloidal. Isto permitirá que o 
seguidor tenha apoios monos rígidos e maior trecho de balanço. Também menos potência será 
necessária para operar a came. Por estas razões o movimento harmônico simples é o preferido 
entre os outros tipos. 
Depois de selecionar o movimento do seguidor, é necessário determinar-se a escala de 
deslocamento e marcá-la sobre a haste do seguidor. As elevações podem ser calculadas, 
porém, são determinadas com mais facilidade graficamente, plotando-se uma curva 
deslocamento-tempo. 
Plotando-se o gráfico deslocamento-tempo é necessário determinar primeiro o ponto de 
inflexão se o movimento for parabólico ou uma modificação deste. Para os movimentos 
harmônico simples e cicloidal, o ponto de inflexão é determinado automaticamente pelo 
método de geração da curva. O ponto de inflexão de um movimento parabólico estará no meio 
da escala de deslocamento e da escala de tempos se os intervalos forem iguais. A 
determinação dos pontos de inflexão de um movimento parabólico modificado é um pouco 
mais complicada, como será visto a seguir. 
Consideremos um ponto de deslocando-se com movimento uniforme modificado, onde 
parte do repouso com aceleração constante, em seguida passa a ter velocidade constante e 
finalmente chega ao repouso com desaceleração constante. Os pontos de inflexão podem ser 
determinados especificando-se os intervalos de tempo ou de deslocamento correspondentes a 
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cada tipo de movimento. A Figura 2.9 indica uma construção gráfica para determinar os 
pontos de inflexão A e B quando são dados os intervalos de tempo. A Figura 2.10 mostra a 
construção para intervalos de deslocamento. Das relações 2
2
1
AtS  , V=At e S=Vt, é possível 
provar a validade da construção mostrada na Figura 2.9 e Figura 2.10. 
 
Figura 2.9 - Construção gráfica para determinar os pontos de inflexão 
 
Figura 2.10 - Construção para intervalos de deslocamento 
Depois que os pontos de inflexão foram determinados, como exemplo na Figura 2.10, o 
trecho 0A, de aceleração constante pode ser construído conforme indicado na Figura 2.11, 
onde o deslocamento L (correspondente a S1 da Figura 2.10) esta dividido no mesmo número 
de partes da escala de tempo, neste caso quatro. O trecho desacelerado BC da curva na Figura 
2.10 será construído de modo semelhante para o deslocamento S3 e o correspondente intervalo 
de tempo. 
 
Figura 2.11 - Movimento Parabólico 
Elementos de Máquinas III 22 
A Figura 2.12 mostra o movimento harmônico simples   trS rcos1 para um 
deslocamento L com seis divisões na escala de tempo. Nesta figura deve-se notar que se a 
came gira de meia-volta enquanto o seguidor se move segundo o deslocamento L a velocidade 
angular r do raio girante r se iguala à velocidade angular  da came e a equação do 
deslocamento do seguidor pode ser escrita como     cos1cos1  rtrS . Se a came 
gira somente de um quarto de volta para o deslocamento  2 rL e  2cos1 rS . 
Portanto, pode-se ver que a relação entre r e  é expressa por 
seguidor do L elevação para came da derotação ângulo
180º
w
w r  
 
Figura 2.12 - Movimento harmônico Simples 
Uma came circular (excêntrico) proporcionará um movimento harmônico simples a um 
seguidor radial de face plana porque o ponto de contato entre estas duas peças e o centro 
geométrico da came estarão sempre na direção do movimento do seguidor. 
A Figura 2.13 mostra a construção para o movimento cicloidal 


















2
2
1
senLS para um deslocamento L com seis divisões na escala de tempo. O 
raio do círculo gerado é 
2
L
. A circunferência deste círculo é dividida no mesmo número de 
partes que a escala de tempo, neste caso seis. Os seis pontos marcados na circunferência são 
projetados horizontalmente sobre o diâmetro vertical do círculo. Estes pontos são então 
projetados paralelamente à diretriz 0A até as linhas correspondentes marcadas no eixo do 
tempo. 
Para cames de alta velocidade a seleção do movimento do seguidor deve ser baseada não 
só nos deslocamentos mas também nas forças que atuam sobre o sistema como resultado do 
movimento selecionado. Por muitos anos o projeto de cames dizias respeito somente ao 
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movimento de um seguidor em um curso determinado, durante um certo tempo. As 
velocidades eram baixas de modo que as forças de inércia eram insignificantes. Com a 
tendência de uso de velocidades mais altas nas máquinas, entretanto, tornou-se necessário 
considerar as características dinâmicas do sistema e selecionar um contorno de came que 
minimizasse o carregamento dinâmico. 
 
Figura 2.13 - Movimento cicloidal 
Como um exemplo da importância do carregamento dinâmico, consideremos o movimento 
parabólico. Em relação às forças de inércia este movimento pareceria ser desejável por causa 
de sua baixa aceleração. Entretanto, não se pode ignorar o fato de que a aceleração cresce de 
zero a seu valor constante quase instantaneamente, resultando em uma alta taxa de aplicação 
da carga. Determina-se a taxa de variação da aceleração pela terceira derivada do 
deslocamento, conhecida por “jerk” ou segunda aceleração. Portanto, o “jerk” ou a segunda 
aceleração é uma indicação da característica de impacto do carregamento: pode-se dizer que o 
impacto tem a segunda aceleração igualao infinito. A falta de rigidez e as folgas do sistema 
também tendem a aumentar o efeito da carga de impacto. No movimento parabólico onde a 
segunda aceleração é infinita, este impacto ocorre duas vezes durante o ciclo e tem o efeito de 
uma pancada súbita no sistema, que poderá ocasionar vibrações indesejáveis bem como danos 
estruturais. 
Como um modo de evitar o “jerk” infinito e seu efeito prejudicial em cames, um sistema 
de projeto de cames foi desenvolvido por Kloomok e Muffley que utiliza três funções 
analíticas: (a) ciclóide (e meio ciclóide), (b) harmônico (e meio harmônico) e (c) polinômio 
de oitavo grau. Os diagramas de deslocamento, velocidade e aceleração dessas funções estão 
representados nas Figura 2.14, Figura 2.15 e Figura 2.16. As curvas têm derivadas contínuas 
em todos os pontos intermediários. Portanto, a aceleração varia gradualmente e a segunda 
aceleração é finita. Evita-se o “jerk” infinito nos extremos igualando-se as acelerações. Deve-
se notar que as velocidades são concordantes porque não podem aparecer descontinuidades na 
Elementos de Máquinas III 24 
curva de deslocamento em função do tempo. Como exemplo, quando após um repouso seguir 
uma elevação, a aceleração nula no final do repouso é igualada selecionando-se uma curva 
que tenha aceleração nula no início da elevação. A aceleração exigida no final da elevação é 
determinada pela condição subsequente. Se imediatamente se segue um retorno, a aceleração 
pode terminar com um valor moderadamente alto de desaceleração porque este valor pode ser 
igualado exatamente por uma curva que tenha a mesma desaceleração no início do retorno. 
A seleção de curvas para atender as exigências particulares é feita de acordo com os 
seguintes critérios: 
1. A ciclóide proporciona aceleração nula nos extremos dos trechos da curva. Portanto, 
pode ser combinada com dois repousos em cada extremidade. Como a ângulo de pressão é 
relativamente grande e sua aceleração retorna a zero desnecessariamente nos extremos, duas 
ciclóides não devem ser usadas em seqüência; 
2. O harmônico proporciona os menores picos de aceleração e os menores ângulos de 
pressão das três curvas. Portanto, é a curva preferida quando as acelerações no início e no fim 
do trecho podem ser igualadas com as acelerações do trecho vizinho. O meio harmônio pode 
ser usado onde uma elevação a velocidade constante precede uma aceleração, porque a 
aceleração do ponto médio é zero. O meio harmônico pode ser combinado com o meio-
ciclóide ou com um meio-polinômio; 
3. O polinômio de oitavo grau tem uma curva de aceleração assimétrica e proporciona um 
pico de aceleração e ângulos de pressão intermediário entre o harmônico e a ciclóide. 
 
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Figura 2.14 - Características do Movimento Cicloidal onde S- deslocamento; V - velocidade; 
A – aceleração 
Elementos de Máquinas III 26 
 
 
Figura 2.15 - Características do Movimento Harmônico onde S- deslocamento; V - 
velocidade; A – aceleração 
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Figura 2.16 - Características do Movimento polinomial de oitavo grau S- deslocamento; V - 
velocidade; A - aceleração 
Exemplo 1 - Um seguidor de rolete deverá se deslocar, com elevação e retorno, sem 
repouso, durante um ciclo. Devido à operação realizada pelo mecanismo, parte da elevação 
deverá ser feita com velocidade constante. Determine as curvas dos movimentos a serem 
usadas. Referindo-se à Figura 2.17: 
AB: Use a meia-ciclóide C-1 a fim de proporcionar aceleração nula no início do 
movimento e em B onde será feita a ligação com o trecho de velocidade constante. 
Elementos de Máquinas III 28 
BC: Velocidade constante. 
CD: Use o meio harmônio H-2 que se ligará em C ao trecho de velocidade constante, com 
aceleração nula e proporcionará um ângulo de pressão mínimo durante o resto da curva. 
DE: Use o polinômio P2 para combinar a desaceleração do harmônico em D e 
proporcionar aceleração nula no fim do retorno em E. 
 
Figura 2.17 - Curvas de deslocamento, velocidade e aceleração para o exemplo 1 
Combinam-se as velocidades e as acelerações, de modo a não apresentarem 
descontinuidades. Estas estão mostradas na Figura 2.17a, b e c. Na Figura 2.17c, pode-se ver 
que não há “jerk” ou segunda aceleração em qualquer instante do ciclo. 
2.4 FABRICAÇÃO DE CAMES 
O método gráfico de projeto de cames é limitado a aplicações onde a velocidade é baixa. 
A fabricação deste tipo de came depende da precisão do desenho do contorno e do método 
empregado para seguir este contorno como gabarito. Por um lado, pode-se riscar o contorno 
da came em uma chapa de aço e cortá-la com uma serra fita, obtendo a came. Por outro lado, 
pode-se usar uma fresadora copiadora em que o movimento da ferramenta é guiado por um 
seguidor que se desloca ao longo do perfil da came representado em um desenho. este 
desenho pode ser uma ampliação do tamanho real da came a fim de aumentar a precisão do 
copiamento. Em qualquer um dos casos apresentados o contorno da came deve ser acabado 
manualmente. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 29 
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O projeto gráfico e o conseqüente método de fabricação por copiamento são 
suficientemente precisos para cames de alta rotação. Por esta razão, voltou-se a atenção para o 
projeto analítico de cames e para o método que este projeto oferece para a geração de cames. 
Se for possível calcular os deslocamentos do seguidor para pequenos incrementos na rotação 
da came, o seu perfil pode ser obtido em uma fresadora ou em uma furadeira de coordenadas, 
com a ferramenta fazendo o papel do seguidor. Se o seguidor a ser empregado no mecanismo 
for de rolete, o eixo da ferramenta deverá ser perpendicular ao plano da came e o diâmetro da 
ferramenta deverá ser o mesmo do rolete. Se for um seguidor de face plana, o eixo da 
ferramenta deverá ser paralelo ao plano da came. Em ambos os casos deve-se conduzir a 
ferramenta para a posição correta, correspondente ao ângulo de rotação da came. 
Naturalmente, quanto menores forem os incrementos do ângulo de rotação, melhor será o 
acabamento da superfície da came. Geralmente, empregam-se incrementos de 1º, que deixam 
pequenas saliências ou reentrâncias na superfície da came que devem ser removidas 
manualmente. Desenvolveram-se fresadoras automáticas de controle numérico que 
possibilitam incrementos inferiores a 1º na rotação da came e avanços da ferramenta com 
precisão de m. Embora a máquina opere em passos discretos, estes são tão pequenos que dão 
a aparência de operação contínua. Espera-se o acabamento superficial da came produzida por 
uma máquina deste tipo seja de tal qualidade que permita a eliminação do acabamento 
manual. Este tipo de máquina também produzirá uma came muito mais depressa do que a 
fresadora de coordenadas, quando ambas as máquinas usarem os mesmos incrementos do 
ângulo da came. 
Nas discussões precedentes, imaginou-se que a came que estava sendo gerada seria usada 
na aplicação final. Na produção de várias máquinas do mesmo modelo em que são necessárias 
muitas cames iguais, em geral é mais prático fabricar o que se chama de came mestra e usá-la 
em uma máquina copiadora. A came mestra é quase sempre, quanto às dimensões, uma 
ampliação da came real. 
2.5 PROJETO ANALÍTICO DE CAMES 
Em certos tipos de cames é possível projetá-los analiticamente, partindo-se do movimento 
especificado. Desenvolveram-se métodos práticos de projeto analítico para cames de disco 
com seguidor radial de face plana, seguidor radial de rolete, seguidor de rolete deslocado, 
seguidor oscilante de face plana. Os métodos para os seguidores de face plana, radial de rolete 
e oscilante de rolete estão apresentados abaixo: 
Elementos de Máquinas III 30 
2.5.1 Camede Disco com Seguidor Radial de Face Plana 
A abordagem deste problema permite que o contorno da came seja determinado 
analiticamente. No método gráfico, os pontos de contato entre a came e o seguidor são 
desconhecidos e é difícil determinar sua localização exata quando se desenha o contorno da 
came. Também o raio mínimo da came, para evitar que seja ponteaguda, somente pode ser 
determinado por tentativas. No método analítico, que foi desenvolvido por Carver e Quinn, 
essas desvantagens são superadas e pode-se determinar três características valiosas das cames: 
(i) Equações paramétricas do contorno da came; (ii) Raio mínimo da came para evitar pontas; 
e (iii) Localização do ponto de contato que determina o comprimento da face do seguidor; 
Destas características, a primeira tem pouca aplicação prática, mas as outras duas dão 
informações que possibilitam a produção da came. O desenvolvimento dessas características é 
apresentado a seguir. 
A Figura 2.18 mostra uma came com seguidor radial de face plana. A came gira com 
velocidade angular constante. O ponto de contato entre a came e o seguidor tem coordenadas 
x e y e esta a uma distância l da linha de centro do seguidor. O deslocamento do seguidor em 
relação à origem é dado pela seguinte equação: 
Equação 2.1  fCR  
onde o raio mínimo da came é representado por C e  f representa o movimento 
desejado para o seguidor como uma função do deslocamento angular da came. 
A equação para o comprimento de contato l pode ser facilmente determinada pela 
geometria da Figura 2.18. Dos triângulos mostrados 
Equação 2.2  cos xsenyR 
ou 
Equação 2.3  senxyl  cos 
o membro da direita da equação 3, é a derivada em relação a  do membro da direita da 
equação 2. Portanto 
  

fC
d
d
d
dR
l  
Equação 2.4  fl  
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 31 
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Se o diagrama de deslocamento é dado por uma equação matemática S=  f , então R e l 
são determinados facilmente das equações 1 e 4. Da equação 4 pode-se ver que o 
comprimento mínimo da face do seguidor independe do raio mínimo da came. Também, o 
ponto de contato esta na posição mais afastada da linha de centro do seguidor quando a 
velocidade do seguidor é máxima. Quando o seguidor move em direção ao centro da came, a 
velocidade é negativa e o valor negativo de l indica que o contato se realiza abaixo do eixo do 
seguidor. 
 
Figura 2.18 - Seguidor radial de face plana 
 
Figura 2.19 - Formação de pontas em uma came 
Para determinar as equações de x e y para o contorno da came. é necessário somente 
resolver as equações 2 e 3 simultaneamente, o que resulta 
 lsenRx  cos 
e 
 coslRseny  
Elementos de Máquinas III 32 
Substituindo-se os valores de R e l das equações 1 e 4 respectivamente, 
Equação 2.5       senffCx  cos 
Equação 2.6       cosfsenfCy  
O raio mínimo C para evitar uma ponta ou bico sobre a superfície da came pode ser 
determinado com facilidade analiticamente. Uma ponta ocorre quando 
d
dx
 e 
d
dy
 forem 
iguais a zero. Quando isto acontece, forma-se uma ponta na came conforme mostrado em x, y 
na Figura 2.19. Para determinar isto, consideremos que a linha de centro do seguidor tenha 
girado de um ângulo  e que o contato entre a face de seguidor e a came ocorra no ponto (x, 
y). Mais adiante, quando o seguidor for girado de um pequeno ângulo d, o ponto de contato 
(x, y) não mudará por causa da ponta, ficando ainda em x e y. Assim pode-se ver que 
0
 d
dy
d
dx
. 
Diferenciando as equações 5 e 6, 
Equação 2.7      

senffC
d
dx
 
Equação 2.8      

cosffC
d
dy
 
As equações 7 e 8 podem se anular simultaneamente somente quando 
    0  ffC 
Portanto para evitar pontas, 
Equação 2.9     0  ffC 
A soma      ff  deve ser inspecionada para todos os valores de  para determinar 
seu valor algébrico mínimo. É necessário usar o valor mínimo de modo que C seja 
suficientemente grande para assegurar que a equação 9 não se anule para qualquer valor de . 
Essa soma pode ser positiva ou negativa. Se for positiva, C será negativo e não terá 
significado prático. Neste caso, o raio mínimo será determinado pelo cubo da came ao invés 
de sê-lo pela função f(). 
Pode-se determinar os pontos do contorno da came pelas equações 5 e 6 que dão as 
coordenadas cartesianas, ou calculando R e l para diversos valores de . Em geral, o segundo 
método é mais fácil, mas em ambos os casos os pontos devem ser ligados com o auxílio de 
uma curva francesa para a obtenção do contorno da came. Na prática, entretanto, raramente é 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 33 
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necessário desenhar o perfil da came em escala. Depois que o raio mínimo C tenha sido 
determinado e os deslocamentos R tenham sido calculados, a came pode se confeccionada. 
Para tal, o comprimento da fresa deve ser maior do que o dobro do valor máximo de l. 
Durante a usinagem, o eixo da fresa deve estar paralelo ao plano da came. 
Exemplo 2 A fim de ilustrar a método de escrever as equações de deslocamento 
consideremos as seguintes condições: um seguidor de face plana é acionado em um 
deslocamento total de 37,5 mm. No início do ciclo (deslocamento zero), o seguidor repousa 
durante 
2

radianos. Em seguida eleva-se de 37,5 mm com movimento cicloidal (Curva C-5 
de Kloomok e Muffley) em 
2

rad. Depois repousa durante 
2

rad e então retorna 37,5mm 
com movimento cicloidal (C-6) em 
2

rad. A Figura 2.20 mostra um esboço do diagrama. A 
Figura 2.20 mostra um esboço do diagrama de deslocamento. 
 
Figura 2.20 - Diagrama de deslocamento para a came do exemplo 2 
Para a ciclóide C-5 as curvas de Kloomok e Muffley dão 










 2
2
1
senLS 
Deve-se mencionar, ao se escrever a relação S=f(), que valor S sempre deve ser medido a 
partir do eixo das abscissas e o valor de  a partir do eixo das ordenadas. Na equação 
precedente, entretanto,  é medido do ponto A e não do ponto 0. Portanto, reescrevendo a 
equação usando ‘ conforme mostrado na Figura 2.20, 





 






 2
2
1
senLS AB 
É possível transladar a origem do ponto A para o ponto 0, substituindo a relação 
Elementos de Máquinas III 34 
2

  
Portanto, 
S LAB 



























 
 


2 1
2
2
2
sen 
Substituindo L = 37,5mm e  = /2, 
 SAB  





 
75
2
75
4
4 2




 sen 
Para a ciclóide C-6 
S LCD  






1
1
2
2

 



sen 
onde 
2
3
  L = 37,5 
2

  
Portanto, 
 SCD    150
75 75
4
4 6

 
 sen 
Deve-se observar que com as combinações de repouso e movimento cicloidal usadas, as 
velocidades e as acelerações são igualadas nas extremidades de cada trecho não havendo, 
portanto, segunda aceleração infinita em qualquer ponto do ciclo. 
Exemplo 3 - Como um exemplo de como são determinados o raio mínimo C e o 
comprimento da face do seguidor, consideremos um seguidor radial deface plana que se eleva 
de 50 mm e retorna, com movimento harmônico simples, durante meia volta da came. dois 
ciclos do seguidor ocorrem durante uma volta da came. 
É necessária somente uma equação de deslocamento para especificar o movimento do 
seguidor do começo ao fim do ciclo, 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 35 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 S r r 1 cos 
onde r é o raio girante e r o ângulo girado pelo raio girante para obtenção do movimento 
harmônico(ver Figura 2.12). Para os dados representados, 
r = 25 mm r = 2 
Portanto, 
    2cos125  fS    250senf  e    2cos100f 
Para se determinar o raio mínimo, a soma     ffC  deve ser maior do que zero. 
Substituindo-se os valores de  f e  f  e simplificado, 
02cos7525  C 
A soma 25 + 75cos2 será um mínimo para 
2

  ; logo 
07525 C 
ou 
C > 50 mm 
O comprimento da face do seguidor é determinado por 
 l f   50 2sen 
mmlmáx 50 
Com o movimento é simétrico, o comprimento teórico da face do seguidor é o dobro de 
lmáx ou seja, 100 mm. Deve-se dar um acréscimo ao comprimento da face do seguidor para 
evitar que o contato se realize no bordo da face. 
2.5.2 Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete 
A determinação analítica da superfície primitiva de uma came de disco com seguidor de 
rolete não apresenta dificuldades. Na Figura 2.21 a posição do centro do rolete em relação ao 
centro da came é dada pela seguinte equação: 
Elementos de Máquinas III 36 
Equação 2.10  fRR  0 
onde R0 é o raio mínimo da superfície primitiva da came f() é o movimento radial do 
seguidor em função do ângulo de rotação da came. Uma vez que se conhece o valor de R0 é 
fácil determinar as coordenadas do centro do rolete a partir das quais a came pode ser 
delineada. 
 
Figura 2.21 - Came de disco com seguidor radial de rolete: posição do centro do rolete em 
relação ao centro da came 
 
Figura 2.22 - Came de disco com seguidor radial de rolete: raio de curvatura  da superfície 
primitiva e o raio do rolete 
Kloomok e Muffley desenvolveram um método para verificar a existência de pontas em 
cames deste tipo, considerando o raio de curvatura  da superfície primitiva e o raio do rolete 
Rr. Estes valores são mostrados na Figura 2.22 junto com o raio de curvatura c da superfície 
da came. Se na Figura 2.22  for mantido constante e for aumentado Rr, c irá decrescer. 
Continuando-se a aumentar Rr até atingir o valor , o raio de curvatura da superfície da came, 
c, se reduzirá a um ponto e a came ficará ponteaguda, conforme indica a Erro! Fonte de 
referência não encontrada.a. Aumentando-se ainda o raio Rr a superfície da came fica 
rebaixada e o movimento realizado pelo seguidor será o desejado, conforme mostrado na 
Figura 2.22b. Portanto, a fim de evitar o aparecimento de uma ponta ou um rebaixo no perfil 
da came, o raio do rolete, Rr, deve ser menor do que min, onde min é o valor mínimo do raio 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 37 
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de curvatura da superfície primitiva em um determinado trecho da came. Havendo diversos 
tipos de curvas, sobre a superfície da came, pelas quais o seguidor irá passar, cada trecho 
deverá ser verificado separadamente. Como é impossível haver um rebaixo numa parte 
côncava da superfície da came, somente as partes convexas devem ser verificadas. 
 
Figura 2.23 - Método para verificar a existência de pontas 
O raio de curvatura em um ponto de uma curvatura, expresso em coordenadas polares, é 
dado por 





























2
22
2
2
3
2
2
2



d
Rd
R
d
dR
R
d
dR
R
 
onde  fR  e as duas primeiras derivadas são contínuas. Pode-se usar esta equação 
para determinar o raio de curvatura da superfície primitiva da came. Para este caso, 
    ff  . Da equação 10 
 fRR  0  

f
d
dR
  

f
d
Rd

2
2
 
Portanto, 
Equação 2.11 
   
     


fRfR
fR



22
2
3
22
2
 
A equação 11 pode ser calculada para determinar a expressão de  para um tipo particular 
de movimento. Entretanto, a fim de evitar pontas e rebaixos no perfil da came, deve-se 
determinar min. Para se obter este valor mínimo, deve-se derivar a equação 11 com várias 
Elementos de Máquinas III 38 
funções, o que irá conduzir a equações transcedentais muito complexas. Por esta razão, são 
apresentados três conjuntos de curvas que mostram os valores de min/R0 em função de  para 
as diversas relações de L/R0. 
Nestas curvas,  é o ângulo de rotação da came para cada trecho e L é a elevação 
correspondente. A Figura 2.24 apresenta as curvas para o movimento cicloidal, a Figura 2.25 
para o movimento harmônico simples e a Figura 2.26, para o movimento polinomial de 8º 
grau. Por meio dessas curvas pode-se determinar se min é maior ou menor que Rr. 
Exemplo 4 - Um seguidor radial de rolete deve mover-se com um deslocamento total de L 
= 15mm com movimento cicloidal, enquanto a came gira de  = 30º. O seguidor repousa 
durante 45º e então retorna com movimento cicloidal em 70º. Verifique se a came apresenta 
ponta ou rebaixo para um raio de rolete Rr de 6,25mm e raio mínimo R0 da superfície 
primitiva de 37,5mm. 
40,0
5,37
15
0

R
L
 
Será examinada apenas a elevação, devido ao seu ângulo  menor. Portanto, da figura 23, 
para 40,0
0

R
L
 e  = 30º, 
22,0
0
min 
R

 e mm25,85,3722,0min  
A came não terá ponta ou rebaixo, porque min > Rr. 
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Figura 2.24 - Movimento cicloidal 
 
Elementos de Máquinas III 40 
 
Figura 2.25 - Movimento Harmônico 
 
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Figura 2.26 - Movimento polinomial do oitavo grau 
Elementos de Máquinas III 42 
Conforme mencionado anteriormente, é importante considerar-se o valor do ângulo de 
pressão, no projeto de cames com seguidores de rolete. É necessário manter o ângulo de 
pressão máximo o menor possível e até hoje este máximo foi estabelecido arbitrariamente em 
30º. Entretanto, são usados ocasionalmente valores maiores quando as condições permitem. 
Embora seja possível empregar os métodos analíticos. Há diversos métodos disponíveis, um 
dos quais foi desenvolvido por Kloomok e Muffley, pelo qual pode-se determinar 
analiticamente o ângulo de pressão tanto para o seguidor radial de rolete como para o 
oscilante de rolete. A que será abordado somente o caso do seguidor radial de rolete. 
Para a came de disco e o seguidor radial de rolete mostrados na Figura 2.27, o ângulo de 
pressão OCA é denominado  e o centro da came, O. Supõe-se que a came está preparada e o 
seguidor gira no sentido horário da posição C até C  segundo um pequeno ângulo . Da 
figura abaixo tem-se: 
CE
EC
tg

 1 
 
Figura 2.27 -Came de disco e o seguidor radial: ângulo de pressão 
Quando  tende a zero, os ângulos OCE e CAC  tendem para 90º. Ao mesmo tempo o 
segmento CD tende para o comprimento do arco CF, igual a R e ambos, CD e Cf para CE. 
Portanto, 






 
 

 d
dR
R
tg
1
lim 1
0
 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 43 
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Como os lados de  e  se tornam, respectivamente, perpendiculares quando  tende a 
zero,  se tornará igual a . Portanto, 
Equação 2.12





 


d
dR
R
tg
11 
Pode-se determinar uma expressão para , em qualquer tipo de movimento, partindo-se da 
equação 12. Entretanto, a determinação do ângulo de pressão máximo é quase sempre muito 
difícil, porque leva a equações transcedentais complexas. Por isso, Kloomok e Muffley 
empregam um nomograma desenvolvido por E. C. Varnun, apresentado na Figura 2.28;  e 
L/R0 são parâmetros já definidos anteriormente. Determina-se, usando-se o monograma, o 
valor máximo do ângulo de pressão para três tipos de movimento. 
 
Figura 2.28 - Monograma para determinação do ângulo de pressão 
Exemplo 5 - Um seguidor radial de rolete deve mover-se com deslocamento total de 
18,75mm, com movimento cicloidal enquanto a came gira de 45º. O seguidor repousa por, 30º 
e então retorna com movimento cicloidal em 60º. Determine o valor de R0 para limitar o máx 
em 30º. Será examinada somente a elevação, devido ao seu ângulo  menor. 
Para =45º e máx=30º, 
Elementos de Máquinas III 44 
26,0
0

R
L
 (da Figura 2.28) 
Portanto, 
mmR 72
26,0
75,18
0  
Se o espaço não permite tal valor de R0,  pode ser aumentado e a came deve girar mais 
rápido para conservar o mesmo tempo de elevação. 
2.5.3 Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete 
Na Figura 2.29 vê-se o início do traçado de uma came de disco com seguidor oscilante de 
rolete. O ângulo de elevação  é função do ângulo de rotação da came . Embora a came gire 
de  para o ângulo de elevação , o raio R gira segundo o ângulo . Especificando-se valores 
de R e , é possível obter-se o contorno da came. 
 
Figura 2.29 - Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete 
Da Figura 2.29 pode-se ver que 
Equação 2.13  =  -  
onde 
Equação 2.14  =  -  
O ângulo  é uma constante do sistema e pode-se obter sua equação usando-se o triângulo 
OOA  . Assim, 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 45 
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Equação 2.15 
0
22
0
2
2
cos
SR
lRS 
 
onde S, R0 e l têm dimensões fixas. 
O ângulo  é função de R; sua equação pode ser obtida do triângulo OOB  como 
Equação 2.16 
SR
lRS
2
cos
222 
 
Também pode-se escrever uma equação para R, a partir do triângulo OOB  
Equação 2.17   cos2222 lSSlR 
O ângulo  é uma constante determinada a partir do triângulo OOA  como 
Equação 2.18 
lS
RSl
2
cos
2
0
22 
 
e o ângulo  é o ângulo de elevação para um determinado ângulo de rotação da came . 
Portanto, das equações precedentes, os valores de R e  podem ser calculados a partir de 
valores de  e dos correspondentes ângulos de elevação . 
No projeto deste tipo de came, é necessário verificar se há rebaixos e conferir o ângulo de 
pressão máximo. As equações do raio de curvatura e do ângulo de pressão podem ser obtidas 
com mais facilidade pelo método de variáveis complexas de Raven. A Figura 2.30 mostra o 
esboço de uma came de disco e um seguidor oscilante de rolete, com o raio de curvatura da 
superfície primitiva  e o ângulo de pressão . O ponto O é o centro da came, o pondo D é o 
centro da curvatura e o ponto O , o centro de rotação do seguidor. A elevação angular do 
seguidor a partir da horizontal é , que é dada pela equação 
Equação 2.19   f 0 
onde f() é a elevação angular desejada para o seguidor, a partir de um ângulo de 
referência 0 (não mostrado na figura). Da Figura 2.30, o ângulo de pressão  é dado por 


 
2
 
Substituindo-se a equação 19 por  
Equação 2.20    

 
2
0 f 
Elementos de Máquinas III 46 
A fim de se obter uma expressão para o ângulo , determinam-se duas equações de 
posição, independentes, para o ponto A, centro do rolete. A primeira equação é obtida 
seguindo-se o trajeto (O-D-A) e a outra, seguindo-se o trajeto (O-B-O’-A). 
 
Figura 2.30 - Ângulo de pressão 
A equação para o primeiro trajeto é dada por 
 eerR  
Equação 2.21     isenisenr  coscos 
A equação para o segundo trajeto é dada por 
ilebiaR  
Equação 2.22   isenlbia  cos 
Separando-se as partes reais e imaginárias das equações 21 e 22, 
Equação 2.23  coscoscos lar  
Equação 2.24  lsenbsenrsen  
Derivando as equações 23 e 24 em relação a , 









d
d
lsen
d
d
sen
d
d
rsen  









d
d
l
d
d
d
d
r coscoscos  
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Para uma rotação infinitesimal da came,  pode ser considerado como constante. Assim, o 
ponto D, o centro de curvatura da came no ponto de contato e r podem ser considerados como 
fixos à came para um acréscimo de rotação d. Portanto, o valor de d é igual a d e como  
diminui quando  cresce, segue-se que d/d = -1. Também, d/d = f’(). Portanto, 
Equação 2.25   


 senfl
d
d
senrsen  
Equação 2.26   


 coscoscos fl
d
d
r  
Eliminando-se d/d nas equações 25 e 26, 
 
  


coscos flr
senflrsen
tg


 
Os termos r cos e r sen podem ser calculados das equações 23 e 24, dando 
Equação 2.27 
  
  


fla
flsenb
tg



1cos
1
 
que, quando substituída na equação 20, dará i ângulo de pressão . Para se determinar 
max, será necessário o emprego de gráficos semelhantes aos dados por Kloomok e Muffley. 
Para se calcular o raio de curvatura , é necessário primeiro derivar a equação 27 em 
relação a . Substituindo d/d da equação 26 e com o auxílio da equações 19,23 e 27, obtém-
se a seguinte equação para : 
Equação 2.28 
 
            

flbasenfbCaCfDC
DC



cos122
2
3
22
 
onde 
   flaC  1cos 
   flsenbD  1 
Para evitar o rebaixo,  deve ser maior do que o raio do rolete. Portanto, é possível 
determinar-se min para cada posição do perfil da came. Para isso, é necessário o emprego de 
gráficos semelhantes aos dados por Kloomok e Muffley. 
 
Elementos de Máquinas III 48 
2.6 EXERCÍCIOS 
1 - Um seguidor se desloca com movimento harmônico H-1, elevando-se 25 mm em 
4

rad 
de rotação da came. O seguidor então se eleva de mais 25 mm com movimento cicloidal C-
2, para completar o curso de elevação. O seguidor repousa e retorna 25 cm com movimento 
cicloidal C-3 e os 25mm restantes com movimento harmônico H-4 em 
4

rad. 
(a)Determine os ângulos de rotação da came para os movimentos cicloidais e para o 
repouso combinando velocidades e acelerações. 
(b)Determine a equação para o deslocamento S em função de  para cada tipo de 
movimento, tendo como origem das abscissas o ponto O, origem dos eixos coordenados, de 
modo que o deslocamento possa ser calculado para qualquer ângulo  usando-se a equação 
adequada. 
 
2 - No diagrama de deslocamento mostradona figura 1 abaixo, deseja-se obter uma 
elevação total de 37,5mm com um seguidor radial de face plana combinando o movimento 
cicloidal C-1 com o harmônico H-2. 
(a) Usando os dados do diagrama, determine o ângulo 2, referente ao movimento 
harmônico, a fim de que haja continuidade de velocidades e de acelerações em B, ponto de 
transição entre os dois movimentos. 
(b) Determine o comprimento máximo teórico da face do seguidor necessário para os dois 
movimentos. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 49 
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3 - No desenho mostrado na figura 2 abaixo, a came de disco é empregada para posicionar 
o seguidor radial de face plana em um mecanismo de computo. O perfil da came deve ser 
projetado para dar um deslocamento S ao seguidor de acordo com a função s =k
2
 , partindo 
do repouso, quando a came girar no sentido anti-horário. Para 60
o
 de rotação da came, a partir 
da posição inicial, a elevação do seguidor é de 10 mm. Determine analiticamente as distâncias 
R e l quando a came tiver girado 45
o
 a partir da posição inicial. Verifique a existência de 
pontas no contorno da came durante a rotação de 60
0
. 
 
Elementos de Máquinas III 50 
3 ENGRENAGENS 
3.1 INTRODUÇÃO 
A norma NBR 6174 define engrenagem como todo elemento mecânico denteado de forma 
constante, destinado a transmitir, movimento e/ou receber movimento de um outro elemento 
mecânico denteado também de forma constante, pela ação dos dentes em contato sucessivos. 
As engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular em uma grande 
variedade de aplicações mecânicas. Permitem a redução ou o aumento do torque com perdas 
muito pequenas de energia, e aumento ou redução de velocidades angulares sem nenhuma 
perda. 
Baseada nas superfícies básicas usadas para a transmissão do movimento, as engrenagens 
podem ser divididas em: (i) Engrenagens cilíndricas; (ii) Engrenagens cônicas; e (iii) 
Engrenagens hiperbolóidicas. Na transmissão de movimentos deve-se também considerar as 
Engrenagens coroa e sem-fim. 
A Figura 3.1 a) e b) ilustra engrenagens cilíndricas de dentes retos externos e internos 
respectivamente. As engrenagens cilíndricas de dentes retos externos são geralmente 
utilizadas em transmissões que necessitam mudanças de engrenagens em serviço pois são 
fáceis de engatar. São preferencialmente usadas em transmissões de baixa rotação ao invés de 
alta devido ao ruído que produzem. As engrenagens cilíndricas com dentes internos são 
usadas em transmissões planetárias e transmissões finais de máquinas pesadas e são bastante 
utilizadas para melhor aproveitamento do espaço. Apresentam rendimento em torno de 98 a 
99 %. 
As engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais são empregadas em escala um pouco 
menor que as engrenagens com dentes retos, e podem ser montadas além dos eixos paralelos 
(Figura 3.1-d), com eixos reversos(Figura 3.3-a). Possuem rendimento de 96 a 99%. São 
menos ruidosas, possuem melhor capacidade de carga e são usadas em velocidades mais 
elevadas. Transmitem esforços axiais ao eixo em virtude da inclinação do dente. Para evitar 
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Prof. Douglas Roberto Zaions 
este inconveniente usa-se as rodas helicoidais duplas (Figura 3.1-e) ou espinha de peixe 
(Figura 3.1-f). 
 
Figura 3.1 – Engrenagens cilíndricas. 
Fonte: Niemann: 1971 
 
Figura 3.2 – Engrenagens Cônicas 
Fonte: Niemann: 1971 
As engrenagens cônicas são utilizadas para transmissão de movimento entre eixos 
concorrentes e apresentam elevada capacidade de carga. Exigem precisão de montagem e 
Elementos de Máquinas III 52 
transmitem esforços axiais aos eixos. Podem ser de dentes retos(Figura 3.2-a), dentes 
helicoidais(Figura 3.2-b) ou dentes curvos(Figura 3.2-c) Para elevadas velocidade é 
necessário o uso de dentes curvos. A Zerol é uma cônica de dentes curvos fabricada pela 
Gleason. Rendimento de 98%. Segundo Niemann (1971), as engrenagens cônicas são 
empregadas para relações de transmissão (multiplicação) até 6 e para relações de 
multiplicação acima de 1,2, são em geral mais caras que as engrenagens cilíndricas. 
 
Figura 3.3 – Engrenagens: a) helicoidal, b) coroa sem-fim 
Fonte: Niemann: 1971 
As engrenagens coroa sem-fim (Figura 3.3-b) apresentam a vantagem de oferecer grandes 
reduções e de podem ser utilizadas para controle preciso de movimento circular de algum 
elemento, como por exemplo uma mesa divisora. Seu rendimento é baixo e varia de 45 a 97%, 
sendo portanto grande parte da potência transformada em calor, necessitando-se muitas vezes 
de aletas de refrigeração ou mesmo de radiador com ventilador para resfriamento da unidade. 
A capacidade de redução pode ser de até 60 ( com limite extremo de 100). Amortecem 
vibrações e são menos ruidosas que as reduções com outros tipos de engrenagens. 
As engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais cruzados (Figura 3.3-a), são utilizadas 
para eixos reversos para uma pequena distância entre eixos, para cargas pequenas e relações 
de transmissão de 1 a 5 aproximadamente (NIEMANN, 1971). 
As engrenagens hiperbolóidicas (Figura 3.4) são utilizadas para transmissão de 
movimento entre eixos reversos e possuem elevada capacidade de carga. São muito utilizadas 
em tratores e veículos automotores em geral em diferenciais onde é essencial a questão da 
altura do eixo propulsor. Os principais tipos, Hipóide e Palóide, correspondem aos fabricantes 
Gleason (USA) e Klingelnberg (Alemanha) respectivamente. Exigem grande precisão de 
montagem e apresentam rendimento da ordem de 98%. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 53 
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Figura 3.4 – Engrenagem hipóide 
Fonte: Niemann: 1971 
3.2 PERFIL DOS DENTES DAS ENGRENAGENS 
3.2.1 Perfil Cicloidal 
O perfil cicloidal, mais utilizado antigamente, é hoje utilizado apenas em relojoarias e 
pequenos mecanismos, devido o seu baixo atrito. Outra característica interessante é a 
possibilidade de obter pinhões com reduzido número de dentes. 
Apesar destas vantagens, há uma série de desvantagens que fazem com que não sejam 
mais utilizados. 
A ciclóide é uma curva descrita pelo ponto de uma circunferência que rola sem 
deslizamentos sobre uma reta. Seja a circunferência de centro em “O” e de raio “R” que rola 
sem deslizamento sobre a reta “AB”, conforme Figura 3.5. 
 
Figura 3.5 - Geração de uma ciclóide. 
Se a circunferência de raio “R” e centro “O” rolar sem deslizamento sobre outra 
circunferência, a curva descrita pelo ponto “P” será uma “epiciclóide”, conforme mostra a 
Figura 3.6. 
Elementos de Máquinas III 54 
 
Figura 3.6 - Geração de uma epiciclóide 
Se a circunferência rolar sem deslizamento, internamente, a uma circunferência, a curva 
descrita por um ponto “P” traçará uma “hipociclóide”, conforme mostra a Figura 3.7. 
 
Figura 3.7 - Geração de uma hipociclóide 
A Figura 3.8 ilustra a maneira de como é gerado o perfil de uma engrenagem epicicloidal. 
Primeiramente, traça-se os círculos C1 e C2 com centros O1 e O2 respectivamente. Após usa-se 
agora os roletes R1 e R2 que irão rolar, sem deslizamento, para traçar as curvas do perfil da 
seguinte forma: 
(i) - Rolamento de R sobre o círculo Primitivo C1 
Fazendo rolar R1 sem deslizamento sobre o interior de C1 o ponto descreve um arco de 
hipociclóide IP1,que é o flanco do pé do perfil P1. 
Fazendo rolar R2 sem deslizamento sobre o exterior do C1 e o ponto descreve um arco 
de epiciclóide IS1, que vem a ser o flanco de cabeça do perfil P1. 
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(ii) - Rolamento de R sobre o círculo Primitivo C2 
Fazemos rolar R2 sem deslizamento sobre o interior do C2 e o ponto descreve um arco 
de hipociclóide IP2, formando o flanco do pé do perfil P2. 
Fazemos rolar R1 sem deslizamento sobre o exterior círculo primitivoC2 e o ponto 
descreve um arco de epiciclóide IS2 formando o flanco de cabeça do perfil P2 
 O1 
R1 
C1 
P1 
S2 
P2 
C2 
R2 
S1 
O2 
I 
 
Figura 3.8 - Geração de uma engrenagem epicicloidal 
Para obtenção de engrenagens intercambiáveis é necessário ter-se o mesmo rolete para 
todas as rodas. O valor, geralmente usado para o diâmetro dos roletes R1 e R2 é igual a 5,5m, 
onde “m” é o módulo que representa o diâmetro do círculo primitivo dividido pelo número de 
dentes. 
Nas engrenagens epicicloidais, a linha de ação (onde a força é transmitida) esta sobre os 
arcos pertencentes aos círculos R1 e R2 e como apresenta uma forma curva e, uma vez que as 
normais aos perfis devem passar por I, chegamos a conclusão que a orientação será variável. 
Desta maneira, a força transmitida varia em direção e intensidade, resultando um 
engrenamento com movimentos bruscos e sujeito a vibração. 
Uma outra desvantagens dos dentes epicicloidais esta associado ao fato de que os perfis P1 
e P2 são determinados com os dois círculos primitivos C1 e C2 bem definidos. A distância 
entre centros deve ser rigorosamente igual à soma dos raios destes dois círculos, do contrário, 
o engrenamento é defeituoso. 
Elementos de Máquinas III 56 
Também, devido ao ponto de inflexão em I as engrenagens epicicloidais são de difícil 
usinagem. 
3.2.2 Perfil Evolvental 
A grande maioria das engrenagens, salvo casos muito particulares, é confeccionada com 
perfil evolvental. Comparando ao perfil cicloidal, essa curva apresenta as seguintes vantagens: 
(i) Usinagem com ferramentas mais simples; (ii) A relação de velocidades angulares entre 
duas rodas não varia com uma variação da distância entre centros; (iii) Facilidade da obtenção 
de rodas corrigidas; (iv) A direção da força entre os dentes permanece invariável; 
A evolvente é a curva gerada por um ponto de uma corda que se desenrola de um círculo. 
O termo exato seria evolvente de círculo, conforme a Figura 3.9. 
 
P 
 
Figura 3.9 - Geração da curva evolvente 
Consideremos, agora, duas circunferências de centros 01 e 02 que estão ligados por uma 
corda, conforme a Figura 3.10, sendo a corda possuidora de um ponto P. 
Coloca-se, inicialmente, o ponto P sobre B2 e faz-se a roda 2 girar no sentido horário. 
Desta maneira o ponto P descreverá uma evolvente EV2 sobre a roda 2 e uma evolvente EV1 
sobre a roda 1. Pode-se notar que o ponto P será de tangência das duas evolventes. 
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 O1 
O2 
B2 
B1 
P 
Ev2 
Ev1 
 
Figura 3.10 - Geração de 2 evolventes com uma corda 
Faz-se, agora, um círculo transmitir movimento ao outro pelos perfis de evolvente. O 
contato será sempre no ponto P que se deslocará sobre a reta tangente às circunferências (reta 
de ação). 
A fim de caracterizar a terminologia, apresenta-se a geração da curva evolvente na Figura 
3.11. Define-se: 
a) Circunferência de Base - É aquela circunferência sobre a qual rola a reta que contém o 
ponto, geratriz da evolvente. 
b) Raio de Base - É o raio da circunferência de base. 
c) Reta Geratriz - É a reta que rola, sem deslizamento, sobre a circunferência de base e 
contém o ponto P, gerador da evolvente. 
d) Raio Vetor - É o que une um ponto genérico P da evolvente com o centro da 
circunferência de base. 
e) Ângulo de Incidência, p - É o ângulo formado pelo raio vetor e o raio que passa pelo 
ponto de tangência da reta geratriz com a circunferência de base. 
Elementos de Máquinas III 58 
 y 
x 
P 
A 
B 
C 
p 
p 
rb 
O 
p 
 
Figura 3.11 - Elementos na geração de uma evolvente 
A partir da Figura 3.11 podemos demonstrar as seguintes propriedades: (i) Qualquer 
geratriz da evolvente é tangente ao círculo base; (ii) O segmento da geratriz entre o ponto 
gerador P, e o ponto de tangência C, é o raio da evolvente no ponto P; (iii) A tangente à 
evolvente é normal à geratriz correspondente; (iv) O arco AC é igual ao segmento CP 
(lembrar da corda que se desenrola do cilindro); (v) O raio da evolvente na origem A é nulo; e 
(vi) A direção da evolvente na origem é a do raio correspondente, do círculo de base. 
A função evolvente pode ser deduzida a partir da Figura 3.11 onde pode-se escrever: 
ppb rr cos 

 ACBCAB 
Pela propriedade (d), da evolvente: CPAC 

 o que resulta então: CPBCAB 

 
Dividindo a última expressão acima por br tem-se 
bbb r
CP
r
BC
r
AB


 que resulta em: 
ppp  tan 
pppp Ev  tan 
Tem-se, então, p como função de p, e chamamos esta função de função evolvente, e ela 
apresenta grande importância no estudo de engrenagens. Seu valor se acha tabelado em 
grande parte dos livros que abordam engrenagens. 
As coordenadas x e y do ponto P da Figura 3.11 são: 
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  





 pppppbrx 


2
coscos e   





 pppppb sensenry 


2
 
Fazendo p + p = p pode-se escrever: 
 pppb senrx   cos e  pppb senry  cos 
Também podemos escrever:  tgrb  
3.3 LEI GERAL DO ENGRENAMENTO 
A Figura 3.12 ilustra uma posição instantânea de um engrenamento. As peças giram nos 
centros O1 e O2. Seja, ainda P, o ponto de contato dos dois perfis. A reta n corresponde a 
normal comum as duas superfícies (reta de ação) Sabemos baseados no estudo das 
velocidades angulares, que a relação de velocidades angulares 
2
1


 depende da posição do 
ponto K que é definido pelo encontro da reta normal comum NN´ com a linha de centros das 
duas peças (Dúvidas consultar o anexo 1). 
 
 O1 
O2 
r1 
P 
T 
N ́r2 
T ́
N 
K 
 
Figura 3.12 - Lei geral do engrenamento. 
As superfícies 1 e 2 estão em contato pelo ponto P. A normal comum é NN´ e a tangente 
comum é TT´. Pode-se escrever, então, que a relação entre as velocidades angulares 1 e 2 é: 
Elementos de Máquinas III 60 
KO
KO
1
2
2
1 


 
onde O2K representa o raio primitivo r2 e O1K representa o raio primitivo r1 ou seja o raio 
das circunferências que passam em K. 
Podemos resumir estas propriedades, assim: 
a) Existe uma relação de velocidade 
2
1


, inversamente proporcional aos segmentos que o 
ponto K determina no segmento O1 e O2. 
1
2
1
2
2
1
r
r
KO
KO



 
b) Para que a relação de velocidades angulares permaneça constante é necessário que o 
ponto K permaneça fixo. 
3.4 ENGRENAMENTO DE DUAS EVOLVENTES 
Consideremos os corpos da figura 26 , que engrenam com seus perfis evolvente e dispõem 
de movimentos de rotação em torno de O1 e O2. Os círculos de base para as evolventes 1 e 2 
são também centros em O1 e O2. Seja P o ponto de contato das duas evolventes. A normal 
comum aos perfis de evolventes deve cortar a linha entre centros em um ponto fixo K. 
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O1 O2 
r1 
 
T 
N ́
r2 
T ́
N 
K 
rb2 
rb1 
 
w2 
w1 
 
Figura 3.13 - Engrenamento de duas evolventes 
A reta NN´, constituída por retas tangentes ao círculo de base e perpendicular ao perfil da 
evolvente. Então, a reta NN´ é uma linha que tangência os círculos de base e passa em K. 
Logo é uma reta fixa e, é chamada “Reta de ação”. A reta de ação é o lugar geométrico 
dos pontos de contato das duas superfícies. 
Sobre o ponto K a velocidade tangencial é a mesma. 
2211 rrV   
Estas circunferências com raios r1 e r2 são chamadas de “circunferências primitivas” e 
apresentam grande importância. Vão gerar o diâmetro primitivo. Ao ponto K chamamos 
“Ponto Primitivo”. Desprezando-se o atrito, a força exercida por uma evolvente sobre a outra 
tem a direção normal à superfície em cada ponto. 
Portanto, a força tem direção da reta de ação. Ao ângulo formado entre a normal aosegmento que une os centros e a reta de ação, denomina-se “ângulo de pressão”. 
Vejamos, agora, o que acontece se a distância entre centros variar. 
Inicialmente para a distância entre centros O1 O2 temos: 
2211 rrV   
Elementos de Máquinas III 62 
por ser a velocidade tangencial a mesma sobre o círculo primitivo. 
Pela Figura 3.13, tem-se que: 
cos11  rrb e cos22  rrb 
Assim, podemos também escrever que 
1
2
1
2
2
1
b
b
r
r
r
r
w
w
 ou seja, a relação 
2
1
w
w
 depende dos 
raios de base, portanto, não se altera. 
Para uma nova distância entre centros O1 O2, conforme Figura 3.14, tem-se um novo 
ponto primitivo K’ e novos raios 1r  e 2r  , tais que: 
 cos11 rrb e  cos22 rrb 
 
O1 
O2 
r1  
rb2 
rb1 
a 
aw 
rb1 
r1w 
r2w 
r2 
O1 
O2 rb2 
rb2 
aw > a 
 > w 
 
w 
 
Figura 3.14 - Variação da distância entre centros no engrenamento de duas evolventes 
A partir da Figura 3.14 tem-se que: 
wwb rrr  coscos 111  e wwb rrr  coscos 222  
e 
    www rrrr  coscos 2121  
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Como: 
  arr  21 e   www arr  21 
Tem-se: 
wwaa  coscos  e  coscos
w
w
a
a
 
ou ainda igualando por meio de raios de base rb1 e rb2 pode-se escrever: 
 coscos
1
1
w
w
r
r
 
Conclui-se, assim que o ângulo de pressão e os raios primitivos não são constantes de um 
engrenamento, uma vez que depende dos dois corpos em contato e da distância entre centros 
de funcionamento. 
Problemas sobre engrenamento de duas evolventes: 
1) Um conjunto de engrenagem cilíndrica de dentes retos apresenta módulo m = 4 mm. A 
engrenagem menor (pinhão) possui z1 = 17 dentes e a engrenagem maior apresenta z2 = 45 
dentes. O ângulo de pressão  = 20
o
. Qual o ângulo de pressão de funcionamento w quando 
as engrenagens operarem a uma distância entre centros de funcionamento aw = 125 mm. 
 
Elementos de Máquinas III 64 
3.5 DESLIZAMENTO ESPECÍFICO 
 
O1 
w2 
w1 
O2 
rp2 
p1 
r2 
r1 
rp1 
rb1 
B1 
Reta de 
ação 
 
2 1 
B2 
T 
T ́
P vn 
v1 
v2 
vt2 
vt1 
rb2 
 
e 
vt1 
vt2 
B1 
B2 
C1 
C2 
C 
 
Figura 3.15 – Deslizamento específico. 
A Figura 3.15 representa dois perfis engrenando com contato instantâneo em P. Deseja-se 
determinar a relação 






tv que representa o deslizamento específico. As velocidades v1 e 
v2 no ponto P, onde as evolventes entram em contato, devem ter projeções iguais sobre a 
normal comum à superfície (reta de ação). A estas projeções designamos por vn. 
Pode-se escrever então 
11 cos pn vv  111 prv   
1
1
1
cos p
b
p
r
r

 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 65 
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obtendo-se então: 
11 bn rv   
Da mesma forma, obtem-se: 
22 bn rv   
Para as velocidades tangenciais, podemos escrever, por semelhança de triângulos: 
1
11
bn
t
r
PB
v
v
 
Sendo 11 PB (raio equivalente P) e 11 bn rv   tem-se que 111 tv 
Analogamente: 222 tv 
Esta velocidade tem bastante importância e vamos determiná-la três pontos : 
Ponto B1: 01 tv 1222 BBvt   
Ponto C:  senrvt 111   senrvt 222  
Ponto B2: 2111 BBvt   02 tv 
Os valores de vt1 e vt2 estão representados na Figura 3.15 sendo valores lineares. 
Para vt temos: 21 ttt vvv  uma vez que é adotada a convenção de ser vt negativo, 
enquanto se desloca de B1 até C. 
Podemos escrever 221121   ttt vvv 
Se orientarmos um segmento “e” que une o ponto C ao ponto P tal que sua orientação seja 
oposta ao caminhamento do contato (B1 para B2) tem-se que eCP  
Tem-se então que: eCB  11 e eCB  22 
A velocidade vt será então, uma vez que 2211 CBCB   
A velocidade no ponto C é:  21   evt 
Elementos de Máquinas III 66 
Deve-se evitar valores elevados da velocidade de deslizamento a fim de evitar desgaste 
das superfícies e a dissipação de potência em forma de atrito. 
Ainda deve-se ter o cuidado de evitar que duas evolventes se toquem em regiões onde o 
raio de curvatura é pequeno, em virtude da área de contato ser pequena e provocar assim 
elevadas tensões, o que acarreta a fadiga do material na superfície. Assim deve-se manter a 
relação 

tv pequena. 
Da mesma maneira, pode-se também minimizar a relação 



 tp
v
 sendo esta, 
praticamente equivalente. 
Na relação 



 tp
v
 temos que  21   evt e . será decomposto em duas 
situações: 11   e 22   
Para  podemos escrever: pbr  tan e, geralmente: 111 t an pbr   e 
222 tan pbr   
Tem-se então para o “deslizamento Específico” dos corpos número 1 e 2 as seguintes 
expressões: 
 
111
21
1
tan pb
p
r
e





 e 
 
222
21
2
tan pb
p
r
e





 
A partir das deduções acima determinou-se os valores do deslizamento específico em três 
pontos: 
Ponto B1 1 
 
221
211
2






BB
CB
 
Ponto C: 01  02  
Ponto B2: 
 
121
212
1






BB
CB
 2 
Problema sobre deslizamento específico 
1) Um conjunto de engrenagem cilíndrica de dentes retos apresenta módulo m = 2,5 mm. 
A engrenagem menor (pinhão) possui z1 = 20 dentes e a engrenagem maior apresenta z2 = 60 
dentes. O ângulo de pressão  = 20
o
. A velocidade angular da roda 1 é w1 = 1500 rpm. 
Determinar o deslizamento específico. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 67 
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4 ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES RETOS 
As engrenagens aparecem em quase todas as máquinas e, desta forma, o projetista tem 
freqüentemente a necessidade de projeta-las tanto a nível cinemático, geométrico e em termos 
de resistência mecânica. 
O que tem forçado o aparecimento das engrenagens é a exigência de engrenagens mais 
econômicas, mais silenciosas, mais leves e com maior capacidade de carga. Há uma grande 
quantidade de informações assim como vários processos de cálculo, pois além de pesquisas 
em muitas instituições, várias firmas desenvolvem programas de testes e aperfeiçoamento de 
suas engrenagens. 
O primeiro problema que surge ao projetar uma engrenagem é o de encontrar um par que 
seja capaz de transmitir potência requerida. As engrenagens devem ser: grandes o suficiente, 
resistentes e muito precisas para realizar o trabalho a que se destinam. 
Neste capítulo, apresenta-se inicialmente os aspectos cinemáticos e geométricos das 
engrenagens cilíndricas de dentes retos e em seguida o dimensionamento baseado na 
resistência mecânica e na vida, levando-se em consideração algumas normas técnicas. 
4.1 INTRODUÇÃO 
A Figura 4.1 apresenta esquematicamente 3 posições de contato de duas evolventes 
durante um engrenamento. O ponto B1 é o lugar de engrenamento na origem da evolvente da 
peça 1 com um ponto da peça 2. O segundo ponto, esta em P e representa um ponto qualquer 
de engrenamento. O terceiro ponto B2 é o lugar do engrenamento na origem evolvente da peça 
2 com um ponto da peça 1. 
Considerando-se o sentido de rotação do engrenamento o indicado na Figura 4.1 tem-se 
assim o engrenamento, iniciando em B2 e terminando em B1. Termina em B1 porque a partir 
deste ponto, caso o engrenamento continuasse, o mesmo se daria em um perfil qualquer, masnão em perfil evolvente, perdendo-se assim as boas características de engrenamento da 
evolvente. Desta maneira, sendo B1 o ponto extremo de engrenamento, limita-se o perfil da 
Elementos de Máquinas III 68 
evolvente 2 pela circunferência que passa em B1 e tem centro em O2. Por razões práticas 
limita-se o engrenamento a um ponto anterior a B1, como veremos adiante. 
Analogamente, a peça 1 pode ser limitado pela circunferência que passa em B2 ou outra 
menor. 
A fim de haver continuidade no engrenamento deve-se ter um novo início de 
engrenamento em B2 antes que o engrenamento termine em B1. 
A principal razão de ser evitado o engrenamento na raiz da evolvente é o pequeno raio de 
evolvente na zona da raiz. Este pequeno raio conduz a uma pequena área de contato, o que 
representa elevados esforços ou tensões locais, que acabam por destruir a superfície do 
dente. Desta maneira limita-se os perfis de evolvente pelas circunferências O1A2 e O2A1, 
verificando-se então o início e fim do engrenamento nos pontos A2 e A1 (Ver figura 2) 
 O1 
O2 
rb1 Círculo de 
base 1 
rb2 
B1 
Círculo de 
base 2 
B2 
w2 
w1 
P 
 
Figura 4.1 - Engrenamento de duas evolventes 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 69 
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O1 
O2 
rb1 Círculo de 
base 1 
rb2 
B1 
Círculo de 
base 2 
B2 
w2 
w1 
F G 
D E 
A1 
A2 
 
Figura 4.2 - Engrenamento de duas evolventes 
Durante um engrenamento, conforme a Figura 4.2, o perfil da evolvente da peça 2 inicia o 
contato quando sua origem esta em “D”, indo se colocar em “E” no fim de engrenamento. 
Neste mesmo tempo a evolvente 1 passou de “F” para “G”. 
Sabe-se pelas propriedades fundamentais da evolvente que: A A DE FG1 2   
Sendo z1 o número de evolventes da peça 1 e z2 no peça 2, tem-se: 
 21
1
2
2
z
r
FG
z
r
DE
bb
 
donde: 
1
2
2
1
1
2
z
z
r
r
b
b 


 
Portanto, o número de evolventes (número de dentes) é inversamente proporcional às 
respectivas velocidade angulares. 
A fim de que as peças representados na Figura 4.2 possam transmitir movimentos também 
em sentido contrário, devemos prever uma nova família de evolvente, usando-se todas as 
considerações feita. Desta maneira chega-se à forma da Figura 4.3. 
Elementos de Máquinas III 70 
 
df 
d 
da 
Cilindro de pé 
Cilindro de cabeça 
Cilindro primitivo 
Perfil 
Flanco 
hf 
Flanco do pé 
do dente 
ha h 
Flanco de 
cabeça 
Largura do dente 
Cilindro de base 
 
Figura 4.3 – Proporções da geometria de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos 
Fonte: Henriot (1968) 
4.2 SIMBOLOS PRINCIPAIS DAS ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES 
RETOS 
Os símbolos e a terminologia empregada neste trabalho atendem as normas NBR 6684, 
NBR 6174 e SB 21. Neste trabalho, as principais relações geométricas das engrenagens estão 
associadas aos estudos de Henriot (1968) que apresenta forte relação com as normas ISO. Na 
simbologia descrita a seguir, deve-se utilizar o sub-índice 1 e 2 para associar as engrenagens 
menor e maior respectivamente. 
Com base no que já foi estudado no capítulo anterior pode-se escrever que a distância 
entre centros de referência corresponde a soma dos raios de referência da engrenagem maior e 
menor, ou seja: 
21 rra  
A relação de transmissão pode ser determinada pelas seguintes expressões: 
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
r
r
d
d
z
z
n
n
r
r
i
b
b 


 
Substituindo-se 12 rir  na expressão 21 rra  teremos que 
1
1
i
a
r

 ou 
i
a
d



1
2
1 . Da mesma forma encontra-se 
i
ia
d



1
2
2 . 
Considerando p o passo de referência (passo primitivo) pode-se escrever: 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 71 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
z2  prd  e z

p
=d 
A relação 
z
d


p
 define-se ser igual a m (módulo). É usado nos paises que utilizam o 
sistema métrico sendo seu valor medido em milímetros: 
z
d
m 

p
 
Para países cuja unidade é a polegada, usam-se em lugar do módulo, o “passo diametral” 
- DP do inglês Diametral pitch. O passo diametral ou Diametral pitch corresponde ao número 
de dentes dividido pelo diâmetro de referência (primitivo) medido em polegadas: 
d
z
DP

 
O passo diametral pode ser relacionado com o módulo pela seguinte expressão: 
4,25DPm 
Existem módulos e Diametral pith padronizados para facilitar a fabricação de ferramentas. 
Na Tabela 4.1, apresenta-se os módulos disponíveis pela DIN. 
Tabela 4.1 - Módulos disponíveis pela DIN 
de m = 0,3 até m = 1,0 mm de 0,1 mm em 0,1 mm 
de m = 1,0 até m = 4,0 mm de 0,25 mm em 0,25 mm 
de m = 4,0 até m = 7,0 mm de 0,5 mm em 0,5 mm 
de m = 7,0 até m = 16,0 mm de 1,0 mm em 1,0 mm 
de m = 16,0 até m = 24,00 mm de 2,0 mm em 2,0 mm 
de m = 24,00 até m = 45,00 mm de 3,0 mm em 3,0 mm 
de m = 45,00 até m = 75,00 mm de 5,0 mm em 5,0 mm 
A Tabela 4.2 apresenta os módulos padronizados de engrenagens cilíndricas transcritos da 
NBR 8088. A norma NBR 8088 salienta que deve ser dada preferência aos módulos da classe 
I. Recomenda-se evitar o emprego dos módulos indicados entre parênteses, da classe III. 
A fim de mostrar ao estudante de engenharia o tamanho dos módulos, a Figura 4.4 ilustra 
os dentes em tamanho aproximado ao natural para módulo entre 1 a 12. 
Elementos de Máquinas III 72 
 
Figura 4.4 - Dentes em tamanho natural para módulo entre 1 a 12 
Fonte: Silveira (1977) 
 
 
 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 73 
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Tabela 4.2 – Módulos padronizados de engrenagens cilíndricas. 
Fonte: NBR 8088 
Classe Módulos padronizados - m 
I 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1 1,25 1,5 
II 0,35 0,45 0,55 0,7 0,9 1,125 1,375 1,75 
III (0,65) 
I 2 2,5 3 4 5 6 8 
II 2,25 2,75 3.5 4,5 5,5 7 9 
III 
I 10 12 16 20 25 32 40 50 
II 11 14 18 22 28 36 45 
III 
 
A Tabela 4.3 apresenta os passos diametrais – DP normalizados segundo a ISO e o 
módulo m correspondente. 
Tabela 4.3 – Diametral Pitch normalizados (ISO) 
Fonte: Silveira (1977) 
Diametral Pitch normalizados (ISO) 
I II 
DP m correspondente DP m 
correspondente 
20 1,270 
 18 1,411 
16 1.588 
 14 1,814 
12 2,117 
10 2,540 9 2,822 
8 3,175 7 3,628 
6 4,233 
5 5,080 5 1/2 4,618 
4 6,350 4 1/2 5,644 
3 8,466 3 1/2 7,257 
2 1/2 10,160 2 3/4 9,236 
2 12,700 2 1/4 11,289 
1 1/2 16,933 1 3/4 14,514 
1 1/4 20,320 
1 25,400 
 
Associado a Figura 4.3, a Tabela 4.4 apresenta os principais símbolos geométricos 
utilizados em engrenagens cilíndricas de dentes retos e as respectivas relações geométricas. 
 
Elementos de Máquinas III 74 
Tabela 4.4 – Símbolos básicos adotados em engrenagens cilíndricas de dentes retos e relação 
geométrica 
Fonte principal: SB-21 
Símbolo Nomenclatura Relação geométrica 
a Distância entre centros de referência 
aw Distância entre centros de funcionamento wwaa  coscos  
b Largura do dente 
d Diâmetro (do cilindro) de referência zmd  
da Diâmetro (do cilindro) de cabeça 
db Diâmetro (do cilindro) de base 
df Diâmetro (do cilindro) de pé 
e Vão entre dentes(no cilindro) de referência 
2
p
e  
ea Vão entre dentes(no cilindro) de cabeça 
eb Vão entre dentes(no cilindro) de base 
ef Vão entre dentes(no cilindro) de pé 
h Altura total do dente 
fa hhh  
mh  25,2 
ha Altura da cabeça do dente mha  1 
hf Altura do pé do dente mhf  25,1 
mb Módulo de base 
mn Módulo normal 
n1 Freqüência de rotação da engrenagem menor 
n2 Freqüência de rotação da engrenagem maior 
pb Passo (no cilindro) de base 
p Passo (no cilindro) de referência (não 
referenciado pela norma S-21) z
d
p


 ou mp   
qs Fator de entalhe 
ra Raio (do cilindro) de cabeça aa hrr  1 
r Raio (do cilindro) de referência (não 
referenciadopela norma S-21) 
2
zm
r

 
rb Raio (do cilindro) de base cos1  rrb 
rf Raio (do cilindro) de pé ff hrr  1 
 25,1 zmrf 
Sa Espessura do dente (no cilindro) de cabeça 







 aaa EvEv
r
S
rS 
2
2 
S Espessura do dente (no cilindro) de referência 
(não referenciado pela norma S-21) 2
p
S  
2


m
S 
Sb Espessura do dente (no cilindro) de base 







 bbb EvEv
r
S
rS 
2
2 






 Ev
r
S
rS bb 2
 
Sw Espessura do dente (no cilindro) de 
funcionamento 
 
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Símbolo Nomenclatura Relação geométrica 
SM Espessura do dente em um raio rM 








 MMM EvEv
r
S
rS 
2
2 
Usar: bMM rrr   coscos 
vg Velocidade de deslizamento 
vga Velocidade de deslizamento na cabeça (do 
dente) 
 
vt Velocidade tangencial 
x1 Fator de correção da engrenagem menor 
x2 Fator de correção da engrenagem maior 
z1 Número de dentes da engrenagem menor 
z2 Número de dentes da engrenagem maior 
i Relação de transmissão (movida/motora) 
2
1
2
1
1
2
1
2
n
n
w
w
d
d
z
z
i  
a Ângulo de pressão no cilindro de cabeça 
n Ângulo de pressão no cilindro de referência 
wn Ângulo de pressão de funcionamento normal 
 Deslizamento específico 
R Grau de recobrimento 
R
r r r r a
p
a b a b

    

1
2
1
2
2
2
2
2 sen
cos


 
Rw Grau de recobrimento para uma distância 
entre centros imposta 

cos
2
2
2
2
2
1
2
1



p
senarrrr
R
wwbaba
w
 
w1 Velocidade angular da engrenagem menor 
w2 Velocidade angular da engrenagem maior 
 
4.3 ESPESSURA DO DENTADO 
Finzi (1963) menciona que é importante determinar a espessura do dente em função do 
raio a fim de verificar que a sua extremidade não seja excessivamente fina, o que poderia 
acontecer com um pequeno número de dentes e grande ângulo de pressão. 
Segundo Henriot (1968), a fórmula geral para determinação da espessura Sm em um ponto 
M que apresenta o raio rM é: 








 MMM EvEv
r
S
rS 
2
2 
O ângulo de pressão na posição M (M) é determinado pela seguinte expressão: 
bMM rrr   coscos 
Elementos de Máquinas III 76 
É importante salientar que 
2


m
S representa a espessura sobre a circunferência de 
referência (circulo primitivo). 
 
O 
Ev M - Ev  
rb 
r 
rp 
ra 
rm 
Sb 
Sm 
Sa 
S 
 
Figura 4.5 – Espessura do dentado 
 
Problemas sobre espessura do dentado: 
1) Em uma engrenagem o diâmetro primitivo é de 100 mm e seu número de dentes é 50. 
Seu ângulo de pressão é de 20
o
. Determinar a espessura do dente sobre a circunferência de 
cabeça. 
2) Para o problema anterior, determinar a espessura do dente sobre a circunferência de 
base. 
3) Para o problema anterior determinar o raio do círculo de ponta ou seja, o raio da 
circunferência onde as duas evolventes de dentes se encontram. 
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4.4 FOLGA NO FLANCO DOS DENTES 
Geralmente as engrenagens trabalham nos dois sentidos de rotação e em virtude de folga, 
a cada inversão de movimento ocorre um impacto (uma pancada da motora sobre a movida). 
A inversão também pode ocorre quando a motora se tora conduzida como por exemplo em um 
veículo em descida. A folga é muito prejudicial quando as engrenagens são usadas para 
posicionamento. 
Por outro lado, se não houver folga a perigo de engripamento dos dentes com desgastes 
acentuados e aquecimento dos mesmos. 
A folga é necessária para compensar erros de fabricação, folgas nos mancais, efeitos de 
temperaturas e deformações elásticas. 
O valor da folga em engrenagens de boa qualidade é da ordem de décimo de milímetro. 
 
J 
Reta de 
ação 
 
Figura 4.6 – Folga no engrenamento 
Elementos de Máquinas III 78 
 
b 
e C M 
J2 J2 
J1 
d 
J1 K 
c 
a 
Ev2 
Ev1 
 
 
O2 
t2 
t2´ 
O1 
Esta é a circunferência de 
referência (primitiva). Como 
ela esta ampliada parece uma 
reta 
Reta de ação 
 
Figura 4.7 – Folga na zona de contato de um engrenamento 
Na Figura 4.7 apresenta-se os perfis evolventes ampliados na zona de contato. Pode-se 
dada a ampliação fazer o perfil de evolvente ser representado como uma reta, normal à reta de 
ação. 
Da mesma maneira, as circunferências que passam em “C” (primitivas) podem ser 
substituídas por uma reta normal à linha entre centros. 
Chama-se de Folga normal J1 a distância entre duas evolventes medida sobre a reta de 
ação e seu valor é obtido por meio de lâminas calibradoras. 
Chama-se de Folga circular J2 a distância entre duas evolventes medida sobre a 
circunferência de referência (primitiva). Pode ser medida como a diferença entre o vão da 
roda 2 e a espessura do dente da roda 1, medidos sobre as respectivas circunferências 
primitivas ou seja: 
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122 SeJ  
Deslocando-se, agora O2 na direção de O1 de um valor a. A evolvente 2 ocupará a 
posição da reta t2. A variação de folgas será obtida como segue: 
KCJ 1 e MC2J 
e



J2
J1
c
d

a
 
Figura 4.8 – Semelhança de triângulos 
Conforme Figura 4.8, por semelhança de triângulo chega-se a seguinte expressão: 
21 J
e
J
d
a
c





 
Como tem-se ainda que senCd  e tan.Ce  obtem-se: 
senaJ  1 tan2  aJ 
As folgas reais são diferentes das de projeto devido a erros de fabricação, montagem, 
dilatação, etc. 
Problema sobre folga no flanco do dente: 
1) Determinar a distância entre centros de funcionamento para uma folga circular J2 = 
0,14 mm dados: m = 5; z1 = 17 dentes; i  2,7;  = 20
o
; dente normal. 
Elementos de Máquinas III 80 
4.5 ARCO ÚTIL DO PERFIL DO DENTE 
As evolventes das engrenagens são limitadas por uma circunferência de cabeça. Na Figura 
4.9, representa-se duas engrenagens em uma situação de engrenamento. 
 O2 
O1 
rb2 
Reta de ação 
rb1 
B1 
B2 
 
A1 
A2 
rA1 ra1 
r1 
K 
rA2 ra2 
r2 C. base 2 
C. referência 2 
C. cabeça 2 
C. base 1 
C. referência 1 
C. cabeça 1 
 
 
Figura 4.9 - Engrenamento de duas engrenagens 
Chama-se de arco útil do perfil do dente ao arco onde se realiza o contato entre as 
evolventes durante o engrenamento. O arco é limitado por duas circunferências de raios ra1 e 
rA1 para o pinhão e ra2 e rA2 para a roda. 
Os pontos A1 e A2 representam o início e o fim de engrenamento respectivamente. A partir 
da Figura 4.9 pode-se escrever:    21
2
111 bA RABr  
Como: 
212111 BABBAB  ,  senasenOOBB  2121 e    
2
2
2
221 ba rrBA  
Tem-se que:      
2
2
2
2
2
2
11 





 babA rrsenarr  
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Analogamente:      
2
2
1
2
1
2
22 





 babA rrsenarr  
As duas expressões anteriores caracterizam os limites de engrenamento de duas 
evolventes. 
Na Figura 4.10, tem-se um dente, onde K representa o inicio de contato e T o fim do 
contato, e está sobre a aresta do dente. 
O arco KT da evolvente é então o arco útil do perfil do dente. Ao ponto I, sobre a 
circunferência de base temos a origem da evolvente. 
Devido seu pequeno raio o arco KI da evolvente não é utilizado, e por esta razão 
abandona-se o perfil do dente segundo a curva “1” a fim de melhorar a resistência do dente. 
Pode-se também, adotar a curva “2”, produzindo um adelgaçamento no pé do dente 
melhorando desta forma suas características para interferência, podendo-se então ter 
engrenagnes com menor número dedentes. 
Para casos de altas cargas e velocidades, freqüentemente, adota-se o perfil conforme curva 
“3”. A variação do perfil é muito pequena e o valor de TT´ é da ordem da deformação elástica 
do dente. O segmento TT´´ é da ordem de 0,4m, onde “m” é o módulo da engrenagem. 
 
T ́
C. referência 1 
C. C2 
C. fundo 
C. C1 
máx 0,02 
0,4.m 
T´´ 
3 
K 
I 2 
1 
T 
 
Figura 4.10 - Zonas de Engrenamento de um dente 
Elementos de Máquinas III 82 
4.6 CREMALHEIRA 
Na Figura 4.11 tem-se um pinhão e cremalheiras. Baseados no fato de que a reta de ação é 
mantida tangente ao círculo de base e perpendicular ao perfil da cremalheira. 
 
Reta de ação 
 
r =  
r1 = finito 
Cremalheira 
Engrenagem 
I O Y 
 
Figura 4.11 - Engrenamento do pinhão com cremalheira em diferentes posições 
O ponto I da Figura 4.11onde a reta de ação corta a linha OY é o ponto da tangência do 
círculo primitivo do pinhão e da linha primitiva da cremalheira ( estes elementos rodam um 
sobre o outro sem deslizar. Desta maneira se mantém o raio primitivo r1 tal que 
cos
1
1
brr  e 
o ângulo de pressão de funcionamento é . 
O ângulo de pressão da cremalheira, para ser perpendicular ao perfil deve ser também . 
Para a engrenagem com velocidade rv  , onde  é a sua velocidade angular e “r” o 
ser raio primitivo, teremos por ocasião do seu engrenamento com a cremalheira, um 
movimento linear da mesma com velocidade de translação “v”. 
Assim, um conjunto engrenagem-cremalheira transforma movimento rotativo em linear. 
Denomina-se “Reta Média” da cremalheira aquela sobre a qual a espessura do dente é 
igual a do vão. A reta primitiva é função do engrenamento. O ângulo de pressão dado o flanco 
ser reto é constante e conserva seu valor para qualquer engrenamento. 
Podemos escrever: mmmm SeeSeSp  22 
A espessura do dente a uma distância “l” da reta média vale: 
tan2  lSS mx 
sendo “ l ” orientado conforme Figura 4.12. 
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 
Sx 
Sm em 
p 
ha 
hf 
h l 
 
Figura 4.12 – Cremalheira. 
As cremalheiras podem ser usadas como ferramentas para a fabricação de novas 
engrenagens ou como engrenagens. 
A Figura 4.13a define os elementos geométricos da cremalheira ferramenta normalizada e 
da cremalheira engrenagem normalizada. 
Como vemos, a cremalheira ferramenta é diferente da cremalheira engrenagem. O adendo 
da cremalheira ferramenta é maior para poder retirar mais material do fundo do dente e 
permitir a existência de uma folga, da ordem de 0,1m a 0,2m. 
Freqüentemente são usados arredondamentos dos vértices conforme Figura 4.13a. 
A fim de conseguir curvas “1”, “2”, “3” referidas na figura 9, usa-se perfis adequados da 
cremalheira ferramenta. 
 
Sx 
Sm 
Cremalheira ferramenta 
p = 3,1416m 
2
,2
5
m
 
Linha de referência 
Cremalheira ferramenta 
e = 1,5708m S = 1,5708m 
1m 0,4m 
1
,2
5
m
 
1
m
 
20
o 
 
Figura 4.13 - Cremalheira Ferramenta e cremalheira engrenagem normalizada. 
4.7 INTERFERÊNCIA 
Na Figura 4.14 é representado um engrenamento entre um engrenagem 1 (pinhão) 
representado pelo sub-índice 1 e uma engrenagem 2 (roda) pelo sub-índice 2. 
Elementos de Máquinas III 84 
A reta rolando sobre ambos os círculos de base representados durante o engrenamento vai 
gerar a evolvente 1, a contra-evolvente 1 no pinhão 1 e a evolvente 2 na roda 2. Sejam B1 e B2 
respectivamente os pontos de tangência da reta de ação. desta maneira o ponto P gerou as 
evolventes e contra-evolventes fora do segmento 21BB . 
O flanco do dente que corresponde ao perfil da evolvente 2 deve engrenar com o flanco da 
evolvente 1. 
No ponto A tem-se a origem da contra-evolvente e evolvente 1, e disposto a uma distância 
de B2 igual a PB2 , desenvolvido sobre o círculo de base 1. Já para a evolvente 1, o ponto P 
deve estar acima de A, em virtude dos raios da evolvente 1 e contra-evolvente 2. 
Assim a evolvente 2 sempre cortará a evolvente 1 se o engrenamento se der fora do 
segmento 21BB . Isto significa fisicamente que se duas rodas dentadas engrenarem fora do 
segmento 21BB haverá engripamento (interferência de funcionamento), ruptura ou desgaste 
da superfície dos dentes e ainda mais se uma das rodas dentadas for uma ferramenta de corte, 
será destruído o perfil de evolvente, junto ao pé do dente que esta sendo usinado 
(interferência de fabricação). 
 
O1 
B1 
B2 
C 
O2 
Ev2 
CEv2 
Ev1 
Ev1 
P 
A 
 
Figura 4.14 - Engrenamento de evolventes e interferência. 
Vamos observar a Figura 4.15 onde é representado um engrenamento de evolventes. 
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O1 O2 
B2 
C 
ra1 
C Cabeça 2 
rb2 
rb1  ra2 
r1 2

 r2 
B1 C base 2 
C base 1 
 
 
 
Figura 4.15 - Engrenamento de Evolventes 
A condição necessária para evitar interferência é que o segmento de ação seja limitado 
pelo segmento 21BB . 
O caso limite ocorre então com a circunferência de cabeça da roda 2 passando em B1 e da 
roda 1 em B2. 
No triângulo O2B1C temos que     





 


2
cos2 212
2
1
2
21 senrrrsenrOB e 
sendo: 21222 OBhrr aa  
então: 
   221
2
122
2
2 22 senrrsenrhrh aa  
ou 
 


2
12
2
2
2
1
2
22 senrh
hsenr
r
a
a


 
Para um engrenamento normal temos: 11 zmr  , 22 zmr  e mha 2 
Assim, para cada z1 obteremos um valor z2 para que não haja interferência. Substituindo 
os valores em função de z2. 


2
1
22
1
2
24
4
senz
senz
z


 
Elementos de Máquinas III 86 
Na Tabela 4.5 apresenta-se a relação limite 
2
1
z
z
 para  = 15 e 20
o
. 
Tabela 4.5 – Relação z1/z2 para  = 15 e 20
o
. 
2
1
Z
Z
 
15
o
 21722 22/27 23/34 24/44 25/58 26/80 27/117 28/195 
20
o
 13/16 14/26 15/50 16/101 17/131
0 
18/ 
4.7.1 Interferência de fabricação com a cremalheira ferramenta 
Pode-se usinar uma engrenagem com o emprego de uma ferramenta dentada como por 
exemplo com uma cremalheira, provida de gumes de corte e dotadas de movimentos 
especiais. Para a cremalheira o valor r2 da 


2
1
22
1
2
24
4
senz
senz
z


 é infinito, ou seja: 
2r então 022
2
12  senrha ou 
2
2
1
sen
h
r a 
Sendo ha2 = ha0, o adento da cremalheira de corte e , o ângulo de pressão da mesma, 
obtemos com a equação 20, o mesmo valor do raio da roda que pode ser usinado sem 
interferência. Para o caso comum de ha2 = m,  = 20
o
 e sendo r1 = m1.z1 obtem-se 
1809,17
20
2
21

osen
z ou seja, se um pinhão com menos de 18 dentes, for usinado por 
uma cremalheira ferramenta, o pinhão sofrerá uma adelgaçamento do pé dos dentes. A 
cremalheira de corte é a ferramenta que provoca o máximo de adelgaçamento. Rodas usinadas 
com o seu emprego não sofrerão interferência de funcionamento com nenhuma outra roda. 
Geralmente, ao invés de 18 dentes, utiliza-se como limite mínimo de dentes para a 
construção de engrenagens cilíndricas de dentes retos, 17 dentes. Porém é bom lembrar que 
engrenagens com 17 dentes produzidas a partir de uma cremalheira ferramenta sofrerão um 
pequeno adelgaçamento da raiz do dente. 
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4.8 GRAU DE RECOBRIMENTO 
O grau de recobrimento de um conjunto de engrenagens é definido como a relação entre o 
tempo que um par de dentes permanece em engrenamento e o tempo entre dois inícios de 
engrenamentos sucessivos. 
O grau de recobrimento indica então o número de pares de dentes que permanecem 
engrenados a cada instante. Deste modo um grau de recobrimento igual a 1,35 indica que 
durante 35% do tempo permaneceu engrenado 2 pares de dentes e durante os 65% restante 
apenas 1 para esta engrenado. 
 
R = 1,35 
35% do tempo permanece 2pares de dentes 
engrenados 
65% do tempo permanece 1 pares de dentes 
engrenados 
1 + 1 = 2 
100-35 = 65 
 
Figura 4.16 – Exemplo de grau de recobrimento. 
Pela Figura 4.17 tem-se a situação de engrenamento. O engrenamento inicia em A1 e 
termina em A2. Conforme já estudado no item Arco Útil do Perfil do Dente, os pontos A1 e 
A2 são os extremos do arco útil do perfil do dente. O segmento 21AA é o segmento de ação e 
é o lugar geométrico dos pontos em contato das duas evolventes. 
A velocidade de deslocamento do ponto P em contato sobre a reta de ação, conforme 
estudado no item Deslizamento Específico, é: 
 cos112211  rrrv bbn 
Um par de dentes permanece engrenado desde A1 até A2, percorrendo o segmento 21AA 
com velocidade vn. Desta maneira o tempo que um par de dentes permanece em engrenamento 
pode ser determinado pela seguinte expressão: 
nv
AA
t 211  
Elementos de Máquinas III 88 
O tempo entre dois inícios de engrenamentos sucessivos pode ser determinado pela 
seguinte expressão: 
tv
p
t 2 
Sendo p o passo primitivo (espaço) e vt a velocidade tangencial; 
A partir da definição de recobrimento: 
sucessívos tosengrenamen de inícios dois entre Tempo
ação de segmento opercorrer contato de ponto o para Tempo
R 
Escreve-se: 
 coscos
21
11
121
21





p
AA
R
pr
rAA
v
p
v
AA
R
t
n 
 O2 
O1 
B1 
B2 
 
A1 
A2 
ra1 
 
P1 C 
P2 
 
 
Figura 4.17 – Engrenamento de duas engrenagens com elementos para determinar o grau de 
recobrimento 
A partir da Figura 4.17, pode-se escrever: 
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21122121 BBABABAA  
2
1
2
121 ba rrAB  e 
2
2
2
212 ba rrAB  
 senasenrsenrCBCBBB  212121 
Tem-se assim 
senarrrrAA baba 
2
2
2
2
2
1
2
121 
Logo, o grau de recobrimento para funcionamento em uma distância entre centros “a” é 
determinado pela seguinte expressão: 


cos
2
2
2
2
2
1
2
1



p
senarrrr
R
baba
 
Para funcionamento na distância entre centros de funcionamento aw com ângulo de 
pressão de funcionamento w tem-se: 


cos
2
2
2
2
2
1
2
1



p
senarrrr
R
wwbaba
w 
Para a utilização da expressão acima lembre-se que: wwaa  coscos  e 
wwpp  coscos  
onde: ww mp   , sendo mw o módulo de funcionamento e cujo valor será: 
 21
2
zz
a
m ww


 
O grau de recobrimento não pode ser menor que 1 afim de garantir a continuidade do 
movimento. A medida que o grau de recobrimento existe e aumenta, há maior suavidade de 
movimento, com menos vibrações e ruídos. Na prática, usa-se 4,12,1  R . 
Se houver em uma roda ou ambas as rodas adelgaçamento da raiz do dente, as equações as 
equações 14 e 15 devem ser verificadas, bem como as equações 21 e 22. 
Problemas sobre grau de recobrimento 
Elementos de Máquinas III 90 
1 - Uma engrenagem cilíndrica de dentes retos normal deve engrenar com um pinhão de 20 
dentes, módulo de 4 mm e ângulo de pressão 20
o
. A relação de transmissão deve ser igual a 
2. Determinar a distância entre centros e o grau de recobrimento. 
2 - Para o problema anterior determinar o máxima distância entre centros de funcionamento 
(aw) possível de ser utilizada. 
4.9 MECÂNISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS 
CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 
A correção de engrenagens pode ser aplicada para: (i) Para Compatibilizar distâncias entre 
centros de funcionamento e projeto; (ii) Evitar a interferência de fabricação; e (iii) Otimização 
do deslizamento específico. 
Para fins de entendimento da correção de engrenagens, faz-se algumas definições baseadas 
nas figura que seguem. 
 
Sx 
Sm 
Cremalheira ferramenta 
p = 3,1416m 
2
,2
5
m
 
Linha de referência 
Cremalheira ferramenta 
e = 1,5708m S = 1,5708m 
1
,2
5
m
 
1
m
 
20
o 
 
Figura 4.18 – Cremalheira ferramenta com módulo normalizado 1 mm 
A Figura 4.18 define os elementos geométricos da cremalheira ferramenta normalizada. 
A linha de referência ou reta média é aquela sobre a qual a espessura do dente é igual ao 
vão. Ela serve de referência para definir as demais dimensões. 
Para engrenagens mecânicas em geral com 201  om e 120  oDP , além das 
dimensões já definidas tem-se que o ângulo de pressão normalizado é de o = 20
o
 e os raios 
de concordância iguais a r = 0,4 m. 
A Figura 4.19 representa a usinagem de uma roda de “z” dentes a partir da cremalheira 
ferramenta. Chama-se: (i) -Diâmetro primitivo de usinagem da roda; e (ii) -Linha primitiva de 
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usinagem da cremalheira, aos elementos que rolam sem deslizamento, um sobre o outro, 
durante a usinagem. Logo, o passo primitivo “p” da roda é igual ao passo “p” da cremalheira. 
Por outro lado, a linha de ação de usinagem é normal ao perfil da cremalheira e tangente 
ao círculo de base da roda usinada. 
Isto significa que o diâmetro do círculo de base da roda é igual ao diâmetro primitivo de 
usinagem multiplicado pelo cosseno do ângulo de pressão “” da cremalheira. 
 
Cremalheira geratriz 
p = .m 
Linha de primitiva de 
geração 
 
O círculo rola sem 
deslizamento 
Círculo de base 
Círculo de referência da 
engrenagem 
(primitiva) 
z.m 
z.m.cos 
Reta de ação 
 
 
Figura 4.19 - Usinagem de roda com “z” dentes a partir de cremalheira ferramenta 
Uma engrenagem apresenta dente normalizado se pode ser gerada a partir da cremalheira 
ferramenta normalizada. 
Um dente normalizado é dito normal se durante a usinagem a linha primitiva de 
usinagem (geração) da cremalheira ferramenta se confunde com a linha de referência desta. 
As características geométricas das engrenagens normais são aquelas ilustradas na Tabela 4.4. 
No dente normal é importante salientar que a espessura do dente é igual ao vão do dente sobre 
o diâmetro de referência (primitivo) da engrenagem. 
Um dente normalizado é dito corrigido se a linha primitiva de usinagem da cremalheira 
ferramenta não se confunde com a linha de referência. 
Sobre a circunferência primitiva de usinagem, com diâmetro de valor zmd  tem-se 
para engrenagem com dente corrigido que: (i) Espessura  vão; (ii) Espessura + vão = Passo 
Elementos de Máquinas III 92 
= m ; (iii) Adendo -  xmha  1 ; (iv) Dedendo  xmhf  25,1 ; e (v) Altura do dente 
mh  25,2 . Obs.: x representa i índice de correção. 
Na Figura 4.20 temos uma roda de dentes corrigidos, uma vez que a linha primitiva de 
usinagem da cremalheira não coincide com a linha de referência. 
 
2
,2
5
m
 
Linha de referência 
1
,2
5
m
 
1
m
 
Linha de geração 
x.m 
(+) 
I 
x.(+) 
1,25.m S 
mzd  






 

tgxmS 2
2
 
 xmh f  25,1 
mh  25,2 
 xmha  1 
ha 
hf 
h 
 
Figura 4.20 - Usinagem de roda com dentes corrigidos por correção positiva 
A correção se chama positiva se a linha de referência é exterior ao círculo primitivo de 
usinagem. A correção se chama negativa se a linha de referência corta o círculo primitivo de 
usinagem. 
O deslocamento do perfil “x.m” é a distância entre a linha de referência e a linha primitiva 
de usinagem. 
O coeficiente de correção ou simplesmente correção é o deslocamento do perfil dividido 
pelo módulo da cremalheira ferramenta. 
m
mx
x

 
Usa-se desta maneira x1 para designar a correção no pinhão e x2 para a roda. 
Na Figura 4.20 vê-se uma roda dentada com correção positiva e na Figura 4.21 pode-se 
ver tanto a correção positiva como a correção negativa. Observe-se que a correção positiva 
torna o dente aguçado na ponta e a correção negativa adelgaça o dente em sua raiz. 
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Figura 4.21 - Diversos tipos de Correção a) Correção positiva x=+1,00b) Correção Positiva x 
= +0,50 c) Sem correção x= 0,00 d) Correção negativa x = -0,50 
A expressão geral da espessura do dente da cremalheira é: 






 oo lmS 

tan2
2
 
onde, “l”, é considerado com seu valor algébrico positivo ou negativo. A expressão geral 
da espessura dos dentes da roda é: 






 FFF EvEv
d
s
rS 2 
fazendo: 
SF = Espessura do dente na circunferência de cabeça 
RF dr 2 = diâmetro da circunferência de cabeça 






 oo xms 

tan2
2
 = espessura do dente sobre a circunferência primitiva 
de usinagem; 
d = diâmetro primitivo de usinagem; 
 = ângulo de pressão no engrenamento de usinagem 
F = ângulo de incidência do ponto da evolvente sobre a circunferência de cabeça. 
Utilizando ainda a expressão: 
F
oF
d
d


cos
cos
 
Elementos de Máquinas III 94 
podemos obter a espessura de dente na circunferência de cabeça SF. 
Se a correção x do deslocamento do perfil for positiva e elevada, pode-se verificar um 
aguçamento da cabeça do dente, conforme a Figura 4.21 ilustra. 
A espessura da cabeça do dente não deve, para engrenagens cementadas ser inferior a 
0,4m . Para engrenagens comuns deve ser maior ou igual a 0,2m. 
Os dentes aguçados são empregados quando se deseja rodas com reduzido número de 
dentes. 
Se a correção for negativa e elevada, verifica-se para pequenos números de dentes o 
aparecimento do adelgaçamento do pé do dente. Na Figura 4.21 temos perfis corrigidos e um 
perfil normal, onde se pode observar o que foi afirmado. 
4.9.1 Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Externos 
Na Tabela 4.6, apresentamos as características geométricas de um dentado reto exterior 
corrigido. 
Tabela 4.6 - Características de um dentado reto exterior Corrigido 
Designação Fórmula 
Diâmetro de referência(Primitivo) zmd  
Diâmetro de cabeça   mxzda  22 
Espessura sobre o primitivo 






 

tan2
2
xms 
Adendo   mxha  1 
Dedendo   mxhf  25,1 
Altura do dente mh  25,2 
4.9.2 Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Internos 
Na Tabela 4.7 apresenta-se as características geométricas de um dentado reto interno. Para 
a roda, usaremos a mesma convenção de sinal da correção x. 
Tabela 4.7 - Características de um dentado reto interno Corrigido 
Designação Fórmula 
Diâmetro de referência (Primitivo) 
22 zmd  
Diâmetro exterior   mxzda  22 22 
Espessura sobre o primitivo 






 

tan2
2
22 xmS 
Adendo   mxha  22 1 
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Dedendo   mxhf  225,1 
Altura do dente mh  25,2 
4.9.3 Tipos de Engrenamentos 
Na figura ao lado, podemos ver os três tipos de engrenamentos: 
1. Engrenamento Zero ou Normal (a); 
2. Engrenamento V zero (c); 
3. Engrenamento V (b); 
 
Figura 4.22 – Tipos de Engrenamentos 
Fonte: Niemann (1977) 
4.9.3.1 Engrenamento Zero ou Normal 
Consideramos uma roda e um pinhão usinados com uma mesma cremalheira ferramenta 
com módulo mo e ângulo de pressão . Consideremos ainda que durante a usinagem a linha 
primitiva de usinagem da cremalheira coincidiu com a linha de referência. Desta maneira 
teremos usinado uma roda e um pinhão normais. 
Nos itens anteriores, já estudamos as características do dentado normal. Tem-se para a 
distância entre centros normal as seguintes relações(Tabela 4.8): 
Tabela 4.8 - distância entre centros normal para engrenagens com dentes externos e internos 
 Dentes externos Dentes Internos 
Engrenagens 
cilíndricas de dentes retos 2
12 dda

 
2
12 dda

 
Elementos de Máquinas III 96 
Para o recobrimento obtivemos as expressões, onde o sinal superior se refere as 
engrenagens externas e o inferior as internas. 
  

senarrrr
p
R bb aa 

 22
22
1
2
21
cos
1
 
O número mínimo de dentes sem adelgaçamento do pé do dente pode ser obtido a partir da 
expressão geral do limite de interferência ou adelgaçamento já visto: 
Equação 4.1 
 


2
12
2
2
2
1
2
22 senrh
hsenr
r
a
a


 
Uma vez que para o engrenamento normal temos: 
2
1
1
Zm
r o

 
2
2
2
Zm
r o

 oa mh 2 o  
desta maneira, a cada z1 obtemos um valor de z2 para que não haja interferência. A Tabela 
4.9 relaciona alguns valores: 
Tabela 4.9 – Relação do número de dentes sem interferência de fabricação 
o 
2
1
r
r
 
15
o
 21/22 22/27 23/34 24/44 25/58 26/80 27/117 27/195 
20
o
 13/16 14/26 15/50 16/101 17/1310 18/ 
Desta maneira, se usinarmos um pinhão de 13 dentes com uma engrenagem ferramenta 
Fellows de 16 dentes, não haverá adelgaçamento do pé do dente do pinhão. Se o pinhão for 
engrenado com uma roda com número de dentes maior do que o da engrenagem ferramenta 
haverá interferência. 
Tem-se que: 
Equação 4.2 


2
1
22
1
2
24
4
senz
senz
z


 
A partir desta expressão podemos determinar o número mínimo de dentes z1 para engrenar 
com a cremalheira sem haver interferência. Neste caso limite temos Z2=, logo. 
024 21  senZ 
Equação 4.3 
2
1
2
sen
z  
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 Onde substituindo pelo ângulo de pressão de usinagem, temos o valor procurado para 
z1. Abaixo na Tabela 4.10 temos alguns valores: 
Tabela 4.10 - Número mínimo de dentes Z1 
 15
o
 15,5
0
 20
0
 25
0
 30
o
 
Z1 30 22 17 11 8 
A vantagem de usinar engrenagens com ferramenta Fellows é que se consegue rodas com 
menor número de dentes, sem adelgaçamento do pé do dente. Compare-se por exemplo, para 
o=20
o
, obtemos o mínimo de 17 dentes com a cremalheira ferramenta e de apenas 13 dentes 
se for usinado com ferramenta Fellows de 16 dentes. 
Como desvantagens, um pinhão gerado por Ferramenta Fellows só pode engrenar com 
outro de mesmo ou menor número de dentes, a fim de evitar interferência. Um pinhão gerado 
por cremalheira pode engrenar com qualquer número de dentes sem haver problemas de 
interferência. 
Com ângulo de pressão de 30
o
, podemos obter um pinhão de 7 dentes com ferramenta 
Fellows de 17 dentes e um pinhão de 8 dentes com cremalheira ferramenta, sem haver 
adelgaçamento do pé do dente. 
4.9.3.2 Engrenamento V0 (Vê-zero) 
Ao engrenamento obtido com um pinhão com correção x1 e uma roda com correção x2, e 
que trabalhem de tal maneira que as circunferências primitivas de funcionamento sejam as de 
usinagem, denomina-se engrenamento V0. 
O ângulo de pressão de funcionamento corresponde então ao ângulo de pressão  da 
cremalheira ferramenta. 
Sobre os círculos primitivos de usinagem os dentados tem o mesmo passo: 
Chamando-se: 
S1 - espessura primitiva dos dentes do pinhão 
S2 - espessura primitiva dos dentes da roda 
e1 - vão primitivo dos dentes do pinhão 
e2 - vão primitivo dos dentes da roda. 
Sabendo-se que o passo vale om tem-se que: 
Equação 4.4    2211 SeSemp oo   
Elementos de Máquinas III 98 
Sendo: 
Equação 4.5 21 eS  e 12 eS  
Substituindo a Equação 4.4 em Equação 4.5 obtem-se 
Equação 4.6 21 ssmp oo   
que é a condição fundamental para que a distância entre centros de funcionamento aw 
coincida com a normal a. 
Sendo x1 - correção do pinhão 
 x2 - correção da roda 
temos pela Tabela 4.6: 
Equação 4.7 





 

tan2
2
11 xmS e





 

tan2
2
22 xmS 
Substituindo-se a Equação 4.7 em Equação 4.6 teremos: 
ooooo mxmxmss 











 



tan2
2
tan2
2
2121 
Simplificando teremos: 
0tan2tan2 21  oo xx  
Logo: 
Equação 4.8 021  xx ou 
12
21
xx
xx


 
4.9.3.2.1 Engrenagens de dentes retos externos 
Assim, como foi visto as engrenagens cilíndricas de dentes retos externos apresentam: 
omxx  21 
021  xx ou 
12
21
xx
xx


 
4.9.3.2.2 Engrenagens de dentes retos internos 
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A distância entre centros normal é: 




 

2
12 zzma 
Deve-se ter: mSS  21 
Usando as Tabela 4.6 e Tabela 4.7, uma vez que a roda é interna e o pinhão é externo: 






 

tan2
2
11 xmS e 





 oo xmS 

tan2
2
22 
Chega-se então a seguinte conclusão: 
21 xx  ou 021  xx 
4.9.4 Engrenamento V (vê) 
 
Figura 4.23 - Engrenamento de Evolvente com perfil deslocado 
Metade esquerda : Fabricação do pinhão e da roda com o mesmo perfil de referência de 20
o
 
com um deslocamento x1m para o pinhão e x2m para a roda. 
Metade direita: Posição de serviço do engrenamento, após aproximação e rebaixamento da 
cabeça do dente pelo valor km 
4.9.4.1 Engrenagens cilíndricas de dentes retos externos (a aw) 
Veremos que em certos casos somos obrigados a abandonar a distância entre centros 
normal a. Podemos assim ser conduzidos a adotar s coeficientes de correção x1 para o pinhão 
e x2 para a roda tais que sua soma sejam diferente de zero. (a aw). 
Isto geralmente acontece quando temos várias engrenagens no mesmo eixo, como no caso 
de redutores, e caixas de câmbio, ou estamos em presença de uma substituição de um par de 
engrenagens por outro de diferente relação de transmissão em um mecanismo. 
Elementos de Máquinas III 100 
Outra razão de se adotar x1 e x2 é melhorar as características das engrenagens, como será 
abordado na aplicação da correção. 
Pelo formulário já visto, se: 021 xx  
Temos necessariamente que oww mSS  21 
e a distância entre centros de funcionamento aw é obrigatoriamente maior que a distância 
entre centros normal a. 
Se: 021 xx  
Temos necessariamente que oww mSS  21 
e a distância entre centros de funcionamento aw é obrigatoriamente menor que a distância 
entre centros normal a. 
Façamos a usinagem do pinhão e da roda com coeficientes de correção x1 e x2, tais que 
021  xx , e o engrenamento de tal maneira que não haja folga no flanco. 
As características do pinhão e da roda, para engrenagens cilíndricas de dentes retos 
externos de acordo com a Tabela 4.11 
Tabela 4.11 - Características de um dentado reto exterior corrigido 
Designação Fórmula 
 Pinhão Roda 
Diâmetro Primitivo 
11 zmd  22 zmd  
Diâmetro exterior   mxzda  111 22   mxzda  222 22
 
Espessura primitiva de usinagem 






 

tan2
2
11 xmS 





 

tan2
2
22 xmS
 
Vão primitivo de Usinagem 






 

tan2
2
11 xme 





 

tan2
2
22 xme
 
Adendo   mxha  11 1   mxha  22 1 
Dedendo   mxh f  11 25,1   mxh f  22 25,1 
No cálculo do recobrimento e interferência devem ser considerados os valores da Tabela 
4.11, ou equivalente para a correção “V” e usados elementos de funcionamento. 
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Ao ser feito o engrenamento, afastamos as rodas (ou aproximamos) até uma distância 
entre centros aw na qual não há folga nos dentes. 
Teremos então: 
2
21 ww
w
dd
a

 
sendo: i
d
d
w
w 
1
2 = relação de transmissão 
Podemos escrever: 
  coscos 111 wob ddd e   coscos 111 wob ddd 
respectivamente para a usinagem e funcionamento, donde: 
w
ww
d
d
d
d


cos
cos
1
1
2
2  
A fim de satisfazermos a condição de que não deve haver folga no flanco, devemos ter: 
Equação 4.9 ww eS 21  ww eS 12  
como: 
Equação 4.10 wwwwwww pppSeSe  212211 
substituindo a Equação 4.9 em Equação 4.10 obtemos: 
Equação 4.11 www pSS  21 
sendo: omp   e ww mp   
logo: 
Equação 4.12 
m
m
pp ww  
Zmd o  zmd ww  
logo: 
Equação 4.13 
m
m
d
dw  
Podemos obter S1w e S2w a partir da expressão geral: 
Elementos de Máquinas III 102 
Equação 4.14 





 FE
E
E
FF EvEv
d
S
rs 2 
Substituindo pelos elementos de funcionamento e usinagem 
Equação 4.15 





 waa EvEv
d
S
dS 
1
1
11 
Equação 4.16 





 woww EvEv
d
S
dS 
2
2
22 
Substituindo a Equação 4.15 e Equação 4.16 na Equação 4.11 obtemos: 
Equação 4.17    www
ww
www EvEvddS
d
d
S
d
d
SSp   212
2
2
1
1
1
21 
Introduzindo a Equação 4.12 e Equação 4.13 na Equação 4.17 obtém-se: 
   ww
www EvEvzzms
m
m
s
m
m
m
m
p   2121 
Introduzindo os valores de S1 e S2 da Tabela 4.11, simplificando e substituindo p por 
m . 
   wEvEvzzxx   2121 tan2tan20 
Equação 4.18 
   


tan2
21
21



EvEvzz
xx w 
que é a expressão geral do engrenamento “V” para engrenagens cilíndricas de dentes retos 
externos. No caso geral, a partir de x1 e x2 (correções necessárias, conforme serão vistas mais 
adiante), z1 e z2 (relação de transmissão) e o ângulo de pressão da ferramenta  determina-se 
o ângulo de pressão de funcionamento w e pela expressão obtém-se a distância entre centros 
de funcionamento aw. 
Equação 4.19 


cos
cos
 aa 
4.9.4.2 Engrenagens cilíndricas de dentes retos internos (a aw) 
Para as engrenagens cilíndricas com dentes retos internos podemos escrever: 
Equação 4.20 
2
12 ww
w
dd
a

 i
d
d
w
w 
1
2 
A fim de satisfazermos a condição de não haver folga no flanco do dente devemos ter: 
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Equação 4.21 ww eS 21  ww eS 12  
como: 
Equação 4.22 wwwww pSeSe  2211 
logo: 
Equação 4.23 www pSS  21 
Podemos ainda escrever da mesma maneira para as engrenagens cilíndricas de dentes 
retos. Sendo: 
Equação 4.24 
m
m
pp ww  
Equação 4.25 
m
m
d
d ww  
Equação 4.26





 www EvEv
d
S
dS 
1
1
11 
 
Equação 4.27 





 woww EvEv
d
S
dS 
2
2
22 






 

tan2
2
11 xmS e 





 

tan2
2
22 xmS 
Substituindo os diversos valores na Equação 4.23 teremos: 
Equação 4.28 
   


tan2
12
12



EvEvzz
xx w 
4.9.4.3 Rebaixamento da Altura do Dente para engrenagens cilíndricas de dentes retos 
externos 
Para o engrenamento Vê determinamos a distância entre centros de funcionamento aw e 
devemos verificar se permanecem com uma folga no fundo. 
Equação 4.29 of mj  25,0 
Caso não aconteça, devemos rebaixar os dentes para manter a folga do fundo jf, e isto deve 
ser considerado na verificação do recobrimento e interferência. Para as engrenagens 
cilíndricas de dentes retos externos tem-se que a folga de fundo é expressa por: 
Equação 4.30 wawff hhj 21  
A altura do adendo e dedendo de funcionamento são: 
Elementos de Máquinas III 104 
Equação 4.31  111111
222222
fwfwwf
wawawa
hrrrrh
rhrrrh


 
sendo: 
Equação 4.32 
 
 22
11
1
25,1
xmh
xmh
a
f


 
Substituindo as Equação 4.32 e Equação 4.31 e Equação 4.30 em Equação 4.29, obtém-se: 
 
 
  owf
wf
afwwf
wafwf
mxxmaaj
xxmaaj
hhrrrrj
rhrhrrj




21
21
211212
222111
25,0
125,1
 
A fim de satisfazermos a condição de folga no fundo ( Equação 4.29): 
  mmxxmaaj wf  25,025,0 21 
Equação 4.33   mxxaaw  21 
que é a condição de não haver rebaixamento na altura do dente. Caso contrário devemos 
reduzir os adendos de um valor “k.m”. Assim devemos ter: 
Equação 4.34  owawfof mkhhmj  2125,0 
Substituindo os valores da Equação 4.31 Equação 4.32 em Equação 4.34, tem-se: 
  021  kxxmaa ow 
Logo: 
Equação 4.35 
m
aa
xxk w

 21 
que exprime o valor do coeficiente de rebaixamento da altura do dente. Desta maneira a roda 
que sofrer um rebaixamento “km” terá seu diâmetro externo diminuído, devendo ser 
considerado na verificação do recobrimento e interferência. 
Não é necessário o rebaixamento nas rodas internas. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 105 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
4.10 EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA 
Para o limite de interferência entre o pinhão de z1 dentes e a roda de z2 dentes, com ângulo 
de pressão de usinagem , já vimos que podemos usar a Equação 4.1 do item anterior com 
algumas substituições, tendo-se: 
  0142 221
22
1  zzzsenz  
Resolvendo a equação e usando apenas a raiz positiva: 
Equação 4.36 
2
22
121
1
4
sen
z
zzz

 
Com ângulo de pressão de 20
o
, teremos no limite de interferência teórico engrenamento de 
uma roda de 50 dentes com um pinhão de 15, por exemplo. (Valor exato 15,15). 
Se engrenarmos com o referido pinhão de 15 dentes uma roda com mais de 50 dentes, 
haverá interferência. 
A fim de suprirmos a interferência, temos de optar entre 3 métodos: 
1. Aumento do ângulo de pressão de usinagem; 
2. Uso de dentes rebaixados 
3. Uso de dentes corrigidos 
Os dois primeiros métodos implicam no abaixamento do recobrimento e não são portanto 
de emprego prático. A solução racional é o emprego de dentes corrigidos. 
O valor do coeficiente de correção pode ser expresso por: 
Equação 4.37 
´
´
z
zz
x

 (3) 
onde z´ exprime o número de dentes obtidos pela Equação 4.3 do item anterior. 
Problemas sobre emprego da correção para evitar a interferência 
1 - Seja, um engrenamento entre um pinhão de 11 dentes e uma roda de 23 dentes, com 
ângulo de pressão igual a 20
o
. Qual devem ser as correções limites para evitar a interferência 
de fabricação? 
2 - Seja, um engrenamento entre um pinhão de 8 e uma roda de 16 dentes, com ângulo de 
pressão igual a 20
o
. Qual devem ser as correções limites para evitar a interferência de 
fabricação? 
Elementos de Máquinas III 106 
4.11 CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT 
“Equilíbrio do máximo deslizamento específico sobre o pinhão e a roda e do fator de 
engripamento (H , Vg) nos pontos extremos de contato”. 
Este método, desenvolvido por G. Henriot pode ser dividido no que diz respeito de haver 
ou não distância entre centros imposta. 
 
Figura 4.24 – Ábaco para determinação da correção. 
Fonte: Henriot (1968) 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 107 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
4.11.1 Distância entre centros NÃO IMPOSTA 
Para ângulo de Pressão de usinagem de 20
o
, teremos: 
a) 6021  zz Engrenamento “VO” 
A partir do 
1
2
z
z
i  e z1 podemos ler o valor da correção necessária da seguinte maneira 
usando o Ábaco ilustrado na Figura 4.24 
Entra-se com o valor de z1 na reta graduada horizontal que contém o segmento OB com 
1
2
z
z
i  . Determina-se então x1 se for feita a projeção da interseção sobre o eixo das correções 
x, colocado a esquerda. 
Aplicação 
Se z1 = 20 e z2 = 60 teremos i = 3 
Usando-se o ábaco 1 teremos para a interseção de z1 e i o ponto correspondente x1=0,31. 
Sendo correção VO teremos x2= -x1 = -0,31. 
b) 6021 zz  Engrenamento “V” 
Teremos neste caso o valor de x1 dado pela curva AB, a partir de z1. 
O valor de x2 é obtido na interseção com a curva correspondente 
1
2
z
z
i  no interior do 
triângulo ABA´. 
Aplicação: 
Se z1 = 20 e z2 = 24, teremos i= 1,2 e, 
6021 zz  
O valor de x1 = 0,23. 
Para o valor de x2, teremos a interseção da curva i com z1 e teremos então o valor de 
x2=0,17. 
Elementos de Máquinas III 108 
4.11.2 Distância entre centros IMPOSTA 
Se a distância entre centros é imposta, já vimos quando do estudo do engrenamento V que 
somos obrigados a respeitar uma relação x1 + x2 dada pela Equação 4.18 e Equação 4.19 do 
item anterior 
A partir do conhecimento do somatório x1 + x2 a ser usado devemos escolher um valor de 
x1 e outro para x2 . 
A escolha de x1 e x2 pode ser feita segundo a recomendação da ISO, com: 
1
1
1
1
 ou 1
12
1
12
12
1









 
i
x
i
i
x
zz
z
x
zz
zz
x  
Com 
1
2
21
z
z
=i e   xxx 
O valor de  para engrenagens redutoras será compreendido entre 0,5 e 0,75, se 
aproximando do valor 0,75 a medida que o número de dentes diminui. 
Aplicação: 
Para z1 = 20 e z2 = 40 e   32,0x teremos : 
com  = 0,75 
04,036,032,0
36,0
2040
20
32,0
2040
2040
75,0
2
1







x
x
 
com  = 0,50 
05,027,032,0
27,0
2040
20
32,0
2040
2040
50,0
2
1







x
x
 
Valor médio de 32,0
2
27,036,0
1 

x (valor escolhido) 
com x2 = 0,32 - 0,32 = 0 ( escolhido) 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 109 
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5 ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES HELICOIDAIS 
A apresentação do capítulo que trata das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 
envolverá uma descrição mais sucinta, tendo em vista que muitos das informações podem ser 
associadas às engrenagens cilíndricas de dentes retoscom algumas considerações. 
5.1 CURVA HELICOIDAL 
Antes de abordar o estudo da dentado helicoidal, é necessário estudar a curva que lhe 
serve de definição. A curva helicoidal é uma curva que resulta do enrolamento de uma reta em 
torno de um cilindro. 
A distância constante que separa os pontos consecutivos da hélice situados sobre uma 
mesma geratriz do cilindro se chama “passo helicoidal”. 
O ângulo de inclinação da hélice é o ângulo constante , que forma a curva com relação ao 
eixo. Desenvolvendo a hélice em um plano temos a Figura 5.1 onde a hélice se torna uma reta 
XZ, inclinada de  com relação ao eixo. 
 
Figura 5.1 - Desenvolvimento da hélice. 
As relações fundamentais desta hélice são: 
Equação 5.1 


tan
d
PZ

 
A hélice pode ser a direita ou à esquerda, do mesmo modo que um parafuso. 
Elementos de Máquinas III 110 
5.2 ENGRENAGENS ESCALONADAS 
Para facilitar a compreensão das propriedades das engrenagens paralelas com dentado 
helicoidal é interessante estudas primeiro um tipo de engrenagem que já não se usa hoje em 
dia, e que se conheceu com a designação de “Engrenagem Escalonada”. 
A figura 2 apresenta um dente de pinhão de tal engrenagem com vista superior e de frente. 
A figura 3 representa o mesmo dente em perspectiva. 
 
Figura 5.2 - Engrenagem Escalonada 
Fonte: Silveira (1977) 
Uma roda ou dentado escalonado pode ser considerado como a justaposição de discos de 
dentado reto todos idênticos, de espessura igual a X, deslocados em relação ao outro contíguo 
segundo valores angulares Y. Os perfis P1´ , P1´´, P1´´´ do pinhão possuem idênticas 
evolventes, pois tem o mesmo cilindro base, de raio rb1. 
Representamos a engrenagem em uma “posição particular 2 tal que, o ponto de contato 
“a” do perfil P1 com o perfil P2 conjugado à roda, esteja situado sobre o cilindro-base do 
pinhão. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 111 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
Temos linhas de ação idênticas para todas as engrenagens elementares do dentado reto, 
que se projetam na vista de frente da figura 2, seguindo a tangente T ao círculo de base do 
pinhão, e, que passam pelo ponto de tangência I dos círculos primitivos. O ponto sobre o 
dente completo de perfil P1 está em “a” e o contato sobre o dente completo do perfil P1 se 
estabelece ao longo do pequeno segmento aa´ de comprimento X paralelo ao eixo, etc. Assim 
o contato entre o dente completo do pinhão e o dente conjugado da roda se produz sobre o 
conjunto de segmentos aa´, bb´... hh´. (conforme figura 3). 
Os pontos onde os perfis P1 , P1´ , P1´´... etc., encontram o cilindro base estão todos 
situados sobre uma mesma hélice Hb1. Os pontos a,b,c,...h, ... se acham todos situados sobre 
uma mesma reta G, a qual é tangente ao círculo-base. Também podemos dizer que está 
situada no plano tangente ao círculo base do pinhão ( e ao círculo base da roda como é fácil 
verificar ) passando pela geratriz de contato dos dois cilindros primitivos. 
 
Figura 5.3 - Dente de engrenagem escalonada. 
Fonte: Silveira (1977) 
 
5.3 ENGRENAGEM COM DENTADO HELICOIDAL 
Facilmente pode-se passar do dentado escalonado ao dentado helicoidal (Figura 5.4), 
multiplicando-se o número de rodas elementares ou seja, reduzindo indefinidamente a 
espessura X dos mesmos. 
O cilindro de raio rb1 é o cilindro de base do pinhão. 
Elementos de Máquinas III 112 
A hélice Hb1 é a hélice de base do pinhão. 
A reta G traçada sobre o mesmo dentado e tangente em “a” a hélice base do pinhão, é a 
geratriz retilínea de contato dos dois dentados em um instante considerado. 
A seção transversal da superfície do dentado segundo qualquer plano perpendicular ao 
eixo é uma evolvente de raio de base rb1. 
O contato entre dois perfis conjugados com dentado helicoidal se dá segundo uma reta, 
análoga à reta G da Figura 5.3. Durante o engrenamento a reta G se desloca ao longo dos 
dentes. 
 
Figura 5.4 - Engrenamento de duas rodas helicoidais 
5.4 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS E SUAS RELAÇÕES 
Chama-se hélice primitiva de uma roda, a hélice traçada sobre o cilindro primitivo, sua 
inclinação com relação ao eixo se chama ângulo de hélice . 
A Figura 5.5 representa o desenvolvimento de dois cilindros primitivos de uma 
engrenagem, tangentes segundo a geratriz XY. 
Durante o rolamento sem deslizamento desses cilindros, importa que as hélices primitivas 
conjugadas permaneçam constantemente tangentes. Isto implica em duas condições: 
a) As duas hélices devem ser de sentido oposto. 
b) Ambas as hélices devem ter o mesmo ângulo. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 113 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
Figura 5.5 - Representação de dois cilindros primitivos de um engrenamento 
As notações principais são ilustradas na Tabela 5.1. 
Tabela 5.1 – Notações principais das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 
r1 e r2 Raios Primitivos 
d1 e d2 Diâmetros primitivos 
 Ângulo de hélice primitiva 
b Ângulo de hélice base 
t Ângulo de pressão circunferêncial ou aparente 
pz1 Passo helicoidal do pinhão 
pz2 Passo helicoidal da roda 
Onde: 
Equação 5.2 
zz p
d
p
d 21tan





 
Como: 
2
1
2
1
d
d
p
p
z
z  tem-se que 
Equação 5.3 


tan
1
1
d
pz

 e 


tan
2
2
d
pz

 
 
Elementos de Máquinas III 114 
p
pz
z


d
d


b
b
 
Figura 5.6 - Desenvolvimento da superfície lateral dos cilindros primitivos e de base à roda 
Para b (ângulo de hélices de base) temos, lembrando que todas as hélices traçadas sobre 
um mesmo dentado tem o mesmo passo helicoidal ( Figura 5.6). 
z
b
b
p
d


tan sendo tb dd cos 
Equação 5.4 
z
t
b
p
d 

cos
tan

 e tb  costantan  
5.5 CREMALHEIRA HELICOIDAL 
Se for considerado o engrenamento da seção transversal da roda helicoidal com a 
cremalheira helicoidal, concluiremos por semelhança com as engrenagens cilíndricas de 
dentes retos, que o perfil da cremalheira helicoidal é também retilíneo. Se H1 é a hélice 
primitiva do pinhão de ângulo , e se fizermos rolar, sem deslizamento o cilindro primitivo do 
pinhão sobre o plano primitivo da cremalheira, H1 se desenrolará sobre o dito plano segundo 
um segmento retilíneo, H2 de ângulo  com relação ao eixo do pinhão. Os dentes da 
cremalheira são pois, uns prismas inclinados segundo o ângulo . 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 115 
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Figura 5.7 - Cremalheira Helicoidal 
5.6 VOCABULÁRIO E RELAÇÕES FUNDAMENTAIS 
Em um dentado helicoidal se distingue: 
1. Os elementos Circunferênciais ou aparentes afetados do sub-índice t: 
considerados dentro de todo plano normal ao eixo da roda. 
2. Os elementos normais ou reais afetados do sub-índice n: considerados 
normalmente a hélice primitiva. 
Na Figura 5.8 são representados os elementos correspondentes seguintes, medidos sobre o 
cilindro primitivo: 
pn - passo normal pt - passo circunferencial 
Sn - espessura normal St - espessura circunferencial 
en - vão normal et - vão circunferencial 
 
Figura 5.8 - Elementos Normais e Circunferenciais 
Na Figura 5.9, temos uma evolvente de círculo primitivo sobre um plano no qual as 
hélices primitivas se transformam em reta. 
Elementos de Máquinas III 116 
Tem-se: 
Equação 5.5 cos tn pp 
Equação 5.6 cos tn SS 
Equação 5.7cos tn ee 
 
Figura 5.9 – Relações fundamentais das engrenagens helicoidais 
onde: 
px - Passo axial; 
pn - Passo normal; 
pt - passo circunferêncial 
sendo: 
mt - módulo circunferencial 
Equação 5.8 
z
dp
m tt 

 e 
cos
n
t
m
m  
mn - módulo normal 
Equação 5.9 

n
n
p
m  cos tn mm 
O passo axial px está medido paralelamente ao eixo da roda 
Equação 5.10 
 sen
pp
p tx 
tan
 
É fácil ver-se que se pode escrever: 
Equação 5.11 xz pzp  (10) 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 117 
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Na figura 10 tem-se uma cremalheira na qual a seção circunferencial ou aparente “t” é 
normal ao eixo do pinhão conjugado (como mostra a Figura 5.9) e a seção normal é normal à 
direção dos dentes. O ângulo entre estas duas seções é igual a  ( ângulo da hélice primitiva). 
 
Figura 5.10 - Cremalheira 
Equação 5.12 ttbt pp cos 
Equação 5.13 nnbn pp cos 
Equação 5.14 ntbn pp  coscos  
Equação 5.15 tbtbn pp  coscos  
Obtém-se a relação entre n e t por meio dos triângulos ABF e DEF, que tem em comum 
ACDFh  . 
h
BC
t tan e 
h
EF
n tan 
cos BCEF 
donde: 
Equação 5.16  costantan  tn (15) 
5.7 PROPORÇÕES DO DENTADO NORMAL 
5.7.1 Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais externos 
A proporção do dentado normal de engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais externos 
é ilustrada na Tabela 5.2. 
Tabela 5.2 – Proporções do dentado normal das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 
Símbolo Designação Fórmula 
Elementos de Máquinas III 118 
Símbolo Designação Fórmula 
ha Addendum na mh  
hf Dedendum nf mh  25,1 
h Altura do dente 
nmh  25,2 
n ângulo de pressão normal 
o
n 20 
s Espessura 
2
p
s  
e Vão 
2
p
e  
d1 , d2 Diâmetro primitivo 
cos
1
1
zm
d n

 
cos
2
2
zm
d n

 
a Distância entre centros 
2
21 dda

 
 
cos2
21



zzm
a n 
aw Distância entre centros de 
funcionamento 
twwt aa  coscos  
5.7.2 Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais internos 
São os mesmos do dentado exterior, levando-se em conta as limitações de interferência. 
Na Tabela 5.3 tem-se o número mínimo de dentes de um dentado interior, abaixo do qual é 
impossível utilizar-se as proporções normais. 
Tabela 5.3 – Limitações para o dentado helicoidal interior. 
Ângulo de Pressão Ângulo de hélice  
normal n 0
o
 5
o
 10
o
 15
o
 20
o
 25
o
 30
o
 
15
o
 59 59 56 53 49 44 38 
20
o
 33 33 32 30 27 25 22 
25
o
 21 21 20 19 18 16 14 
5.8 NÚMERO DE DENTES IMAGINÁRIOS DE UM DENTADO HELICOIDAL - 
RODA VIRTUAL 
Se for colocado sobre um plano normal a hélice primitiva um plano secante, o cilindro de 
raio r ficará secionado segundo uma elipse. A elipse terá em I o seu raio menor, cujo raio é 
2cos
r
 . Neste plano temos cos tn mm e o ângulo de pressão é o ângulo de pressão 
norma n. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 119 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
Figura 5.11 – Elipse imaginária com número de dentes imaginários. 
Assim estudaremos o dentado helicoidal dentro do plano normal como se tivéssemos um 
dentado reto com as seguintes características ( roda virtual). 
mn - módulo normal; 
n - ângulo de pressão normal; 
2cos
r
 - raio primitivo 
O Número de dentes imaginários pode ser determinado por: 
n
n
m
r
Z
1
cos
2
2




 ou 
 2cos
1
cos
2




t
n
m
r
Z 
Ou então pela fórmula mais usual: 
Equação 5.17 
3cos
Z
Z n  (18) 
Uma aplicação prática interessante para o número de dentes imaginários é a escolha da 
fresa-módulo para a execução do dentado helicoidal entre o jogo de fresas para dentados de 
rodas retas. 
5.9 INTERFERÊNCIA 
A fim de ser estudado o fenômeno da interferência nas engrenagens helicoidais, podemos 
lançar mão da expressão 18. Vista na interferência de engrenagens cilíndricas de dentes retos, 
cuja expressão é deduzidas para uma seção circunferencial. 
Podemos dada a sua generalidade, substituir  por t . Para uma engrenagem normal, 
temos: 
Elementos de Máquinas III 120 
Equação 5.18 ta
2
2
1
1 = h 
cos2
 
cos2


n
nn m
Zm
r
Zm
r 





 (19) 
Substituindo a equação 19 na equação 18 do item anterior (Engrenagem cilíndrica de 
dentes retos), obtemos a seguinte expressão: 
Equação 5.19 
t
t
senZ
senZ
Z


2
1
222
1
2
cos2
cos


 (20) 
Para o caso limite de engrenamento com cremalheira, temos que 2Z , donde: 
0cos2 21  tsenZ  
Equação 5.20 
tsen
Z


21
cos2 
 (21) 
5.10 GRAU DE RECOBRIMENTO 
O grau de recobrimento nas engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais é composto de 
duas partes: a primeira é o grau de contato circunferêncial e é determinado da mesma maneira 
que nas engrenagens cilíndricas de dentes retos; a segunda é devido a inclinação dos dentes, 
uma vez que após terminado o contato numa extremidade do dente, o mesmo se desloca até o 
outro extremo. Podemos escrever: 
Equação 5.21
ttt
tbaba
p
b
p
senarrrr
R


 tan
cos
2
2
2
2
2
1
2
1 



 
Por semelhança com as engrenagens cilíndricas de dentes retos podemos escrever, 
substituindo  por t e p por pt . 
Equação 5.22 
tt
tbaba
p
senarrrr
R


cos
2
2
2
2
2
1
2
1


 
O segundo termo da Equação 5.21 é mostrado na equação abaixo, onde b representa a 
largura do dente. 
Equação 5.23 
tp
b tan
 
A expressão geral para o grau de recobrimento nas engrenagens helicoidais, será então: 
Equação 5.24 
ttt
tbaba
p
b
p
senarrrr
R


 tan
cos
2
2
2
2
2
1
2
1 



 
Para uma distância entre centros de funcionamento aw teremos: 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 121 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
Equação 5.25 
ttt
twwbaba
p
b
p
senarrrr
R


 tan
cos
2
2
2
2
2
1
2
1 



 
Para usar a expressão acima lembrar que: twwt aa  coscos  
5.11 MECANISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS 
CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS 
5.11.1 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais Externos 
Na Tabela 5.4 apresenta-se as características geométricas de um dentado helicoidal 
externo. 
Tabela 5.4 - Características de um dentado helicoidal exterior Corrigido 
Designação Fórmula 
Diâmetro Primitivo 
cos
m
ZZmd t  
Diâmetro exterior 
mx
Z
da 





 22
cos 
 
Espessura sobre o primitivo 








 txms 


tan2
cos2
 
Adendo   mxha  1 
Dedendo   mxh f  25,1 
Altura do dente mh  25,2 
5.11.2 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidaisinternos 
Na Tabela 5.5 apresenta-seas características de um dentado helicoidal interno. Para a roda, 
usamos a mesma convenção de sinal da correção x. 
Tabela 5.5 - Características de um dentado helicoidal interno Corrigido 
Designação Fórmula 
Diâmetro Primitivo 
cos
222
m
ZZmd t  
Diâmetro exterior 
mx
Z
da 





 2
2
2 22
cos 
 
Espessura sobre o primitivo 








 txms 


tan2
cos2
2 
Adendo   mxha  12 
Dedendo   mxhF  22 25,1 
Altura do dente mh  25,22 
Elementos de Máquinas III 122 
5.12 TIPOS DE ENGRENAMENTOS 
5.12.1 Engrenamento “V0” (Vê zero) 
5.12.1.1 Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais Externos 
Por semelhança com as engrenagens cilíndricas de dentes retos podemos escrever: 


cos
21
o
tott
m
mss  
Temos pela Tabela 5.2: 








 toot xms 


tan2
cos2
11 







 toot xms 


tan2
cos2
22 
Da mesma maneira que para as engrenagens cilíndricas de dentes retos chegamos a 
conclusão: 
021  xx ou 
12
21
xx
xx


 
5.12.1.2 Engrenagens Cilíndricas de dentes Helicoidais internos 
A distância entre centros normal é: 
 
cos2
12



ZZm
a o 
Deve verificar-se também 


cos
21
o
tott
m
mss  
Pela Tabela 5.3 e Tabela 5.5 , uma vez que a roda é interna e o pinhão é externo: 








 tot xms 


tan2
cos2
11
 







 tt xms 


tan2
cos2
22
 
Chegaremos então a seguinte conclusão: 
21 xx  ou 021  xx 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 123 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
5.12.2 Engrenamento “V” (vê) 
Engrenagens Cilíndricas de dentes helicoidais externos 
Analogamente as engrenagens cilíndricas de dentes retos externos podemos escrever: 
Equação 5.26 
2
21 ww
w
dd
a

 i
d
d
w
w 
1
2 = relação de transmissão 
Podemos escrever: 
twwtb ddd  coscos 111  twwtb ddd  coscos 222  
donde: 
Equação 5.27 
tw
tww
d
d
d
d


cos
cos
1
1
2
2  
A fim de satisfazermos a condição de não haver folga no flanco do dente devemos ter: 
Equação 5.28 wtwt es 21  wtwt es 12  
logo: 
Equação 5.29 wtwtwtwttw ssesp 2121  
Equação 5.30 tt mp   twtw mp   
t
tw
ttw
m
m
pp  
Equação 5.31 zmd t  
tw
t
w m
m
d
d
 
Podemos expressar st1w e st2w a partir da expressão geral 28. 
Equação 5.32 





 twt
t
ww EvEv
d
S
ds 
1
1
11 
Equação 5.33 





 twt
t
ww EvEv
d
S
ds 
2
2
22 
Substituindo na Equação 5.29 os valores das Equação 5.30, Equação 5.32 e Equação 5.41 
e lembrando a relação da Equação 5.31e simplificando: 
   
tw
t
twtwwttt
m
m
EvEvddssp  2121 
Lembrando os valores de st1 e st2, e sabendo-se que: 
 21
21 zz
m
dd
tw
ww 


 
Elementos de Máquinas III 124 
teremos após simplificações: 
   twtttottt EvEvzzmmxmx   2121 tan2tan20 
Dividindo por mt e isolando ( x1 + x2 ) temos: 
Equação 5.34 
   
t
ttw EvEvzzxx


tan2
21
21


 
5.12.2.1 Engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais internos 
Para as engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais internos podemos escrever: 
Equação 5.35 
2
21 ww
w
dd
a

 i
d
d
w
w 
1
2 
A fim de satisfazermos a condição de não haver folga no flanco do dente devemos ter: 
Equação 5.36 wtwt es 21  wtwt es 12  
como: 
Equação 5.37 wtwtwtwttw seesp 2211  
logo: 
Equação 5.38 wtwttw ssp 21  
Podemos escrever ainda da mesma maneira que para as engrenagens cilíndricas de dentes 
retos internos: 
Equação 5.39 
t
tw
ttw
m
m
pp  
Equação 5.40 
tw
t
w m
m
d
d
 
Substituindo a expressão 
Equação 5.41 





 twt
t
ww EvEv
d
S
ds 
1
1
11 






 twt
t
wwt EvEv
d
S
ds 
2
2
22
 e 





 tot xms 

tan2
2
11
 e 





 tt xms 

tan2
2
22
 
Tem-se então que: 
Equação 5.42 
   
t
ttw EvEvzzxx


tan2
12
12


 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 125 
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5.13 REBAIXAMENTO DA ALTURA DO DENTE 
Analogamente às engrenagens cilindras de dentes retos externos, tem-se que a condição 
para que não ocorra rebaixamento do dente é: 
Equação 5.43   mxxaaw  21 
Caso necessário o rebaixamento, o índice de rebaixamento pode ser calculado por: 
Equação 5.44 
m
aa
xxk w

 21 
5.14 EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA DE 
FABRICAÇÃO 
O problema deve ser tratado como nas engrenagens cilíndricas de dentes retos, para tal, 
em vez do módulo real usaremos o módulo circunferêncial ou aparente. 
Teremos então: 
Equação 5.45 
tsen
z


2
cos2
´

 
O valor do coeficiente de correção pode ser expresso por: 
Equação 5.46 
´
´
z
zz
x

 
Exercício sobre interferência de fabricação 
1 - Desejamos engrenar um pinhão de 9 dentes com uma cremalheira, e sendo o ângulo de 
inclinação de hélice de 30
o
, ângulo de pressão de usinagem 20
o
 e módulo real de 10 mm. Qual 
deve ser a correção a ser empregada a este pinhão para evitar a interferência de fabricação. 
5.15 CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT 
“Equilíbrio do máximo deslizamento específico sobre o pinhão e a roda e do fator de 
engripamento (H , Vg) nos pontos extremos de contato”. 
Este método, desenvolvido por G. Henriot pode ser dividido no que diz respeito de haver 
ou não distância entre centros imposta. 
Como o ângulo de pressão circunferêncial ou aparente é maior que o ângulo de pressão da 
ferramenta, o ponto de interferência se afasta do círculo primitivo, isto significa que as 
condições de deslizamento específico, de pressão superficial e do fator de engripamento 
Elementos de Máquinas III 126 
melhoram, sobretudo na zona dos pés dos dentes do pinhão. A melhor regra é o emprego do 
número de dentes virtuais do dentado helicoidal 
3
1
1
cos
z
zv  
3
2
2
cos
z
zv  
 
Zv1 
Zv1 + Zv2 = 60 
Zv1 + Zv2 > 60 
Zv1 + Zv2 > 60 
 
Figura 5.12 – Ábaco para determinação da correção. 
Fonte: Henriot (1968) 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 127 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
5.15.1 Distância entre centros NÃO IMPOSTA 
Para ângulode Pressão de usinagem de 20
o
, teremos: 
a) 6021  vv zz Engrenamento “VO” 
A partir do 
1
2
z
z
i  e z1 podemos ler o valor da correção necessária da seguinte maneira 
usando o Ábaco ilustrado na Figura 4.24 
Entra-se com o valor de zv1 na reta graduada horizontal que contém o segmento OB com 
1
2
z
z
i  . Determina-se então x1 se for feita a projeção da interseção sobre o eixo das correções 
x, colocado a esquerda. 
Aplicação: 
Se Z1 = 20 dentes e i = 3 = 20
o
 
20cos
20
31
vz 
e teremos: 
x1 = 0,27 e x2 = - 0,27 
b) 6021 vv zz  Engrenamento “V” 
Teremos neste caso o valor de x1 dado pela curva AB, a partir de z1. 
O valor de x2 é obtido na interseção com a curva correspondente 
1
2
z
z
i  no interior do 
triângulo ABA´. 
5.15.2 Distância entre centros IMPOSTA 
A partir do conhecimento do somatório x1 + x2 a ser usado devemos escolher um valor de 
x1 e outro para x2. 
A escolha de x1 e x2 pode ser feita segundo a recomendação da ISO, com: 
1
1
1
1
 ou 1
12
1
12
12
1









 
i
x
i
i
x
zz
z
x
zz
zz
x  
com 
Elementos de Máquinas III 128 
1
2
21
z
z
=i e   xxx 
O valor de  para engrenagens redutoras será compreendido entre 0,5 e 0,75, se 
aproximando do valor 0,75 a medida que o número de dentes diminui. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 129 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
6 TRENS DE ENGRENAGENS 
6.1 GENERALIDADES 
Freqüentemente, devemos combinar várias engrenagens para se obter o que chamamos 
“trem de engrenagem”. É importante que a partir da velocidade de entrada se determine, 
rapidamente, a velocidade de saída. 
Aqui será feito um estudo introdutório dos trens de engrenagens, em virtude da extensão 
dos mesmos. Para o caso de maiores necessidades, recomenda-se obras especializadas como 
“Traité Théorique et Practice de s Engrenages” de G. Henriot. 
A Figura 6.1 e Figura 6.2 mostram um pinhão comandando uma engrenagem cilíndrica 
externa de dentes retos e uma interna respectivamente. Temos as velocidades angulares 
inversamente proporcionais aos números de dentes. O sentido de rotação é tal que na Figura 
6.1 as duas tem sentidos opostos e na Figura 6.2 são do mesmo sentido. 
 
Figura 6.1 – Relação de transmissão para engrenagens de dentes externos 
Elementos de Máquinas III 130 
 
Figura 6.2 - Relação de transmissão para engrenagens de dentes internos 
Para a situação das engrenagens da Figura 6.3 podemos escrever 


Condutora
conduzida

Produto dos dentes das conduzidas
Produto dos dentes das condutoras
 
42
31
1
4
ZZ
ZZ





 
Expressão esta que pode ser comprovada se forem usadas as expressões para cada par de 
engrenagem. 
 
Figura 6.3 - Trem de Engrenagens 
Quando i>1 temos redutores e quando i<1 temos multiplicadores de velocidade. 
6.2 ESCOLHA DA RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO 
Num trem de engrenagens, a relação global de transmissão é igual ao produto das relações 
de transmissão das sucessivas rodas conjugadas. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 131 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
Essas relações parciais podem ser escolhidas pelo projetista com uma certa liberdade, 
porém com a finalidade de evitar que as últimas rodas resultem de diâmetro exagerado, torna-
se aconselhável escolher, para os redutores, relações de transmissão que aumentem passando 
do primeiro ao último par, sendo conveniente adotar a norma contrária para os 
multiplicadores. 
Nos redutores, o módulo m dos dentes aumenta passando do primeiro par de rodas ao 
último. 
Se a relação de transmissão do último par for pequena, resulta para a roda conduzida um 
grande número de dentes e, freqüentemente, um diâmetro excessivo. 
Assim podemos indicar: 
i i i i in     1 2 3 
como sendo a relação global de transmissão. 
A fórmula abaixo, permite o cálculo das sucessivas relações de transmissão. 
 i in n 1
2
3
 
Aconselha-se ainda escolher as relações de transmissão de cada par de maneira que os 
seus valores sejam representados pela relação entre números primos bastante grandes. 
Assim por exemplo, se, para um determinado problema, pudessem ser consideradas 
satisfatóriamente, tanto a relação i=3 como i=3110, adotando a relação i=3, cada dente do 
pinhão entra em contato sucessivamente somente com 3 dentes da roda maior enquanto que 
com a relação 3110 cada dente do pinhão entra em contato com 31 dentes diferentes da roda 
maior. 
Elementos de Máquinas III 132 
7 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS 
As engrenagens apresentam tipicamente dois modos de falha: (i) fratura por fadiga devido 
as tensões de flexão dinâmicas na raiz do dente; e (ii) fadiga superficial (cratateração) das 
superfícies dos dentes. 
A falha por flexão poderá ocorrer quando as tensões desenvolvidas nos dentes forem 
iguais ou superiores as tensões de resistência ao escoamento ou ao limite de resistência a 
fadiga. 
A falha superficial poderá ocorrer quando as tensões de contato desenvolvidas nos dentes 
forem iguais ou superiores às tensões de resistência a fadiga superficial. 
7.1 EQUAÇÃO DE FLEXÃO DE LEWIS 
Em 1892 Wilfred Lewis desenvolveu uma equação para estimar a tensão de flexão em 
dentes de engrenagens onde a forma dos dentes entrava na formulação. Lewis reconheceu que 
o dente de uma engrenagem podia ser comparado com uma viga em balanço e então deduziu 
uma equação agora chamada de Equação de Lewis. 
Para entender a formulação da Equação de Lewis, observe inicialmente a Figura 7.1a que 
ilustra uma viga em balanço com as dimensões da secção transversal b e t, submetida a uma 
carga FT (uniformemente distribuída ao longo da largura da face b) e localizada a uma 
distância l do engaste. A tensão de flexão no engaste é determinada a partir da expressão 
I
cM F  sendo que 
12
3tb
I

 , 
2
t
c  , e lFM TF  . Desta forma tem-se que: 
Equação 7.1 
2
6
tb
lFT


 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 133 
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FT 
b 
l 
t 
t 
x 
a 
rf 
FR 
FT 
FN 
l 
(a) (b) 
Figura 7.1 – Analogia de uma viga em balanço com o dente de uma engrenagem 
Na Figura 7.1b observa-se a terminologia utilizada, sendo que FT representa a força 
tangencial e FR a força radial sobre o dente da engrenagem. Analisando agora a Figura 7.1b, 
assume-se que a máxima tensão de um dente ocorre no ponto a. Por similaridade entre 
triângulos, pode-se escrever que: 
Equação 7.2 
2
2
t
l
x
t
 ou 
l
t
x


4
2
 
Rearranjando a Equação 7.1 tem-se que: 
Equação 7.3 
6
4
1
4
1
6
16
222








l
tb
F
l
tb
F
tb
lF TTT 
Substituindo-se x da Equação 7.2 na Equação 7.3, e multiplicando o numerador e o 
denominador pelo passo circular p, determina-se: 
Equação 7.4 
  pxb
pFT



3
2
 
Escrevendo-se y=2x/3p, resulta a equação original elaborada por Lewis: 
Equação 7.5 
ypb
FT

 
O fator y é conhecido como fator de forma de Lewis e pode ser determinado graficamente 
a partir de um desenho do dente da engrenagem ou via métodos matemáticos. 
Elementos de Máquinas III 134 
Segundo Shigley et al (2005), a maioria dos engenheiros prefere utilizar o passo diametral 
ao determinar as tensões. Isso é feito substituindo-se pP  e yY   na Equação 7.5, 
resultando em: 
Equação 7.6Yb
PFT


 (US) 
Equação 7.7 
Ymb
FT

 (SI) 
onde 
Equação 7.8 
3
2 Px
Y

 
O uso dessa equação para determinar Y significa que somente a flexão do dente é 
considerada e que a compressão, causada pela componente radial da força é desconsiderada 
nos cálculos. Alguns valores de Y encontram-se indicados na Tabela 7.1. 
O emprego da Equação 7.8 implica em supor que os dentes não compartilham a carga com 
outros pares de dentes em engrenamento e que a força máxima é exercida na ponta do dente. 
Tabela 7.1 – Valores do fator de forma de Lewis Y 
Número de dentes Y Número de dentes Y 
12 0,245 28 0,345 
13 0,261 30 0,359 
14 0,277 34 0,371 
15 0,290 38 0,384 
16 0,296 43 0,397 
17 0,303 50 0,409 
18 0309 60 0,422 
19 0,314 75 0,435 
20 0,322 100 0,447 
21 0,328 150 0,460 
22 0,331 300 0,472 
24 0,337 400 0,480 
26 0,346 cremalheira 0,485 
Obs.: Os valores de Y correspondem a um ângulo depressão normal de 20
o
, a dentes não 
rebaixados e a um passo diametral unitário no plano de rotação. 
7.1.1 Efeitos dinâmicos 
Quando um par de engrenagens é movido a velocidades médias e elevadas, e quando ruído 
é produzido, possivelmente as engrenagens estão submetidas a efeitos dinâmicos. Estudos 
buscando identificar o aumento da carga devido a elevação da velocidade concluíram que as 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 135 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
engrenagens falham com forças menores quando a velocidade aumenta. Em outras palavras, 
quanto maior a velocidade, menor é a força tangencial que provoca a falha da engrenagem. 
No século XIX, Carl G. Barth expressou pela primeira vez, os fatores de velocidade, e, em 
termos das normas atuais da AGMA que são representados por (SHIGLEY et al, 2005): 
Equação 7.9 
05,3
05,3 V
Kv

 (Ferro fundido, perfil fundido – SI) 
Equação 7.10 
1,6
1,6 V
K v

 (Perfil usinado ou fresado – SI) 
Equação 7.11 
56,3
56,3 V
Kv

 (Perfil usinado por fresa caracol ou moldado – SI) 
Equação 7.12 
56,5
56,5 V
K v

 (Perfil rebarbado ou retificado – SI) 
Onde V esta em metros por segundo (m/s). 
Introduzindo-se então o fator de velocidade na Equação 7.7, obtém-se para o Sistema 
Internacional de Unidades: 
Equação 7.13 
Ymb
FK Tv


 (SI) 
Onde: 
Kv – fator de velocidade 
FT – força tangencial [N]; 
b – largura do dente [mm]; 
m – módulo [mm]; 
Y – fator de forma de Lewis. 
 - tensão [MPa] 
 
A Equação 7.13 é a base dos procedimentos da AGMA para o cálculo da resistência à 
flexão de dentes de engrenagens. Elas são de uso geral, utilizadas para estimar a capacidade 
de transmissões de engrenagens, quando vida e confiabilidade não são fatores importantes. 
Tal expressão pode ser usada para se obter uma estimativa preliminar de tamanhos de 
engrenagens necessários para as diversas aplicações. 
Exercício 1 ( Equação de Lewis) – Uma engrenagem cilíndrica de dentes retos disponível 
em estoque tem um módulo de 3,25 mm, 16 dentes e 38 mm de largura com ângulo de 
pressão de 20
o
, com dentes normais. O material da engrenagem é um aço AISI 1020 
Elementos de Máquinas III 136 
Laminado com Sut = 380 MPA e Sy = 206 MPa. Utilize um fator de segurança N = 3 e calcule 
a capacidade em potência na saída da engrenagem movida correspondente a uma velocidade 
de 1200 rpm, considerando aplicações moderadas. 
Exercício 2 ( Equação de Lewis) – Estime a potência da coroa do exercício 1, considerando 
uma vida infinita para o carregamento dinâmico de flexão. 
7.2 DURABILIDADE SUPERFICIAL 
A falha por fadiga superficial é causada por cargas cíclicas que provocam tensões elevadas 
de contato. Outras formas de falha superficial incluem o escoreamento que constitui-se em 
falha de lubrificação, e a abrasão, que corresponde ao desgaste decorrente da presença de um 
material estranho. 
A expressão para a tensão de contato superficial é obtida empregando-se a teoria de Hertz 
onde a pressão de contato entre dois cilindros pode ser calculada a partir da seguinte 
expressão: 
Equação 7.14 
lb
F
p




2
max 
Onde: 
pmax – máxima pressão superficial; 
F – força que comprime um cilindro contra o outro; 
l – comprimento dos cilindros 
B – semilargura determinada a partir da expressão que segue; 
Equação 7.15 
   





















 





 




21
2
2
2
1
2
1
11
11
2
CC dd
EE
l
F
B


 
Onde: 
1 – Coeficiente de Poisson do cilindro 1 
2 – Coeficiente de Poisson do cilindro 2; 
E1 – Módulo de elasticidade longitudinal do material do cilindro 1; 
E2 – Módulo de elasticidade longitudinal do material do cilindro 2; 
dC1 – Diâmetro do cilindro 1; 
dC2 – Diâmetro do cilindro 2; 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 137 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
A fim de adaptar essas relações à notação utilizada em engrenagens, substituiremos o 
termo F por Ft/cos, dC por 2.rC e l pela largura de face b. Com essas modificações e 
substituindo também o termo B na Equação 7.14 bem como substituindo o termo pmax por C, 
a tensão superficial de compressão (tensão herteziana) é determinada a partir da seguinte 
relação: 
Equação 7.16 
   





 





 



















2
2
2
1
2
1
212
11
11
cos
EE
rr
b
F CCt
C

 
Onde rC1 e rC2 são os valores instantâneos dos raios de curvatura nos perfis do dente do 
pinhão e da engrenagem respectivamente, no ponto de contato. A expressão acima leva em 
consideração que há somente rolamento puro durante o engrenamento. Ela não leva em 
consideração o deslizamento que ocorre fora da linha primitiva. 
A primeira evidência do desgaste ocorre próximo a linha primitiva. Os raios de curvatura 
do perfil do dente no ponto primitivo são determinados pelas seguintes expressões: 
Equação 7.17 
2
1
1
send
rC

 
2
2
2
send
rC

 
Onde d1 e d2 são os diâmetros primitivos da engrenagem pinhão e coroa respectivamente. 
Observe na Equação 7.16 que o denominador do segundo grupo de termos apresenta 
quatro constantes (duas para o pinhão e duas para a coroa). A AGMA definiu este termo como 
coeficiente elástico Cp (ZE) que é determinado pela seguinte expressão: 
Equação 7.18 
   





 




2
2
2
1
2
1 11
1
EE
C p


 
Com essa simplificação e com a adição do fator velocidade Kv, a Equação 7.16 pode ser 
escrita como: 
Equação 7.19 
2/1
21
11
cos


















CC
tv
pC
rrb
FK
C

 
observando que o sinal negativo representa uma tensão de compressão. 
Elementos de Máquinas III 138 
7.3 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES 
RETOS PELO CRITÉRIO DA RESISTÊNCIA A FLEXÃO UTILIZANDO A 
METODOLOGIA DA AGMA 
Nesta presente seção é apresentada o método de dimensionamento de engrenagens 
cilíndricas pelo critério de resistência a flexão utilizando-se a metodologia da AGMA. Nesta 
seção, apresenta-se a terminologia e equações associadas com o Sistema Internacional de 
Unidades. O método sugeridopela AGMA leva em consideração vários fatores que serão aqui 
apresentados. Os métodos apresentados são baseados em Shigley et al (2005) com a alteração 
do nome de algumas variáveis. 
O termo resistência esta associado as propriedades do material e o termo tensão é aplicado 
para resultados de carregamento. 
7.3.1 Tensões de Flexão 
As tensões desenvolvidas nos dentes das engrenagens devidas a flexão, são calculadas a 
partir da seguinte equação: 
Equação 7.20 
J
BH
t
SvoT
Y
KK
mb
KKKF



1
 
Onde: 
FT – Força tangencial transmitida (N); 
Ko – Fator de sobrecarga; 
Kv – Fator de dinâmico; 
Ks – Fator de tamanho; 
b – largura da engrenagem (mm); 
m – módulo (mm); 
KH – Fator de distribuição de carga; 
KB – Fator de espessura de borda; 
YJ (J) – Fator geométrico para resistência à flexão (inclui o fator de concentração de 
tensão na raiz do filete Kf) 
Nas seções a seguir será apresentado cada um dos fatores acima mencionados. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 139 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
7.3.2 Resistência a Fadiga por Flexão 
Os valores de tensão de resistência à flexão sugeridos pela AGMA são, com efeito, valores 
parcialmente corretos da resistência à fadiga mesmo que tenham sido gerados com peças 
apropriadamente dimensionadas, tendo a mesma geometria, acabamento superficial, etc. 
A fórmula de correção para a resistência à fadiga por flexão das engrenagens é: 
Equação 7.21 ´fb
Z
N
fb S
YY
Y
S 



 
Onde: 
Sfb – Resistência a fadiga corrigida (MPa); 
Sfb´ – Resistência a fadiga de flexão publicada pela AGMA (MPa); 
YN – (KL) Fator vida; 
Y - (KT) Fator temperatura; 
YZ – (KR) Fator confiabilidade. 
A Tabela 7.2 apresenta a resistência à fadiga por flexão Sfb´ da AGMA para alguns 
materiais. 
Norton (2004) apresenta um gráfico para determinar Sfb´ extraído da Norma 2001 – B88 
da AGMA para aços como uma função de sua dureza Brinell. A Figura 7.2 ilustra o referido 
gráfico. 
 
Figura 7.2 – Resistências a fadiga por flexão Sfb´da AGMA para aços (geral). Fonte: Norton 
(2004) 
Shigley et al (2005) apresenta as seguintes expressões para especificar a resistência à 
fadiga por flexão Sfb´ para o aço AISI 4140 e 4340 endurecido completamente por 
nitretação, conforme especificação da Norma ANSI/AGMA 2001-C95 e 2101-C95: 
Elementos de Máquinas III 140 
Equação 7.22 MPaHBS fb 8,83568,0´  (grau 1) Dureza entre 270 a 345 HB) 
Equação 7.23 MPaHBS fb 110749,0´  (grau 2) Dureza entre 270 a 345 HB) 
 
Shigley et al (2005) apresenta as seguintes expressões para especificar a resistência à 
fadiga por flexão Sfb´ para o aço nitretado Nitraloy, conforme especificação da Norma 
ANSI/AGMA 2001-C95 e 2101-C95: 
Equação 7.24 MPaHBS fb 76,87594,0´  (grau 1) Dureza entre 270 a 345 HB) 
Equação 7.25 MPaHBS fb 81,114784,0´  (grau 2) Dureza entre 274 a 345 HB) 
 
Shigley et al (2005) apresenta as seguintes expressões para especificar a resistência à 
fadiga por flexão Sfb´ para o aço nitretado 2,5% cromo, conforme especificação da Norma 
ANSI/AGMA 2001-C95 e 2101-C95: 
Equação 7.26 MPaHBS fb 89,637255,0´  (grau 1) Dureza entre 300 a 345 HB) 
Equação 7.27 MPaHBS fb 63,1537255,0´  (grau 2) Dureza entre 300 a 345 HB) 
Equação 7.28 MPaHBS fb 91,2017255,0´  (grau 3) Dureza entre 300 a 345 HB) 
 
7.3.3 Tensão admissível 
Shigley et al (2005) sugere a partir das recomendações da ANSI/AGMA o cálculo da 
tensão admissível que é dada por: 
Equação 7.29 
N
S fb
adm  
Onde: 
adm – Tensão admissível (MPa); 
Sfb – Resistência a fadiga corrigida (MPa); 
N – Coeficiente de segurança. 
 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 141 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
Tabela 7.2 – Resistência à fadiga por flexão Sfb´ da AGMA 
Material Classe 
AGMA 
Designação 
do material 
Tratamento térmico Dureza 
superficial 
mínima 
Resistência 
a fadiga por 
flexão 
(MPa) 
Aço A1 – A5 Endurecimento 
completo 
 180 HB 170 - 230 
 Endurecimento 
completo 
240 HB 210 - 280 
 Endurecimento 
completo 
300 HB 250 - 325 
 Endurecimento 
completo 
360 HB 280 - 360 
 Endurecimento 
completo 
400 HB 290 - 390 
 Endurecimento por 
chama ou indução 
Tipo A 
padronizado 
50-55 HRC 
310 – 380 
 Endurecimento por 
chama ou indução 
Tipo B 
padronizado 
150 
 Cementação por 
carbono e endu-
recimento superficial 
55 – 64 HRC 380 - 520 
 AISI 4140 Nitretado 84,6 HR15N 230 - 310 
 AISI 4340 Nitretado 83,5 HR15N 250 - 325 
 Nitroliga 
135M 
Nitretado 90,0 HR15N 260 - 330 
 Nitroliga Nitretado 90,0 HR15N 280 - 345 
 2,5 % 
cromo 
Nitretado 87,5 – 90,0 
HR15N 
380 - 450 
Ferro Fundido 
Cinzento 
(recozido) 
ASTM 48 
20 Classe 20 Como fundido 35 
30 Classe 30 Como fundido 175 HB 69 
40 Classe 40 Como fundido 200 HB 90 
Ferro Fundido 
Nodular 
(dúctil) ASTM 
A536 
A-7-a 60-48-18 Recozido 140 HB 150 - 230 
A-7-c 80-55-06 Revenido e temperado 180 HB 150 - 230 
A-7-d 100-70-03 Revenido e temperado 230 HB 180 - 280 
A-7-e 120-90-02 Revenido e temperado 230 HB 180 - 280 
Ferro Fundido 
maleável 
(perlítico) 
A-8-c 45007 165 HB 70 
A-8-e 50005 180 HB 90 
A-8-f 53007 195 HB 110 
A-8-i 80002 240 HB 145 
Bronze Bronze 2 AGMA 2C Molde em areia 40 Ksi 
resistência a 
tração 
mínima 
40 
Al/Br 3 ASTM B-
148 78 liga 
954 
Tratado termicamente 40 Ksi 
resistência a 
tração 
mínima 
160 
Elementos de Máquinas III 142 
7.3.4 Fator de Vida YN (KN) 
As tensões de resistência a flexão especificadas na Tabela 7.2 e Equação 7.22 a Equação 
7.28 são validas para uma vida de 1E7 ciclos de aplicação de carga. O fator de vida YN tem 
por objetivo corrigir a resistência à flexão para outras vidas diferentes de 1E7 ciclos. Observe 
na Figura 7.10 que para 1E7, YN = 1. 
 
Figura 7.3 – Fator de Vida YN para resistência por flexão, carga repetida. Fonte: Shigley et al 
(2005) 
7.3.5 Fator de Temperatura Y (KT) 
A temperatura do lubrificante é uma medida razoável da temperatura da engrenagem. Para 
aços em óleo, com temperatura até cerca de 120 
o
C, o fator Y = 1. Para temperaturas maiores 
Norton (2004) sugere a seguinte expressão para determinar Y : 
Equação 7.30 
620
32
5
9
460 







T
Y 
Onde T é a temperatura em graus Celsius (
o
C). 
7.3.6 Fator de Confiabilidade YZ (KR) 
Conforme Shigley et al (2005), o fator de confiabilidade leva em consideração o efeito das 
distribuições estatísticas das falhas por fadiga. As resistências AGMA são validas para uma 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 143 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
confiabilidade de 99%. A Tabela 7.3 apresenta alguns valores do Fator YZ (KR) para algumas 
confiabilidades. 
Tabela 7.3 – Fator de confiabilidade YZ (KR) 
Confiabilidade YZ (KR) 
0,9999 1,50 
0,999 1,25 
0,99 1,00 
0,90 0,85 
0,50 0,70 
7.3.7 Fator Geométrico de Resistência a Flexão YJ (J) 
O fator geométrico YJ é determinado a partir de um algoritmo complexo definido na 
norma 908-B89 da AGMA. 
Norton (2004) apresenta algumas tabelas para determinar o fator geométrico YJ (J), para 
ângulos de pressão de 20
o
 e 25
o
, para dentes normais e corrigidos, considerando ainda 
carregamento na ponta e para o ponto mais alto de contato em um único dente. 
Shigley et al (2005) apresenta um gráfico para determinar o fator geométrico YJ (J) para 
engrenagens cilíndricas de dentes retos com altura normal e ângulo de pressão de 20
o
. Tal 
gráfico éreproduzido na Figura 7.4. 
Elementos de Máquinas III 144 
 
Figura 7.4 – Fator geométrico YJ (J). Fonte: Shigley et al (2005) 
7.3.8 Fator Dinâmico Kv 
O fator dinâmico Kv tenta levar em conta as cargas de vibração geradas pelos impactos dos 
dentes devido ao engrenamento não conjugado. Essas cargas de vibração são chamadas erros 
de transmissão e serão maiores em engrenagens de baixa precisão. Na ausência de dados 
experimentais que definam o nível de erro da transmissão a ser esperado em um projeto de 
engrenagem, o projetista deve estimar o fator dinâmico. A AGMA provê curvas empíricas 
para Kv como uma função da velocidade Vt na circunferência primitiva (NORTON, 2004). 
Segundo Shigley et al (2005), alguns efeitos que provocam tais erros são: (i) Imprecisões 
durante a geração do perfil do dente; (ii) vibração do dente durante o engrenamento, devido a 
rigidez do mesmo; (iii) intensidade da velocidade no diâmetro primitivo; (iv) 
desbalanceamento dinâmico dos membros rotativos; (v) desgaste e deformação permanente 
das partes em contato dos dentes, (vi) desalinhamento do eixo de engrenagens e deflexão 
linear do eixo; (vii) atrito entre os dentes. 
A AGMA, definiu um conjunto de números de qualidade Qv, visando obter um controle 
sobre os efeitos descritos no parágrafo anterior. Esses números definem as tolerâncias das 
YJ 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 145 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
engrenagens de vários tamanhos fabricados segundo uma classe de qualidade especificada. As 
classes 3 e 7 incluem a maioria das engrenagens de qualidade comercial. As classes 8 a 12,por 
sua vez, são de qualidade mais precisa. O índice de qualidade de precisão de transmissão Qv 
da AGMA é considerado igual ao número de qualidade. As seguintes equações podem ser 
usadas para determinar o fator dinâmico baseadas nos índices de qualidade Qv: 
Equação 7.31 
B
t
v
A
VA
K







 

200
 
Onde: 
Equação 7.32  BA  15650 
Equação 7.33   3
2
1225,0 vQB  (para 116  vQ ) 
e 
Vt – velocidade tangencial (m/s); 
Qv – Índice de qualidade da engrenagem de menor qualidade no engrenamento. 
A Figura 7.5 ilustra uma família de curvas que variam com o índice de qualidade Qv. 
 
Figura 7.5 – Fator dinâmicos da AGMA. Fonte: Shigley et al (2005) 
Os valores terminais para a velocidade tangencial Vt para cada curva podem ser 
determinadas a partir das seguintes expressões: 
Elementos de Máquinas III 146 
Equação 7.34 
  
200
3
2
max

 vt
QA
V 
7.3.9 Fator de Sobrecarga Ko 
O fator de sobrecarga Ko tem a função de levar em conta todas as cargas aplicadas 
externamente que excedem à força tangencial FT em uma certa aplicação. Exemplos incluem 
variações no torque relativamente ao valor médio, devido à explosão interna nos cilindros de 
um motor de combustão interna, ou reações a variação de torque em uma transmissão de 
bomba de pistão, etc. Outros autores chamam um fator similar pelo nome de fator de serviço. 
Esses valores são estabelecidos após considerável experiência de campo em uma determinada 
aplicação. Shigley e Mischke (1996) apresentam no capítulo 29 páginas 29.5 e 29.6 uma lista 
de fatores de serviço os quais são apresentados no final deste capítulo. 
Norton (2004) apresenta uma tabela com os fatores de sobrecarga. A Tabela 7.4 indica os 
fatores de sobrecarga recomendados por Norton (2004). 
Tabela 7.4 – Fatores de sobrecarga Ko 
 
Máquina motora 
Máquina movida 
Uniforme Choque moderado Choque severo 
Uniforme (motor 
elétrico, turbina) 
1,00 1,25 1,75 ou mais 
Choque leve (motor 
multi-cilindro) 
1,25 1,50 2,00 ou mais 
Choque médio 
(motor de único 
cilindro) 
1,50 1,75 2,25 ou mais 
7.3.10 Fator de Tamanho Ks 
A AGMA ainda não estabeleceu normas para os fatores de tamanho e recomenda que Ks 
seja igualado a 1, a menos que o projetista deseje aumentar seu valor para levar em conta 
situações particulares, tais como dentes muito grandes. Um valor de 1,25 a 1,5 seria uma 
hipótese conservadora em tais casos. 
Shigley et al (2005) apresenta na página 704 uma expressão para calcular o fator de 
tamanho Ks. 
7.3.11 Fator de Distribuição de Carga KH (Km) 
O fator de distribuição de carga prevê a não uniformidade da distribuição de carga ao 
longo da linha de contato. Segundo Shigley et al (2005) o ideal é posicionar a engrenagem “a 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 147 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
meia distância” entre mancais, em uma posição de inclinação nula quando a carga é aplicada. 
Contudo, isso nem sempre é possível. O procedimento que será exposto a seguir é aplicável 
quando: (i) razão da largura líquida de face para o diâmetro do pinhão F/d  2; (ii) 
engrenagens montadas entre mancais; (iii) largura de face até 1016 mm; e (iv) contato, quando 
carregado, ao longo da largura total do membro mais estreito. 
O fator de distribuição de carga sob tais condições é determinado a partir de: 
Equação 7.35  emapmpfmcH CCCCCK 1 
Onde: 
Equação 7.36 0,1mcC (Para dentes sem coroamento) 
Equação 7.37 8,0mcC (Para dentes com coroamento) 
 
Equação 7.38 025,0
10



d
b
C pf mmb 4,25 
Equação 7.39 
4,25
0125,00375,0
10
b
d
b
C pf 

 mmb 1,4385,25  
Equação 7.40 
2
4,25
000228,0
4,25
0207,01109,0
10









bb
d
b
C pf mmb 10161,438  
Para valores de 05,0
10

d
b
 são utilizadas as seguintes expressões para calcular Cpm: 
Equação 7.41 0,1pmC (Para pinhão montado entre mancais com S1/S<0,175) 
Equação 7.42 1,1pmC (Para pinhão montado entre mancais com S1/S0,175) 
Os valores de Cma são calculados por: 
Equação 7.43 
2
4,254,25













b
C
b
BACma 
Onde b é dado em mm e as constantes A, B e C são obtidas a partir da Tabela 7.5. 
Tabela 7.5 – Constantes empíricas A, B, C. Fonte: Shigley et al (2005) 
Condição A B C 
Engrenamento aberto 0,247 0,0167 -0,765x10
-4
 
Unidades fechadas, comerciais 0,127 0,0158 -0,093x10
-4
 
Engrenamento aberto 0,0675 0,0128 -0,926x10
-4
 
Engrenamento aberto 0,00360 0,0102 -0,822x10
-4
 
A Figura 7.6 apresenta as definições de S e S1 para serem usadas nas expressões para 
determinar Cpm da Norma ANSI/AGMA 2001-C95. 
Elementos de Máquinas III 148 
 
Figura 7.6 – Definição das distâncias S e S1. Fonte: Shigley et al (2005) 
 
Figura 7.7 – Fator de alinhamento de engrenamento Cma. Fonte: Shigley et al (2005) 
Os valores de Ce são deteminados por: 
Equação 7.44 8,0eC (Para engrenagens ajustadas na montagem, ou quando a 
compatibilidade é melhorada por lapidação, ou ambas) 
Equação 7.45 0,1eC (Para todas as outras condições) 
7.3.12 Fator de Espessura de Borda KB 
Quando a espessura da borda não é suficiente para proporcionar suporte completo à raiz 
do dente, a localização da falha por fadiga à flexão pode ocorrer ao longo da borda da 
engrenagem, e não no filete do dente. Em tais casos, o uso de um fator modificador de tensão 
KB é recomendado. O fator de espessura de borda KB ajusta a tensão de flexão estimada para 
engrenagens de borda fina. Trata-sede uma função da razão auxiliar mB: 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 149 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
Equação 7.46 
t
R
B
h
t
m  
Onde: 
tr – Espessura da borda abaixo do dente (mm); 
h - Altura do dente (mm). 
O fator de espessura de borda KB é determinado por: 
Equação 7.47 
B
B
m
K
242,2
ln6,1  quando mB<1,2 
Equação 7.48 1BK quando mB 1,2 
A Figura 7.8 apresenta também o valor KB graficamente. 
 
Figura 7.8 – Fator de espessura de borda KB. Fonte: Shigley et al (2005) 
7.4 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES 
RETOS PELO CRITÉRIO DO DESGASTE UTILIZANDO A METODOLOGIA 
DA AGMA 
Nesta presente seção é apresentada o método de dimensionamento de engrenagens 
cilíndricas baseado no critério do desgaste utilizando-se a metodologia da AGMA. Nesta 
seção, apresenta-se a terminologia e equações associadas com o Sistema Internacional de 
Unidades. O método sugerido pela AGMA leva em consideração vários fatores que serão aqui 
apresentados. 
Para facilitar o desenvolvimento dos cálculos, serão repetidos nesta seção alguns dos 
fatores apresentados no item anterior associado ao dimensionamento de engrenagens pelo 
critério da resistência. 
Elementos de Máquinas III 150 
7.4.1 Tensões de Contato 
As tensões de contato desenvolvidas nos dentes das engrenagens, são calculadas a partir 
da seguinte equação: 
Equação 7.49 
I
RH
SvoTEC
Z
Z
bd
K
KKKFZ 


1
 
Onde: 
FT – Força tangencial transmitida (N); 
ZE – Coeficiente Elástico (
2mmN ); 
Ko – Fator de sobrecarga; 
Kv – Fator de dinâmico; 
Ks – Fator de tamanho; 
b – Largura da engrenagem (mm); 
d1 – Diâmetro primitivo do pinhão (mm); 
KH – Fator de distribuição de carga; 
ZR – Fator de condição superficial; 
ZI – Fator geométrico para resistência à formação de cavidades; 
Nos itens a seguir serão apresentados cada um dos fatores acima mencionados. 
7.4.2 Resistência a Fadiga Superficial 
A fórmula de correção para a resistência à fadiga superficial corrigida das engrenagens é: 
Equação 7.50 ´fc
Z
WN
fc S
YY
ZZ
S 




 
Onde: 
Sfc – Resistência à fadiga de superfície corrigida (MPa); 
Sfc´ – Resistência à fadiga de superfície publicada pela AGMA (MPa); 
ZW (CH) – Fator de razão de dureza para resistência a formação de cavidades (Só é levado 
em consideração para a coroa); 
ZN – Fator vida; 
Y (KT) - Fator temperatura; 
YZ (KR) - Fator confiabilidade. 
A Tabela 7.6 apresenta a resistência à fadiga de superfície Sfc´ da AGMA para alguns 
materiais. 
Norton (2004) apresenta um gráfico para determinar Sfc´ extraído da Norma 2001 – B88 da 
AGMA para aços como uma função de sua dureza Brinell. A Figura 7.9 ilustra o referido 
gráfico. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 151 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
Figura 7.9 – Resistências à fadiga de superfície Sfc´da AGMA para aços (geral). Fonte: 
Norton (2004) 
 
7.4.3 Tensão Admissível de Contato 
Shigley et al (2005) sugere a partir das recomendações da ANSI/AGMA o cálculo da 
tensão admissível que é dada por: 
Equação 7.51 
N
S fc
adm  
Onde: 
c adm – Tensão de contato admissível (MPa); 
Sfc – Resistência a fadiga de superfície corrigida (MPa); 
Nc – Coeficiente de segurança. 
 
Elementos de Máquinas III 152 
Tabela 7.6 – Resistência à fadiga de superfície Sfc´ da AGMA 
Material Classe 
AGMA 
Designação 
do material 
Tratamento térmico Dureza superficial 
mínima 
Resistência a 
fadiga de 
superfície 
(MPa) 
Aço A1- A5 Endurecimento completo  180 HB 590 - 660 
 Endurecimento completo 240 HB 720 - 790 
 Endurecimento completo 300 HB 830 - 930 
 Endurecimento completo 360 HB 1000 - 1100 
 Endurecimento completo 400 HB 1100 - 1200 
 Endurecimento por 
chama ou indução 
50 HRC 1200 - 1300 
 Endurecimento por 
chama ou indução 
54 HRC 1200 - 1300 
 Cementação por carbono 
e endu-recimento 
superficial 
55 – 64 HRC 1250 - 1300 
 AISI 4140 Nitretado 84,6 HR15N 1100 - 1250 
 AISI 4340 Nitretado 83,5 HR15N 1050 - 1200 
 Nitroliga 
135M 
Nitretado 90,0 HR15N 1170 - 1350 
 Nitroliga 
N 
Nitretado 90,0 HR15N 1340 - 1410 
 2,5 % 
cromo 
Nitretado 87,5 HR15N 1100 - 1200 
 2,5 % 
cromo 
Nitretado 90,0 HR15N 1300 - 1500 
Ferro 
Fundido 
Cinzento 
(recozido) 
ASTM 48 
20 Classe 20 Como fundido 340 - 410 
30 Classe 30 Como fundido 175 HB 450 - 520 
40 Classe 40 Como fundido 200 HB 520 - 590 
Ferro 
Fundido 
Nodular 
(dúctil) 
ASTM 
A536 
A-7-a 60-48-18 Recozido 140 HB 530 - 630 
A-7-c 80-55-06 Revenido e temperado 180 HB 530 - 630 
A-7-d 100-70-03 Revenido e temperado 230 HB 630 - 770 
A-7-e 120-90-02 Revenido e temperado 230 HB 710 - 870 
Ferro 
Fundido 
maleável 
(perlítico) 
A-8-c 45007 165 HB 500 
A-8-e 50005 180 HB 540 
A-8-f 53007 195 HB 570 
A-8-i 80002 240 HB 650 
Bronze Bronze 2 AGMA 
2C 
Molde em areia 40 Ksi 
resistência a 
tração mínima 
450 
Al/Br 3 ASTM B-
148 78 
liga 954 
Tratado termicamente 40 Ksi 
resistência a 
tração mínima 
450 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 153 
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7.4.4 Fator de vida ZN (CL) 
As tensões de resistência à fadiga de superfície especificadas na Tabela 7.6 são validas 
para uma vida de 1E7 ciclos de aplicação de carga. O fator de vida ZN tem por objetivo 
corrigir a resistência à fadiga de superfície para outras vidas diferentes de 1E7 ciclos. Observe 
na Figura 7.10 que para 1E7, ZN = 1. 
 
Figura 7.10 – Fator de Vida ZN para resistência a formação de crateras. Fonte: Shigley et al 
(2005) 
7.4.5 Fator Razão de Dureza ZW (CH) 
Este fator é uma função da relação de transmissão (i) e da dureza relativa do pinhão e 
engrenagem. Este fator atua no sentido de aumentar a resistência aparente da engrenagem 
(movida/coroa). Ele leva em conta situações nas quais os dentes do pinhão são mais duros que 
os dentes da engrenagem e, assim, atuam para endurecer as superfícies do dente da 
engrenagem quando em funcionamento. O fator ZW é levado em consideração somente 
para determinar a resistência do dente da engrenagem (movida/coroa) e não do pinhão 
(motora). Duas fórmulas para seu cálculo são sugeridas pela Norma 2001-B88 da AGMA 
dependendo da dureza relativa dos dentes do pinhão e da engrenagem. 
Para pinhões endurecidos completamente trabalhando com engrenagens endurecidas 
completamente (inteiramente) o fator ZW é calculado através da seguinte expressão: 
Elementos de Máquinas III 154 
Equação 7.52  11  iAZW 
Onde “i” é a relação de transmissão e A é encontrado a partir das seguintes relações: 
Equação 7.53 0A (quando 2,1
g
p
HB
HB
) 
Equação 7.54 00829,000898,0 
g
p
HB
HB
A (quando 7,12,1 
g
p
HB
HB
) 
Equação 7.55 00698,0A (quando 7,1
g
p
HB
HB
) 
Os termos HBp e HBg representam as durezas Brinell (esfera de 10 mm sob carga de 3000 
kg) do pinhão e da engrenagem (coroa) respectivamente. 
Para pinhões com superfície endurecida trabalhando com engrenagens endurecidas 
completamente (inteiramente) o fator ZW é calculado através da seguinte expressão: 
Equação 7.56 gW HBBZ  4501 
onde B é encontrado a partir da seguintes relação para o Sistema Internacional de 
Medidas: 
Equação 7.57 (US) q
R
eB


0112,0
00075,0 
Equação 7.58 (SI) q
R
eB


052,0
00075,0 
Sendo que Rq é a rugosidade de superfície rms dos dentes do pinhão em in rms para o 
sistema (US) (NORTON, 2004 p. 640). 
7.4.6 Fator de Temperatura Y (KT) 
A temperatura do lubrificante é uma medida razoável da temperatura da engrenagem. Para 
aços em óleo, com temperatura até cerca de 120 
o
C, o fator Y = 1. Para temperaturas maiores 
Norton (2004) sugere a seguinte expressão para determinar Y : 
Equação 7.59 
620
32
5
9
460 







T
Y 
Onde T é a temperatura em graus Celsius (
o
C). 
7.4.7 Fator de Confiabilidade YZ (KR) 
Conforme Shigley et al (2005), o fator de confiabilidade leva em consideração o efeito das 
distribuições estatísticas das falhas por fadiga. As resistências AGMA são validas para uma 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 155 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
confiabilidade de 99%. A Tabela 7.3 apresenta alguns valores do Fator YZ (KR) para algumas 
confiabilidades. 
Tabela 7.7 – Fator de confiabilidade YZ (KR) 
Confiabilidade YZ (KR) 
0,9999 1,50 
0,999 1,25 
0,99 1,00 
0,90 0,85 
0,50 0,70 
7.4.8 Fator Dinâmico Kv 
O fator dinâmico Kv tenta levar em conta as cargas de vibração geradas pelos impactos 
dos dentes devido ao engrenamento não conjugado. Essas cargas de vibração são chamadas 
erros de transmissão e serão maiores em engrenagens de baixa precisão. Na ausência de dados 
experimentais que definam o nível de erro da transmissão a ser esperado em um projeto de 
engrenagem, o projetista deve estimar o fator dinâmico. A AGMA provê curvas empíricas 
para Kv como uma função da velocidade Vt da linha de passo (NORTON, 2004). 
Segundo Shigley et al (2005), alguns efeitos que provocam tais erros são: (i) Imprecisões 
durante a geração do perfil do dente; (ii) vibração do dente durante o engrenamento, devido a 
rigidez do mesmo; (iii) intensidade da velocidade no diâmetro primitivo; (iv) 
desbalanceamento dinâmico dos membros rotativos; (v) desgaste e deformação permanente 
das partes em contato dos dentes, (vi) desalinhamento do eixo de engrenagens e deflexão 
linear do eix; (vii) atrito entre os dentes. 
A AGMA, definiu um conjunto de números de qualidade Qv, visando obter um controle 
sobre os efeitos descritos no parágrafo anterior. Esses números definem as tolerâncias das 
engrenagens de vários tamanhos fabricados segundo uma classe de qualidade especificada. As 
classes 3 e 7 incluem a maioria das engrenagens de qualidade comercial. As classes 8 a 12,por 
sua vez, são de qualidade mais precisa. O índice de qualidade de precisão de transmissão Qv 
da AGMA é considerado igual ao número de qualidade. As seguintes equações podem ser 
usadas para determinar o fator dinâmico baseadas nos índices de qualidade Qv: 
Equação 7.60 
B
t
v
A
VA
K







 

200
 
Onde: 
Equação 7.61  BA  15650 
Elementos de Máquinas III 156 
Equação 7.62   3
2
1225,0 vQB  (para 116  vQ ) 
e 
Vt – velocidade tangencial (m/s); 
Qv – Índice de qualidade da engrenagem de menor qualidade no engrenamento. 
A Figura 7.5 ilustra uma família de curvas que variam com o índice de qualidade Qv. 
 
Figura 7.11 – Fator dinâmicos da AGMA. Fonte: Shigley et al (2005) 
Os valores terminais para a velocidade tangencial Vt para cada curva podem ser 
determinadas a partir das seguintes expressões: 
Equação 7.63 
  
200
3
2
max

 vt
QA
V 
7.4.9 Fator de Sobrecarga Ko 
O fator de sobrecarga Ko tem a função de levar em conta todas as cargas aplicadas 
externamente que excedem à força tangencial FT em uma certa aplicação. Exemplos incluem 
variações no torque relativamente ao valor médio, devido à explosão interna nos cilindros de 
um motor de combustão interna, ou reações a variação de torque em uma transmissão de 
bomba de pistão, etc. Outros autores chamam um fator similar pelo nome de fator de serviço. 
Esses valores são estabelecidos após considerável experiência de campo em uma determinada 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 157 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
aplicação. Shigley e Mischke (1996) apresentam no capítulo 29 páginas 29.5 e 29.6 uma lista 
de fatores de serviço. 
Norton (2004) apresenta uma tabela com os fatores de sobrecarga. A Tabela 7.8 indica os 
fatores de sobrecarga recomendados por Norton (2004). 
Tabela 7.8 – Fatores de sobrecarga Ko 
 
Máquina motora 
Máquina movida 
Uniforme Choque moderado Choque severo 
Uniforme (motor 
elétrico, turbina) 
1,00 1,25 1,75 ou mais 
Choque leve (motor 
multi-cilindro) 
1,25 1,50 2,00 ou mais 
Choque médio 
(motor de único 
cilindro) 
1,50 1,75 2,25 ou mais 
7.4.10 Fator de Tamanho Ks 
A AGMA ainda não estabeleceu normas para os fatores de tamanho e recomenda que Ks 
seja igualado a 1, a menos que o projetista deseje aumentar seu valor para levar em conta 
situações particulares, tais como dentes muito grandes. Um valor de 1,25 a 1,5 seria uma 
hipótese conservadora em tais casos. 
Shigley et al (2005) apresenta na página 704 uma expressão para calcular o fator de 
tamanho Ks. 
7.4.11 Fator de Distribuição de Carga KH (Km) 
O fator de distribuição de carga prevê a não uniformidade da distribuição de carga ao 
longo da linha de contato. Segundo Shigley et al (2005) o ideal é posicionar a engrenagem “a 
meia distância” entre mancais, em uma posição de inclinação nula quando a carga é aplicada. 
Contudo, isso nem sempre é possível. O procedimento que será exposto a seguir é aplicável 
quando: (i) razão da largura líquida de face para o diâmetro do pinhão F/d  2; (ii) 
engrenagens montadas entre mancais; (iii) largura de face até 1016 mm; e (iv) contato, quando 
carregado, ao longo da largura total do membro mais estreito. 
O fator de distribuição de carga sob tais condições é determinado a partir de: 
Equação 7.64  emapmpfmcH CCCCCK 1 
Onde: 
Elementos de Máquinas III 158 
Equação 7.65 0,1mcC (Para dentes sem coroamento) 
Equação 7.66 8,0mcC (Para dentes com coroamento) 
Equação 7.67 025,0
10



d
b
C pf mmb 4,25 
Equação 7.68 b
d
b
C pf 

 0125,00375,0
10
 mmb 1,4385,25  
Equação 7.69 2000228,00207,01109,0
10
bb
d
b
C pf 

 mmb 10161,438  
Para valores de 05,0
10

d
b
 são utilizadas as seguintes expressões para calcular Cpm: 
Equação 7.70 0,1pmC (Para pinhão montado entre mancais com S1/S<0,175) 
Equação 7.71 1,1pmC (Para pinhão montado entre mancais com S1/S0,175) 
Os valores de Cma são calculados por: 
Equação 7.72 
2
4,254,25













b
C
b
BACma 
Onde b é dado em mm e as constantes A, B e C são obtidas a partir da Tabela 7.5. 
Tabela 7.9 – Constantes empíricas A, B, C. Fonte: Shigley et al (2005) 
Condição A B C 
Engrenamentoaberto 0,247 0,0167 -0,765x10
-4
 
Unidades fechadas, comerciais 0,127 0,0158 -0,093x10
-4
 
Engrenamento aberto 0,0675 0,0128 -0,926x10
-4
 
Engrenamento aberto 0,00360 0,0102 -0,822x10
-4
 
A Figura 7.6 apresenta as definições de S e S1 para serem usadas nas expressões e a Figura 
7.7 apresenta gráficos para determinar Cma da Norma ANSI/AGMA 2001-C95. 
 
Figura 7.12 – Definição das distâncias S e S1. Fonte: Shigley et al (2005) 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 159 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
Figura 7.13 – Fator de alinhamento de engrenamento Cma. Fonte: Shigley et al (2005) 
Os valores de Ce são determinados por: 
Equação 7.73 8,0eC (Para engrenagens ajustadas na montagem, ou quando a 
compatibilidade é melhorada por lapidação, ou ambas) 
Equação 7.74 0,1eC (Para todas as outras condições) 
7.4.12 Fator de Acabamento Superficial ZR (Cf) 
O fator de acabamento superficial ZR é usado para levar em conta acabamentos 
superficiais extraordinariamente grosseiros nos dentes de engrenagens. A AGMA não 
estabeleceu ainda normas para os fatores de acabamento superficial e recomenda que ZR seja 
tomado igual a um (1) para engrenamentos fabricados pelos métodos convencionais. Seu 
valor pode ser aumentado para levar em conta acabamentos superficiais extraordinariamente 
grosseiros ou para levar em conta tensões residuais. 
7.4.13 Fator Geométrico de Resistência Superficial ZI (I) 
O fator ZI (I) é denominado pela AGMA de fator geométrico de resistência a formação de 
cavidades. Conforme Norton (2005), a AGMA define uma equação para o cálculo de ZI: 
Equação 7.75 
1
21
11
cos
d
Z I










 
Equação 7.76   

 coscos
1 2
1
2
1
11 






 

dd p
r
p
x
r 
Equação 7.77 12   sena 
Onde: 
Elementos de Máquinas III 160 
1 – raio de curvatura do dente da engrenagem motora (pinhão); 
2 – raio de curvatura do dente da engrenagem movida (coroa); 
 - ângulo de pressão; 
d1 – diâmetro primitivo do pinhão; 
r1 – raio primitivo do pinhão; 
x1 – índice de correção do pinhão; 
a – distância entre centros; 
pd – diametral pitch 
 - (+ para engrenagens externas, - para engrenagens internas). 
Conforme Shigley (1985), para engrenagens de dentes retos, ZI pode ser expresso por: 
12
cos




i
isen
Z I

 
7.4.14 Coeficiente Elástico ZE (Cp) 
O coeficiente elástico ZE (Cp) leva em consideração as diferenças entre os materiais dos 
dentes das engrenagens motora e movida e é determinado a partir da seguinte expressão: 
Equação 7.78 















 







 


2
2
2
1
2
1 11
1
EE
Z E


 
Onde: 
ZE – Coeficiente Elástico [MPa
0,5
] 
1 – Coeficiente de Poisson da engrenagem motora (pinhão); 
2 – Coeficiente de Poisson da engrenagem movida (coroa); 
E1 – Módulo de elasticidade longitudinal do material da engrenagem motora (pinhão) 
[N/mm
2
]; 
E2 – Módulo de elasticidade longitudinal do material da engrenagem movida (coroa) 
[N/mm
2
]; 
A Tabela 7.10 ilustra vários valores para ZE (Cp) para diversas combinações de materiais 
comuns de engrenagens e pinhão baseados em um valor hipotético de  = 0,3. 
Tabela 7.10 – Coeficiente elástico ZE (Cp) em (MPa
0,5
) 
Material 
do 
Pinhão 
E1 
(MPa) 
Material da Engrenagem (Coroa) 
Aço Ferro 
Maleável 
Ferro 
Nodular 
Ferro 
Fundido 
Alumínio 
Bronze 
Estanho 
Bronze 
Aço 2,0E5 191 181 179 174 162 158 
Ferro 
Maleável 
1,7E5 181 174 172 168 158 154 
Ferro 1,7E5 179 172 170 166 156 152 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 161 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
Nodular 
Ferro 
Fundido 
1,5E5 174 168 166 163 154 149 
Alumínio 
Bronze 
1,2E5 162 158 156 154 145 141 
Estanho 
Bronze 
1,1E5 158 154 152 149 141 137 
Obs.: Os valores de E1 nesta tabela são aproximados e  = 0,3 foi usado como um coeficiente 
de Poisson aproximado para todos os materiais. Se números mais precisos de E1 e  estiverem 
disponíveis, utilizar a equação para determinar ZE. 
Fatores de Serviço 
 
 
 
Elementos de Máquinas III 162 
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6684: Engrenagens 
Cilíndricas (Dentes Retos e Helicoidais) - Terminologia. Rio de Janeiro, 1981. 21 p. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. SB-21: Símbolos de 
Engrenagens Cilíndricas. Rio de Janeiro, 1989. 17 p. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR PB-245: Engrenagens 
cilíndricas de evolvente – Precisão dimensional. Rio de Janeiro, 1989. 36 p. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6174: Engrenagens 
Cilíndricas (Dentes Retos e Helicoidais) - Terminologia. Rio de Janeiro, 1980. 13 p. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7262: Engrenagens 
Cônicas, hipóides e Elóides. Rio de Janeiro, 1982. 13 p. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8088: Módulo de 
Engrenagem cilíndrica - Padronização. Rio de Janeiro, 1983. 1 p. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6167: Módulo de 
engrenagens Cônicas. Rio de Janeiro, 1980. 2 p. 
HENRIOT, G. traité théorique et pratique des engrenages – théorie et tecnologie – tome 
1. Dunod., 1968. 567 p. 
SILVEIRA, Tadeu Carlos. Engrenagens – Apostila do Curso de Engenharia Mecânica. 
Santa Maria: Universidade Federal de Santa Maria - Engenharia Mecânica, 1977. 
FINZI, Dario. Engrenagens. Rio de Janeiro: Ao livro Técnico S.A. Dunod., 1963. 233 p. 
NORTON, Robert L. - Machine Design - An Integrated Approach, New Jersei, USA : 
Prentice-Hall, 1997. 
NORTON, Robert L. – Projeto de Máquinas, São Paulo: ARTMED Editora S.A., 2004. 931 
p. 
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