1EE - Eletromagnetismo 2 - Prof Renan - 2020.1 - Solução

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Universidade de Pernambuco 
Escola Politécnica de Pernambuco 
Disciplina: Eletromagnetismo 2 
Turma: E2 
Semestre: 2020.1 
 
Primeiro Exercício Escolar 
 
1) Em uma região onde 𝜇𝑟 = 𝜀𝑟 = 1 e 𝜎 = 0, os potenciais retardados são dados por 
𝑉 = 𝑥(𝑧 − 𝑐𝑡) V e 𝐴 = 𝑥[(𝑧/𝑐) − 𝑡]�⃗�𝑧 Wb/m, em que 𝑐 = 1/√𝜇0𝜀0. 
a. Mostre que ∇⃗⃗⃗ ⋅ 𝐴 = 𝜇𝜀 (
𝜕𝑉
𝜕𝑡
); 
b. Encontre �⃗⃗�, �⃗⃗⃗�, �⃗⃗� e �⃗⃗⃗�. 
c. Mostre que os resultados encontrados satisfazem as equações de Maxwell 
se 𝐽 = 0 e 𝜌𝑣 = 0. 
 
A Questão 1 foi anulada, pois o enunciado principal e a letra a estavam incorretos. 
 
2) Os fasores de tensão e corrente de uma onda senoidal que se propaga em uma linha 
de transmissão são dados, respectivamente, por: 
 
𝑉𝑠 = 𝑉0𝑒
𝛼𝑧𝑒𝑗𝛽𝑧 e 𝐼𝑠 = 𝐼0𝑒
𝛼𝑧𝑒𝑗𝛽𝑧𝑒𝑗𝜙 
 
em que 𝑉0 e 𝐼0 são reais. 
a. Qual é a direção e o sentido de propagação da onda? Justifique. 
b. Sabe-se que 𝛼 = 0, 𝑍0 = 50 Ω, 𝜔 = 10
8 rad/s e 𝑢 = 2,5 × 108 m/s. Calcule 
𝑅, 𝐺, 𝐿, 𝐶, 𝜆 e 𝜙. 
 
Solução: 
 
Letra a: 
A propagação ocorre na direção −�⃗�𝑧 devido ao fator 𝑒
𝑗𝛽𝑧. 
 
Letra b: 
Como 𝛼 = 0, a linha é sem perdas. Logo, 𝑅 = 0 e 𝐺 = 0. 
 
𝑍0 = √
𝐿
𝐶
 e 𝑢 =
𝜔
𝛽
=
1
√𝐿𝐶
= 𝑓𝜆 
𝑍0 = √
𝐿
𝐶
=
1
𝑢𝐶
 
 
𝐶 =
1
𝑢𝑍0
=
1
50 × 2,5 × 108
= 80 𝑝𝐹/𝑚 
 
𝐿 = 𝑍0
2𝐶 = 502 × 80 × 10−12 = 0,2 𝜇𝐻/𝑚 
 
𝜆 =
𝑢
𝑓
=
2𝜋𝑢
𝜔
=
(2𝜋 × 2,5 × 108)
108
= 15,71 𝑚 
 
𝜙 = 0, pois em uma linha sem perdas, 𝑍0 é real. Portanto, as ondas de tensão e de 
corrente estão em fase, uma vez que 𝑍0 = 𝑉0/𝐼0. 
 
3) Um campo elétrico no espaço livre, em coordenadas esféricas, é dado por �⃗⃗�𝑠(𝑟) =
𝐸0(𝑟)𝑒
−𝑗𝑘𝑟�⃗�𝜃 V/m. 
a. Calcule �⃗⃗⃗�, assumindo que o comportamento de onda plana uniforme; 
b. Calcule a média temporal do vetor de Poynting; 
c. Expresse a potência externa média em watts através de uma concha esférica 
fechada de raio r, centrada na origem. 
 
Solução: 
 
Letra a: 
Primeiro, encontra-se a orientação do vetor do campo magnético. 
Sabe-se que �⃗�𝐸 = �⃗�𝜃 (dado na expressão do campo elétrico) e �⃗�𝑘 = �⃗�𝑟, pois 𝑒
−𝑗𝑘𝑟. 
Como �⃗�𝑘 = �⃗�𝐸 × �⃗�𝐻, tem-se que �⃗�𝑟 = �⃗�𝜃 × �⃗�𝐻, logo �⃗�𝐻 = �⃗�𝜙. 
 
�⃗⃗⃗� = 𝑅𝑒[�⃗⃗⃗�𝑠] = 𝑅𝑒 [
�⃗⃗�𝑠
𝜂
] = 𝑅𝑒 [
𝐸0(𝑟)𝑒
−𝑗𝑘𝑟
𝜂0
�⃗�𝜙] = 𝑅𝑒 [
𝐸0(𝑟)
120𝜋
𝑒−𝑗𝑘𝑟�⃗�𝜙] 
 
�⃗⃗⃗� =
𝐸0(𝑟)
120𝜋
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟) �⃗�𝜙 𝐴/𝑚 
 
Letra b: 
�⃗⃗�𝑚𝑒𝑑 =
1
2
𝑅𝑒(�⃗⃗�𝑠 × �⃗⃗⃗�𝑠
∗) =
1
2
𝑅𝑒 (𝐸0(𝑟)𝑒
−𝑗𝑘𝑟�⃗�𝜃 ×
𝐸0(𝑟)
120𝜋
𝑒𝑗𝑘𝑟�⃗�𝜙) =
𝐸0
2(𝑟)
240𝜋
�⃗�𝑟 𝑊/𝑚
2 
 
Letra c: 
𝑃𝑚𝑒𝑑 = ∫ �⃗⃗�𝑚𝑒𝑑 ∙ 𝑑𝑆
𝑆
 
 
A área da superfície de uma esfera de raio r é igual a 4𝜋𝑟2. Assim, 
 
𝑃𝑚𝑒𝑑 =
𝐸0
2(𝑟)
240𝜋
�⃗�𝑟 ⋅ 4𝜋𝑟
2�⃗�𝑟 =
𝐸0
2(𝑟)
60𝜋
 𝑊 
 
4) Um condutor tubular oco é construído a partir de um tipo de latão com uma 
condutividade de 1,2 × 107 S/m. Ele possui 1 metro de comprimento e os raios 
interno e externo são de 9 mm e 10 mm, respectivamente. Calcule a resistência do 
condutor para os seguintes casos: 
a. Corrente contínua; 
b. Corrente com frequência de 20 MHz; 
c. Corrente com frequência de 2 GHz. 
 
 
Solução: 
 
Letra a: 
𝑅𝑐𝑐 =
𝐿
𝜎𝐴
=
1
1,2 × 107 × 𝜋(0,012 − 0,0092)
= 1,40 𝑚Ω 
 
Letra b: 
Deve-se considerar o efeito pelicular. A profundidade de penetração pelicular é dada por 
𝛿 =
1
√𝜋𝑓𝜇𝜎
. 
 
𝛿 =
1
√𝜋𝑓𝜇𝜎
=
1
√𝜋 × 20 × 106 × 4𝜋 × 10−7 × 1,2 × 107
= 32,49 𝜇𝑚 
 
 
 
𝑅𝑐𝑎 =
𝐿
𝜎𝐴
=
𝐿
𝜎𝛿𝑤
=
1
1,2 × 107 × 32,49 × 10−6 × 2𝜋 × 0,01
= 0,04 Ω 
 
Letra c: 
Deve-se considerar o efeito pelicular. 
 
𝛿 =
1
√𝜋𝑓𝜇𝜎
=
1
√𝜋 × 2 × 109 × 4𝜋 × 10−7 × 1,2 × 107
= 3,25 𝜇𝑚 
 
𝑅𝑐𝑎 =
𝐿
𝜎𝐴
=
𝐿
𝜎𝛿𝑤
=
1
1,2 × 107 × 3,25 × 10−6 × 2𝜋 × 0,01
= 0,4 Ω 
 
𝛿 
𝑤 
𝑙