Gabarito Prova Exame Modelagem e Simulação 2020

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GABARITO 
DISCIPLINA 
EEM501 - Modelagem e Simulação 
APLICAÇÃO 
06/08/2020 
CÓDIGO 
DA PROVA P006 
 
QUESTÕES OBJETIVAS 
Questão 1.1 
A resposta correta é: 𝑀/𝐷/6/𝐹𝐶𝐹𝑆/50/∞ 
 
Justificativa 
Questão elementar para verificar a compreensão dos estudantes acerca da notação de Kendall-Lee. 
 
𝑀/𝐷/6/𝐹𝐶𝐹𝑆/50/∞ 
 
 1 2 3 4 5 6 
 
Características de um Sistema de Fila 
1. Processo de Chegada – distribuição exponencial (M) = processo de Poisson. 
2. Distribuição de Tempo de Serviço – determinístico (D) = constante. 
3. Quantidade de Servidores – 6 guichês de atendimento. 
4. Tamanho do Sistema de Fila – primeiro a chegar será o primeiro a ser atendido (FCFS – first come 
first served). 
5. População de Clientes – cabem somente 50 clientes na bilheteria. 
6. Disciplina de Atendimento – não há limites para o atendimento. 
 
Questão 1.2 
A resposta correta é: O teste emprega uma estatística paramétrica com dois parâmetros ajustáveis. 
 
Justificativa 
O teste de Kolmogorov-Smirnov é muito importante na análise de dados empíricos em modelagem e 
simulação de sistemas, foi mencionada nas Atividades para avaliação e deve ser de conhecimento dos 
alunos. 
 
O teste de Kolmogorov-Smirnov compara a função de distribuição acumulada (FDA) esperada F(x) com 
a FDA observada SN(x), onde N é o número de observações da amostra. Os dados serão aceitos se 
possuírem FDA constante para o nível de significância utilizado. 
 
Questão 1.3 
A resposta correta é: menos de 5 minutos. 
 
Justificativa 
O aluno deve conhecer bem as principais medidas de desempenho associadas a uma fila do tipo 
𝑀/𝑀/1, a saber, seus comprimentos e tempos esperados. 
 
O tempo médio de espera pelo atendimento em uma fila 𝑀/𝑀/1 como a do problema é dado por 
𝑊𝑞 =
ρ
μ − λ
=
λ
μ(μ − λ)
=
0,25
0,4 ⋅ (0,4 − 0,25)
≃ 4.17 min, 
 
onde usamos λ =
1
4
min−1 e μ =
1
2,5
min−1. 
 
Questão 1.4 
A resposta correta é: Menos de 25 horas. 
O posto de atendimento pode ser modelado como uma fila 𝑀/𝑀/𝑠 com 𝑠 = 3 servidores. A taxa de 
chegada é dada por λ = 5/2 chegadas por hora e a taxa de serviço é dada por μ = 3/2 atendimentos 
por hora para cada atendente. Temos λ/𝑠μ = 5/9 < 1, de forma que o sistema possui estado 
estacionário. A fração de tempo em que o posto está vazio é dado por (usando 𝑠 = 3 e 𝑠ρ = λ/μ = 5/3): 
 
π0 = (∑
(𝑠ρ)𝑘
𝑘!
𝑠−1
𝑘=0
+
(𝑠ρ)𝑠
𝑠! (1 − ρ)
)
−1
= (1 +
5
3
+
1
2
(
5
3
)
2
+
1
6
(
5
3
)
3 9
5
)
−1
≃ 0,184. 
 
π1 = (∑
(𝑠ρ)𝑘
𝑘!
𝑠−1
𝑘=1
+
(𝑠ρ)𝑠
𝑠! (1 − ρ)
)
−1
= (
5
3
+
1
2
(
5
3
)
2
+
1
6
(
5
3
)
3 9
5
)
−1
≃ 0,225. 
 
π2 = (∑
(𝑠ρ)𝑘
𝑘!
𝑠−1
𝑘=2
+
(𝑠ρ)𝑠
𝑠! (1 − ρ)
)
−1
= (
1
2
(
5
3
)
2
+
1
6
(
5
3
)
3 9
5
)
−1
≃ 0,36. 
 
O número esperado de atendentes ociosos é dado por: 
 
3π0 + 2π1 + 1π2 = 3(0,184) + 2(0,225) + 1(0,36) = 1,36 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠, 
 
onde π𝑗 = [(𝑠ρ)
𝑗/𝑗!]π0 para 𝑗 ≤ 𝑠. Assim, a probabilidade de que um atendente esteja ocioso é de 
1,36/3 = 0,45, de forma que o valor esperado do tempo que um atendente passa de fato realizando 
atendimento às pessoas é de (1 − 0,45) ⋅ 40 = 22 horas. 
 
Justificativa 
Essa é uma questão relativamente elaborada que demanda solução em etapas, envolvendo medidas 
de desempenho de uma fila do tipo 𝑀/𝑀/𝑠. Caso o aluno somente identifique corretamente o sistema 
como uma fila 𝑀/𝑀/3 e calcule π0: 50% da nota. 
 
 
QUESTÕES DISSERTATIVAS 
 
Questão 2 
Construa a matriz de transição correspondente à cadeia de Markov representada pelo grafo dirigido 
abaixo e encontre seu estado estacionário. Determine o estado estacionário da cadeia de Markov. A 
partir de quantas transições (passos) todos os estados passam a ser acessíveis a partir de qualquer 
outro estado? 
Valor do termo 
não é 9/5? Não, 
é 1/(1-rho); veja 
na fórmula à 
esquerda da 
igualdade. Se 
sim, valor final 
seria 0,184 
 
 
RESOLUÇÃO 
A matriz de transição 𝑃 = (𝑝𝑖𝑗) com 𝑝𝑖𝑗 = ℙ(𝑋𝑡+1 = 𝑗 | 𝑋𝑡 = 𝑖) é dada por 
 
𝑃 = (
0 1 0
0 1/2 1/2
1/3 0 2/3
). 
 
Para encontrar o estado estacionário, devemos encontrar o vetor de probabilidades 𝜋 = (𝜋1, 𝜋2, 𝜋3) 
que satisfaz o sistema de equações 𝜋 = 𝜋𝑃. Levando em consideração que 𝜋1 + 𝜋2 + 𝜋3 = 1, 
encontramos 𝜋1 = 1/6, 𝜋2 = 2/6, e 𝜋3 = 3/6. 
 
Para responder à segunda questão, devemos notar que, para que qualquer estado seja acessível a 
partir de qualquer outro estado em 𝑛 passos, basta que todos os elementos da matriz 𝑃𝑛 sejam 
diferentes de zero. Para nossa cadeia de Markov, isso acontece a partir de 𝑛 = 3. 
 
𝑝𝑖𝑗
2 = 
 
 
 
𝑝𝑖𝑗
3 = 
 
 
Rubricas | critérios de correção 
Trata-se de uma questão básica sobre cadeias de Markov em duas partes. O aluno deve ser capaz de 
montar a matriz 𝑃 a partir do grafo e encontrar seu vetor de probabilidades estacionárias. Para a 
segunda parte, o aluno deve saber interpretar o significado de conectividade entre estados de uma 
cadeia de Markov em termos das potências da matriz de transição. É possível, no entanto, que alguns 
alunos encontrem o valor 𝑛 = 3 por inspeção direta do grafo, o que também é aceitável. Valores: 1ª 
parte 70%, 2ª parte 30%. 
 
 
Questão 3 
Um sistema de atendimento envolve dois procedimentos, um que leva em média 2 minutos para ser 
realizado e outro que leva em média 1 minuto e meio para ser realizado. Supondo que os clientes 
cheguem a uma taxa média de 20 por hora e que tanto os intervalos entre chegadas quanto os 
tempos de serviço sejam distribuídos exponencialmente, qual sistema de filas é mais vantajoso para 
os clientes: duas filas em série, com cada servidor realizando um dos dois procedimentos, ou uma fila 
com dois servidores em paralelo, cada qual realizando ambos os serviços em 4 minutos em média? 
0 0,5 0,5
0,1665 0,25 0,5835
0,222111 0,333 0,444889
0,1665 0,25 0,5835
0,194306 0,2915 0,514195
0,148148 0,388611 0,463241
RESOLUÇÃO 
Do ponto de vista do cliente, interessa permanecer o menor tempo possível nas filas. Vamos, então, 
calcular o tempo total de permanência em cada sistema de filas e compará-los. 
 
A primeira solução consiste de duas filas do tipo 𝑀/𝑀/1 em série, a primeira com taxa de utilização 
ρ1 = 20h
−1/30h−1 = 2/3 e a segunda com taxa de utilização ρ2 = 20h
−1/40h−1 = 1/2. Como tanto ρ1 < 1 
quanto ρ2 < 1, pelo teorema de Jackson podemos tratar as filas em série como “independentes”, cada 
uma sujeita a uma taxa de chegadas dada por λ = 20 h−1. Para a primeira fila temos 
 
𝐿𝑞
(1) =
ρ1
2
1 − ρ1
= 4/3 ⇒ 𝑊𝑞
(1) =
𝐿𝑞
(1)
λ
= 4 𝑚𝑖𝑛 ⇒ 𝑊(1) = 𝑊𝑞
(1) + 1/μ1 = 6 min, 
 
e para a segunda fila temos 
 
𝐿𝑞
(2) =
𝜌2
2
1 − 𝜌2
= 1/2 ⇒ 𝑊𝑞
(2) =
𝐿𝑞
(2)
𝜆
= 1,5 𝑚𝑖𝑛 ⇒ 𝑊(2) = 𝑊𝑞
(2) + 1/𝜇2 = 3 min. 
 
Assim, o tempo total para esse sistema de filas em série é 𝑊 = 𝑊(1) + 𝑊(2) = 9 𝑚𝑖𝑛. 
 
O segundo sistema de filas corresponde a uma fila 𝑀/𝑀/𝑠 com 𝑠 = 2. Para calcular as medidas de 
desempenho dessa fila, precisamos primeiro calcular π0
(2) e P(𝑗 ≥ 2). Como μ = 15ℎ−1 nesse caso, ρ =
λ/sμ = 20h−1/(2 ⋅ 15h−1) = 2/3 e o sistema é estável, donde obtemos 
 
π0 = (1 + sρ +
(𝑠ρ)2
2! (1 − ρ)
)
−1
=
1
5
; 𝑃(𝑗 ≥ 2) =
(𝑠ρ)𝑠π0
𝑠! (1 − ρ)
=
8
15
. 
 
Com isso, conseguimos calcular 
 
𝐿𝑞 =
ρ
1 − ρ
𝑃(𝑗 ≥ 𝑠) =
16
15
⇒ 𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
λ
= 3,2 𝑚𝑖𝑛 ⇒ 𝑊 = 𝑊𝑞 + 1/μ = 7,2 𝑚𝑖𝑛. 
 
Portanto, o cliente passará menos tempo na fila se o sistema de atendimento for arranjado como um 
sistema 𝑀/𝑀/2, ainda que o tempo em atendimento nesse arranjo seja maior (4 𝑚𝑖𝑛 versus 3,5 𝑚𝑖𝑛). 
 
Rubricas | critérios de correção 
O aluno deve comparar as medidas de desempenho das duas filas, em particular o tempo médio de 
permanência 𝑊 em cada fila Ele pode fazer isso calculando diretamente 𝑊 ou calculando o 
comprimento total da fila 𝐿 e aplicando as relações de Little. Caso o aluno calcule apenas as medidas 
de desempenhode um dos sistemas de filas, atribuir 40% da nota. Caso o aluno calcule e compare os 
comprimentos da fila ao invés dos tempos totais de permanência (sinal de que não se recorda ou sabe 
aplicar as relações de Little), atribuir 80% da nota.