Aula-03-F328-2S-2016

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F 328: Física Geral III 
2º semestre 2016 
Aula 3: A Lei de Gauss 
1 
Ponto essencial - Fluxo 
F328 – 2S2016 2 
O fluxo de água que atravessa uma superfície fechada 
depende somente das torneiras no interior dela. 
O fluxo de campo elétrico que atravessa uma superfície 
fechada depende somente das cargas elétricas contidas no 
interior da superfície. 
1 
3 
4 
2 
Fluxo de um campo vetorial 
F328 – 2S2016 3 
Quais afirmações podemos fazer sobre a distribuição de carga elétrica 
no interior da esfera ? 
Pode-se dizer que: 
uniforme e positiva 
Fluxo de um campo vetorial 
F328 – 2S2016 4 
Definição: 
• Quantidade de campo vetorial que 
 atravessa uma superfície 
• Número de linhas de campo 
• Campo elétrico, magnético, etc. 
• Superfície aberta ou fechada 
4 
Superfície aberta Superfície fechada 
Mesma quantidade de linhas de campo 
atravessam ambas as superfícies A| e A 
Componente perpendicular 
Fluxo campo elétrico - superfície aberta 
F328 – 2S2016 5 
cosEAAEE 

Campo uniforme, superfície plana: 
Ad

E

 
 : magnitude: área da superfície 
 direção: normal à superfície 
A

 : elemento de superfície 
 direção: normal à superfície 
Ad

E

A


Caso geral: 
6 
Fluxo: 
Quantidade de campo vetorial que atravessa 
perpendicularmente uma superfície 
Fluxo campo elétrico - superfície aberta 
F328 – 2S2016 
FE = EA FE = 0FE = EAcosf
6 
Fluxo campo elétrico - superfície fechada 
F328 – 2S2016 7 7 
Convenção: 
 
• : sempre saindo da superfície 
 
• Fluxo saindo: positivo 
• Fluxo entrando: negativo 
Ad

Ad

Ad

Caso geral: (superfície fechada) 
Ad

Informação importante: fluxo total 
Fluxo campo elétrico - superfície gaussiana 
F328 – 2S2016 8 
0
Superfície gaussiana = superfície imaginária fechada 
0
0
Campo saindo Campo entrando 
Campo tangente 
Fluxo campo elétrico - superfície gaussiana 
F328 – 2S2016 9 
00321  EAEAE
Qual é o fluxo de um campo elétrico uniforme através de uma 
superfície gaussiana cilíndrica cujo eixo é paralelo ao campo elétrico? 
9 
Fluxo nulo 
E se você inclinar a superfície gaussiana? 
E
 drdA 2cos
Ângulo sólido e lei de Gauss 
FE = dFEò =
qenv r
2dW
4pe0r
2
0
4p
ò =
qenv
e0
2
cos
r
dA
d


r Ad

)(rE
cosdA
d

q
A


q 
E

Fluxo de um campo vetorial E 
F328 – 2S2016 10 
Lei de Gauss – caso S esférica 
F328 – 2S2016 11 11 
Fluxo do campo elétrico devido a uma carga 
pontual q através de uma superfície fechada 
esférica de raio r: 
Resultado válido para qualquer 
superfície fechada 
 AdE

||
(E uniforme sobre toda a superfície) 
 24 rAesfera 









2
04 r
q
Eq

Questão 01 
F328 – 2S2016 12 
Três superfícies fechadas estão ao redor de uma carga puntiforme. 
As três superfícies são: um pequeno cubo, uma pequena esfera, e 
uma esfera maior - todas centradas na carga. 
Qual superfície tem o maior fluxo através dela? 
a) pequeno cubo 
b) pequena esfera 
c) esfera maior 
d) impossível determinar sem mais 
 informações 
e) as três têm o mesmo fluxo 
Lei de Gauss 
F328 – 2S2016 13 
0
q
E 
0E
Número de linhas do campo elétrico 
entrando na superfície é igual ao 
número de linhas saindo dela. 
 
Número de linhas do campo elétrico 
saindo é igual para todas as superfícies 
Carga puntiforme fora de 
uma superfície fechada 
Carga puntiforme dentro de superfícies 
fechadas de vários formatos 
Fluxo total é nulo Fluxo através de todas as 
superfícies é o mesmo 
Lei de Gauss 
F328 – 2S2016 14 
 qenv : carga total dentro da superfície gaussiana 
Lei de Gauss: 
• Relaciona o campo elétrico nos pontos de 
 uma superfície gaussiana à carga elétrica 
 contida no seu interior. 
• Independe da forma da superfície 
 gaussiana 
E

: campo elétrico na superfície gaussiana 
 : direção = para fora superfície gaussiana 
Condutores 
F328 – 2S2016 15 
Campo elétrico no interior de um condutor em equilíbrio 
 eletrostático é sempre nulo. 
 
Qual a localização do excesso de carga em um condutor? 
15 
A carga elétrica líquida está na superfície externa do condutor. 
0envq
0

E
0

E
Considerar condutor com uma cavidade. 
Lei de Gauss: excesso de carga na superfície externa do condutor. 
Condutores - carga induzida 
F328 – 2S2016 16 
qint = +q qext = - qe 
Sup. gaussiana no interior 
da camada condutora: 
Determinar as cargas induzidas nas superfícies interna e externa de 
uma camada condutora neutra. 
Note que não é uniforme. E ? s int s ext
16 
( é nulo num condutor) 
(Mesma magnitude que a carga na cavidade) 
q 
qint 
qext 
Campo elétrico: simetria esférica 
F328 – 2S2016 17 
Carga puntiforme 
r
r
q
rE ˆ
4
1
)(
2
0


Nos pontos de S: 
uniforme
aparalelo
E
AdE


17 
0
24)(


q
rrEE


superfície 
gaussiana 
esférica 
Lei de Gauss - aplicações 
F328 – 2S2016 18 
A lei de Gauss é sempre válida, mas nem sempre útil... 
Quando utilizar a lei de Gauss para calcular o campo elétrico? 
Somente nos casos de simetria adequada 
Interessante se: 
 
• magnitude do campo elétrico sobre a superfície: uniforme 
 
• e : paralelos Ad

E

Questão 03 
F328 – 2S2016 19 
Considere o objeto condutor carregado, de formato irregular, mostrado 
na figura e as seguintes afirmações sobre a intensidade do campo 
elétrico nos 6 pontos mostrados: 
1. nos pontos A e F campo é mais intenso do que nos outros 4 pontos. 
2. a intensidade do campo em C é maior do que em A. 
3. em D o campo elétrico é nulo. 
4. em B e E o campo é mais intenso que em F. 
5. a intensidade do campo em C é maior do que em E. 
A(s) afirmação(ões) correta(s) é(são) (Escolha uma): 
1, 4 e 5; 
somente 3; 
2, 3 e 4; 
somente 2; 
1, 3 e 5; 
Questão 04 
F328 – 2S2016 20 
Um condutor esférico descarregado, centrado na origem, contém 
uma cavidade de formato arbitrário. Em algum ponto no interior da 
cavidade há uma carga q. Qual é o campo elétrico fora da esfera? 
q 
a) 
b) 
c) 
d) Não podemos determinar o campo 
 elétrico sem saber o formato da 
 cavidade 
e) Nenhuma das opções acima 
r
r
q
ˆ
4 20
E
r
r
q
ˆ
4 20
E
0E
Lei de Gauss - aplicações 
F328 – 2S2016 21 
Plana 
(plano infinito) 
gaussiana 
cilíndrica 
Cilíndrica 
(barra e 
cilindro infinitos) 
gaussiana 
esférica 
gaussiana 
esférica 
Esférica 
(carga puntiforme, 
casca e esfera) 
24 rAesfera 
gaussiana 
cilíndrica 
Campo elétrico: simetria esférica 
F328 – 2S2016 22 
Esfera condutora carregada (ou casca esférica carregada) 
 
 






Rr
Rrr
r
q
rE
0
ˆ
4)(
2
0

22 
(Teorema das camadas) 
2S
1S
Como carga total diferente dentro e fora da 
esfera 
Nos pontos de Si: 
uniforme
aparalelo
E
AdE


Campo elétrico: simetria esférica 
F328 – 2S2016 23 
Esfera não condutora uniformemente carregada 
23 
gaussiana 
esférica 
gaussiana 
esférica 
Como carga 
diferente dentro e 
fora da esfera 
 
 










Rrr
R
qr
Rrr
r
q
rE
ˆ
4
ˆ
4
)(
3
0
2
0







 3
3 3
4
3
4
r
R
q
q


(r > R) 
(r < R) 
Campo elétrico: simetria cilíndrica 
F328 – 2S2016 24 
Fio infinito uniformemente carregado 
r
r
rE ˆ
2
)(
0



24 
Nos pontos de S: 
uniforme
(contorno)aparalelo
E
AdE


E

Ad

Superfície 
gausseana 
Superfície 
gaussiana S 
E

h 

E

 Vista de topo 
E

Ad

S 
Acilindro = 2prh( )
Campo elétrico: simetria plana 
F328 – 2S2016 25 
nrE ˆ
2
)(
0



25 
Camada não condutora 
FE = E ×2A=
s A
e0
Nos pontos de S: 
uniforme
des)(extremidaaparalelo
E
AdE


 (Duas extremidades) 
• Uniforme 
• Independente de r 
Campo elétrico:simetria plana 
F328 – 2S2016 26 
Camada condutora 
26 
nrE ˆ)(
0



FE = E × A =
s A
e0
Nos pontos de S: 
(Uma extremidade) 
• Uniforme 
• Independente de r 
• Dobro do campo de 
 uma camada isolante 
Campo elétrico: simetria plana 
F328 – 2S2016 27 
1
 1
E1 =
s1
e0
à direita da placa
-
s1
e0
à esquerda da placa
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
E2 =
-
s1
e0
à direita da placa
s1
e0
à esquerda da placa
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
Etotal = E1 + E2 =
2s1
e0
entre as placas
0 fora das placas
ì
í
ï
î
ï
Aproximando as camadas: 
27 
Duas camadas condutoras (densidades superficiais e ) 
Campo elétrico: simetria plana 
F328 – 2S2016 28 
(densidades superficiais e ) )( )(












placadaesquerdaà
2
placadadireitaà
2
0
)(
0
)(
)(




E












placadaesquerdaà
2
placadadireitaà
2
0
)(
0
)(
)(




E
0
)()(
2




R
E
0
)()(
2




L
E
0
)()(
2




B
E
28 
Duas placas não condutoras 
Resumo 
F328 – 2S2016 29 
• Fluxo campo elétrico: 
• Quantidade de campo que atravessa perpendicularmente uma superfície. 
 
 
• Lei de Gauss: 
• O fluxo de campo elétrico que atravessa uma superfície fechada 
(gaussiana) depende somente das cargas contidas no interior da superfície. 
 
 
 
• Condutores (equilíbrio eletrostático) 
• Movimento livre das cargas 
• Cargas em excesso localizadas na superfície externa 
• Campo elétrico nulo no interior 
• Campo elétrico perpendicular à superfície 
Lista de exercícios – Capítulo 23 
Os exercícios pares do Livro texto capítulo Circuitos: 
 
Consultar: 
https://www.ggte.unicamp.br/ea 
Aulas gravadas: 
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) 
 ou 
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) 
•Informações complementares 
F328 – 2S2016 30 
https://www.ggte.unicamp.br/ea/moodle/login/index.php
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures