Matemática Financeira Básica - Juros Simples

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Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) i 
 
Matemática Financeira Básica 
com HP 12C 
Juros e Capitalização simples. 
 
Sumário 
Conceitos básicos. ...................................................................................................... 1 
Juros simples e capitalização simples. ........................................................................ 2 
Juros ........................................................................................................................ 2 
Montante ou Valor Futuro (S) ................................................................................... 2 
Representação gráfica ............................................................................................. 3 
Taxas proporcionais ................................................................................................. 4 
Ajustes nas taxas de juros ....................................................................................... 4 
Juros Simples na HP12C (INT). ............................................................................... 6 
Valor presente ou valor atual (P).............................................................................. 7 
Diagrama de fluxo de caixa ...................................................................................... 7 
Equivalência de capitais ........................................................................................... 8 
Aplicação ................................................................................................................. 9 
Exercícios resolvidos. .............................................................................................. 9 
Exercícios propostos .............................................................................................. 13 
Método Hamburguês ................................................................................................. 15 
Exercícios propostos .............................................................................................. 16 
Desconto bancário ou comercial ............................................................................... 17 
Exercícios resolvidos ............................................................................................. 19 
Exercícios propostos .............................................................................................. 23 
Apêndice: Introdução ao uso da HP 12C. ................................................................. 24 
Referências Bibliográficas ......................................................................................... 31 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 1 
 
Este texto apresenta de forma resumida os principais conceitos da 
matemática financeira baseada nos autores relacionados na seção Referências 
Bibliográficas e não tem o objetivo de substituir as referências apresentadas. Deve 
ser utilizado como material complementar do livro texto adotado. 
Importante saber que a Matemática Financeira pode ser entendida como a 
disciplina que estuda o valor do dinheiro em um intervalo de tempo. 
Conceitos básicos. 
Capital: qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada 
época. 
Juros: é a remuneração do capital empregado (aluguel pago pelo uso do 
dinheiro). Pode ser entendida como uma espécie de “aluguel sobre o dinheiro”. 
Quando se aplica um capital durante um determinado período de tempo, ao 
fim do prazo o capital se transformará em um valor, o montante, que será igual ao 
capital aplicado mais a remuneração obtida durante o período de aplicação. 
Montante: Montante (S) = capital (P) ou aplicação + juros ganhos (J). 
Remuneração, rendimento ou jutos ganhos: é a diferença entre o montante 
(S) e a aplicação (P). 
Taxa de juros: é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no final de um 
determinado período de tempo e o capital inicialmente aplicado ou emprestado. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 =
𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
= 𝑖 =
𝐽
𝑃
 
 Como a taxa de juros é definida pela razão entre a remuneração do capital e 
o capital aplicado, os juros ganhos em uma aplicação financeira também podem ser 
entendidos como o produto das taxas de juros pelo capital (J = Pi). 
As taxas de juros podem ser representadas na forma percentual (taxa de 
juros percentual) e na forma fracionária. A forma fracionária é que se utiliza para 
fazer cálculos financeiros. 
Forma percentual: 10%. 
Forma fracionária: 0,10. 
Para os cálculos com a calculadora financeira HP12C o usuário indica a forma 
percentual e a calculadora converte internamente na forma fracionária. 
Se o prazo da operação considera o ano composto por meses de 30 dias (360 
dias), os juros são chamados juros comerciais; caso seja considerado o ano civil 
(365 dias) os juros são chamados juros exatos. Os textos de matemática financeira 
trabalham com os anos comerciais (360 dias), salvo menção em contrário. 
 
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Juros simples e capitalização simples. 
A taxa de juros incide somente sobre o capital inicial e não incide sobre juros 
acumulados. Na capitalização simples não existe capitalização de juros. 
Os juros simples de cada período são calculados sempre sobre o mesmo 
valor principal ou capital inicial. 
Os juros não são incorporados ao principal para formar a base de cálculo 
dos juros do período seguinte. 
O capital cresce a uma taxa linear e a taxa de juros tem um comportamento 
linear em relação ao tempo. 
As taxas de juros são proporcionais aos prazos. 
Aplicação limitada (contexto não inflacionário e de curtíssimo prazo). 
Juros 
J = Pin 
J = valor dos juros. 
P = valor do capital inicial ou principal. 
i = taxa de juros. 
n = prazo. 
Observação: i e n devem estar na mesma unidade de tempo. 
Equivalência das unidades de tempo: 
1ano = 12 meses = 360 dias e 1 mês = 30 dias. 
Montante ou Valor Futuro (S) 
Montante = capital + juros. 
S = P + J 
S = P + Pin 
S = P(1 + in) 
Observação: i e n devem estar na mesma unidade de tempo. 
Exemplo: Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de $7.000,00 
aplicado a uma taxa de 35% ao ano, por 218 dias. 
Resolução: 
J = ? 
S = ? 
P = 7.000,00 
i = 35% ao ano (a.a.) = 0,35 a.a. (não use o percentual nas fórmulas). 
n = 218 dias. 
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Observação: os exercícios de juros simples podem ser resolvidos com 
calculadoras científicas ou com as operações básicas da HP12C. 
Como i e n estão com unidades de tempo diferentes, é preciso deixa-las na 
mesma unidade. É só fazer a regra de três com os dados do prazo: 
360 dias = 1 ano 
218 dias = x 
Multiplicando cruzado: 360x = 218 e x = 218/360. 
Então n = 218/360 ano e agora i e n estão na mesma unidade de tempo. 
J = 7.000,00 × 0,35 × 218/360 = 1.483,61 
S = P + J = 7.000,00 + 1.483,61 = 8.483,61 
O montante também pode ser calculado assim: 
S = P(1 + in) = 7.000,00(1 + 0,35 × 218/360) = 8.483,61 
Resposta: J = 1.483,61 e S = 8.483,61. 
As questões de juros simples podem ser resolvidas com as operações 
básicas da calculadora HP12C, como indicadas a seguir. 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
7000 ENTER 7.000 
0,35 ENTER 0,35 
218 ENTER 218 Conversão da unidade de tempo de 
dias para ano. 360 ÷ 0,61 
× × 1.483,61 Valor dos juros (J = Pin) 
7000 + 8.483,61 Valor do montante (S = P+J) 
Representação gráfica 
P = 1.000,00, i = 2% a.m. = 0,02 a.m., S = 1.000(1+0,02n) 
 
980,00
1.000,00
1.020,00
1.040,00
1.060,00
1.080,00
1.100,00
0 1 2 3 4 5
M
o
n
ta
n
te
 
mês 
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Taxas proporcionais 
O valor dos juros é proporcionalapenas ao tempo. Variam linearmente. 
Exemplos: 
a) A taxa proporcional de 2% ao mês para 10 meses é 20%. 
b) A taxa proporcional de 2% ao mês é 24% para 1 ano. 
c) A taxa de 24% ao ano, para 3 meses, é 6% e 2% para 1 mês. 
Calcule por regra de três. 
1 mês = 2% 
10 meses = x 
Multiplicando cruzado: x = 20%. 
Para um período de 10 meses a taxa de juros será 20%. 
Pelo mesmo raciocínio, para um período de 1 ano a taxa de juros será 24%. 
Conclusão: a taxa de juros de 1% ao mês (1% a.m.) é equivalente a taxa de 
24% ao ano (24% a.a.). 
Ajustes nas taxas de juros 
Devem ser feitos em situações em que o período de investimento, o prazo, é 
apenas uma parte, uma fração, do período expresso na taxa de juros. Neste caso as 
unidades de tempo da taxa de juros e do prazo serão diferentes e você pode ajustar 
as taxas para fazer os cálculos. 
Voltando ao exemplo anterior: calcular o valor dos juros e do montante de um 
capital de $7.000,00 aplicado a uma taxa de 35% ao ano, por 218 dias. Observa-se 
que a taxa é anual, mas o período de investimento foi de apenas 218 dias, período 
menor que um ano. 
Este exemplo já foi resolvido com a conversão da unidade de tempo do prazo, 
de dias para ano. Encontramos que 𝑛 =
218
360
𝑎𝑛𝑜, confirmando que o período de 
investimento é apenas uma fração do período informado na taxa de juros (35% ao 
ano). Agora vamos resolver ajustando a taxa anual para taxa diária para ficar com a 
mesma unidade de tempo do prazo. Montando a regra de três: 
1 ano = 0,35 
1 dia = x 
Mas como 1 ano = 360 dias 
360 dias = 0,35 
1 dia = x 
E a taxa proporcional será 0,35/360 ao dia (a.d.). Substituindo na fórmula: 
J = Pin = 7.000 x (0,35/360) x 218 = 1.483,61. 
Para resolver as questões de juros simples com a calculadora HP12C, basta 
usar as operações básicas. 
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Resolução com as operações básicas da HP 12C. 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
7000 ENTER 7.000 
0,35 ENTER 0,35 Conversão da taxa de juros, 
de anual para diária. 360 ÷ ENTER 0,000972 
218 × × 1.483,61 Valor dos juros (J = Pin) 
ENTER 1.483,61 
7000 + 8.483,61 Valor do montante (S = P+J) 
 
Alguns exemplos de ajustes: 
Situação 1: Taxa mensal de juros e prazo em dias: dividir a taxa por 30 (juros 
comerciais). A fórmula dos juros ficaria 𝐽 = 𝑃 × (
𝑖
30
) × 𝑛. 
Situação 2: Taxa anual de juros e prazo em meses: dividir a taxa por 12 (juros 
comerciais). A fórmula dos juros ficaria 𝐽 = 𝑃 × (
𝑖
12
) × 𝑛. 
Situação 3: Taxa anual de juros e prazo em dias: dividir a taxa por 360 (juros 
comercial) ou por 365 (juro exato). As fórmulas dos juros seriam 𝐽 = 𝑃 × (
𝑖
360
) × 𝑛 
para juro comercial e 𝐽 = 𝑃 × (
𝑖
365
) × 𝑛 para juro exato. 
Como já mostrado essas conversões podem ser feitas com o auxílio de uma 
regra de três. 
Este exemplo também nos mostra que é possível resolver exercícios ou 
problemas de matemática financeira de mais de uma forma diferente. 
Exemplo: Qual o rendimento de $10.000 aplicados por um mês à taxa simples 
de 36% a.a.? 
P = 10.000; n = 1 mês; i = 36% a.a. = 0,36 a.a.; J = ? 
𝐽 = 10.000 × (
0,36
12
) × 1 = 300. 
Exemplo: Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à 
taxa de 3,05% a.m. 
Temos n = 22 dias; i = 3,05% a.m. = 0,0305 a.m.; 𝑖22 =? 
𝑖22 = (
0,0305
30
) × 22 = 0,0224 = 2,24% 𝑒𝑚 22 𝑑𝑖𝑎𝑠 
Exemplo: Calcular o rendimento de $12.000 aplicado durante oito meses e 
três dias à taxa de juros simples de 40% a.a. 
P = 12.000; n = 8 meses e 3, i = 40% a.a. = 0,40 a.a.; J = ? 
Para ano comercial n = 8 × 30 + 3 = 243 dias. 
O cálculo dos juros simples na HP12C só pode ser feito se a taxa de juros 
for anual e o prazo em dias. A calculadora converte internamente para a mesma 
unidade de tempo. 
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Juros Simples na HP12C (INT). 
Teclas que serão utilizadas para fazer os cálculos de juros simples: 
CHS – troca o sinal do número. 
PV – introduz o valor principal. 
i – taxa de juros anual. 
n – prazo em dias. 
INT – capitalização simples (apertar a tecla amarela f e a tecla i ou INT). 
A calculadora utiliza o conceito de fluxo de caixa e é preciso indicar qual valor 
está “saindo da caixa” e qual está “entrando na caixa”. Os valores que estão “saindo” 
serão indicados por números negativos e os que “entram” por números positivos. 
Exemplo: Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de $7.000,00 
aplicado a uma taxa de 35% ao ano, por 218 dias. 
Neste exercício podemos considerar que o capital aplicado de $7.000,00 saiu 
da conta do cliente do banco. Então temos que incluir na calculadora um valor 
negativo (– 7.000). A tecla CHS troca o sinal do número que aparece no visor. 
Resolução: 
J = ?; S = ?; P = 7.000,00; i = 35% ao ano (a.a.); n = 218 dias. 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 
Limpar os registros da memória (inclusive os 
financeiros). 
7000 CHS – 7.000 Trocou o sinal do número digitado. 
PV – 7.000 Indica que é o valor do capital ou valor principal. 
35 i 35 Indicação da taxa de juros (pode ser percentual). 
218 n 218 Indicação do prazo. 
f i 1.483,61 Juros do período (rendimento do cliente). 
+ 8.483,61 Valor do montante (saldo na conta do cliente). 
 
O exercício também pode ser resolvido considerando que o capital aplicado 
de $7.000,00 “entrou na aplicação do banco” e não será preciso trocar o sinal do 
valor (resolver com valor positivo). 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
7000 PV 7.000 Indica que é o valor do capital ou valor principal. 
35 i 35 Indicação da taxa de juros (pode ser percentual). 
218 n 218 Indicação do prazo. 
f i – 1.483,61 Juros do período (rendimento do cliente). 
+ – 8.483,61 Valor do montante (saldo na conta do cliente). 
 
Observe que os valores dos juros e do montante estão negativos 
(consequência do conceito de fluxo de caixa que será apresentado a seguir com 
mais detalhes). Podemos entender que são valores que estão “saindo da aplicação 
do banco” para entrar na conta do cliente. 
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Os cálculos de juros simples utilizando a calculadora HP12C são feitos, 
praticamente todos, com as operações aritméticas básicas, pois a calculadora 
oferece apenas uma alternativa de cálculo. 
Valor presente ou valor atual (P) 
É o valor do capital que aplicado à uma taxa em um prazo determinado, gera 
um montante. 
Como já vimos, o montante S é dado por S = P(1 + in). E o valor presente P 
será 
𝑃 =
𝑆
1 + 𝑖𝑛
 
Calculamos o valor presente sabendo a taxa, o prazo e o valor futuro, então 
podemos dizer que no cálculo do valor presente estamos “voltando no tempo”. 
Exemplo: Uma aplicação de 12 meses, à uma taxa de 3% ao mês gerou um 
montante de $10.880,00. Calcular o valor presente. 
P = ?, S = 10.880,00, i = 3% ao mês = 0,03 a.m. 
𝑃 =
10.880,00
1 + 0,03 × 12
= 8.000,00 
O valor presente é igual a $ 8.000,00. 
Assim, um capital de $8.000,00 aplicado a 3% ao mês, durante 12 meses (1 
ano) no regime de capitalização simples, gera um montante (valor futuro) de $ 
10.880,00. 
Como se pode ver para o cálculo do valor presente sabíamos o valor futuro 
($10.880,00), então é como se tivéssemos “voltado no tempo” 12 meses. 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
10880 ENTER 10.880,00 Valor futuro 
0,03 ENTER 0,03 
Cálculo do 
denominador. 
12 × 0,36 
1 + 1,36 
÷ 8.000,00 Valor presente 
 
Diagrama de fluxo de caixa 
Mostra graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O 
tempo é o eixo horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para a 
análise. 
Convenção: 
a) Entradas ou recebimentos ou receitas: são representadas por setas 
verticais apontadas para cima. 
b) Saídas ou pagamentos: são representadas por setas verticaisapontadas para baixo. 
Observação: Valor Presente é o valor do capital na data zero. 
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Equivalência de capitais 
Dois capitais são equivalentes quando têm o mesmo valor em uma data 
específica de avaliação (data focal). 
Suponha os capitais do diagrama de fluxo de caixa abaixo. 
 
Estabelecendo a data focal igual a 2 e a taxa de 10% a.a., vamos mostrar que 
os capitais indicados nas datas 1 e 5 são equivalentes. 
Capital da data 1 (igual a 5.000,00) 
P2 = 5.000(1 + 0,1) = 5.500. 
Teclas Visor 
f REG 
5000 ENTER 5.000,00 
0,1 ENTER 0,1 
1 ×× 500,00 
5000 + 5.500,00 
Na data 2 teremos um capital de 5.500,00. 
Capital da data 5 (igual a 7.150,00) 
P2 = 7.150/(1 + 0,1×3) = 5.500,00. 
Teclas Visor 
f REG 
7150 ENTER 7.150,00 
0,1 ENTER 0,1 
3 × 0,3 
1 + 1,3 
÷ 5.500,00 
Assim verificamos a equivalência entre os capitais da data 1(5.000,00) e data 
5 (7.150,00) na data 2 (5.500,00). 
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Observação: No regime de capitalização simples, capitais equivalentes em 
determinada época não serão em outra. 
Aplicação 
Já vimos que a aplicação dos juros simples é limitada. É mais comum em 
contextos não inflacionário e de curtíssimo prazo. 
Uma aplicação muito comum é a dos juros de mora. Juros de mora são 
cobrados por atraso de pagamento. Esta cobrança é permitida por lei para evitar 
calotes aos credores. É uma indenização pelo atraso da dívida. 
Exemplo: Boleto atrasado 
Suponha um boleto de $100,00 com cinco dias de atraso. Com juros de mora 
de 1% ao mês, os juros serão de 
J = 100,00 × 0,01/30 × 5 = 0,17 
Valor do boleto: 
S = P + J = 100,00 + 0,16 = 100,17 ou 
S = P(1 + in) = 100(1 + 0,01/30×5) = 100,17 
Em um boleto atrasado, outras taxas são cobradas além do juro de mora 
como, por exemplo, a multa por atraso. A taxa máxima de multa por atraso é de 2% 
sobre o valor do boleto (Código de Defesa do consumidor). Assim, o valor do boleto 
atrasado do nosso exemplo será: 
Multa = 100,00  0,02 = 2,00 
Valor do boleto = 102,16 
Exercícios resolvidos. 
1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de $10.000,00, 
pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 
P = 10.000,00; n = 5 meses; i = 3% ao mês (0,03 a.m.). J = ? 
Observe que i e n estão na mesma unidade de tempo. 
J = Pin = 10.000 × 5 × 0,03 = 1.500,00. 
Teclas Visor 
f REG 
10000 ENTER 10.000 
5 ENTER 5 
0,03 × × 1.500 
Resposta: Os juros do empréstimo são J = $1.500,00. 
 
2) Um capital de $ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de 
$7.875,00. Determinar a taxa correspondente. 
P = 25.000,00, n = 7 meses, J = 7.875,00, i = ? 
J = Pin → 7.875,00 = 25.000,00 × i × 7 → i = 7.875,00/(25.000,00 × 7) 
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Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
7875 ENTER 7.875,00 
25000 ENTER 25.000,00 Estas operações 
calculam o denominador. 7 × 175.000,00 
÷ 0,045 
Resposta: A taxa da aplicação é i = 0,045 a.m. = 4,5% a.m. 
 
3) Uma aplicação de 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento 
de 8.250,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 
P = 50.000,00; n = 180 dias; J = 8.250,00; i = ? 
8.250,00 = 50.000,00 × i × 180 → i = 8.250,00/(50.000,00 × 180) 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
8250 ENTER 8.250,00 
50000 ENTER 50.000,00 Estas operações 
calculam o denominador. 180 × 9.000.000,00 
÷ 0,001 
Taxa da aplicação: i = 0,001 a.d. = 0,1% a.d. 
Como 1 ano = 360 dias e como as taxas são proporcionais, a taxa anual 
correspondente será 0,001 × 360. 
Teclas Visor 
8250 ENTER 8.250,00 
50000 ENTER 50.000,00 
180 × 9.000.000,00 
÷ 0,001 
ENTER 0,001 
360 × 0,330 
Resposta: A taxa da aplicação é i = 0,33 a.a. = 33% a.a. 
 
4) Sabendo-se que os juros de $ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de 
$7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. 
Resolução: 
J = 6.000,00; P = 7.500,00; i = 8% ao trimestre = 0,08 a.t.; n = ? 
6.000 = 7.500 × 0,08 × n → n = 6.000/(7.500 × 0,08) 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
6000 ENTER 6.000 
7500 ENTER 7.500 Estas operações 
calculam o denominador. 0,08 × 600 
÷ 10 
Resposta: O prazo da aplicação foi n = 10 trimestres = 2,5 anos. 
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5) Qual o capital que, à taxa de 4% ao mês, rende juros de $9.000,00 em um 
ano? 
P = ?; J = 9.000,00; i = 4% a.m. = 0,04 a.m.; n = 1 ano. 
Observe que i e n estão com unidades de tempo diferentes, então é preciso 
converter uma das duas. Vamos resolver com n = 1 ano = 12 meses. 
9.000 = P × 0,04 × 12 → P = 9.000/(0,04 × 12) 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
9000 ENTER 9.000 
0,04 ENTER 0,04 Estas operações 
calculam o denominador. 12 × 0,48 
÷ 18.750,00 
Resposta: Capital de P = $18.750,00. 
 
6) Calcular o montante (ou valor futuro) da aplicação de um capital de 
$8.000,00 pelo prazo de 12 meses, à taxa de 3% ao mês. 
P = 8.000,00; n = 12 m; i = 3% a.m. = 0,03 a.m. 
S = P(1 + in) → S = 8.000(1 + 0,03 × 12) 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
0,03 ENTER 0,03 Estas operações 
calculam o que está 
entre parênteses. 
12 × ENTER 0,36 
1 + ENTER 1,36 
8000 × 10.880,00 
Resposta: O valor futuro será S = 10.880,00. 
 
7) Determinar o valor presente de um título cujo valor de resgate é de 
$60.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e que faltam quatro 
meses para o seu vencimento. 
S = 60.000,00; n = 4 meses; i = 5% ao mês = 0,05 a.m.; P = ? 
𝑃 =
𝑆
1 + 𝑖𝑛
= 
60.000
1 + 0,05(4)
 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
60000 ENTER 60.000,00 
0,05 ENTER 0,05 
Estas operações 
calculam o denominador. 
4 × ENTER 0,2 
1 + 1,2 
÷ 50.000,00 
Resposta: O valor presente é $50.000,00. 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 12 
 
8) Um empréstimo de $40.000,00 deverá ser quitado por $80.000,00 no final 
de 12 meses. Determinar as taxas mensal e anual cobradas nessa operação. 
S = 80.000,00; P = 40.000,00; n = 12 meses; i = ? 
Como S = J + P, J = S – P = 80.000 – 40.000 = 40.000. 
J = Pin → 40.000 = 40.000 × i × 12 
Simplificando 1 = 12 × i → i = 1/12 = 0,0833 a.m. ou i = 0,0833 × 100 = 8,33% 
a.m. 
Taxa mensal = 8,33% 
Taxa anual = 12 × 1/12 = 1,00 = 100%. 
 
9) Calcular o rendimento de $23.000 aplicado por 14 dias à taxa simples de 
2,5% a.m. 
P = 23.000; i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.; n = 14 dias; J = ? 
J = Pin, mas primeiro devemos deixar i e n com as mesmas unidades de 
tempo. 
Resolução convertendo a taxa: i = 0,025 a.m. = 0,025/30 a.d. 
J = 23.000 × (0,025/30) × 14 
Teclas Visor Comentários 
23000 ENTER 23.000,00 Incluindo o capital. 
0,025 ENTER 0,025 Convertendo a taxa 
para taxa diária. 30 ÷ ENTER 0,000833 
14 ×× 268,33 Valor dos juros. 
Resposta: O rendimento da aplicação foi J = $268,33. 
Resolução convertendo o prazo: n = 14/30 mês 
J = 23.000 × 0,025 × (14/30) 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
23000 ENTER 23.000,00 Incluindo o capital. 
0,025 ENTER 0,025 Incluindo a taxa. 
14 ENTER 14 Convertendo o prazo 
para mês. 30 ÷ 0,000833 
×× 268,33 Valor dos juros. 
Resposta: O rendimento da aplicação foi J = $268,33. 
 
10) Um capital de $1.000 aplicado em 12 de fevereiro de 2001 a juros simples 
de 0,2% ao dia foi resgatado no dia 14 de julho do mesmo ano. Determinar o valor 
de resgate. 
P = 1.000, i = 0,2%a.d. = 0,002 a.d., n = ?; S = ? 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 13 
 
Primeiro calcular o n. Verifique se a calculadora está configurada para o 
formatode data do Brasil. Configure o visor para seis casas decimais (f 6) para que 
a data sempre seja mostrada completa no visor. 
Teclas Visor 
f REG 
12.022001 ENTER 12.022001 
14.072001 14.072001 
g ΔDYS 152 
Dias entre as datas informadas: 152 (n = 152). 
Continuando 
Teclas Visor 
f REG 
12.022001 ENTER 12.022001 
14.072001 14.072001 
g ΔDYS 152 
ENTER 152 
1000 ENTER 1.000 
0,002 ×× 304 
1000 + 1.304,00 
Resposta: O valor do resgate foi de 1.304,00. 
Exercícios propostos 
1) Um empréstimo de 23.000,00 é liquidado por 29.200,00 no final de 152 
dias. Calcular a taxa mensal de juros. 
Resposta: i = 5,32% a.m. 
2) Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de $20.000,00, 
feita a uma taxa de 4,94% ao mês, pelo prazo de 76 dias. 
Resposta: J = 2.502,93 e S = 22.502,93 
3) Um capital aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36% ao ano rende 
$72.000,00 de juros. Determinar o montante. 
Resposta: S = 112.000,00 
4) Em que prazo uma aplicação de $35.000,00 pode gerar um montante de 
$53.375,00, considerando-se uma taxa de 30% ao ano? 
Resposta: n = 1,75 ano ou 21 meses. 
5) Determinar quanto renderá um capital de 60.000,00 aplicado à taxa de 24% 
ao ano durante sete meses. 
Resposta: 8.400,00 
6) Um capital de 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de 
11.200,00. Determinar a taxa anual. 
Resposta: 60% a.a. 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 14 
 
7) Durante 155 dias certo capital gerou um montante de 64.200,00. Sabendo-
se que a taxa de juros é de 4% ao mês, determinar o valor do capital aplicado. 
Resposta: 53.204,42 
8) Qual o valor dos juros contidos no montante de 100.000,00, resultante da 
aplicação de certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses? 
Resposta: 31.271,48 
9) Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente 
a um empréstimo de 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao 
semestre? 
Resposta: 156.500,00 
10) Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra seu valor? 
Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses. 
11) A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros 
igual a ¼ do seu valor? 
Resposta: 2,5% ao mês. 
12) Um capital emprestado gerou $96.720,00 de juros. Sabendo-se que o 
prazo da aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao mês, calcular o valor 
do montante. 
Resposta: $220.720,00. 
13) A aplicação de $35.600,00 gerou um montante de $58.028,00 no final de 
nove meses. Calcular a taxa anual. 
Resposta: 84% ao ano. 
14) Um título de renda prefixada foi adquirido por $80.000,00 e resgatado por 
$117.760,00 no final de oito meses. Calcular a taxa mensal de juros. 
Resposta: 5,9% ao mês. 
15) Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: $2.000,00 daqui a 
três meses e $2.500,00 daqui a oito meses. Ela quer trocar esses débitos por dois 
pagamentos iguais, um para 10 meses e outro para 15 meses. Calcular o valor 
desses pagamentos considerando a taxa de juros simples de 10% a.m. 
Resposta: $3.840,00 
16) Uma pessoa deve pagar $200 daqui a dois meses e $400 daqui a cinco 
meses. A juros simples de 5% a.a., determinar o valor de um pagamento único a ser 
efetuado daqui a três meses que liquide a dívida. 
Resposta: $573,64 
17) Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25% a.a., 
durante 4 anos; o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% 
a.a., durante 2 anos e 4 meses. Juntos renderam um juro de $27.591,80. Sabendo 
que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do segundo, o 
valor do terceiro capital é de? 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 15 
 
Resposta:$30.210,00. 
18) Um artigo de preço à vista igual a R$700,00 pode ser adquirido com 
entrada de 20% mais um pagamento para 45 dias. Se o vendedor cobra juros 
simples de 8% ao mês, qual o valor do pagamento devido? 
Resposta: R$627,20. 
19) Uma loja vende um gravador por R$1.500,00 à vista. A prazo, vende por 
R$ 1.800,00, sendo R$200,00 de entrada e o restante após uma ano. Qual é a taxa 
de juros cobrada? 
Resposta: 23,07% a.a. 
20) Uma empresa aplicou $2.000,00 no dia 15/07/1991 e resgatou essa 
aplicação no dia 21/07/1991 por $2.018,00. Qual foi a taxa mensal de rendimentos 
proporcionada por essa operação? 
Resposta: 4,5% ao mês. 
Método Hamburguês 
Maior utilização no cheque especial. 
Cálculo simples e direto dos juros produzidos por capitais diferentes e 
períodos distintos. 
Método utilizado para o cálculo dos juros sobre cada saldo devedor dentro do 
mês para o cheque especial. 
Exemplo (Gimenes, 2009): 
Você possui conta corrente no Banco Cheap Count, que cobra 11% ao mês 
de juros no cheque especial. Observe o extrato. 
Data Histórico Valor D/C Saldo D/C 
No. dias 
saldo 
devedor 
No. dias × 
saldo 
devedor 
1/7/2005 Transporte 1.200,00 1.200,00 C 
5/7/2005 Saque - 1.000,00 200,00 C 
8/07/2005 Cheque - 400,00 - 200,00 D 0 0,00 
10/07/2005 Deb. Auto. - 320,00 - 520,00 D 2 - 400,00 
16/07/2005 Depósito $ 600,00 80,00 C 6 - 3120,00 
19/07/2005 Saque - 700,00 - 620,00 D 0 0,00 
22/07/2005 Cheque - 230,00 - 850,00 D 3 - 1.860,00 
25/07/2005 Depósito $ 100,00 - 750,00 D 3 - 2.550,00 
27/07/2005 Juros - 300,00 - 1.050,00 D 2 - 1.500,00 
31/07/2005 1.050,00 0.00 4 - 4.200,00 
 Total - 13.630,00 
Cálculos: 
Entre 8/07/2005 e 10/07/205: 2 dias com a conta devedora em 200,00. 
2 × 200,00 = 400,00 (- 400,00) 
Juros: J1 = 200,00 × 0,11/30 × 2 = 1,47 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 16 
 
Entre 10/07/2005 e 16/07/2005: 6 dias com a conta devedora em 520,00. 
6 × 520 = 3.120,00 (- 3.120,00) 
Juros: J2 = 520,00 × 0,11/30 × 6 = 11,44 
Entre 19/07/2005 e 22/07/2005: 3 dias com a conta devedora em 620,00. 
Juros: J3 = 620,00 × 0,11/30 × 3 = 6,82 
Entre 22/07/2005 e 25/07/2005: 3 dias com a conta devedora em 850,00. 
Juros: J4 = 850,00 × 0,11/30 × 3 = 9,35. 
Entre 25/07/2005 e 27/07/2005: 2 dias com a conta devedora em 750,00. 
Juros: J5 = 750,00 × 0,11/30 × 5 = 5,50. 
Entre 27/07/2005 e 31/07/2005: 4 dias com a conta devedora em 1.050,00. 
Juros: J6 = 1.050,00 × 0,11/30 × 4 = 15,40. 
Total de Juros: Jt = 1,47 + 11,44 + 6,82 + 9,35 + 5,50 + 15,40 = 49,98. 
Outra maneira de calcular o total de juros: 
Jt = 0,11/30 × 13.630,00 = 49,98. 
O total de juros cobrado pelo banco foi de $49,98. 
Exercícios propostos 
1) Uma empresa, no seu extrato de conta corrente bancária, referente ao 1º 
semestre de determinado ano bissexto, apresentou a movimentação transcrita a 
seguir. Admitindo-se por hipótese que o banco em que essa empresa mantinha 
conta, pagava semestralmente, juros à razão de 12% ao ano sobre os saldos 
credores, calcular o valor dos juros creditados a essa empresa em 01-07, referente 
ao semestre findo em 30-06. 
DATA HISTÓRICO CRÉDITO DÉBITO SALDO 
14-01 Depósito 50.000,00 --- 50.000,00 
19-01 Depósito 100.000,00 --- 150.000,00 
10-02 Cheque --- 35.000,00 115.000,00 
29-02 Aviso de débito --- 5.000,00 110.000,00 
13-03 Depósito 11.500,00 --- 121.500,00 
08-04 Cheque --- 118.500,00 3.000,00 
20-05 Depósito 37.250,00 --- 40.250,00 
21-06 Cheque --- 29.600,00 10.650,00 
 
Resposta: $3.944,62 
 
2) Um cliente do “Banco de Crédito S.A.” possui um “cheque especial” com 
limite fixado em $30.000,00. Sabendo-se que esse banco cobra juros de 4% ao mês 
sobre os saldos devedores, debitados mensalmente, e que a movimentação da 
conta desse cliente, durante o mês de abril, é a transcrita a seguir, calcular o valor 
dos juros debitados na conta do cliente, no início do mês de maio. 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 17 
 
DATA HISTÓRICO CRÉDITO DÉBITO SALDO (C/D) 
01-04 Transporte --- --- 16.848,50-C 
02-04 Cheque --- 15.000,00 1.848,50-C 
04-04 Cheque --- 20.000,00 18.151,50-D09-04 Conta de luz --- 750,50 18.902,00-D 
17-04 Depósito 12.000,00 --- 6.902,00-D 
22-04 Cheque --- 15.443,00 22.345,00-D 
25-04 Depósito 86.780,00 --- 64.435,00-C 
30-04 Cheque --- 3.800,00 60.635,00-C 
C = credor. 
D = devedor. 
Resposta: $458,02. 
3) O “Banco Sucupira S.A.” cobra 4,5% ao mês de juros sobre os saldos 
devedores apresentados pelas “contas garantidas”. Sabendo-se que os juros são 
debitados trimestralmente, calcular o valor dos juros a serem cobrados de uma 
emprese com limite de $ 300.000,00, que apresentou a seguinte movimentação em 
sua conta, no 2º trimestre. 
DATA HISTÓRICO CRÉDITO DÉBITO SALDO (C/D) 
31-03 Transporte --- --- 150.000,00-D 
01-04 Juros + IOF --- 10.705,00 160.705,00-D 
10-04 Cheque --- 70.500,00 231.205,00-D 
18-04 Depósito 185.000,00 --- 46.205,00-D 
05-05 Cobrança 102.350,00 --- 56.145,00-C 
28-05 Depósito 16.380,00 --- 72.525,00-C 
30-05 Cheque --- 177.300,00 104.775,00-D 
12-06 Cobrança 56.800,00 --- 47.975,00-D 
26-06 Cobrança 132.970,00 --- 84.995,00-C 
Resposta: $9.397,79. 
Desconto bancário ou comercial 
Desconto bancário ou desconto simples. 
Um desconto ocorre quando um título (de valor nominal N) é resgatado antes 
do vencimento em um agente financeiro. 
É utilizado no Brasil de maneira generalizada nas operações de “desconto de 
duplicatas” realizadas pelos bancos. 
Títulos mais comuns: Duplicatas, nota promissória e letras de câmbio. 
Desconto: D = N  d  n 
D = valor do desconto comercial. 
N = valor nominal do título. 
d = taxa de juros. 
n = tempo. 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 18 
 
Observação: d e n devem estar na mesma unidade de tempo. 
Exemplo: Uma nota promissória de $ 1.000,00 com vencimento em 3 meses 
será descontada hoje em um banco. Se a taxa de juros é de 5% ao mês, qual o valor 
do desconto e qual o valor recebido? 
D = ?; N = 1.000,00; d = 5% a.m. = 0,05 a.m., n = 3 meses. 
D = 1.000 × 0,05 × 3 = 150,00. 
Então o desconto é de 150,00 e o valor recebido (VR) será VR = N – D. 
VR = 1.000,00 – 150,00 = 850,00. 
Teclas Visor Comentários 
f REG . Limpar a memória 
1000 ENTER 1.000,00 Incluindo o valor nominal do título. 
0,05 ENTER 0,05 Incluindo a taxa de juros. 
3 ×× 150,00 Incluindo o tempo e calculando o desconto. 
CHS ENTER - 150,00 Trocou de sinal. 
1000 + 850,00 Valor recebido. 
Resposta: D = 150,00 e VR = 850,00. 
Concluindo: o portador da nota promissória não vai esperar 3 meses para 
receber o que tem direito, mas receberá um pouco menos, com um desconto por 
receber adiantado. 
O valor recebido também pode ser calculado por: VR = N(1 – dn). 
VR = 1.000(1 – 0,05 × 3) = 850,00. 
VR = N(1 – dn) = 1.000(1 – 0,05 × 3) = 850,00. 
Teclas Visor Comentários 
f REG . Limpar a memória 
1 ENTER 1,00 
Calculou o que está entre 
parênteses. 
0,05 ENTER 0,05 
3 × 0,15 
– 0,850 
1000 × 850,00 Valor recebido. 
D = N – VR = 1.000,00 – 850,00 = 150,00 (desconto) 
Se a taxa de juros for anual e o prazo em dias, podemos resolver com a 
HP12C ativando o INT. 
Exemplo: Qual o desconto bancário de uma duplicata de $55.000,00, 
resgatada 7 meses e 15 dias antes do vencimento, à taxa de 18% a.a.? 
D = ?, i = 18%a.a. = 0,18/360 a.d.; n = 7 meses e 15 dias = 7 × 30 + 15 = 225 
dias. 
D = 55.000,00 × 0,18/360 × 225 = 6.187,50 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 19 
 
 
Teclas Visor Comentários 
f REG . Limpar a memória 
55000 CHS PV - 55.000,00 
Incluindo o valor da duplicata e 
trocando o sinal (fluxo de caixa). 
18 i 18,00 Incluindo a taxa. 
225 n 225,00 Incluindo o tempo. 
f i 6.187,50 Desconto 
 
Com as operações básicas 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
55000 ENTER 55.000,00 Valor da duplicata. 
0,18 ENTER 0,18 
Convertendo a taxa para taxa diária. 
360 ÷ ENTER 0,0005 
225 ×× 6.187,50 Tempo e cálculo do desconto 
Exercícios resolvidos 
1) Qual o valor do desconto simples de um título de $2.000,00 com 
vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? 
N = 2.000,00; i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.; n = 90 dias = 3 meses. 
D = 2.000,00 × 0,025 × 3 = 150,00. Resposta: $150,00 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
2000 ENTER 2.000,00 Valor do título. 
0,025 ENTER 0,025 Taxa. 
3×× 150,00 Prazo e cálculo do desconto. 
Resposta: O desconto é de $150,00. 
 
2) Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação de 120 dias, cujo 
valor de resgate é de $1.000,00 e cujo valor atual é de $880,00? 
N = 1.000,00; n = 120 dias = 4 meses (facilita a resolução, pois o problema 
pede a taxa mensal), VR = 880,00, d = ? 
D = N – VR = 1.000,00 – 880,00 = 120,00 → D = 120,00 
120,00 = 1.000,00 × d × 4 = 4.000d → d = 120/4.000 = 0,03 = 3% a.m. 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
1000 ENTER 1.000,00 Valor do título (valor de face) 
880 – 120,00 Valor recebido e cálculo do desconto. 
ENTER 120,00 Desconto. 
1000 ENTER 1.000 Valor do título. 
4 × ÷ 0,03 Prazo e cálculo da taxa mensal. 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 20 
 
Resposta: Taxa de 3% a.m. 
Outra resolução possível seria converter a taxa no final do problema. 
120,00 = 1.000,00 × d × 120 = 120.000d → d = 120/120.000 = 0,001 a.d. 
Como nos juros simples temos taxas proporcionais, a taxa mensal será d = 
0,001 × 30 = 0,03 a.m. = 3% a.m. 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
1000 ENTER 1.000,00 Valor do título (valor de face) 
880 – 120,00 Valor recebido e cálculo do desconto. 
ENTER 120,00 Desconto como numerador. 
1000 ENTER 1.000 
120 × ÷ 0,001 Taxa diária. 
30 × 0,03 Taxa mensal. 
100 × 3,00 Taxa em percentual 
Resposta: Taxa de 3% a.m. 
 
3) Uma duplicata no valor de $6.800,00 é descontada por um banco, gerando 
um crédito de $6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo 
banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata. 
N = 6.800,00; VR = 6.000,00; d = 3,2% a.m. = 0,032 a.m.; n = ? 
D = N – VR = 6.800 – 6.000 = 800,00 → D = 800,00. 
800,00 = 6.800,00 × 0,032 × n = 217,60 → n = 800,00/217,60 = 3,676 meses 
ou n = 3,676 × 30 = 110 dias. Resposta: n = 110 dias. 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória. 
6800 ENTER 6.800,00 Valor do título (valor de face) 
6000 – 800,00 Valor recebido e cálculo do desconto. 
ENTER Desconto como numerador. 
6800 ENTER 6.800,00 
0,032 × ÷ 3,67647 Prazo em meses. 
30 × 110,294 Prazo em dias. 
Resposta: O prazo de vencimento da duplicata é de 110 dias. 
 
4) Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente 
ao desconto de uma duplicata no valor de $34.000,00, com prazo de 41 dias, 
sabendo-se que o Banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 
4,7% ao mês. 
VR = ?; N = 34.000,00; d = 4,7% a.m. = 0,047 a.m.; n = 41 dias = 41/30 
meses. 
VR = N(1 – dn) = 34.000( 1 – 0,047 × 41/30) = 31.816,07. 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 21 
 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória 
1 ENTER 1,00 
Calculou o que está entre 
parênteses. 
0,0047 ENTER 0,047 
41 ENTER 
30 ÷× 
– 
34000 × 31.816, 066 Valor recebido. 
Resposta: O valor creditado na conta do cliente é de $ 31.816,07. 
 
5) O desconto de uma duplicata gerou um crédito de $70.190,00 na conta de 
uma empresa. Sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até 
seu vencimento e que o Banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% ao mês nessa 
operação, calcular o valor da duplicata. 
VR = 70.190,00; n = 37 dias = 37/30 meses; d = 5,2% a.m. = 0,052 a.m.; N = ? 
O prazo foi convertido em meses para ficar com a mesma unidade de tempo 
da taxa. 
VR = N(1 – dn) → 70.190,00 = N(1 – 0,052 × 37/30) → 
→ N = 70.190/(1 – 0,052 × 37/30) = 75.000,00. 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória 
70190 STO 1 70.190,00 
Valor recebido(numerador). 
Armazenado no registrador 1. 
1 ENTER 1,00 
Cálculo do denominador. 
0,052 ENTER 0,052 
37 ENTER 37,00 
30÷× – 0,935867 
STO 2 0,935867 
Denominador armazenado no 
registrador 2. 
RCL 1 70.190,00 Recuperação do valor do registrador 1. 
RCL 2 0,935867 Recuperação do valor do registrador 2. 
÷ 75.000,00 Valor da duplicata 
Resposta: O valor da duplicata é $75.000,00. 
Também é possível resolver o exercício convertendo a taxa para taxa diária 
(basta dividir por 30 para obter a taxa proporcional) e ficaria com a mesma unidade 
de tempo do prazo: d = 0,052/30 a.d. e n = 37 dias. 
VR = N(1 – dn) → 70.190,00 = N(1 – 0,052/30 × 37) → 
→ N = 70.190/(1 – 0,052/30 × 37) = 75.000,00. 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 22 
 
 
Teclas Visor Comentários 
f REG Limpar a memória 
70190 STO 1 70.190,00 
Valor recebido (numerador). 
Armazenado no registrador 1. 
1 ENTER 1,00 
Cálculo do denominador. 
0,052 ENTER 0,052 
30 ÷ENTER 0,001733 
37× – 0,935867 
STO 2 0,935867 
Denominador armazenado no 
registrador 2. 
RCL 1 70.190,00 Recuperação do valor do registrador 1. 
RCL 2 0,935867 Recuperação do valor do registrador 2. 
÷ 75.000,00 Valor da duplicata 
Resposta: O valor da duplicata é $75.000,00. 
6) Desconto de duplicata. Uma empresa deseja descontar uma duplicata de 
valor nominal $10.000,00 com vencimento previsto para 38 dias. Sabendo-se que o 
banco realiza tais operações cobrando uma taxa de desconto de 5% ao mês, IOF à 
alíquota de 0,0041% ao dia e tarifa de cobrança de $6,00, calcule: 
a) O valor dos juros cobrados antecipadamente (Desconto); 
b) O valor do Imposto Sobre Operações Financeiras (IOF); 
c) O valor líquido creditado para a conta corrente da empresa; 
Resolução: 
N = 10.000,00; d = 5% a.m. = 0,05 a.m.; n 38 dias = 38/30 meses (para ficar 
na mesma unidade de tempo da taxa). 
Cálculo dos juros cobrados antecipadamente (desconto): 
D = 10.000,00 × 0,05 × 38/30 = 633,33. 
Resposta da letra a: O desconto será de $633,33. 
Valor do IOF (sobre o valor recebido). 
IOF = VR × alíquota × n = (N – D) × alíquota IOF × n 
VR = N – D = 10.000 – 633,33 = 9.366,67 
alíquota IOF = 0,0041% a.d. = 0,000041 a.d. 
IOF = 9.366,67 × 0,000041 × 38 = 14,59. 
Resposta da letra b: O valor do IOF será de $14,59. 
O valor líquido pedido é igual a (VR – IOF – tarifa). Como a tarifa é de $6,00, o 
valor liquido será igual a 9.366,67 – 14,59 – 6,00 = 9.346,08 
Resposta da letra c: O valor líquido a ser creditado na conta da empresa será 
de $ 9.346,08. 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 23 
 
Exercícios propostos 
1) Um cheque de $2.300,00 tem vencimento para daqui a 165 dias. Você 
deseja descontá-lo hoje em um banco. Se a taxa de juros é de 5% ao mês, qual o 
valor do desconto e quanto você receberá? 
Resposta: Valor recebido = $1.667,50 e Desconto = 632,50 
2) Uma nota promissória de $68.800,00 foi liquidada 2 meses e 24 dias antes 
do vencimento, com desconto bancário de 9,6% a.a. Qual o valor de resgate? 
Resposta: $67.258,88 
3) Uma duplicata de $70.000,00, com 90 dias a decorrer até seu vencimento, 
foi descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido 
entregue ou creditado ao cliente. 
Resposta: $64.330,00. 
4) Calcular o valor do desconto de um título de $100.000,00, com 115 dias a 
vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% ao mês. 
Resposta: $11.500,00 
5) Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor de $25.000,00, com 
150 dias a vencer, gerou um crédito de $22.075,06 na conta do cliente, determinar a 
taxa mensal de desconto. 
Resposta: 2,34% 
6) Um título de $140.000,00 foi descontado a 33% ao ano, 5 meses antes do 
seu vencimento. Determinar o valor líquido entregue ao seu portador. 
Resposta: $120.750,00 
7) Determinar o valor nominal ou de face de um título, com 144 dias para o 
seu vencimento, que descontado à taxa de 48% ao ano proporcionou um valor atual 
(valor líquido creditado) de $ 38.784,00. 
Resposta: $48.000,00. 
8) Sendo de $3.419,44 o valor do desconto, uma duplicata, descontada à taxa 
de 3,55% ao mês, 120 dias antes do seu vencimento calcular o valor creditado na 
conta do cliente. 
Resposta: $20.662,12. 
9) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no 
valor de $9.800,00, que sofreu um desconto de $548,00, à taxa de 32% ao ano. 
Resposta: 63 dias. 
10) Calcular o valor do desconto de um título de $100.000,00, com 120 dias a 
vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 2,5% ao mês. Calcular o valor do 
resgate do título. 
Resposta: D = 10.000,00 e VR = 90.000,00 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 24 
 
11) Um título de crédito de valor nominal $70.000,00 foi descontado 30 dias 
antes de seu vencimento, à taxa de desconto simples de 3% ao mês. Pergunta-se: 
a) Qual o valor do desconto? 
b) Qual o valor líquido do título? 
Respostas: a) D = 2.100,00 e b) VR = 67.900,00. 
12) A empresa Ômega concede um desconto de 4% ao mês aos clientes que 
antecipam o pagamento de suas duplicatas. Certa empresa deseja antecipar o 
pagamento de um título de valor nominal $20.000,00, com vencimento previsto para 
48 dias. Determine o valor do desconto a ser concedido e o valor líquido a ser 
recebido pela empresa Ômega nessa operação. 
Resposta: $18.720,00. 
Apêndice: Introdução ao uso da HP 12C. 
Para ligar ou desligar a calculadora pressione a tecla ON. 
Indicação de bateria fraca: um asterisco pisca no canto inferior esquerdo do 
visor. 
Configuração do número de casas decimais: pressionar a tecla f e o 
número de casas decimais desejada. Se você quiser trabalhar com duas casas 
decimais digite f 2. Se quiser aumentar para três casas decimais digite f 3. 
 
 
A tecla amarela f ativa as funções “douradas” que estão escritas acima das 
teclas. Observe que no visor aparecerá uma pequena letra f abaixo dos números 
digitados indicando que a tecla foi pressionada. 
A tecla azul g ativa as funções azuis que estão escritas abaixo das teclas. 
Observe que no visor aparecerá uma pequena letra g abaixo dos números digitados 
indicando que a tecla foi pressionada. 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 25 
 
Configuração para vírgula: ligar a calculadora com a tecla ponto (tecla ao 
lado do zero) pressionada. 
A calculadora mostrará no visor qual a configuração atual e que será a 
configuração padrão de utilização. Para mudar a configuração, basta repetir o 
procedimento de configuração. 
Entrada de dados pelo Sistema RPN (Reverse Polish Notation – notação 
polonesa reversa). Os dados são introduzidos e, em seguida, pressiona-se a tecla 
[ENTER]. É simples e rápido. 
Pilha Operacional: Os dados são “empilhados” na memória. 
Vamos ver de forma bem simples e intuitiva como “empilhamos” na HP12C. O 
conhecimento sobre a pilha ajuda muito o estudante a entender a execução das 
operações na calculadora. 
Exemplo: Calcular 3 + 4  5. Para calcular o valor da expressão, você deve 
seguir os passos indicados pela coluna da esquerda da tabela abaixo. 
Digitar/Teclar Visor 
3 ENTER 3 
4 ENTER 4 
5 5 
Esta sequência de operações cria uma pilha com a seguinte configuração: 
Pilha 
5 (visor) 
4 
3 
Observe que a última entrada (5) está no alto da pilha (como se você 
estivesse empilhando livros, por exemplo) e aparece no visor da calculadora. 
Para calcular a expressão siga os passos indicados pela coluna da esquerda 
da tabela abaixo. 
Digitar/Teclar Visor 
 20 (5  4) 
+ 23 (20 + 3) 
Primeiro foi indicada a multiplicação, a calculadora vai multiplicar os dois 
elementos mais altos da pilha. O resultado da multiplicação fica no alto da pilha e os 
números multiplicados são excluídos. Vamos ver como isso reorganizou a pilha. 
Pilha 
20 (visor) 
3 
Ao teclar + a calculadoracompleta o cálculo com os elementos que estão na 
pilha (20 + 3) e o resultado é mostrado no visor (23). 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 26 
 
Funções. 
Algumas teclas da HP12C executam três funções diferentes. 
1. Branca (normal ou principal) 
2. Amarela (ativadas pela tecla [f]) 
3. Azul (ativadas pela tecla [g]) 
Corrigir os dados de entrada – limpeza do visor. 
A tecla CLx permite corrigir os dados de entrada. Apenas os dados do visor 
são apagados. 
Trocar o sinal de um número. 
Pressionar a tecla CHS (Change Sign). Com a tecla CHS trocamos o sinal de 
um número de positivo para negativo e vice versa. 
Apagar a memória – limpeza da memória. 
Para apagar todas as memórias ao mesmo tempo, exceto a de 
programação, pressionar f e, em seguida, CLx (REG) (executando a função clear reg 
– limpa registradores). 
Para apagar os registros financeiros pressionar f e, em seguida, X><Y 
(FIN). 
Essas limpezas são feitas antes dos exercícios com o objetivo de garantir que 
a memória da calculadora fique completamente vazia e prevenir erros em 
consequência de valores armazenados na memória de outros problemas resolvidos. 
Operações aritméticas. 
Adição: 
2 + 3 = ? 
Teclas Visor 
2 ENTER 2 
3 + 5 
Use a tecla CLx para apagar o visor/mostrador. 
Subtração: 
5 – 3 = 2 
Teclas Visor 
5 ENTER 5 
3 – 2 
 
Multiplicação: 
7 × 8 = ? 
Teclas Visor 
7 ENTER 7 
8 × 56 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 27 
 
Divisão: 
9 ÷ 2 = ? 
Teclas Visor 
9 ENTER 9 
2 ÷ 4,5 
Potenciação: yx 
25 = ? 
Teclas Visor Comentários 
2 ENTER 2 
Indicar primeiro a base e depois o expoente. 
5 yx 32 
813/5 = ? 
Para esse cálculo, combine a operação de potenciação com a de divisão. A 
calculadora executa a operação entre os dois últimos números digitados ou 
calculados encontrados na memória. 
Teclas Visor Comentários 
81 ENTER 81 
3 ENTER 3 
5 ÷ 0,6 Calculou 3 ÷ 5 = 0,6 (o expoente de 81). 
yx 13,97 81 elevado a 0,6 é igual 13,97. 
Observe que 81 foi digitado e 0,6 foi calculado. Mas como são os dois 
números disponíveis na memória, a HP12C calculou a operação indicada por yx. 
Para utilizar a HP12C é preciso prestar atenção na ordem em que os números 
são digitados e incluídos na memória. 
Raiz quadrada: 
Para calcular a raiz quadrada o usuário deve pressionar a tecla g (azul) e em 
seguida a tecla √𝑥 (ver a tecla y
x). Observe que ao pressionar a tecla g, uma 
pequena letra g aparecerá no visor abaixo dos números digitados. 
 √49 = ? 
Teclas Visor 
49 ENTER 49 
g √𝑥 7 
 
Inverso de um número: 
½ = ? 
Teclas Visor 
2 1/x 0,5 
 
Raiz cúbica: 
Para esta operação lembre-se da seguinte propriedade: √27
3
= 271/3 . 
Repita o procedimento para raízes com índice maior que 2. 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 28 
 
 √27
3
= ? 
Teclas Visor Comentários 
27 ENTER 27 
3 1/x 0,333 Calculou o inverso de 3 (1/3 = 0,333...) 
yx 3 27 elevado a 1/3 é igual a 3. 
 
 √32
5
=? (√32
5
= 321/5) 
Teclas Visor Comentários 
32 ENTER 32 
5 1/x 0,2 Calculou o inverso de 5 (1/5 = 0,2) 
yx 2 32 elevado a 1/5 é igual a 2. 
Armazenamento e recuperação 
São dois recursos oferecidos pela calculadora que pode ser de grande 
utilidade em algumas ocasiões. O armazenamento, feito com a tecla STO, é a 
inclusão de um valor em um registrador de memória numerado. A recuperação, feita 
com a tecla RCL. Ao apertar a tecla RCL você consegue ver o conteúdo de um 
registrador. 
Exemplo: Resolva a seguinte expressão 
(2,1 + 1,82 × 0,4) + (√81 – 3,2) = ? 
Teclas Visor 
2,1 ENTER 2,1 
1,8 ENTER 1,8 
2 yx ENTER 3,24 
0,4 × 3,40 
STO 1 3,40 Valor armazenado no registrador 1. 
Essa sequência de operações calcula o valor de (2,1 + 1,82 × 0,4) e armazena 
o seu valor (3,40) no registrador 1. 
Teclas Visor 
81 g √𝑥 9 
ENTER 9 
3,2 – 5,80 
STO 2 5,80 Valor armazenado no registrador 2. 
Essa sequência de operações calcula o valor de (√81 – 3,2) e armazena o 
seu valor (5,80) no registrador 2. 
Teclas Visor 
RCL 1 3,40 Recupera o conteúdo do registrador 1. 
RCL 2 5,80 Recupera o conteúdo do registrador 2. 
+ 9,20 Soma os dois últimos valores recuperados. 
Essa sequência recupera os conteúdos dos registradores 1 e 2 e calcula o 
resultado da expressão (3,40 + 5,80 = 9,20). 
Você pode utilizar até 20 registradores de armazenamento. 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 29 
 
Porcentagem do total 
 Exemplo 1: Um aluno acertou 150 questões das 200 que resolveu. Calcule 
seu aproveitamento. 
Teclas Visor 
200 ENTER 200 
150 %T 75 
O aluno acertou 75% do total de questões. Aproveitamento de 75%. 
Aproveitamento = 
150
200
× 100 = 75. 
Exemplo 2: Um prestação no valor de R$ 94,00 foi paga com um desconto de 
2%. Qual o valor do desconto? Qual o valor pago? 
Teclas Visor 
94 ENTER 94 
2 % 1,88 Valor do desconto (2% de 94) 
– 92,12 Valor pago (94 – 1,88 = 92,12) 
Desconto de R$1,88 e valo pago R$92,12. 
Outra resolução 
Teclas Visor 
94 ENTER 94 
98 % 92,12 Valor pago (98% de 94) 
Se o desconto foi de 2%, o cliente pagou 98% do total. 
Valor do descont0 = 94 – 92,12 = 1,88. 
Exemplo 3: Uma mercadoria que custa $100,00 é vendida com lucro de 15%. 
Qual o preço de venda? 
Teclas Visor Comentários 
100 ENTER 100 
15 % 15 Cálculo do lucro 
+ 115 Preço de venda 
 
Variação porcentual 
As vendas de uma importadora que eram de R$ 53.905,00 baixaram para R$ 
23.451,00. Qual a variação porcentual? 
Teclas Visor 
53905 ENTER 53.905 
23451 ∆% – 56,50 
Uma diminuição (variação negativa) de 56,50% nas vendas em relação ao 
mês anterior. 
∆% =
53.905 − 23.451
53.905
=
30.454
53.905
= 0,5650 = 56,50% 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 30 
 
Logaritmo 
Calcular o logaritmo neperiano de 1,728. 
Teclas Visor 
1,728 g LN 0,55 
f 5 0,54696 
 
Funções de Calendário 
As teclas D.MY e M.DY (estão em azul abaixo das teclas dos números 4 e 5 
respectivamente) definem o formato das datas e a ordem de sua apresentação: 
D.MY- DIA, MÊS, ANO (ver tecla do número 4). 
M.DY – MÊS, DIA, ANO (ver tecla do número 5). 
Use as teclas g D.MY para definir o formato usado no Brasil. 
Essas letras aparecerão no visor da calculadora ao final da operação. 
A tecla ΔDYS (acima da tecla ENTER) calcula o número de dias decorridos 
entre duas datas. 
Aplicação: Calcular o número de dias decorridos entre os dias 1 de julho e 31 
de julho de 2012. 
Teclas Visor 
1.072012 ENTER 1,072012 
31.072012 31,072012 
g ΔDYS 30 
Resposta: 30 dias. 
Observação: a entrada de dados referente às datas deve obedecer à ordem 
cronológica, caso contrário o resultado será mostrado com sinal negativo. 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Simples. 
Paulo Nacaratti (organizador) 31 
 
Referências Bibliográficas 
Gimenes, Cristiano Marchi. Matemática financeira. 2.ed. São Paulo: Prentice 
Hall, 2009. 
Pinto, Andrew Carvalho. Matemática Financeira com a HP12C – São Paulo: 
Barros Fischer & Associados: Clio Editora, 2010. 
Samanez, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de 
Investimentos – São Paulo: Prentice Hall, 2002. 
Tosi, Armando José. Matemática Financeira com utilização do Excel 2000: 
aplicável também às versões 5.0, 7.0, 97, 2002 e 2003. – 3.ed. – São Paulo: Atlas, 
2008. 
Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. 7a. edição. São Paulo: 
Atlas, 2010. 
Vieira Sobrinho, José Dutra. Manual de Aplicações Financeiras HP-12C: 
Tradicional/Platinum/Prestige. – 3.ed. – São Paulo: Atlas, 2008. 
HP 12C calculadora financeira: guia do usuário. 5ª. edição.