Teoria dos Conjuntos e Operações

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Raciocínio Lógico, Crítico e Analítico 
 
 
 
Aula 3 
 
 
 
Prof.ª Claudia Lorena Juliato Araújo 
 
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Conversa inicial 
Nesta aula, vamos estudar a teoria dos conjuntos e a importância dessa 
teoria na compreensão da lógica. Também, o quanto nos auxilia na resolução de 
problemas lógicos. 
Contextualizando 
A teoria dos conjuntos está presente em nossos mais corriqueiros 
pensamentos, lógicas e abstrações que fazemos para entender e compreender 
situações do dia a dia. Utilizamos para abstrair pensamentos que se juntam ou 
coisas que se repetem, sem nos darmos conta. Por isso, sua formalização é 
fundamental para a resolução de problemas cujas respostas precisam ser 
simples e objetivas. 
Essa estrutura de separar elementos em conjuntos e operar com eles é a 
base para a compreensão, por exemplo, de resultados de pesquisas, resultados 
financeiros, resultados de produção, bem como para a compreensão de várias 
outras situações que envolvem nossa capacidade de raciocínio e abstração. Por 
isso, a importância de se entender a lógica do raciocínio por meio dessa teoria. 
Tema 1: Teoria dos conjuntos – conceitos iniciais 
A teoria dos conjuntos dedica-se ao estudo da associação entre objetos 
que têm a mesma propriedade. 
A representação desses conjuntos é feita por meio dos diagramas de 
Venn. Eles foram criados pelo matemático inglês John Venn (1834-1923) com o 
intuito de representar no plano e facilitar as relações entre os conjuntos. 
Para compreender a teoria dos conjuntos é importante conhecer algumas 
simbologias. 
Quadro 1.1 – Simbologias da teoria dos conjuntos 
: pertence : existe 
 
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: não pertence : não existe 
: está contido 
: para todo (ou qualquer que 
seja) 
: não está contido : conjunto vazio 
: contém N: conjunto dos números naturais 
: não contém Z : conjunto dos números inteiros 
/ : tal que Q: conjunto dos números racionais 
: implica que 
Q'= I: conjunto dos números 
irracionais 
: se, e somente se R: conjunto dos números reais 
Os símbolos de pertence e não pertence são utilizados para estabelecer 
relação de elementos e conjuntos. Já os símbolos de contém, não contém, está 
contido e não está contido são utilizados para estabelecer relação apenas entre 
os conjuntos. 
Conjunto vazio 
É aquele conjunto que não tem nenhum elemento, podendo ser 
representado por ou { }. 
Conjunto unitário 
É aquele que tem apenas um elemento. 
Conjunto universo 
É o conjunto que contém todos os elementos do contexto com o qual se 
está trabalhando. 
 
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Representação dos conjuntos 
Os conjuntos podem ser representados de três formas diferentes sempre 
por uma letra maiúscula do alfabeto: 
 Por apresentação: os elementos do conjunto estão entre chaves { } 
 Por descrição: o conjunto é descrito por uma ou mais propriedades 
 Por Diagrama de Venn: os elementos são colocados dentro de um círculo. 
Quadro 1.2 
APRESENTAÇÃO A = {1, 2, 3, 4} 
DESCRIÇÃO A = {x: x é numero natural} 
DIAGRAMA DE VENN 
 
Subconjuntos 
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, onde B está contido em A, diz-se 
que B é subconjunto de A se todos os elementos de B pertencerem também a 
A. Nesse caso, o conjunto A é chamado de superconjunto. Vejamos um exemplo: 
Figura 1.1 
 
 
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Nesse caso, o conjunto B é subconjunto de D. O conjunto D, por sua vez, 
é subconjunto de E. O conjunto A não é subconjunto de nenhum dos conjuntos. 
Conjunto das partes 
O conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), é formado 
por todos os subconjuntos de A. Assim o conjunto das partes é o conjunto dos 
subconjuntos. Atenção: lembre-se que entre os subconjuntos de um dado 
conjunto estão o conjunto vazio e o próprio conjunto. Ex.: Seja X = {a, e, i} , 
encontre P(A). 
Número de elementos do conjunto das partes 
Para indicarmos o número de elementos de um conjunto A, usaremos a 
notação n(A). E o número de elementos do conjunto das partes será indicado 
por n[P(A)]. Daí : 
𝒏[𝑷(𝑨)] = 𝟐𝒏(𝑨) 
Assim, um conjunto com 4 elementos, terá 24 elementos no conjunto das 
partes, ou seja, o conjunto A terá no total 16 subconjuntos. 
Igualdade de conjuntos 
Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam os mesmos 
elementos em qualquer ordem. Sendo que elementos iguais em um mesmo 
conjunto serão considerados uma única vez. Daí, podemos afirmar que é 
verdadeira a igualdade dada por: A= { a; b; c} = { c; b; a} = { a; a; a; b; b; b; c; c} 
Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fica definida como: A  B  A  B 
e B  A. 
Tema 2: Operações com conjuntos 
Operar com conjuntos significa dar um resultado que represente a soma, 
subtração dos elementos pertencentes a estes conjuntos. 
 
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União de Conjuntos 
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que 
pertencem a A ou B. Indicaremos a união pelo símbolo . 
Matematicamente: A B {x | xa ou xB}. Nos diagramas abaixo M  N 
,são as regiões: 
Figura 1.2 
 
Intersecção de Conjuntos 
A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos 
elementos comuns a A e B. Indicaremos a interseção pelo símbolo  . 
Matematicamente: AB {x | xa e xB}. 
Nos diagramas a seguir, M  N são as regiões em laranja. Perceba que, 
no terceiro caso, não há intersecção, pois não existe elementos em comum. 
Figura 1.3 
 
 
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Importante: quando a intersecção de dois conjuntos, como no terceiro 
caso da figura 1.3, não existe, pois não tem elementos em comum, dizemos que 
os conjuntos são DISJUNTOS. 
Diferença entre conjuntos 
A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Matematicamente: A  B 
{x | xa e x B}. 
Figura 1.4 
 
Conjunto complementar 
Dados os conjuntos A e U, se o conjunto A está contido no conjunto U, a 
diferença U – A, é chamada complementar de A em relação a U. Chamaremos 
o conjunto U de conjunto universo. Ao complementar de A em relação a U 
usaremos a notação: 
𝐂𝐔
𝐀 𝐨𝐮 𝐀𝐂 𝐨𝐮 �̅� 
Figura 1.5 
 
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Diferença simétrica 
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto dos elementos 
que pertencem a A e não pertencem a B ou os elementos que pertencem a B e 
não pertencem A. Indicaremos a diferença simétrica entre A e B por: A  B. 
Daí: A  B {x | x A B ou xB  A}  (A B)(B  A). 
Figura 1.6 
 
Número de elementos da união de conjuntos 
O número de elementos da união de: 
 Dois conjuntos A e B será: n(A B)  n(A)  n(B)  n(A B). 
 Três conjuntos A, B e C será: n(A B C)  n(A)  n(B)  n(C)  n(A B) 
 n(AC)  n(B C)  n(A B C). 
Tema 3: Exercitando com conjuntos 
Em geral, a resolução de problemas envolvendo conjuntos ocorre de uma 
melhor forma se construímos os diagramas de Venn, pois nos dão a visão de 
 
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todos os elementos e todas as operações em questão. 
Neste tema, faremos a resolução de exercícios relativos aos conjuntos 
que mais aparecem em concursos. 
 Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ B = {4, 5} e A – B = 
{1, 2, 3}, determine o conjuntoB. 
A melhor forma de resolvermos este exercício é com o auxílio do diagrama 
de Venn. Dessa forma, vamos colocar os elementos em seus respectivos 
lugares. Começamos colocando o meio (a intersecção entre os dois conjuntos), 
depois colocamos os outros elementos de A, uma vez que A – B são os 
elementos {1, 2, 3} e, por fim, completamos com os elementos restantes da união 
de A com B. Assim: 
Figura 3.1 
 
Logo, o conjunto B = {4, 5, 6, 7, 8} 
 Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2} e C = {2, 3}, determine (A U B) 
∩ (B U C). 
Nesse caso, o diagrama de Venn não se faz tão necessário. Nesta 
solução, vamos usar a forma de apresentação, resolvendo primeiro as 
operações que estão entre parêntesis e, por último, a intersecção. 
A U B = {0, 1, 2} 
B U C = {0, 1, 2, 3} 
(A U B) ∩ (B U C) = {0, 1, 2} 
 
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 Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, 
C = {4, 5} determine (U – A) ∩ (B U C). 
Assim como no exercício 2, faremos a resolução por apresentação, 
resolvendo os parêntesis primeiro. 
U – A = {0, 3, 4, 5, 6} 
B U C = {2, 3, 4, 5} 
(U – A) ∩ (B U C) = {3, 4, 5} 
 O dono de um canil vacinou todos seus cães, sendo que 80% contra 
parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que 
foram vacinados contra as duas doenças. 
Neste caso, a solução pelo diagrama de Venn é a mais indicada. Vejamos. 
Chamaremos de x o valor que queremos descobrir, então, os cães que 
serão vacinados apenas contra parvovirose será 80 – x e os que serão vacinados 
apenas contra a cinomose serão 60 – x, assim teremos: 
Figura 3.2 
 
Como a soma total entre os dois grupos tem que ser 100%, teremos: 
80 – x + x + 60 – x = 100 
x = 40. 
O percentual de animais vacinados contra as duas doenças é de 40%. 
 (UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido 
político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de 
 
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sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos 
para A e C. Em consequência: 
a. Venceu A, com 120 votos. 
b. Venceu A, com 140 votos. 
c. A e B empataram em primeiro lugar. 
d. Venceu B, com 140 votos. 
e. Venceu B, com 180 votos. 
Para a resolução deste problema, também usaremos o diagrama de Venn, 
pois visualizamos melhor os valores. Quando se trabalha com três ou mais 
conjuntos, o diagrama sempre é a melhor opção. 
Começaremos a preencher o diagrama com as partes internas 
primeiramente. Os três senhores não têm votos ao mesmo tempo, logo, a 
intersecção entre os três conjuntos ficará vazia. 
Depois, colocaremos a intersecção entre A e B, que é 100. 
A intersecção entre A e C que é 20. 
A intersecção entre B e C que é 80. 
Figura 3.3 
 
Logo, o candidato que teve mais votos foi B, com 180 votos. 
 
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 As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram 
E, N e H. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com o 
quadro a seguir: 
Quadro 3.1 
MARCAS 
CONSUMIDAS 
NÚMERO DE 
CONSUMIDORES 
E 400 
N 1220 
H 1080 
E e N 220 
E e H 180 
N e H 800 
E, N e H 100 
a. Quantos beberam cerveja no bar nesse dia? 
b. Entre os consumidores de E, N e H, quantos beberam apenas duas 
dessas marcas? 
c. Quantos não consumiram a cerveja H? 
d. Quantos não consumiram a marca N nem a marca H? 
A resolução pelo diagrama de Venn é a melhor neste caso, preenchendo 
os valores de dentro para fora e descontando os valores que já foram 
contabilizados. Fica assim: 
Figura 3.4 
 
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Agora, é só responder as perguntas. 
a. 1600 pessoas 
b. 900 pessoas 
c. 520 pessoas 
d. 100 pessoas 
Tema 4: Conjuntos numéricos 
Os conjuntos numéricos começaram a surgir quando precisávamos 
apresentar resultados de operações matemáticas. O primeiro conjunto numérico 
surgido foi o conjunto dos números naturais, representado pela letra N. N = {0, 
1, 2, 3, 4, …}. 
Em N, sempre é possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a 
soma e o produto de dois números naturais resultam sempre em um número 
natural. Já a divisão ou subtração entre dois números naturais nem sempre é um 
número natural; a subtração 2-3, por exemplo, não é possível em N. Daí, a 
necessidade de ampliar o conjunto N introduzindo os números negativos. 
Então, surge o conjunto dos números inteiros, representado por Z. Ou 
conjunto dos números relativos, que é o conjunto Z = { ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} 
Em Z, podemos somar e subtrair e sempre resultará em Z, mas a divisão 
 
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de dois números inteiros nem sempre será um inteiro. É o caso, por exemplo, de 
(-7) : 2, que resultado será em um numero não inteiro. 
Dessa necessidade, surgem os números racionais, representado por Q. 
Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao 
conjunto Z, obtemos o conjunto dos números racionais Q. 
Assim, por exemplo, são números racionais: 
…, -2, −
3
5
, - 1, −
1
2
, 0, 
3
4
, 1, 
5
3
, 2, … 
A representação formal dos números racionais é dada por: 
Q = {
𝑎
𝑏
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ 𝑍 𝑒 𝑏 ∈ 𝑍∗} 
Onde 𝑍∗ é o conjunto dos números inteiros exceto o zero. 
Entre dois números inteiros nem sempre existe outro número inteiro. Entre 
dois racionais sempre existe outro racional. Por exemplo, entre os racionais 1/2 
= 0,5 e 3/4  0,75, podemos encontrar infinitos racionais; entre eles, 5/8 = 0,625. 
Mas isso não significa que os racionais preenchem toda a reta. Os números 
racionais são insuficientes para medir todos os segmentos de reta. Por exemplo, 
a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos medindo uma 
unidade é um número não racional. Embora as quatro operações fundamentais 
(adição, subtração, multiplicação e divisão por um número diferente de zero) 
sejam sempre definidas em Q. 
Uma equação como x² = 2 não pode ser resolvida em Q, pois não existe 
racional a/b tal que (
𝑎
𝑏
)
2
= 2. Surge então a necessidade de outro tipo de 
número, o número não racional ou irracional. 
Os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma 
fracionária, com numerador inteiro e denominador inteiro (diferente de zero). São 
as decimais infinitas e não periódicas. 
 Exemplos: √2 1,4142135... ; √3 1,7320508... ;   3,1415926535... 
 
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Figura 4.1 
 
A união de todos os conjuntos naturais, inteiros, racionais e irracionais dá 
origem ao conjunto dos números reais, representado por R. 
Figura 4.2 
 
Importante saber: 
N  Z  Q  R 
 Q/ R  R 
Q Q/ R  R 
Q Q/ R   
Q/ R  R Q 
 
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Assim com os números reais, toda equação do tipo x²  a com a  N, 
pode ser resolvida e todos os segmentos de reta podem ser medidos. Existem 
outros números além dos reais, a raiz de índice par e radicando negativo é 
impossível em R, pois, por exemplo, não existe número real que, elevado ao 
quadrado, dê um número negativo. Assim, a raiz quadrada de  4 não é um 
número real, é um número complexo ou imaginário. Podemos usar as seguintes 
notações para alguns subconjuntos de R: 
R  real positivo ou nulo 
* R  real positivo 
R  real negativo ou nulo 
* R  real negativo 
O mesmo pode ser feito com Z e Q. 
A reta real para representartodos os números naturais, inteiros, racionais 
e irracionais, pode ser assim representada. 
Figura 4.3 
 
Tema 5: Intervalos reais 
Quando um conjunto numérico precisa ser representado com uma 
quantidade infinita de valores, usamos os intervalos reais para a situação. 
Em alguns casos, quando se está trabalhando com conjuntos, os eles são 
infinitos e não podem ser representados por diagrama de Venn ou por 
apresentação de valores. 
Nesses casos, usamos os intervalos reais para representá-los. 
Quadro 5.1 
 
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TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO 
Intervalo fechado [p;q] = {x R; p ≤ x ≤ q} inclui os limites p e q 
Intervalo aberto (p;q) = {x R; p < x < q} exclui os limites p e q 
Intervalo fechado à 
esquerda 
[p;q) = {x R; p ≤ X < q} inclui p e exclui q 
Intervalo fechado à 
direita 
(p;q] = {X R; p < x ≤ q} exclui p e inclui q 
Intervalo semifechado [p;∞) = {X R; x ≤ q} valores maiores ou 
iguais a p 
Intervalo semiaberto (-∞; q) = {x R; x < q} valores maiores ou 
iguais a q 
Intervalo semiaberto (p; ∞) = {x > p} valores maiores do 
que p 
Intervalo fechado: números reais maiores ou iguais a a e menores ou 
iguais a b. 
 
Intervalo:[a,b] 
Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} 
Intervalo aberto: Números reais maiores do que a e menores do que b. 
 
Intervalo: ]a,b[ 
Conjunto: {x ∈ R | a < x < b} 
Intervalo fechado à esquerda: números reais maiores ou iguais a a e 
menores do que b. 
 
Intervalo: [a,b[ 
Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x < b} 
 
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Intervalo fechado à direita: números reais maiores do que a e menores ou 
iguais a b. 
 
Intervalo: ]a,b] 
Conjunto: {x ∈ R | a < x ≤ b} 
Semirreta esquerda, fechada, de origem b: números reais menores ou 
iguais a b. 
 
Intervalo: ]-∞,b] 
Conjunto: {x ∈ R | x ≤ b} 
Semirreta esquerda, aberta, de origem b: números reais menores que b. 
 
Intervalo:]-∞,b[ 
Conjunto: {x ∈ R | x 
Semirreta direita, fechada, de origem a: números reais maiores ou iguais 
a a. 
 
Intervalo: [a,+∞[ 
Conjunto: {x ∈ R | x ≥ a} 
Semirreta direita, aberta, de origem a: números reais maiores que a. 
 
Intervalo: ]a,+∞[ 
Conjunto: {x ∈ R | x>a} 
Reta numérica: números reais. 
 
Intervalo: ]∞-,+∞[ 
 
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Conjunto: R 
Exemplo de operações com intervalos. 
Dado A = {x R | 1 x 1} e B= [0 , 5), determine: 
A  B 
 -1 1 
 0 5 
Podemos observar que encontramos valores em comum às duas retas 
desde o zero até o 1. 
Logo, o intervalo resposta dessa operação é [0, 1). 
Síntese 
Nesta aula, você conheceu os conjuntos, as operações com conjuntos e 
os conjuntos numéricos. A importância de saber como trabalhar com os 
conjuntos e suas propriedades de resolução. Ou seja, a lógica que se desenvolve 
com a resolução de problemas de conjuntos.