Manual de Matemática para o 12 º ano de Matemática A

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Manual de Matemática para o 12º ano
Matemática A
NIUaleph 12
VOLUME 4
Jaime Carvalho e Silva
Joaquim Pinto
Vladimiro Machado
2012
Título
NiuAleph 12 - Manual de Matemática para o 12.º ano de Matemática A
Autores
Jaime Carvalho e Silva (Editor)
Joaquim Pinto
Vladimiro Machado
Capa e Design
Elisa Silva
Conceção Técnica
Vítor Teodoro
João Fernandes
Imagens e fontes
As imagens utilizadas neste manual pertencem ao domínio público ou, nas situações indicadas, aos 
respetivos autores, sob as Licenças Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 http://creativecom-
mons.org/licenses/by-sa/3.0/) ou Creative Commons Attribution 3.0 http://creativecommons.org/li-
censes/by/3.0/
 
As fontes utilizadas neste manual pertencem às famílias Latin Modern e Latin Modern Math, desenvol-
vidas pela GUST http://www.gust.org.pl/projects/e-foundry/lm-math/index_html
Parte dos gráficos deste volume foram criados com o software livre Geogebra 4, disponível em 
http://www.geogebra.org
ISBN
978-989-97839-0-4
Edição
1.ª edição/versão 1
Data
2012
© Este ficheiro é de distribuição livre mas os direitos permanecem com os respetivos autores. Não é
permitida a impressão deste ficheiro.
Índice geral
Volume 1
Capítulo 1 – É possível? É provável?
Capítulo 2 – Probabilidade
Capítulo 3 – Probabilidade condicionada
Capítulo 4 – Distribuição de probabilidades
Volume 2
Capítulo 5 – Análise Combinatória
Capítulo 6 – Triângulo de Pascal e Binómio de Newton
Capítulo 7 – Função exponencial
Capítulo 8 – Função logarítmica
Volume 3
Capítulo 9 – Teoria de Limites
Capítulo 10 – Cálculo Diferencial
Capítulo 11 – Aplicações do Cálculo Diferencial
Capítulo 12 – Teoremas elementares do Cálculo Diferencial (*)
Volume 4
Capítulo 13 – Funções trigonométricas
Capítulo 14 – A História dos números complexos
Capítulo 15 – A Álgebra dos números complexos
Capítulo 16 – A Geometria dos números complexos
Capítulo 17 – Demonstrações de Geometria usando números complexos (*)
Índice
Capítulo 13 – Funções trigonométricas 6
Função Seno 7
Função Cosseno 12
História(s) - Regiomontano (1436-1476) 15
Função Tangente 17
Famílias de funções trigonométricas 19
Síntese 24
Lição de Lógica Matemática n.º 6 26
Exercícios globais 27
Conselhos para os exames – n.º 12 30
Itens de exame 31
Prova Global 37
Capítulo 14 - A História dos números complexos 39
Capítulo 15 - A Álgebra dos números complexos 45
Operações com números complexos 47
História(s) - As primeiras raízes quadradas de números negativos 48
Leitura(s) - Os números imaginários 52
Síntese 53
Exercícios globais 54
Conselhos para os exames – n.º 13 56
Itens de exame 57
Prova global 59
Capítulo 16 - A Geometria dos números complexos 60
Forma trigonométrica 63
Operações com complexos na forma trigonométrica 66
História(s) - Wessel, Argand e Gauss 69
Teorema - Fórmula de Moivre 70
Domínios planos 72
Leitura(s) - Equações algébricas e números complexos 77
Síntese 78
Exercícios globais 80
Conselhos para os exames - n.º 14 82
Itens de exame 83
Prova global 88
Capítulo 17 - Demonstrações de Geometria usando números complexos 90
Teorema de Varignon 91
História(s) - Napoleão Bonaparte (1769-1821) e a Matemática 96
Soluções 98
6 13. Funções trigonométricas
13. Funções trigonométricas
“A essência da matemática não é complicar as coisas simples, 
mas fazer com que as coisas complicadas sejam simples.” 
Stanley Gudder, Universidade de Denver, EUA
E para que mais certas se conheçam
As partes tão remotas onde estamos,
Pelo novo instrumento do Astrolábio,
Invenção de subtil juízo e sábio,
In “Lusíadas” de Luís de Camões (1524-1580), Canto V
Recordemos que o círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário cujo centro está colocado 
na origem de um referencial ortonormado XOY. O círculo trigonométrico é muito útil porque nos 
permite visualizar as razões trigonométricas, como é o caso do seno, cosseno e tangente. Existem 
muitos softwares (para calculadora gráfica ou computador) que simulam círculos trigonométricos, 
livremente disponíveis na internet, onde podemos visualizar, calcular e modificar de forma interati-
va as razões trigonométricas; este é um exemplo:
Uma concretização interessante dum círculo trigonométrico é a chamada Roda Gigante das Fei-
ras Populares, que nos Estados Unidos é conhecida como Roda de Ferris (“Ferris wheel”) por 
ter sido pela primeira vez construída pelo engenheiro George Washington Gale Ferris, Jr. para a 
Exposição Universal de Chicago em 1893. Existem rodas gigantes um pouco por todo o mundo 
(inclusive dentro de Centros Comerciais) sendo que a mais alta estrutura atualmente existente está 
localizada em Singapura (inaugurada em 2008 tem uns espantosos 165 metros de altura total).
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http://mat.absolutamente.net/ra_c_tri.php
713. Funções trigonométricas
A Roda Gigante original (Chicago, 1893) 
tinha 80,4 metros de altura
A maior Roda Gigante do mundo (Singapura, 
2008)
Função Seno
seno
cosseno
tangente
A função seno é uma função real de variável real que a cada amplitude x (em radianos) associa o 
valor da razão trigonométrica seno de x, sen x, 
quando estamos em presença do círculo trigonomé-
trico já referido. Isto significa que é possível associar 
a cada ângulo, com a amplitude medida em radia-
nos*, um e um só valor da razão trigonométrica 
seno, o valor sen x. Este valor sen x é a razão entre 
o comprimento do cateto oposto e o comprimento 
da hipotenusa, no caso em que a amplitude do ân-
gulo varia entre 0 e . Para todos os valores de x, 
o seno de x pode ser obtido facilmente a partir do 
círculo trigonométrico. O seno de x, para qualquer 
valor de x, será a ordenada do ponto correspondente 
à interseção entre a circunferência, que define o cír-
culo trigonométrico, e o lado extremidade do ângulo 
de amplitude radianos (o lado origem coinci-
de sempre com o semieixo positivo horizontal, mas 
o lado extremidade é marcado no sentido positivo ou 
no sentido negativo conforme x seja positivo ou negativo).
* Se a amplitude fosse medida em graus, seria possível definir também uma função, mas a função seria 
diferente da que obtemos com a amplitude medida em radianos.
8 13. Funções trigonométricas
Do mesmo modo se pode obter o cosseno de x e a tangente de x. O cosseno de x será a abcissa do 
mesmo ponto sobre a circunferência, que define o círculo trigonométrico, e a tangente de x será a 
ordenada do ponto obtido por interseção entre o lado extremidade do ângulo e a reta perpendicular 
ao eixo dos XX e tangente ao círculo trigonométrico (a linha da tangente).
Usando qualquer software que simule o círculo trigonométrico podemos facilmente intuir as princi-
pais propriedades da função seno. Temos assim:
a) Domínio: toda a reta real.
b) Contradomínio: o intervalo fechado [–1,1].
c) Período: 2π pois sen(x + 2π)= senx . Em particular basta estudar a função seno num intervalo 
de amplitude 2π, como o intervalo ]0,2π] ou o intervalo ]− π,π] pois as propriedades repetem-se 
devido à periodicidade.
d) Simetrias em relação ao eixo dos YY e à origem: a função seno é uma função ímpar pois 
sen(−x)=−senx ; assim o gráfico é simétrico em relação à origem. Se pretendermos analisar a 
função no intervalo ]− π,π] , a simetria permite-nos estudar apenas, por exemplo, o que se passa 
no intervalo [0,π].
e) Pontos notáveis: a função seno interseta o eixo dos YY no ponto (0,0); para ver onde interseta o 
eixo dos XX interessa resolver a equação senx = 0 . No intervalo ]− π,π] existem dois zeros da 
função seno: e .
f) Monotonia:vendo o que se passa no círculo trigonométrico concluímos que, no intervalo ]0,2π], 
a função seno é crescente nos intervalos e 
3π
2
,2π
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
, e decrescente no intervalo π
2
, 3π
2
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.
g) Continuidade: A função seno é contínua em todo o seu domínio.
h) Assíntotas: Não tem.
i) Limites nos ramos infinitos: Não existe limite em –∞ ou +∞.
j) Extremos (relativos e absolutos): no intervalo ]0,2π] a função seno tem um máximo para x =
π
2
 
e um mínimo para x =
3π
2
.
O gráfico da função seno nos intervalos ]0,2π] e ]− π,π] respetivamente é:
π
2
π 3 π
2
2 π
x
–1,0
–0,5
0,0
0,5
1,0
y
π π
2
π
2
π
x
–1,0
–0,5
0,5
1,0
y
– –
913. Funções trigonométricas
Poderá haver algumas dúvidas em relação aos extremos e à continuidade, pois estamos apenas a 
observar um gráfico, mesmo que esteja ligado ao círculo trigonométrico (o que é sempre uma grande 
ajuda mas não resolve todas as dúvidas). No que diz respeito aos extremos, precisamos de determi-
nar a derivada da função seno para podermos fazer um estudo mais completo.
Quanto à continuidade da função seno, podemos tirar as dúvidas se provarmos que
.
Comecemos por considerar o caso em que . Por observação do círculo trigonométrico é fácil 
concluir que, se , então .
Como a função seno é ímpar, se multiplicarmos ambos os membros desta desigualdade por –1, ob-
temos , para .
Usando estas duas desigualdades simultaneamente podemos que concluir que se tem 
para todo o x ≠ 0 do intervalo . Recorrendo à definição de limite de função segundo Heine, 
teremos de provar que, para toda a sucessão de termos diferentes de zero e a convergir para 
, a sucessão também converge para zero. Mas neste caso basta aplicar o teorema 
das sucessões enquadradas para concluir o pretendido. Fica assim provado que .
Para determinar o limite para um a qualquer observemos que se , se tem
Para determinarmos este limite só nos falta esclarecer o valor de .
Para todo o do intervalo , a função cosseno é positiva, pelo que .
Logo .
Assim
10 13. Funções trigonométricas
como queríamos demonstrar.
Determinemos agora qual a função derivada da função seno. Temos
Para podermos concluir, teremos de determinar os dois limites que nos apareceram. Vejamos o que 
acontece com o limite do seno. Traçando um gráfico da função e ampliando sucessivamente, ficamos 
com a ideia de que o limite é 1:
–4
� 2
2 4
x
–1,0
–0,5
0,5
1,0
y
–1,0 –0,5 0,5 1,0
x
–1,0
–0,5
0,5
1,0
y
–0,2 –0,1 0,1 0,2
x
–1,0
–0,5
0,5
1,0
y
–2–4
� 2
2 4
x
–1,0
–0,5
0,5
1,0
y
–1,0 –0,5 0,5 1,0
x
–1,0
–0,5
0,5
1,0
y
–0,2 –0,1 0,1 0,2
x
–1,0
–0,5
0,5
1,0
y
–2–4
� 2
2 4
x
–1,0
–0,5
0,5
1,0
y
–1,0 –0,5 0,5 1,0
x
–1,0
–0,5
0,5
1,0
y
–0,2 –0,1 0,1 0,2
x
–1,0
–0,5
0,5
1,0
y
–2
Em ]–4 ; 4[ Em ]–0,1 ; 0,1[ Em ]–0,01 ; 0,01[
Podemos facilmente provar que tal conclusão é verdadeira. Por observação do círculo trigonométri-
co é fácil concluir que, se , então 0< senx< x < tgx .
Dividindo ambos os membros das desigualdades por sen x obtemos 
desde que se tenha . Mas as funções presentes na desigualdade são funções pares pelo que 
a mesma desigualdade é válida desde que . Então, tal como fizemos atrás, recorrendo 
à definição de limite de função segundo Heine e ao teorema das sucessões enquadradas, podemos 
concluir que: .
Vejamos agora o que acontece com o seguinte limite: lim
x→0
cosx −1
x
.
Multiplicando e dividindo ambos os membros da fração por , obtemos
1113. Funções trigonométricas
Podemos agora retomar o cálculo da derivada da função seno:
Em conclusão: .
Sabendo agora como determinar a derivada da função seno, podemos confirmar os intervalos de 
monotonia. Vamos estudar apenas o que se passa no intervalo ]0,2π] onde a função derivada, a fun-
ção cosseno, tem dois zeros: e x = 3π
2
.
Podemos construir o quadro de variações, a partir do conhecimento do sinal da função cosseno:
x 0
π
2
3π
2
2π
+ 0 – 0 +

máximo

mínimo

Este resultado confirma o que foi visto antes.
12 13. Funções trigonométricas
ExErcícios
1. Determina se as seguintes funções são pares ou ímpares:
1.1 1.2 
2. Usando a calculadora gráfica, confirma os resultados do exercício anterior.
3. Determina analiticamente o contradomínio das seguintes funções:
3.1 h(x)= 2senx + π 3.2 d(x)=
1
sen(2x + π)
 
4. Usando a calculadora gráfica, confirma os resultados do exercício anterior.
5. Deriva as seguintes funções:
5.1 5.2 
6. Determina os limites:
6.1 6.2 lim
x→0
sen(4x)
sen(5x)
7. Usa a calculadora gráfica ou o computador para confirmar o valor do limite lim
x→0
cosx −1
x
Função Cosseno
A função cosseno é uma função real de variável real que a cada amplitude x (em radianos) associa 
o valor da razão trigonométrica cosseno de x, cos x, quando estamos em presença do círculo trigo-
nométrico já referido no início do capítulo. Este valor cos x é a razão entre o comprimento do cate-
to adjacente e o comprimento da hipotenusa, no caso em que a amplitude do ângulo varia entre 0 
e . Para todos os valores de x, o cosseno de x pode ser obtido facilmente a partir do círculo trigo-
nométrico. O cosseno de x, para qualquer valor de x, será a abcissa do ponto obtido pela interseção 
do círculo trigonométrico com o lado extremidade do ângulo de amplitude radianos.
Usando qualquer software que simule o círculo trigonométrico podemos facilmente intuir as princi-
pais propriedades da função cosseno. Temos assim:
a) Domínio: toda a reta real.
b) Contradomínio: o intervalo fechado [–1,1].
c) Período: 2π pois . Em particular basta estudar a função cosseno num interva-
lo de amplitude 2π, como o intervalo ]0,2π] ou o intervalo ]− π,π] pois as propriedades repetem-
-se devido à periodicidade.
d) Simetrias em relação ao eixo dos YY e à origem: a função cosseno é uma função par pois 
1313. Funções trigonométricas
 ; assim o gráfico é simétrico em relação ao eixo dos YY. Se pretendermos ana-
lisar a função no intervalo ]− π,π] , então a simetria permite-nos estudar apenas, por exemplo, 
o que se passa no intervalo [0,π].
e) Pontos notáveis: a função cosseno interseta o eixo dos YY no ponto (0,1); para ver onde interse-
ta o eixo dos XX interessa resolver a equação . No intervalo ]− π,π] a função cosseno 
tem dois zeros: x =− π
2
 e x = π
2
.
f) Monotonia: observando o que se passa no círculo trigonométrico concluímos que, no intervalo 
]0,2π], a função cosseno é crescente no intervalo ]π,2π[ e decrescente no intervalo ]0,π[ .
g) Continuidade: A função cosseno é contínua em todo o seu domínio.
h) Assíntotas: Não tem.
i) Limites nos ramos infinitos: Não existe limite em –∞ ou +∞.
j) Extremos (relativos e absolutos): no intervalo ]0,2π] a função cosseno tem um máximo para 
x = 2π e um mínimo para .
O gráfico da função cosseno nos intervalos ]0,2π] e ]− π,π] é, respetivamente:
π
2
π 3 π
2
2 π
x
– 1,0
– 0,5
0,0
0,5
1,0
y
– π – π
2
π
2
π
x
– 1,0
– 0,5
0,5
1,0
y
Mais uma vez surgem dúvidas quanto à continuidade e à monotonia. Vamos deduzir estas pro-
priedades a partir das correspondentes propriedades da função seno. Quanto à continuidade da 
função cosseno, relembremos que 
Temos então que, por a função seno ser contínua,
E a função cosseno é efetivamente contínua. Para calcular a derivada da função cosseno usamos 
uma abordagem do mesmo tipo. Temos, usando o teorema da derivada da função composta,
14 13. Funções trigonométricas
cosx( )'= sen π
2
−x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
′
= cos π
2
−x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
×
π
2
−x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
′
=−senx
Sabendo agora como determinar a derivada da função cosseno, podemos confirmar os intervalos 
de monotonia. Vamos estudar apenas o que se passa no intervalo ]0,2π] onde a função derivada, a 
função seno, tem dois zeros: e .
Podemos construir o quadro de variações, a partir do conhecimento do sinal da função seno:
x 0 2π
– 0 + 0

mínimo

máximo
Estas conclusões confirmamo que havíamos visto atrás.
ExErcícios
8. Calcula as derivadas das funções definidas por
8.1 8.2 
9. Sabendo que a função g é derivável e que g(2)= π e g '(2)= 6 , indica o valor das 
derivadas das seguintes funções nos pontos indicados:
9.1 sen(g(x)) para x = 2; 9.2 cos(g(3x – 1)) para x = 1.
10. Seja f a função definida por . Determina analiticamente:
10.1 O domínio de f.
10.2 O contradomínio de f.
10.3 Os zeros no intervalo ]0,2π].
10.4 Os extremos no intervalo ]0,2π].
11. Usando a calculadora gráfica, verifica os resultados obtidos no exercício anterior.
12. Determina os extremos relativos das funções definidas por
12.1 12.2 
1513. Funções trigonométricas
H
História(s)
Regiomontano (1436-1476)
Johann Müller de Königsberg (1436-1476), mais conhecido por João de Monte Régio ou por Re-
giomontano, foi um matemático e astrónomo alemão do século XV. As designações Regiomontano 
e Monte Régio provêm da latinização do nome da sua cidade natal, Königsberg, que em alemão 
significa montanha do rei. Esta Königsberg é uma pequena cidade da Francónia (hoje parte da 
Baviera), e não deve confundir-se com a grande Königsberg da Prússia Oriental (hoje uma cidade 
russa chamada Kaliningrad), que se tornou famosa na História da Matemática em virtude do pro-
blema das Pontes de Königsberg, cuja resolução em 1736 por Leonhard Euler esteve na origem do 
aparecimento da Teoria de Grafos.
Regiomontano foi uma criança precoce. Com apenas 11 anos de idade matriculou-se na universidade 
de Lípsia. Volvidos três anos foi para a universidade de Viena, então famosa pelos seus currículos 
de Astronomia e Cosmologia, onde completou o bacharelato com 16 anos; contudo, de acordo com 
o regulamento da universidade, teve de esperar pelos 21 anos para receber o título. Em Viena foi 
aluno de Jorge Purbáquio (1423-1461), também ele figura proeminente da ciência do século XV, de 
quem se tornou amigo e colaborador.
Na Europa do século XV as superstições ligadas à astrologia eram comuns mesmo em meios social-
mente elevados e, em geral, eram os astrónomos que se encarregavam das «previsões» astrológicas. 
Ainda muito jovem, Regiomontano adquiriu considerável prestígio em Viena como astrónomo – e, 
consequentemente, também como astrólogo, a ponto de ter prestado «serviços» à coroa do Sacro 
Império Romano-Germânico. O imperador Frederico III pretendia casar com Leonor de Avis (uma 
princesa portuguesa, filha de D. Duarte e irmã de D. Afonso V) e encomendou a Regiomontano 
16 13. Funções trigonométricas
um horóscopo da noiva; os astros devem ter-se mostrado favoráveis, porque Frederico e Leonor aca-
baram por casar. Mais tarde, já imperatriz, D. Leonor veio a encomendar a Regiomontano outro 
horóscopo, desta vez para um dos seus filhos, o futuro imperador Maximiliano I. Estes episódios 
revelam-nos que Regiomontano granjeou fama (como astrólogo, é certo, mas astrólogo da corte!) 
ainda muito jovem; basta comparar datas: Regiomontano nasceu em 1436, Leonor casou em 1452, 
e Maximiliano nasceu em 1459.
Purbáquio, o mestre de Regiomontano, dedicou os dois últimos anos de vida a um projeto relaciona-
do com o Almagesto de Cláudio Ptolomeu (século II d.C.); o seu objectivo seria o de produzir uma 
tradução a partir do original grego do grande tratado astronómico da Antiguidade, mas que fosse 
simultaneamente mais resumida e de mais fácil leitura. Purbáquio iniciou este trabalho em 1460 em 
colaboração com o seu discípulo e, antes de morrer, pediu-lhe que completasse o projeto. Regiomon-
tano conseguiu levar a tarefa a bom termo em dois anos, mas a obra só veria a luz do dia em 1496.
Em 1463, concluiu De Triangulis omnimodis (isto é, Acerca dos Triângulos de todas as espécies), a 
obra que lhe assegurou um lugar de destaque na História da Matemática. Este tratado, que só foi 
publicado em 1533, constituiu a base da Trigonometria moderna. Entre 1467 e 1471, Regiomontano 
esteve na Hungria. Em Buda (a parte mais antiga da atual Budapeste) dedicou-se ao fabrico de ins-
trumentos de observação astronómica e à compilação de tábuas trigonométricas de senos e tangen-
tes, por encomenda do arcebispo de Esztergom. O rei Matias da Hungria pediu-lhe que melhorasse 
as tabelas existentes de movimentos planetários, pelo que em 1471 Regiomontano se mudou para 
Nuremberga, cidade bem localizada pela facilidade de comunicações e conhecida pela qualidade dos 
instrumentos nela fabricados. Em 1472 publicou, sob o título Nova Teórica dos Planetas, as lições 
que tinham sido ministradas alguns anos antes em Viena por Purbáquio.
Adaptado de “A Vida e Obra do Matemático Regiomontano”, Carlos Sá e M. Céu Silva, 
 Clube SPM, 14-02-2012
1713. Funções trigonométricas
Função Tangente
A função tangente é uma função real de variável real que a cada amplitude x (em radianos) asso-
cia o valor da razão trigonométrica tangente de x, . Este valor tg x é a razão entre o 
comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente, quando estamos em presença 
do círculo trigonométrico já referido no início do capítulo, no caso em que a amplitude do ângulo 
varia entre 0 e , excluindo . Para todos os valores de x, a tangente de x pode ser obtida facil-
mente a partir do círculo trigonométrico: é a ordenada do ponto obtido por interseção entre o lado 
extremidade do ângulo e a reta perpendicular ao eixo dos XX e tangente ao círculo trigonométrico 
(a linha da tangente).
Usando qualquer software que simule o círculo trigonométrico podemos facilmente intuir as princi-
pais propriedades da função tangente. Temos assim:
a) Domínio: toda a reta real excluindo os pontos onde o denominador se anula, isto é, onde o cos-
seno se anula, ou seja, os pontos da forma , com k um inteiro qualquer.
b) Contradomínio: toda a reta real.
c) Período: π pois . Em particular basta estudar a função tangente num intervalo 
de amplitude π, (a que excluímos os pontos fora do domínio), como o conjunto ]0,π]\{π/2} ou o 
intervalo pois as propriedades repetem-se devido à periodicidade.
d) Simetrias em relação ao eixo dos YY e à origem: a função tangente é uma função ímpar pois 
; assim o gráfico é simétrico em relação à origem. Se pretendermos analisar a 
função no intervalo , então a simetria permite-nos estudar apenas, por exemplo, o que 
se passa no intervalo 0, π
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.
e) Pontos notáveis: a função tangente interseta o eixo dos XX e o dos YY no ponto (0,0); no inter-
valo não há mais pontos de interseção.
f) Monotonia: observando o que se passa no círculo trigonométrico concluímos que, em cada inter-
valo , a função tangente é sempre crescente.
g) Continuidade: A função tangente é contínua em todo o seu domínio.
18 13. Funções trigonométricas
h) Assíntotas: Tem as assíntotas verticais e em .
i) Limites nos ramos infinitos: Não existe limite em –∞ ou +∞.
j) Extremos (relativos e absolutos): a função tangente não tem extremos.
O gráfico da função tangente nos intervalos e é, respetivamente: 
π
4
π
2
x
–10
–5
0
5
10
y
π
2
π
4
π
4
π
2
x
–10
–5
5
10
y
– –
Mais uma vez surgem dúvidas quanto à continuidade e à monotonia. Como a função seno e a função 
cosseno são contínuas e o quociente de duas funções contínuas é contínua, exceto nos pontos que 
anulam o denominador (teorema 4 do capítulo 9, volume 3), concluímos que a função tangente 
é contínua em toda a reta real excluindo os pontos onde o denominador se anula, isto é, onde o 
cosseno se anula, ou seja, os pontos da forma , com k um inteiro qualquer.
Quanto à derivada da função tangente, vamos aplicar as regras de derivação:
Observamos em particular que, exceto nos pontos onde o cosseno se anula, a derivada é positiva. 
Assim, em cada intervalo , com k um inteiro qualquer, a função tangente é cres-
cente (mas não é crescente em todo o seu domínio, porquê?).
1913. Funções trigonométricas
ExErcícios
13. Determina as derivadas das funções definidas por
13.1 
13.2 
13.3 
14. Determina os intervalos de monotonia da função definidapor .
15. Usando a calculadora gráfica, verifica os intervalos de monotonia obtidos no exercício 
anterior.
16. Estuda a existência de assíntotas verticais das funções definidas por 
16.1 
 
16.2 
 
Famílias de funções trigonométricas
Uma população de coelhos num parque nacional aumenta e diminui em cada ano em função do 
clima e da quantidade de recursos naturais disponíveis. O valor mínimo da população é atingido em 
janeiro com 5000 coelhos. Na Primavera a população vai aumentando e no mês de junho, quando 
o tempo é mais favorável, a população de coelhos triplica. Quando chega o Inverno a população 
diminui novamente. No mês de janeiro seguinte o valor mínimo é novamente atingido.
Suponhamos que C(t) nos dá o tamanho da população de coelhos como uma função do tempo t, 
medido em meses, a começar em Janeiro. Um possível modelo para esta situação é fornecido por 
uma função trigonométrica. Uma função que se ajuste aos dados fornecidos é, por exemplo,
O gráfico é o seguinte, no intervalo [0,24]:
Ra
bb
it 
2a
 p
or
 S
ar
ah
, h
ttp
:/
/w
ww
.fl
ick
r.c
om
/p
ho
to
s/
dl
uo
gs
/7
91
71
91
33
8
20 13. Funções trigonométricas
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
Esta é uma função da família de funções .
Qual o efeito dos parâmetros A, B, C e D no comportamento da função? Podemos experimentar 
com o exemplo da função definida por C(t) para observar tal efeito.
tr
tarEfa rEsolvida 1
Qual o efeito do parâmetro B na família de funções trigonométricas apresentada?
rEsolução
Fazendo variar o valor B em vai-nos permitir perceber melhor o que 
se passa. Eis alguns casos para B, sempre no mesmo intervalo [0,24]:
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0 5 10 15 20
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
B = 1 B = 10 B = 0,1
Observamos que o período muda quando o B muda. Podemos concluir isso analiticamente. Temos, 
se P for o período da função f,
2113. Funções trigonométricas
Como a função cosseno tem período 2π, então, se , P será período da função f. Logo
P = 2π
B
é período da função f. Se B for negativo, este valor será negativo, mas como –2π é também período 
da função cosseno, podemos obter o seguinte período (positivo):
Concluímos então que o parâmetro B influencia o período da função dada.
tarEfa 2
Considera a família de funções f (t)= Acos(Bt +C )+D .
Simulando com a função C(t) da população de coelhos, determina qual a influência de cada um dos 
parâmetros A, C, e D.
De seguida prova analiticamente que:
a) |A| é a amplitude do gráfico da função f, ou seja, metade da diferença entre o valor máximo e o 
valor mínimo da função.
b) C é a fração do período que a função está deslocada relativamente à posição base (com C = 0).
c) y = D é a reta que divide o gráfico a meio (está a meio caminho entre o valor máximo e o valor 
mínimo de f).
Modelação Matemática
O modo como a teoria matemática e as aplicações se relacionam é normalmente designado por 
matematização ou modelação matemática. Isto significa que, como afirma o matemático Ian 
Stewart: “Qualquer descrição matemática do mundo real é um modelo. Manipulando o modelo 
esperamos compreender algo da realidade. E já não perguntamos se o modelo é verdadeiro, pergun-
tamos unicamente se as suas implicações podem ser verificadas experimentalmente.”
Há vários modos de descrever o processo de matematização ou modelação matemática e o esquema 
que vamos apresentar é um deles.
Tudo começa com a escolha de um problema real que pode estar mais ou menos indefinido. Em 
seguida há que selecionar hipóteses: considera-se o atrito ou despreza-se, considera-se a espessura 
de um material ou despreza-se, etc. A validade das conclusões apenas pode ser considerada tendo 
como referência as hipóteses selecionadas. Só depois podemos enunciar o problema matemáti-
co propriamente dito: que equações ou inequações há que resolver, quais são as variáveis, o que é 
constante, etc.
Os problemas que envolvem a matemática nem começam apenas aqui, nem terminam aqui. Agora 
é, em princípio, clara qual a técnica matemática que pode ser usada, embora possa não ser muito 
simples chegar à solução. E se não existe teoria matemática adequada, ela tem que ser elaborada 
22 13. Funções trigonométricas
para que o problema possa ser resolvido. Esta é, historicamente, a génese de muitos resultados ma-
temáticos, muitas vezes iniciada por especialistas de áreas diversas.
Escolher
problema
real
Escolher
hipóteses
Enunciar
problema
matemático
Comparar 
com a
realidade
Interpretar
a solução
Resolvê-lo usando
técnicas
matemáticas
Elaborar relatório
(usar as conclusões para
explicar, predizer, decidir, ...
Mas o problema ainda não acabou! Há que ver qual o significado da solução no contexto do 
problema. 3 quê? –16 quê? Metros? Dias? Graus?
Se obtivermos –5 metros como comprimento de uma vedação, confrontando com a realidade sa-
bemos que tal não é possível; então das duas uma: ou errámos os cálculos ou as nossas hipóteses 
não são aceitáveis. Pode então ser necessário escolher novas hipóteses e repetir todo o processo até 
chegarmos a uma solução que, confrontada outra vez com a realidade, seja admissível.
Por fim há que elaborar um relatório em que a solução do problema é usada para explicar o fenó-
meno, ou prever a evolução futura, ou para servir de suporte a uma tomada de decisões. Do ponto 
de vista científico este passo é muito importante pois obriga o cientista ou equipa de cientistas a 
passar a escrito o que teve de fazer, surgindo por vezes ideias unificadoras ou generalizadoras que 
não ocorreram no decurso do processo. A comunicação sob a forma matemática é uma ferramenta 
importante nos dias de hoje para todos os cientistas e investigadores.
Retomemos o exemplo da população de coelhos num parque natural, situação modelada com uma 
função do tipo C(t)= 10000−5000cos πt
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
.
Nesta situação, o número de coelhos é o mesmo em cada ano. E se quisermos um modelo em que o 
número de coelhos aumente em cada ano, embora apenas 50 coelhos por mês? Então o novo mode-
lo terá de ser algo como C(t)= 10000−5000cos πt
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
+ 50t . 
O gráfico será então 
2313. Funções trigonométricas
0 10 20 30 40 50 60
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
x0
20
40
60
80
100
120
140
y
Obtemos um modelo de uma situação claramente diferente. Claro que os modelos usam valores sim-
plificados, que são apenas aproximações da realidade; um modelo será tanto melhor quanto essas 
aproximações estiverem mais próximas dos valores observados na realidade.
Todas as áreas do conhecimento usam as funções trigonométricas como modelos para variadas situ-
ações concretas. A Medicina não fica fora disso. Para modelar a pressão arterial fazem-se medições 
com aparelhos adequados; a pressão arterial é a pressão exercida pelo sangue contra a superfície 
interna das artérias. Atinge o valor máximo quando o coração ejeta o seu conteúdo na aorta e atin-
ge o valor mínimo quando o coração acabou de bombear para a aorta todo o sangue que continha. 
A pressão arterial é medida em milímetros de mercúrio, mmHg, unidade surgida quando Evangelis-
ta Torricelli inventou o barómetro de mercúrio, em 1643. Se dissermos que a pressão arterial de 
determinada pessoa é 120/80, isso quer dizer que o valor máximo atingido é 120 mmHg e o valormínimo é 80 mmHg. O melhor modelo para tal situação é dado por uma função trigonométrica. 
Suponhamos que um ciclo completo, ou seja o intervalo de tempo de um batimento cardíaco, é de 
aproximadamente 0,75 segundos. Atendendo ao que foi visto para as funções da família 
, um bom modelo será uma função visto que 
o valor máximo atingido é 120, o valor mínimo é 80 e o período é 3/4 = 0,75. O gráfico de tal fun-
ção é:
0 10 20 30 40 50 60
t0
5000
10 000
15 000
20 000
C
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
x0
20
40
60
80
100
120
140
y
24 13. Funções trigonométricas
síntEsE
O essencial passado em revista
O círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário cujo centro está colocado na origem 
de um referencial ortonormado XOY e onde se podem traçar os valores do seno, do cosseno e da 
tangente de qualquer ângulo:
seno
cosseno
tangente
Propriedades das funções trigonométricas
seno cosseno tangente
Domínio toda a reta real toda a reta real
toda a reta real 
exceto π
2
+ kπ , com k 
inteiro
Contradomínio [–1,1] [–1,1] toda a reta real
Período 2π 2π π
Simetrias ímpar par ímpar
Interseção com 
os eixos em 
[0,2π]
eixo dos YY (0,0)
eixo dos XX (0,0), 
(π,0), (2π,0)
eixo dos YY (0,1)
eixo dos XX (π/2,0), 
3π
2
,0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
eixo dos YY (0,0)
eixo dos XX (0,0), 
(π,0), (2π,0) 
Monotonia em 
]0,2π]
crescente nos interva-
los e 3π
2
,2π
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
, 
e decrescente no 
intervalo 
π
2
, 3π
2
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
crescente nos intervalos 
]0, 2π] e ]π,2π[ e decrescente 
no intervalo ]0,π[
crescente em 0, π
2
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
, 
π
2
, 3π
2
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
, 3π
2
, 5π
2
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
, ...
2513. Funções trigonométricas
Continuidade contínua em todo o seu domínio
contínua em todo o seu do-
mínio
contínua em todo o 
seu domínio
Assíntotas não tem não tem
assíntotas verticais 
 e 
em
Limites nos 
ramos infinitos não existem não existem não existem
Extremos em 
]0, 2π]
um máximo para 
x = π
2
 e um mínimo 
para x = 3π
2
um máximo para x = 2π e 
um mínimo para x = π não tem extremos
Gráfico
π
4
π
2
3 π
4
π
5 π
4
3 π
2
7 π
4
2 π
x
– 2
– 1
0
1
2
y
π
4
π
2
3 π
4
π
5 π
4
3 π
2
7 π
4
2 π
x
– 2
– 1
0
1
2
y
π
4
π
2
3 π
4
π
5 π
4
3 π
2
7 π
4
2 π
x
– 2
– 1
0
1
2
y
π
4
π
2
3 π
4
π
5 π
4
3 π
2
7 π
4
2 π
x
– 2
– 1
0
1
2
y
π
4
π
2
3 π
4
π
5 π
4
3 π
2
7 π
4
2 π
x
– 2
– 1
0
1
2
y
π
4
π
2
3 π
4
π
5 π
4
3 π
2
7 π
4
2 π
x
– 2
– 1
0
1
2
y
π
4
π
2
3 π
4
π
5 π
4
3 π
2
7 π
4
2 π
x
– 2
– 1
0
1
2
y
π
4
π
2
3 π
4
π
5 π
4
3 π
2
7 π
4
2 π
x
– 2
– 1
0
1
2
y
π
4
π
2
3 π
4
π
5 π
4
3 π
2
7 π
4
2 π
x
– 2
– 1
0
1
2
y
26 13. Funções trigonométricas
li
lição dE lógica MatEMática n.º 6
Aparecem frequentemente proposições do tipo “Para todos os números reais tem-se que ” ou 
do tipo “Há alguns números reais para os quais x 3 < 0 ”. As expressões “Para todos”, “Qualquer 
que seja”, “Existe” e “Há alguns” transformam uma condição como “ ” ou “ ” numa 
proposição. Chamam-se quantificadores. Veremos dois tipos de quantificadores:
a) o quantificador universal transforma uma condição com uma variável numa proposição, que 
será verdadeira apenas se a condição for universal. Se for conveniente pode usar-se um símbolo 
especial, ∀ , acompanhado, em baixo ou de lado, da variável que se quer quantificar. No exemplo 
dado, a escrita simbólica da proposição seria
∀
x∈
| x |≥ 0
b) o quantificador existencial transforma uma condição com uma variável numa proposição, que 
será verdadeira apenas se houver pelo menos uma substituição da variável que conduza a uma 
proposição verdadeira. Se for conveniente pode usar-se um símbolo especial, ∃ , acompanhado, 
em baixo ou de lado, da variável que se quer quantificar. No exemplo dado, a escrita simbólica 
da proposição seria
São exemplos de proposições verdadeiras:
, , , , , 
São exemplos de proposições falsas:
, , , , , ∃
y∈
(y < 0∧ y > 0)
É interessante observar-se que a negação de uma proposição com um quantificador existencial pro-
duz uma proposição com um quantificador universal e vice-versa. Com efeito:
- A negação de uma proposição obtida através da aplicação do quantificador existencial 
a uma condição é verdadeira se e somente se for verdadeira a proposição obtida aplicando o 
quantificador universal à negação da condição.
- A negação de uma proposição obtida através da aplicação do quantificador universal 
a uma condição é verdadeira se e somente se for verdadeira a proposição obtida aplicando o 
quantificador existencial à negação da condição.
Por exemplo, a negação de é . Como é verdadeira, temos que 
só pode ser falsa.
A negação de é . Como ∃
x∈
x 4 < 0 é falsa, temos que só pode ser ver-
dadeira.
2713. Funções trigonométricas
Eg
Exercícios globais
Pratica ↑
1. Para todo o número real , simplifica a expressão:
A(x)= cos(3π−x)+ cos π
2
+ x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
+ sen −3π
2
−x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
2. Resolve em 
 

 seguintes equações e inequações:
2.1 cosx = 2
2
2.2 sen(3x)= 1
2
2.3 cos 3x + π
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
= cos x + π
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
2.4 cos(2x)= sen(3x)
2.5 cos(x)≥ 2
2
2.6 sen(3x)>
1
2
3. Sabendo que lim
x→0
senx
x
= 1 prova que lim
x→0
x
senx
= 1 .
4. Calcula:
4.1 lim
x→0
sen 4x
2x
4.2 lim
x→0
sen(5x)
sen(−2x)
4.3 lim
x→0
tgx
2x
5. Determina o período das funções:
5.1 g(x)= sen(5x) 5.2 h(x)= 1+ tg(2x +1)
6. Determina a expressão analítica da derivada das funções: 
6.1 f (x)= cosx + sen x
6.2 g(x)=
cosx
cosx −1
6.3 h(x)= cosx + sen x
sen x +1
6.4 w(x)= cos3(3r)
28 13. Funções trigonométricas
7. Mostra que f (x)= senx e são soluções da equação .
8. Calcula o declive da reta tangente a cada uma das funções nos pontos 
8.1 f (x)= sen 3x 8.2 h(x)= cos3x − 3senx
9. Para cada uma das funções das alíneas seguintes indica: os intervalos em que são crescentes 
e em que são decrescentes e os extremos relativos de cada uma nos intervalos indicados.
9.1 f (x)=−(senx + cosx) em ]0,2π[
9.2 g(x)= sen2x − cosx em ]0,2π[
Pensa e Resolve ↑ ↑ 
10. Sendo , determina uma equação da reta tangente ao gráfico de 
f no ponto de abcissa .
11. Calcula:
11.1 lim
x→0
−sen2x
3x
11.2 lim
x→π
2
4 cosx
π−2x
12. 
12.1 Prova que para todo o número real , .
12.2 Com os valores exatos de cos π
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
 e cos π
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
, determina um valor exato para cos π
12
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
. 
13. Um jogador de golfe bate uma bola com velocidade inicial v
0
= 30m/s . Desprezando a re-
sistência do ar, a distância R, no plano horizontal, atingida pela bola é dada em função do 
ângulo por:
R(θ)=
v
0
2 sen 2θ
g
, onde g = 9,8m/s2
 R
2913. Funções trigonométricas
13.1 Calcula a distância para e para .
13.2 Determina o ângulo para o qual a distância é máxima.
13.3 Se a bola for batida com o ângulo obtido na alínea anterior., calcula a distância atin-
gida pela bola.
14. Na figura está representado um trapézio.
R
1 m
1 m 1 m
14.1 Determina o valor de para o qual a área é máxima.
14.2 Calcula o valor da área máxima.
15. Define, analiticamente, a tangente à função g(x)= 1− cos2 x
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
2
 no ponto de abcissa 
Reflete ↑ ↑ ↑
16. Mostra que a função tem pelo menos um zero no intervalo 0, π
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
. 
17. Considera a função h(x)= 3 cosx − senx . 
17.1 Escreve a função na forma h(x)= a sen(x −b) com .
17.2 Resolve a equação .
18. Prova que lim
x→+∞
senx
x
= 0 .
19. Prova que não existe .
30 13. Funções trigonométricas
consElHos para os ExaMEs – n.º 12
Cuidado com a trigonometria
O erro comum mais cometido por principiantes e profissionais é não ter cuidado com as unidades 
usadas. Quase todo o estudo feito no 12.º ano é em radianos, raramente se trabalha em graus. Vá-
rias fórmulas, como as de derivação, só são válidas quando os ângulossão medidos em radianos. Os 
gráficos ficam completamente diferentes em graus e em radianos. Por isso, deves verificar sempre se 
as unidades estão certas, sobretudo quando se usa uma calculadora ou computador.
O segundo erro mais comum tem a ver com os expoentes nas funções trigonométricas. A notação 
por vezes induz em erro mas não há notações 100% claras. Nota que
cos2 x = cosx( )2 , cos2x = cos(2x) , cosx 2 = cos(x 2)
Deves ter cuidado para não os confundir.
Quando usas a calculadora gráfica para traçar o gráfico de muitas funções trigonométricas (e outras 
funções), o que vemos no ecrã pode ser enganador quanto ao domínio. Consideremos por exemplo 
a função definida por
f(x) = senx
x
O gráfico obtido é algo como o seguinte:
Quando olhamos para ele somos tentados a afirmar que o domínio de f é toda a reta real, quando 
na realidade não é. A função f não está definida no ponto x = 0. Tal normalmente não é facilmente 
visível num gráfico pois se trata apenas de um único ponto no meio de centenas de outros. A lição 
a tirar é: um gráfico nunca diz tudo sobre uma função, devem sempre usar-se outros conhecimentos 
para estar seguro da sua conclusão.
3113. Funções trigonométricas
iE
Itens de exame
Escolha múltipla
1. Na figura está representado, num referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico.
x
y
E A
CO
DB
Sabe-se que:
- C é o ponto de coordenadas (1,0)
- os pontos D e E pertencem ao eixo Oy
- [AB] é um diâmetro do círculo trigonométrico
- as retas EA e BD são paralelas ao eixo Ox
- é amplitude do ângulo COA
- θ ∈ 0, π
2
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
Qual das expressões seguintes dá o perímetro da região sombreada na figura?
(A) 2(cos θ+ senθ) (B) cos θ+ senθ (C) 2(1+ cos θ+ senθ) (D) 1+ cos θ+ senθ
2. Na figura está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio 
igual a 1.
Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência.
32 13. Funções trigonométricas
O
x
Qual das expressões seguintes representa, em função de , a área da parte sombreada?
(A) π− sen(2x) (B) 
π
2
− sen(2x) (C) π−2sen(2x) (D) π−
sen(2x)
4
Resposta aberta
3. Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.
A figura 1 e a figura 2 representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combus-
tível distintas.
Os cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera.
 
O
B
A
C
O
B
A
C
 figura 1 figura 2
Sabe-se que:
- o ponto O é o centro da esfera;
- a esfera tem 6 metros de diâmetro;
- a amplitude θ , em radianos, do arco AB é igual à amplitude do ângulo ao centro AOB 
correspondente. 
A altura AC , em metros, do combustível existente no depósito é dada, em função de θ , por 
h, de domínio [0,π].
3313. Funções trigonométricas
Resolve os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
3.1 Mostra que h(θ)= 3− 3cos(θ) , para qualquer θ ∈]0,π[ .
3.2 Resolve a condição h(θ)= 3, θ ∈]0,π[ .
Interpreta o resultado no contexto da situação apresentada.
4. De duas funções f e g sabe-se que:
- f tem domínio 
 

 e é definida por f (x)= π− 4sen(5x)
- g tem domínio −
2π
3
,− π
3
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
 e g ' , primeira derivada de g, tem domínio −
2π
3
,− π
3
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
 é defini-
da por g '(x)= log
2
−
π
6
−x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
.
Resolve as seguintes questões recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
4.1 Calcula o valor de lim
x→0
senx
f (x)− π
.
4.2 Estuda a função g relativamente ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto 
à existência de pontos de inflexão no intervalo −
2π
3
,− π
3
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.
Resolve a seguinte questão recorrendo às capacidades gráficas da tua calculado-
ra.
4.3 Seja h a função, de domínio −
2π
3
,− π
3
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
, definida por 
O ponto A pertence ao gráfico da função h
Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função h no ponto A é paralela ao eixo Ox
Determina a abcissa do ponto A.
Na tua resposta, deves:
- equacionar o problema;
- reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiveres necessidade de 
visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
- indicar a abcissa do ponto com arredondamento às décimas.
34 13. Funções trigonométricas
5. Considera a função g, definida no intervalo ]1,7[ por g(x)= senx + lnx
x
.
(ln designa logaritmo na base e)
Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualiza o gráfico da função g e 
reproduz-lo na tua folha de prova.
Com base nesse gráfico e utilizando as ferramentas adequadas da sua calculadora, resolve 
o seguinte problema:
Seja a função derivada de g. O conjunto solução da inequação é um intervalo 
aberto ]a,b[. Determina os valores de a e de b. Apresenta os resultados arredondados às cen-
tésimas.
Justifica a tua resposta.
6. Na figura seguinte está representada uma artéria principal do corpo humano, cuja seção é um 
círculo com raio R, e uma sua ramificação, mais estreita, cuja seção é um círculo com raio .
 
A seção da artéria principal tem área A e a da ramificação tem área .
Seja 0, π
2
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
 a amplitude, em radianos, do ângulo que a artéria principal faz com a sua 
ramificação (medida relativamente a duas geratrizes complanares dos dois cilindros).
Sabe-se que .
Admitindo que o modelo descrito se adequa com exatidão à situação real, determina no 
caso em que os raios referidos verificam a relação .
7. Considera a função definida no intervalo [1,2] por (ln designa 
logaritmo de base e).
3513. Funções trigonométricas
Para um certo valor real positivo a e para um certo valor real b, a função g, definida no in-
tervalo [1,2] por , tem por contradomínio o intervalo [4,5].
Utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora, determina os valores de a e de b, ar-
redondados às centésimas.
Explica como procedeste. Na tua explicação deves incluir o gráfico, ou gráficos, que tenhas 
visualizado na calculadora, bem como coordenadas relevantes de algum, ou alguns, pontos. 
Sempre que, em valores intermédios, procederes a arredondamentos, conserva um mínimo de 
três casas decimais. 
8. Para a, b e n, números reais positivos, considera a função f, de domínio 
 
 , definida por 
f (x)= a cos(nx)+b sen(nx) 
Seja a segunda derivada de .
Mostra que , para qualquer número real x.
9. Considera a função f, de domínio ] ], definida por
f (x)=
ax +b+ex se x ≤ 0
com a,b ∈ 
x − sen(2x)
x
se 0< x ≤ 2π
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
Resolve os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
9.1 Prova que a reta de equação y = ax + b, com , é uma assíntota oblíqua do grá-
fico de f.
9.2 Determina o valor de , de modo que f, seja contínua em .
10. Na figura, está representado o quadrado [ABCD].
BA
CD
H F
G
E
Sabe-se que:
36 13. Funções trigonométricas
- 
- 
- x é amplitude, em radianos, do ângulo EAB.
- 
10.1 Mostra que a área da região sombreada é dada, em função de x, por 
10.2 Mostra que existe um valor de x compreendido entre para o qual a área da 
região sombreada é 5.
Se utilizares a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que procederes a 
arredondamentos, usa duas casas decimais.
3713. Funções trigonométricas
pg
Prova Global
90 minutos
1. O domínio da função f (x)= log(sen(x)) é:
(A) (B) 
(C) (D) 
2. A função g(x)= senx
x
 tem:
(A) uma assíntota vertical (B) uma assíntota horizontal
(C) uma assíntota oblíqua (D) não tem assíntotas 
3. A soma da soluções da equação , , é igual a:
(A) (B) (C) (D) 
4. A função é:
(A) par (B) ímpar (C) par e ímpar (D) nem par nem ímpar
5. Qual o valor de lim
h→0
sen(π+h)− sen(π)
h
? 
(A) –1 (B) 0 (C) 1 (D) 
6. 
O
N
P
M
x
y
s
r
Na figura, no referencial ortonormado xOy, está representado:
- O círculo trigonométrico de centro O
- A reta r tangente ao círculo trigonométrico no 
ponto M
- P é um ponto do círculo trigonométrico- O ângulo α ∈ 0, π
2
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
 é formado pelas semirretas 
Ox e Os
38 13. Funções trigonométricas
6.1 Prova que a área do triângulo [MNP] é dada, em função de , por A(α)= 1− senα
2tgα
. 
6.2 Prova que a derivada de é A'(α)= sen
3α−1
2sen2α
. 
6.3 Estuda a monotonia da função.
6.4 Calcula: e 
7. Mostra que (1+ cosx + senx)2 = 2(1+ cosx)(1+ senx) .
8. Resolve no intervalo [0,2π] a equação cos 2x + cos x – 2 = 0
9. A população de uma espécie de animais é modelada pela função P(t)= 1200cos π
5
t
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
+ 9000 
onde P(t) representa a população no ano t.
Numa composição indica as soluções das alíneas seguintes, utilizando quando entenderes 
como adequado as capacidades da calculadora gráfica.
9.1 Qual o período da função?
9.2 Apresenta o esboço do gráfico de P(t) num período.
9.3 Determina o máximo e o mínimo da função nesse período.
9.4 Estima o número de anos em que a população de animais é inferior a 8000.
10. Considera a função real de variável real g(x)= 1+ k senx se x < 0
k2 − senx se x ≥ 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
.
10.1 Determina de modo que g(x) seja contínua.
10.2 Se k = 1, justifica que existe c ∈ π
2
, 3π
2
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
, tal que g(c) = 1.
3914. A História dos números complexos
14. A História dos números complexos
“Não se pode realmente argumentar contra um teorema matemático.” 
Stephen Hawking (1942– )
“El-rei D. Pedro, o cruel, está na janela sobre a praceta onde sobressai 
a estátua municipal do marquês Sá da Bandeira. Gosto deste rei louco, 
inocente e brutal. (...) Ele diz um gracejo. Toda a gente ri. (...)”
in “Teorema” de Herberto Helder (1930– )
Imaginem uma sala repleta de pessoas a presenciar um acontecimento raro, curiosos uns, ansiosos 
outros, todos sem conseguir imaginar o final. Ar abafado, iluminação fraca como era comum no 
século XVI, silêncio pesado de se ouvir uma mosca a voar. Provavelmente numa sala da Universi-
dade de Bologna, Antonio Maria Fior e Niccolò Tartaglia tentavam mostrar quem era melhor ... 
a resolver equações. Estes verdadeiros duelos matemáticos eram importantes para conseguir bons 
contratos nas Universidades. As Universidades queriam os professores mais famosos pois os alunos 
depois escolheriam as universidades onde havia os professores mais famosos.
Niccolò Tartaglia (1499-1557)
Quem eram Antonio Maria Fior e Niccolò Tartaglia?
Antonio Maria Fior era um discípulo de um professor da Universidade de Bolonha (a universidade 
mais antiga do mundo), Scipione del Ferro, falecido pouco anos antes do duelo (5 de novembro 
de 1526). Tanto Antonio Maria Fior como Niccolò Tartaglia aspiravam a um bom lugar numa uni-
versidade italiana. 
Cada um teve de apresentar 30 problemas que o oponente deveria resolver. Quem resolvesse mais 
problemas ganharia o duelo. Cada problema resolvido pelo vencedor estava associado a um prémio. 
Neste caso cada problema valia um banquete para o vencedor e seus amigos, pago pelo derrotado: 
40 14. A História dos números complexos
30 banquetes por 30 problemas! A ideia era apresentar os problemas mais difíceis que cada um con-
seguisse resolver mas o oponente não o soubesse fazer ou demorasse muito tempo a fazê-lo.
A Universidade de Bolonha foi fundada em 1088
Antonio Maria Fior estava confiante que ganharia o duelo pois sabia resolver um tipo de equações 
que mais ninguém na época sabia resolver. Scipione del Ferro tinha feito essa descoberta mas não 
o tinha dito a ninguém para preservar a sua vantagem caso fosse desafiado para um duelo. Mas no 
leito de morte revelou ao seu discípulo o segredo (e também ao seu genro Annibale Della Nave, seu 
sucessor na Universidade de Bolonha). Assim Antonio Maria Fior sabia resolver equações do tipo
 
Tal foi um enorme avanço para a época pois apenas se sabiam resolver alguns casos particulares. 
Niccolò Tartaglia sabia resolver apenas o caso
 
que é menos geral que o anterior. Para este duelo, Antonio Maria Fior propôs apenas problemas que 
só se conseguissem resolver com o seu método. Por exemplo:
 “Encontra-me um número tal que quando a sua raiz cúbica lhe for adicionada, o 
resultado seja 6.”
“Um homem vende uma safira por 500 ducados, obtendo um lucro igual à raiz 
cúbica do seu capital. Qual foi o lucro?”
Il 
Pa
laz
zo
 d
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 G
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g
4114. A História dos números complexos
Por sua vez, Niccolò Tartaglia, um bom matemático, propôs uma série diversificada de problemas 
que se poderiam resolver pelo seu método mas também usando outras técnicas matemáticas. Contu-
do, não sabia realmente resolver os problemas propostos por Antonio Maria Fior. Será que Niccolò 
Tartaglia, apesar de ser um bom matemático, claramente melhor do que Antonio Maria Fior, iria 
perder o duelo pois não conseguiria resolver nenhum dos problemas propostos pelo seu oponente?
Os problemas eram apresentados publicamente com uma certa antecedência relativamente ao dia 
do duelo público. Até esse dia cada um dos contendores tinha tempo para se preparar devidamente. 
Então Tartaglia “atirou-se” ao caso que não sabia resolver e... o seu labor foi recompensado! Na ma-
drugada do dia do duelo Niccolò Tartaglia redescobriu o método de resolução de Scipione del Ferro.
Assim, no dia do famoso duelo, Tartaglia conseguiu resolver todos os 30 problemas de Fior (eram 
essencialmente todos iguais) e este não conseguiu resolver nenhum dos propostos por Tartaglia. 
Desta forma Tartaglia ganhou 30 banquetes, mas contentou-se com a fama de ter ganho o duelo e 
prescindiu dos banquetes... Foi generoso para com o vencido!
O duelo teve realmente repercussão e várias pessoas tentaram ficar a conhecer o novo método de 
resolução de equações do terceiro grau. O médico e matemático Girolamo Cardano foi muito insis-
tente junto de Tartaglia e conseguiu que este, com a promessa de não revelar o segredo, explicasse 
a Cardano como se resolvia a equação do terceiro grau de Scipione del Ferro.
Girolamo Cardano (1501-1576)
A revelação de Tartaglia a Cardano foi feita em verso:
“Quando o cubo junto com as coisas
Se iguala a algum número
Descobre dois outros que difiram do conhecido 
42 14. A História dos números complexos
E faz como é usual
Que o produto seja sempre igual
Ao cubo da terça parte das coisas
Então a diferença 
Dos seus lados cúbicos bem subtraídos 
Valerá a tua coisa principal (...)”
A “coisa” era a incógnita, digamos x. Então estes versos querem dizer que a equação seria do tipo
 
Para a resolver seria preciso encontrar dois números cuja diferença fosse igual ao número dado q: 
a – b = q, e cujo produto seja igual “ao cubo da terça parte das coisas”: 
A solução será igual à diferença das raízes cúbicas de a e de b.
Cardano não divulgou a fórmula de Tartaglia, como lhe prometera, mas em 1542 Cardano descobre 
que a fórmula estará nos documentos deixados pelo falecido Scipione del Ferro. Cardano desloca-se 
a Bologna, fala com Annibale Della Nave, descobre realmente a fórmula entre os documentos de 
Scipione del Ferro e obtém autorização de Annibale Della Nave para a publicar. Assim, em 1545, 
Girolamo Cardano publica uma das suas mais célebres obras, a Ars Magna (Arte Maior), onde in-
clui essa fórmula e discute muitos outros casos, referindo as prioridades de Scipione del Ferro e de 
Niccolò Tartaglia (o que era raro naqueles tempos).
Mas isto azedou completamente as relações entre Cardano e Tartaglia o que levou a que em 1548 
houvesse mais um grande duelo matemático entre Tartaglia e um aluno de Cardano, Lodovico Fer-
rari.
Mas onde aparecem os números complexos?
Ao analisar os diferentes casos da equação geral do 3.º grau
,
Cardano deparou-se com uma situação que o deixou perplexo e ninguém na época conseguiu expli-
car. Quando pretendia resolver a equação
,
ao aplicar o método que parecia funcionar bem noutras situações, aparecia o número .
Por um lado, ninguém sabia como lidar com tais números. Poroutro lado, a equação dada tinha 
pelo menos uma solução real, . Como fazer? Ninguém sabia!
No seu livro Ars Magna, Cardano encontra outra situação do mesmo tipo, ao resolver o problema: 
4314. A História dos números complexos
“dividir 10 em duas partes tal que o produto seja 40”. Cardano mostrou que as soluções deveriam 
ser
 e .
Cardano escreveu a propósito desse resultado: “Assim progride a aritmética subtilmente cuja finali-
dade, como se costuma dizer, é tão refinada quanto inútil.” E não discutiu mais o assunto.
O livro de Cardano foi um dos mais populares na sua época e foi lido em toda a Europa. Girolamo 
Cardano era um autor de livros científicos muito popular, escrevendo tanto sobre temas matemáti-
cos, como sobre medicina ou sobre temas científicos em geral.
Só 15 anos mais tarde a história dos números complexos conheceu mais desenvolvimentos, com a 
entrada em cena do engenheiro Rafael Bombelli. Nas horas vagas dos seus projetos de engenharia, 
Bombelli resolveu escrever um livro de Álgebra que fosse mais completo e mais fácil de ler do que 
o de Cardano.
Foi no livro de Álgebra de Bombelli que apareceu a primeira exposição aceitável dos números com-
plexos. Como resolveu Bombelli os problemas que deixaram Cardano sem saída? Ele estudou a 
equação
Aplicando os métodos já conhecidos, chegou à fórmula seguinte para a solução:
44 14. A História dos números complexos
Ele já sabia qua a solução era 4, mas queria obter esse valor a partir da fórmula. Para isso, usou as 
propriedades dos números complexos que ele desenvolveu e nós conhecemos hoje e usou a seguinte 
estratégia. Ele procurava números reais positivos a e b tais que
, 
Um cálculo simples permitiu concluir que os números reais positivos a e b deviam satisfazer 
 e . Em seguida tentou descobrir que valores podiam assumir a e b e con-
cluiu que devia ser e . Finalmente concluiu que a solução devia ser
E assim obteve a solução que pretendia encontrar.
Foi assim que nasceram os números complexos: para ajudar a descobrir algebricamente as soluções 
das equações do terceiro grau.
Só falta esclarecer o que aconteceu no grande duelo matemático de 1548 entre Niccolò Tartaglia e 
Lodovico Ferrari. O duelo teve lugar na Igreja de Santa Maria del Giardino em Milão, sendo árbitro 
Don Ferrante di Gonzaga, o Governador de Milão. Cada um colocou 62 problemas ao adversário. 
Lodovico Ferrari, aluno de Cardano desde os 14 anos, servindo como seu secretário pessoal e cola-
borador, era um brilhante matemático que conseguiu obter um método para resolver as equações 
do quarto grau, subdividindo-as em 20 casos diferentes. Era um matemático com uma vasta cultura 
matemática e, apesar de Tartaglia também ser muito bom, a verdade é que foi Ferrari que ganhou 
o duelo. Como consequência, Ferrari obteve um excelente emprego e Tartaglia foi despedido da Uni-
versidade de Brescia. Ferrari reformou-se aos 40 anos e foi viver para Bologna com a sua irmã que 
enviuvara há pouco (mas esta envenenou-o com arsénico para ficar com a fortuna dele; passado duas 
semanas da morte de Ferrari casou-se com alguém que fugiu com a sua fortuna e a irmã de Ferrari 
acabou por morrer na miséria).
Tartaglia nunca mais conseguiu um bom emprego e morreu na miséria 9 anos depois do duelo, na 
sua casa de Veneza.
Que história!
4515. A Álgebra dos números complexos
15. A Álgebra dos números complexos
“Adão e Eva são como números imaginários, como a raiz quadrada de 
menos um... Se a incluímos na nossa equação podemos calcular todo o 
tipo de coisas, que não podem ser imaginadas sem ela.” 
Philip Pullman (1946- )
“O i, número imaginário
com muita imaginação,
imaginara o cenário
para um filme de ficção.
A história começava
dentro duma equação
de segundo grau, e o vilão
era uma raiz quadrada
da fórmula resolvente
que assaltava à mão armada
um pobre x que passava,
roubando-lhe o expoente..”
História do i in “Pequeno livro de Desmatemática”, Manuel António Pina (1943–2012)
Aos números da forma a + bi, onde a e b são números reais e chamamos números com-
plexos. O conjunto dos números complexos representa-se por 
 

.
Num número complexo a + bi distinguimos a parte real, a, e a parte imaginária, bi.
Se b = 0, o número complexo tem apenas parte real, ou seja é um número real; isto significa que 
os números reais fazem parte dos números complexos.
Se b ≠ 0 ao número complexo chamamos imaginário, pelo que , , e 
são números complexos imaginários.
Se a = 0 e b ≠ 0, o número complexo tem apenas parte imaginária, ou seja, é da forma bi e chama-
-se então imaginário puro. Os números 2i, –3i e são imaginários puros.
Ao número i chama-se unidade imaginária.
46 15. A Álgebra dos números complexos
ExErcícios
1. Dos seguintes números indica quais são reais, quais são complexos, quais são imaginá-
rios e quais são imaginários puros:
2i,−3i,4i,1+ 2i,−2, 3, 2,i 3, 7 − i 7
2. Para cada um dos números seguintes indica qual a sua parte real e qual a sua parte 
imaginária:
1
2
, 1
2
−
1
2
i,2i + 5, 35 + i 76 ,1+ 3i,i
3. Escreve três números reais, três números complexos e três números imaginários. 
Sendo , passamos a poder resolver, no conjunto dos números complexos, certas equações 
que não podíamos resolver antes no conjunto dos números reais. Para isso basta definir o que se 
entende por , quando a é negativo. Definimos o seguinte: −a = a −1 = i a .
tr
tarEfa rEsolvida 1
Resolve, no conjunto dos números complexos, a equação .
rEsolução
A equação dada é equivalente a . Logo uma solução será x = −9 = i 9 = 3i .
Mas como temos quadrado, x =− −9 =−i 9 =−3i também será solução. 
Assim, a equação tem duas soluções no conjuntos dos números complexos: e 
.
tr
tarEfa rEsolvida 2
Resolve, no conjunto dos números complexos, a equação .
4715. A Álgebra dos números complexos
rEsolução
A fórmula resolvente pode ser usada aqui, do mesmo modo como o era antes no conjunto dos nú-
meros reais. Assim, as soluções são e x
2
=
−2+ −20
4
.
Mas como −20 = i 20 = 2i 5 , então as soluções são x
1
=
−2−2i 5
4
 e x
2
=
−2+ 2i 5
4
ou ainda x
1
=
−1− i 5
2
 e x
2
=
−1+ i 5
2
.
ExErcícios
4. Resolve as seguintes equações do segundo grau:
4.1 4.2 4.3 
Operações com números complexos
Se queremos adicionar os números complexos e , como deveremos proceder? A ideia 
é usar as operações conhecidas, generalizando-as para o trabalho com a unidade imaginária i:
Se quisermos subtrair esses dois números a abordagem deve ser a mesma:
(−3−2i)−(4− 5i)= (−3− 4)+ (−2i + 5i)
=−7+ (−2+ 5)i
=−7+ 3i
Ou seja, para adicionar dois números complexos, adicionamos as partes reais e adicionamos as par-
tes imaginárias. Para subtrair dois números complexos, subtraímos as partes reais e subtraímos as 
partes imaginárias.
Adição e subtração de números complexos – Se e são dois 
números complexos, então 
 
 
48 15. A Álgebra dos números complexos
H
História(s)
As primeiras raízes quadradas de números negativos
A primeira raiz quadrada de um número negativo que se conhece é e apareceu na Stere-
omerica de Herão de Alexandria (10 d.C. - 70 d.C.).
Reconstrução digital do Farol de Alexandria, uma das Sete Maravilhas do mundo antigo, construído 
em 280 a.C.
Outra, , foi encontrada por Diofanto (250 a.C. - 166 a.C.), que a obteve como pos-
sível solução de uma equação de segundo grau. Nenhum dos dois matemáticos levou este assunto 
a sério. Na realidade, se os números negativos, só por si, eram já considerados falsos, absurdos ou 
fictícios, não é de estranhar que as suas raízes quadradas nem sequer fossem tidas em consideração. 
Nos tempos modernos, o primeiro matemático que passou ao papel uma fórmula que incluía a raiz 
quadrada de um número negativo, aparentemente sem sentido, foi o matemático italiano Gerolamo 
Cardano. Ao discutir a possibilidade do número 10 ser dividido em duas partes cujo produto fosse 
40, mostrou que, embora este problema não tivesse solução racional, era possível obter uma resposta 
através de expressões matemáticas impossíveis:e .
Adaptado de “Números Notáveis”, Lamberto García del Cid, RBA, 2011
Ph
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g
4915. A Álgebra dos números complexos
Como proceder para multiplicar dois números complexos? Tentaremos partir das propriedades já 
conhecidas para os números reais e generalizar essas propriedades para os números complexos, re-
correndo nomeadamente à propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição. Por 
exemplo
 
Como , também será e podemos concluir que
 
Podemos então dar a seguinte definição:
Multiplicação de números complexos – Se e são dois nú-
meros complexos, então 
Para a divisão as coisas são mais complicadas. Como proceder quando temos ?
Conviria retirar a unidade imaginária do denominador. Para isso vamos introduzir um novo con-
ceito: o de número complexo conjugado. Dado o número complexo , o número complexo 
conjugado de é o número complexo . Ou seja, o conjugado de um número complexo 
é o complexo com a mesma parte real e com uma parte imaginária simétrica. Qual a vantagem de 
introduzir tal número? Se multiplicarmos um número complexo e o seu conjugado o resultado é 
surpreendente:
Ou seja, o produto de um número complexo e do seu conjugado é um número real. Então, se mul-
tiplicarmos o numerador e o denominador da fração acima pelo conjugado do denominador conse-
guiremos “expulsar” os números complexos do denominador. Vejamos:
 
Podemos então definir a divisão de números complexos (quando o denominador não é nulo, claro):
50 15. A Álgebra dos números complexos
Divisão de números complexos – Se e são dois números 
complexos, então 
Para calcular as sucessivas potências de números complexos não há dificuldades especiais a prever 
pois trata-se de multiplicações repetidas. Comecemos com a unidade imaginária. Como 
temos
e assim por diante. Como observamos, as potências de i vão-se repetindo, sendo . Assim, é 
fácil determinar o valor de qualquer outra potência de i; por exemplo
Se quisermos calcular uma potência arbitrária de outro número complexo podemos multiplicar 
sucessivamente o número complexo dado, mas podemos também usar a fórmula do binómio de 
Newton que continua a ser válida para os números complexos:
(a + bi)n =
0
n( )an + 1n( )an−1(bi)+ 2n( )an−2(bi)2 + ...
 ... +
k
n( )an−k(bi)k + ... + n−1n( )a(bi)n−1 + nn( )(bi)n
5115. A Álgebra dos números complexos
ExErcícios
5. Efetua as seguintes operações com números complexos:
5.1 
5.2 
5.3 
5.4 3− 1
2
i
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
×(−2−5i)
5.5 
5.6 
5.7 
5.8 
5.9 
5.10 i2014
6. Efetua as seguintes operações e apresenta o resultado na forma a + bi :
6.1 6.2 
 
7. Calcula .
8. Sabendo que e que determina
8.1 8.2 
52 15. A Álgebra dos números complexos
lE
lEitura(s)
Os números imaginários
Os números imaginários parecem não ter qualquer significado real; é como se o seu estudo tivesse 
de começar com a frase “era uma vez”. Euler (1707-1783) 
descreveu do seguinte modo o número imaginário: “nem 
nada, nem mais do que nada, nem menos do que nada...” O 
famoso matemático, depois de considerar que estes números 
eram impossíveis devido à sua própria natureza, sugeria que, 
já que existem na nossa mente, nada impede que se faça uso 
deles nos cálculos. Leibniz (1646-1716), também surpreendi-
do por este tipo de números, definiu-os como “esse anfíbio 
entre o ser e o não ser”. Podemos assim, facilmente perceber 
por que razão estes números tão “etéreos” e “fantasmagóri-
cos” não agradavam aos matemáticos.
Foi Leonhard Euler quem, em 1777, batizou a raiz quadrada 
da unidade negativa com o símbolo i (de imaginário) e lhe 
atribuiu esta designação depreciativa. Todo o número pura-
mente imaginário pode ser escrito como ib, onde b é um nú-
mero real e i a unidade imaginária, com a propriedade i2 =−1
Euler usou −1 em somas infinitas, o que conduziu à descoberta da extraordinária fórmula eiπ =−1
Estator de um motor de corrente alternada
Curiosamente, depois dos matemáticos terem dado à luz os números imaginários, verificou-se que se 
aplicavam de forma estranha e “apropriada” a elementos teóricos da corrente elétrica alternada. De 
fato, recorrendo aos números imaginários, é possível calcular, calibrar e controlar dispositivos tão 
úteis na nossa vida quotidiana como os estatores dos transformadores de corrente.
Adaptado de “Números Notáveis”, Lamberto García del Cid, RBA, 2011
St
at
or
 e
in
es
 U
ni
ve
rsa
lm
ot
or
 p
or
 M
ar
rrc
i, 
ht
tp
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ki/
Fi
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St
at
or
_e
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es
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ve
rsa
lm
ot
or
.J
PG
Laplace: “Leiam Euler, leiam Euler, ele 
é o mestre de todos nós”.
5315. A Álgebra dos números complexos
síntEsE
O essencial passado em revista
Números complexos: números da forma a + bi, onde a e b são números reais e 
O conjunto dos números complexos representa-se por 
 

Parte real do número complexo a + bi: a
Parte imaginária do número complexo a + bi: bi
Número imaginário: número complexo a + bi com b ≠ 0
Número imaginário puro: número complexo a + bi com a = 0 e b ≠ 0
Número complexo conjugado de c + di é o número complexo c – di
Ao número i chama-se unidade imaginária.
−a = a −1 = i a
Adição de números complexos: Se e são dois números complexos, então 
 
Subtração de números complexos: Se e são dois números complexos, então 
 
Multiplicação de números complexos: Se e são dois números complexos, 
então 
Divisão de números complexos: Se e são dois números complexos, então
 
As potências de números complexos calculam-se pela fórmula do binómio de Newton:
(a + bi)n =
0
n( )an + 1n( )an−1(bi)+ 2n( )an−2(bi)2 + ...
 ... +
k
n( )an−k(bi)k + ... + n−1n( )a(bi)n−1 + nn( )(bi)n
54 15. A Álgebra dos números complexos
Eg
Exercícios globais
Pratica ↑
1. Calcula a soma e o produto dos complexos se:
1.1 z1 = 4+ 5i e z2 = 3−2i
1.2 z
1
= 0,5−3,2i e z
2
= 1,5−0,8i
2. Determina a diferença e o quociente quando:
2.1 z1 = 3+ 4i e z2 = 0,4−0,2i
2.2 z1 = 1−2i e z2 = 0,6
3. Escreve na forma a + bi os seguintes números complexos:
3.1 i17 + i18 + i19 + i20 3.2 2i
1
2
+ 3
2
i
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
− 1
2
+ 3
2
i
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
4. Determina o valor de x para o qual o complexo 
4.1 seja um imaginário puro;
4.2 seja um número real;
4.3 tenha o seu afixo na bissetriz do primeiro quadrante.
5. Calcula k de modo que o número seja um imaginário puro.
6. Dados os números complexos 3−bi e a + 2i , calcula a e b de modo que o seu produto seja 
.
Pensa e Resolve ↑ ↑
7. Prova que é o inverso de . 
5515. A Álgebra dos números complexos
8. Resolve em 
 

 a equação .
9. Determina os números reais x e y de modo que .
Reflete ↑ ↑ ↑
10. Dados três números complexos sabemos que é o conjugado de e que é o 
conjugado do simétrico de . Qual a relação entre ?
11. Resolve em 
 

 a equação , onde z designa o conjugado de z.
56 15. A Álgebra dos números complexos
consElHos para os ExaMEs – n.º 13
Estratégias para elaborar relatórios ou composições
Vários problemas ou tarefas exigem uma resposta mais completa, incluindo alguma discussão e uma 
ou mais conclusões. Um possível guião para uma resposta a tal tipo de problemas é apresentado 
a seguir. Podes usar este mesmo guião quando quiseres responder de forma mais completa a uma 
tarefa deste manual, pois assim estás a aprofundar a tua compreensão sobre o tema envolvido na 
tarefa, o que constitui uma excelente preparação para o exame.
GuIãO
Introdução:
Apresenta a tarefa proposta e indica qual o seu objectivo, usando as tuas próprias palavras.
Desenvolvimento:
Relata os passos do trabalho realizado, explicando como pensaste e quais as estratégias usadas. 
Descreve as dificuldades sentidas e como as ultrapassaste. 
Conclusão:
Apresenta as conclusões obtidas, devidamente fundamentadas (podes recorrer a tabelas, represen-
tações gráficas ou esquemas).Quando se tratar de uma tarefa de estudo podes acrescentar o seguinte.
Lições a tirar:
Faz um comentário global sobre o trabalho desenvolvido. Resume o que aprendeste. Comenta o 
interesse da tarefa.
Adaptado de “Os relatórios escritos na regulação das aprendizagens em Matemática” 
de Sílvia Semana e Leonor Santos
5715. A Álgebra dos números complexos
iE
Itens de exame
Escolha múltipla
1. Sejam e dois números reais e sejam e 
dois números complexos.
Quais são os valores de e de para os quais é igual ao conjugado de ?
(A) k =−1 e p = 3 (B) k = 1 e p = 3 (C) k = 0 e p =−2 (D) k = 1 e p =−3
2. Qual das opções seguintes apresenta duas raízes quadradas de um mesmo número complexo?
(A) 1 e i (B) −1 e i (C) 1− i e 1+ i (D) 1− i e −1+ i
3. Em 
 

, conjunto dos números complexos, seja a unidade imaginária.
Seja um número natural tal que .
Indica qual dos seguintes é o valor de .
(A) 1 (B) i (C) –1 (D) –i
Resposta Aberta
4. Designando i a unidade imaginária e o conjugado do complexo z = 1 + xi, determina o 
número real x que verifica a condição .
5. Designando por i a unidade imaginária, determina os números reais m e k de modo que 
 e k – ki sejam designações equivalentes.
6. Considera os complexos z = a + 3i e .
6.1 Investiga se existem valores de a para os quais é imaginário puro.
6.2 Supõe que . Determina uma equação de 2.º grau de coeficientes reais, 
cujas raízes são z e .
7. z e (conjugado de z) designam respetivamente os números complexos x + yi e x – yi 
( ).
58 15. A Álgebra dos números complexos
7.1 Prova que: “Se , então z representa um número real ou um número imaginário 
puro”.
7.2 Mostra que .
8. Mostra que:
8.1 e 5i 64 são designações equivalentes.
8.2 
1
cosx + i senx
= cosx − i senx,∀x ∈  
5915. A Álgebra dos números complexos
pg
Prova global
45 minutos
1. Em 
 

 calcula (conjugado de z) sabendo que .
2. Considera os números complexos e com . Determina x e y de 
modo que seja um número real e um imaginário puro.
3. Resolve em 
 
 a equação: .
4. Escreve na forma a + bi o número complexo .
5. Mostra que: .
60 16. A Geometria dos números complexos
16. A Geometria dos números complexos
“Que o tema dos números imaginários tenha estado rodeado de obscuridade misteriosa deve 
ser atribuído largamente a uma notação mal adaptada. Se, por exemplo, +1, –1 e a raiz 
quadrada de –1 se tivessem chamado unidades direta, inversa e lateral, em vez de positiva, 
negativa e imaginária (ou mesmo impossível), tal obscuridade teria estado fora de questão.” 
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
“Não pode haver raízes quadradas de números negativos. Mas... basta imaginar que pode haver, e já há! 
Tão simples como isso...
Hoje, os números imaginários (o i e os seus múltiplos: o 2i, o 3i, o 4i e por aí adiante), são absolutamente 
imprescindíveis para os mais rotineiros cálculos de engenharia e de física. E a matemática já não pode pas-
sar sem eles. Afinal os números imaginários são tão “reais” como os “números reais”!”
Os números imaginários in “Pequeno livro de Desmatemática” de Manuel António Pina (1943-2012)
Representamos graficamente os números reais na reta real. Como representar graficamente os nú-
meros complexos? É lógico que pensemos em representar a parte real de um número complexo na 
reta real. O que fazer da parte imaginária? Talvez a possamos representar numa outra reta, mas 
diferente da anterior, nomeadamente numa reta perpendicular à reta real. Assim, a cada complexo 
z = a +bi com a e b números reais, podemos associar um e um só ponto do plano de coordenadas 
(a,b):
x
y
a + bi
|z|
Reciprocamente, a cada ponto (a,b) do plano podemos também associar um e um só número com-
plexo z = a +bi . Por esta razão ao plano cartesiano chama-se também plano complexo (e tam-
bém plano de Argand ou plano de Argand-Gauss). Ao ponto (a,b) do plano complexo que 
corresponde ao número complexo z = a +bi chama-se afixo de z = a +bi . Esta representação 
geométrica dos números complexos faz aparecer, como já esperávamos, a parte real no eixo dos XX 
(a parte real é a abcissa do afixo do complexo) e a parte imaginária no eixo dos YY (o coeficiente 
da parte imaginária é a ordenada do afixo do complexo).
6116. A Geometria dos números complexos
A distância do ponto de coordenadas (a,b) à origem chama-se módulo do número complexo 
z = a +bi , representa-se por ρ =|a +bi |=|z | e, pelo teorema de Pitágoras, é igual a 
|z |=|a +bi |= a2 +b2
À medida do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo real positivo OX e cujo lado extremi-
dade é a semirreta de origem O e que passa pelo ponto (a,b) chama-se argumento de z = a +bi 
e representa-se por .
x
y
a + bi
Cada número complexo pode igualmente ser representado pelo vetor do plano cujas coordenadas 
são (a,b).
Diz-se que z = a +bi tem por imagem vetorial o vetor 
u de coordenadas (a,b) ou que u(a,b) é 
o vetor imagem de z = a +bi .
Não iremos entrar em muitos detalhes, mas precisamos de saber que todas as propriedades que 
conhecemos dos vetores são também cumpridas pelos números complexos. Podemos agora fazer a 
interpretação geométrica das operações com números complexos usando vetores.
A soma de dois números complexos é obtida do mesmo modo que a soma de dois vetores, recorren-
do nomeadamente à regra do paralelogramo já usada nos vetores. Se o vetor tiver por coor-
62 16. A Geometria dos números complexos
denadas (a,b) e o vetor z
2 
tiver por coordenadas (c,d) então o vetor s terá por coordenadas (a + c, 
b + d). O mesmo acontece com os respetivos afixos, os complexos z
1
= a +bi , z
2
= c+di e 
s = (a +c)+ (b +d)i .
Podemos visualizar geometricamente o simétrico de um número complexo. Se o vetor tiver por 
coordenadas (a,b) então o vetor simétrico −z
 
 terá por coordenadas (–a,–b). O mesmo acontece com 
os respetivos afixos, os complexos z = a +bi e −z =−a −bi .
Podemos também interpretar geometricamente o conjugado de um número complexo. Se o vetor 
tiver por coordenadas (a,b) então o vetor conjugado terá por coordenadas (a, –b). O mesmo aconte-
ce com os respetivos afixos, os complexos z = a +bi e z = a −bi :
ExErcícios
1. Representa graficamente os números complexos: 
4 – 3i; 4; –3i; –4 – 3i; –4 + 3i; 3i; –4.
2. Efetua algébrica e graficamente estas operações com números complexos:
(4 – 3i) + (1 + 2i); (–4 – 3i) + (1 – 2i); (4 – 3i)i; (1 + 2i)i; (–5 – 2i)i.
3. Representa graficamente o simétrico e o conjugado de
3.1 2 – 3i
3.2 5 + 2i
3.3 6i
3.4 –2
3.5 –2 + 3i 
6316. A Geometria dos números complexos
Forma trigonométrica
A forma algébrica de um número complexo z = a +bi não é a única maneira de representar um 
número complexo. Recordemos que a distância do ponto de coordenadas (a,b) à origem se chama 
módulo do número complexo e que se representa por ρ =|a +bi |=|z | . Por outro lado, a medida do 
ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo real positivo OX e cujo lado extremidade é a semir-
reta de origem O e que passa pelo ponto (a,b) chama-se argumento de z = a +bi e representa-se 
por . 
Estas duas quantidades são suficientes para definir sem ambiguidade todos os números complexos 
diferentes de zero. Ou seja, dados números reais positivo e qualquer, existe apenas um nú-
mero complexo z não nulo cujo módulo é e cujo argumento é . Com efeito, todos os números 
complexos cujo módulo for têm o seu afixo a uma distância da origem (ou seja, sobre uma 
circunferência de centro na origem e raio ): todos os números complexos cujo argumento seja 
têm o seu afixo sobre uma semirreta que começa na origem das coordenadas e faz um ângulo 
radianos com o semieixo positivo OX. Há um único ponto que satisfaz as duas condições. Esse será 
o afixo do complexo z de módulo e argumento . 
Conclui-se imediatamente que a abcissa do afixo de z é igual a ρ cos θ e a ordenada do afixo de z é 
igual a ρ sen θ . No caso do complexo ser nulo o módulo é igual a zero e o argumento pode ser