Matemática Básica: Conjuntos e Operações

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MATEMÁTICA
DIA 14-01-2018
 			Professor Naim
AULA 01
1- COMO CHUTAR UMA QUESTÃO?
Primeiro você as mais parecidas (se tem mais positivo, negativo, números inteiros). Depois, quando terminar a prova, como a proporção é 20% em cada alternativa, conta quantas (a, b, c, d ou e) tem menos questões marcadas.
DICA: ver o site www.khanacademy.org.br - EXERCÍCIOS
2- CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS:
NATURAIS (IN): pode ser representado por outra expressão, não é obrigatório que seja o “IN”. São somente os números inteiros e positivos, ou seja, IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}.
*IN = o asterisco indica que esse conjunto de números naturais NÃO abrange o zero IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}.
-Os numero naturais são os que mais caem nas provas. Exemplo de como cai: “há duas respostas possíveis, dentre as alternativas, quais sejam: -5 e 4, e no inicio da questão está escrito – SABENDO QUE O RESULTADO É UM NÚMERO NATURAL – temos que a resposta é 4, pois número negativo não é natural.
INTEIROS (Z): são números obviamente “inteiros”, representados pelos negativos e positivos, ou seja, Z = {...,-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}.
RACIONAIS (Q): são representados pelas frações (-1/2), decimais (0,1) e dízimas periódicas (é número infinito e o último se repete indefinidamente; ex.: 2,444444...).
Q = {..., -2, ..., -1/2,...1,...,2,4444... }.
IRRACIONAIS: são representados apenas por dízimas NÃO periódicas. Exemplo clássico é o “PI”, representado por π = 3,1415962... (infinitos números, porém, o último que “vemos” não é repetido, são números distintos).
REAL: é o conjunto de TODOS os números citados acima.
QUESTÃO DO TJ-SP
1) Assinale INcorreta: o número √4 é classificado como:
o número citado é 2...
a) Natural 
b) Inteiro
c) Racional
d) Irracional (não é irracional, pois não é número infinito não periódico).
e) Real
2) Qual o resultado da divisão de 486 por 12?
3- OPERAÇÕES COM NÚMERO RACIONAIS:
-DECIMAIS:
Na soma e na subtração, devemos colocar vírgula embaixo de vírgula.
Exemplo: 0,11
 + 10,01
 10,12
Na multiplicação: devemos contar as casas da direita para esquerda (ver quantos números tem depois da vírgula e contar essa quantidade da esquerda para direita para incluir o zero no resultado).
Exemplo: 0,09
 X 0,4
 036
 000 
 0,036
Na divisão: primeiro devemos igualar as casas, depois cancelar a vírgula e os zeros à esquerda (a expressão “você é um zero a esquerda” = você não vale nada).
Exemplo:
-FRAÇÕES:
Na multiplicação: é simples.
Exemplo: __2__ . ___4__ = 8___
 3 5 15
Na divisão: copia-se o primeiro e multiplica-se pelo inverso do segundo.
Exemplo: ___2 _ ÷ ___4 _ = ___2 _ . ___5 _ = 10_
 3 5	 3 4 12
ATENÇÃO, normalmente, no gabarito, a resposta é o menor número que podemos chegar, ou seja, ao invés de 10/12, pode estar 5/6 (pois, dividindo o 10 por 2, chegamos no número 5 e dividindo 12 por 2 resulta de 6), pode estar ainda em número decimal, ou seja, 0,8 que é o resultado de 5 dividido por 6.
Na soma e na subtração: temos que tirar o MMC (mínimo divisor comum) do denominador; dividir pelo numero de baixo e multiplicar pelo de cima.
Exemplo: __2__ + __3__ = 8 + 9___ = ___17___
 3 4 12 12
*Como calcular o MMC:
-Assim, o MMC de 3 e 4 é 12.
-REGRAS:
ORDEM RESOLUÇÃO: 
1º parênteses ( )
2º colchetes [ ]
3º chaves { }
Exemplo: [6 - (2 + 4) . 3] = [6 – 6 . 3 ] = 6 – 18 = – 12
1º potenciação
2º multiplicação e divisão
3º soma e subtração
Exemplo: 2 + 5 . 3 = 2 + 15 = 17
Em exercício, sempre devemos multiplicar primeiro (o dobro de bananas mais 10 maças, prestar atenção, pois pode vir em forma de texto).
-SINAIS:
Na soma e subtração:
-sinais iguais, soma e mantem o sinal. Exemplo: – 2 – 7 = – 9
-sinais diferentes, subtrai e mantem o maior. Exemplo: +2 – 7 = –5
Na multiplicação e na divisão
-sinais iguais, fica POSITIVO. Exemplo: +2 . + 3 = + 6 ou – 30 dividido por – 10 = + 3
-sinais diferentes, fica NEGATIVO. Exemplo: +3 . –2 = – 6
EXERCÍCIOS PÁGINA 7 e 8 DA APOSTILA.
4- POTENCIAÇÃO
an = a . a . a . a …
a = base
n = expoente
Exemplo 1 4³ = 4 . 4 . 4 = 64
Exemplo 2 6¹ = 6 (todo número diferente de zero e elevado a um é o próprio número).
3°= 1 (caso o número seja zero, essa regra não é verdadeira).
Assim, temos que todo número (com exceção do próprio 0) elevado a zero resulta em 1. Porém, quando a base for zero e tivermos qualquer número no expoente, o resultado será zero (0¹= 0).
O expoente (que fica em cima), NUNCA poderá ser negativo. Caso esteja, para transformarmos em positivo, basta inverter a base.
Exemplo: 
-Base negativa e expoente ímpar, resultado negativo.
Exemplo: –4³ = (– 4) . (– 4) . (– 4) = – 64 (pois, menos com menos dá mais, mais com menos dá menos)
-Base negativa e expoente par, resultado positivo.
Exemplo: –4² = (– 4) . (– 4) = + 16 (pois, menos com menos, dá mais).
-Quando tem parênteses separando dois expoentes, devemos multiplicar. Vejamos:
Exemplo: (– 1²)² = -1⁴ = (– 1).( – 1).( – 1).( – 1) = +1
-Quando não tem parênteses separando dois expoentes, devemos potencializar o primeiro sobre o segundo. Vejamos:
Exemplo: – 1² ³ = – 1².².² = – 1⁸ = + 1
EXERCÍCIO:
Uma base de número dois e três expoentes sobrepostos de 2, assim, temos:
+ 2 ².².² = 2 ⁴ . ² = 2 ⁴. ⁴ (resposta = base 2 e expoente 16).
-BASES IGUAIS:
Na multiplicação, soma os expoentes.
Exemplo: 2 ⁴ . 2 ² = 2 ⁴ + ² = 2 ⁸
Na divisão, subtrai os expoentes.
Exemplo: 2 ⁴ ÷ 2 ² = 2 ⁴ - ² = 2 ²
CUIDADO!!!
(– 2 ⁴) = (–2). (–2). (–2). (–2) = +16
– 2 ⁴ = – 2 . 2 . 2 . 2 = –16 
**Ou seja, quando não há parênteses, o sinal que está no começo só é transpassado para o resultado final, não é colocado na multiplicação.
5- RADICIAÇÃO:
Sempre que não tiver expressado, o enunciado quer saber a raiz quadrada.
Exemplo: √3
Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à potenciação, sendo assim, ela é utilizada para representar, de maneira diferente, uma potência com expoente fracionário.
CUIDADO, sabemos que a raiz quadrada de + 4 é +2 e –2, pois, tanto se multiplicarmos (+2) . (+2), bem como (– 2) . (– 2), obteremos o resultado + 4. No entanto, o enunciado pode falar, na resposta, que o resultado é um número natural, assim, devemos assinalar apenas +4.
*NÃO EXISTE RAIZ QUADRADA DE -4, pois número negativo multiplicado por número negativo dá positivo, assim, impossível achar a raiz quadrada negativa, quando o “n” for par, ou seja, raiz quadrada, quarta, sexta.
*JÁ, se for RAIZ cubica (“n” é ímpar), conseguimos encontra-la mesmo se o número for negativo. Por exemplo: raiz cubica de oito é +2; já a raiz cubica de menos 8 é –2, pois temos que: (– 2) . (–2). (–2) = –8.