Modelagem Matemática (2)

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Modelagem Matemática
AULA DIA: 11/08/20 
Prof. CARLOS ASSIS
Aritmética Computacional - Exemplo 1:
Aritmética Computacional – 
Exemplo 2:
Aritmética Computacional – 
Exemplo 3:
Exercícios:
 Converter o número (35)10 para base binária. 
 Converter o número (2000)10 para base binária.
Converter o número (633)10 para base binária.
RESOLUÇÃO:
Resolução:
Aritmética Computacional – o Contrário 
Exemplo 4:
Aritmética Computacional – 
Exemplo 5:
EXERCÍCIO:
 Converta o número binário (1011)2 para a base decimal.
Resolução:
Exercício – Continuação:
 Converta o número binário (10011011)2 para a base decimal.
Resolução:
Exemplo:
Adição de Números Binários:
Exemplo 1:
REGRA:
Mais Exemplos:
Mais um Exemplo:
Para praticar......
Exercícios Extras!!!!!
Converter (145)10 para base binária.
Resolução:
Exercícios Extras:
Converter o binário (10110101)2 para base decimal.
Resolução:
Exercício Extra!!!!
	Efetuar 0111002 + 0110102
Resolução:
Resoluções:
1) base 2
2) (10100)2 = (20)10 ; (11110)2 = (30)10 ; (1100100)2 = (100)10 ; (10000)2 = (16)10 ;
(10101)2 = (21)10 ; (11001)2 = (25)10 ; (10010)2 = (18)10
3) (29)10 = (11101)2 ; (38)10 = (100110)2; (23)10 = (10111)2; (9)10 = (1001)2 ; (40)10 = (101000)2;
(10)10 = (1010)2 ; (50)10 = (110010)2 ; (4)10 = (100)2 ; (46)10 = (101110)2; (60)10 = (111100)2
4) 1º) (10100)2
 2º) (1111)2
 3º) (101000)2
Até a próxima semana!!
Modelagem Matemática
AULA DIA: 18/08/20 
Prof. CARLOS ASSIS
Subtração de Números Binários: Exemplos
Conversão de Octal - Decimal
BASE HEXADECIMAL – BASE (16): 
Outros Exemplos: 
Conversão de Hexadecimal - Decimal
Exercícios Propostos:
1) Converter o decimal (2834)10 para base octal.
 2) Converter o octal (4536)8 para base decimal.
 3) Converter o hexadecimal (1E2)16 para base decimal.
Resolução nº 1:
Resolução nº 2:
Resolução da nº 3:
Solução de equações de uma variável - Parte I
Se f(x) assume valores de sinais opostos no intervalo (a,b), isto é, f(a).f(b) < 0, então existe pelo menos uma raiz real (c) no intervalo.
Exemplos para Serem Resolvidos:
A função f(x) = x4 – 3x – 1 admite alguma raiz real no intervalo (1,2)? 
Resolução: 
f(1) = 14 – 3.1 – 1 = 1 – 3 – 1 = - 3.
f(2) = 24 – 3.2 – 1 = 16 – 6 – 1 = 9.
Então, f(1).f(2) < 0. Logo, Pelo Teorema de Bolzano, existe uma raiz entre (1,2).
Continuando.....
A função f(x) = x3 + x + 1 admite alguma raiz real no intervalo (-1,0)? 
Resolução: 
f(-1) = (-1)3 + (-1) + 1 = -1 – 1 + 1 = - 1.
f(0) = 1.
Então, f(-1).f(0) < 0. Logo, pelo Teorema de Bolzano, existe uma raiz no intervalo (-1,0).
Exercícios Propostos:
1) Mostre que a equação 
2) Qual das equações seguintes tem pelo menos uma raiz real, no intervalo (1,2)?
não admite nenhuma raiz real positiva no intervalo (0,3).
RESOLUÇÃO:
1) f(0) = -1. 
f(3) = 33 – 10.32 + 5.3 – 1 = 27 – 90 + 15 – 1 = - 49.
Então, f(0).f(3) é positivo. Logo, não terá raízes nesse intervalo.
2) 1ª equação: f(1) = +5; f(2) = +51 --- não é essa equação!
 2ª equação: f(1) = +68/3; f(2) = +130/3 ---- não é essa equação!
 3ª equação: f(1) = - 4; f(2) = -6 ---- não é essa equação!
 4ª equação: f(1) = -5; f(2) = + 18 ---- Como f(1).f(2) é negativo. Logo, é essa equação!!
Modelagem Matemática
AULA DIA: 25/08/20 
Prof. CARLOS ASSIS
Exercícios Propostos:
1) Descubra uma raiz real (com 4 algarismos decimais exatos!!!!!) pelo método da bissecção:
 x4 + x – 7 = 0 ---- x ≈ 1,5313.
 x3 + 2x + 10 = 0 ----- x ≈ - 1,8438.
Resolução:
f(1) = -5; f(2) = 11 -----(1,2)
Xm = 3/2 = 1,5. (1ª iteração)
f(1,5) = 1,54 + 1,5 – 7 = -0,4375
f(1,5).f(2) é negativo! ----- (1,5; 2)
Xm = (1,5 + 2)/2 = 1,75 (2ª iteração)
f(1,75) = 1,754 + 1,75 - 7 = 4,1289 
f(1,5).f(1,75) é negativo! -----(1,5; 1,75)
Xm = (1,5 + 1,75)/2 = 1,625
f(1,625) = 1,6254 + 1,626 – 7 = 1,5979
f(1,5).f(1,625) é negativo! -------(1,5;1,625)
Xm = (1,5 + 1,625)/2 = 1,5625
f(1,5625) = 0,5229
f(1,5).f(1,5625) é negativo! ------- (1,5; 1,5625) ---- Esse é o intervalo que contém pelo menos uma raiz. 
Xm = (1,5 + 1,5625)/2 = 1,53125 ------------------------ esse valor é a raiz aproximada!!
f(1,53125) = 0,0289 (*)
Exercícios Propostos: (método da falsa posição)
 Calcular até a terceira casa decimal, a raiz de: 
X3 – 36x + 72 = 0.
X3 + 6x – 15 = 0.
 
► Resolver o seguinte problema: “Algum número real somado a 1 é exatamente igual a seu cubo?”
Resolução:
A) f(0) = 72; f(1) = 37; f(2) = 8; f(3) = -9 ------- Intervalo inicial = (2,3).
Regra da falsa posição = ( 2.(-9) – 3.8)/(-9 –8) = (-18 -24)/-17 = -42/-17 = 2,470.
B) f(1) = -8; f(2) = 5 ........... Intervalo inicial = (1,2).
Regra da falsa posição = ( 1. 5 – 2.(-8))/(5 –(-8)) = 21/13 = 1,615.
Problema: x + 1 = x3 ------ x3 – x – 1 = 0.
f(1)= - 1 e f(2) = 5 ---------- Intervalo Inicial = (1,2)
Regra da falsa posição = ( 1. 5 – 2.(-1))/(5 –(-1)) = 7/6 = 1,166
Modelagem Matemática
AULA DIA: 01/09/20 
Prof. CARLOS ASSIS
PARA PRATICAR.....
Prove usando o Método de Newton-Rapson que 1,0754 é um valor aproximado, da raiz positiva da equação
Resolução....
X0 = 2; f’(x) = 6x5 + 6
1ª iteração: X1 = 2 – f(2)/f’(2) = 2 – 68/198 = 2 – 0,3434 = 1,6565
2ª iteração: X2 = 1,6565 – f(1,6565)/f’(1,6565) = 
= 1,6565 - 22,599871/80,835635 = 1,37692
3ª iteração: X3= 1,37692 – f(1,37692)/f’(1,37692) = 1,0973
4ª iteração: X4 = 1,0761
5ª iteração: X5 = 1,0754
6ª iteração: X6 = 1,0755 
Vamos Revisar.....
Questões que já caíram em Provas...
1) Determine a raiz da função f(x) = x3 – 10 pelo método da bisseção, considerando o intervalo I = [2,3] e apenas 3 iterações.
2) Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
Resolução....
f(2) = 8 – 10 = -2; f(3) = 27 – 10 = 17. 
 Logo, o intervalo é mesmo [2,3].
1ª iteração: Xm = (2+3)/2 = 5/2 = 2,5.
f(2,5) = 5,625.
Daí, o intervalo será: [2; 2,5]
2ª iteração: Xm = (2+2,5)/2 = 4,5/2 = 2,25.
f(2,25) = 1,39.(aprox.)
Daí, o intervalo será: [2;2,25]
3ª iteração: Xm = (2+2,25)/2 = 4,25/2 = 2,125.
f(2,125) = -0,4 (aprox.)
Logo, o intervalo será: [2,125; 2,25].
Portanto, a raiz será: x = 2,1875.
Continuação da resolução das questões...
2) Erro absoluto = I 1,126 – 1,100 I = 0,026.
 Erro relativo = 0,026/1,126 x 100% = 2,3% (aprox.).
 
Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente: 
0,030 e 1,9% 
0,030 e 3,0% 
3.10-2 e 3,0% 
2.10-2 e 1,9% 
0,020 e 2,0%
Erro absoluto = I 1,030 – 1,010 I = 0,02 = 2.10-2 .
Erro relativo = 0,02/1,030 x 100% = 1,9%.
Seja a equação x3 – x = 0. Verifique o que ocorre quando se aplica o Método de Newton-Raphson para a determinação de raízes com um ponto o partida x0 = . 
Usando x0 = (aprox.)
Fazendo f’(x) = 3x2 – 1.
Daí, temos:
f(0,4472) = -0,3577
f’(0,4472) = -0,4000
1ª iteração: x1 = - 0,44705
2ª iteração: x2 = 0,4473
3ª iteração: x3 = - 0,4472
As iterações, ficam oscilando entre 0,4472 e – 0,4472. Isso mostra, que a escolha do ponto de partida não foi muito apropriado.
Utilizando o Método da Falsa Posição, encontre uma raiz positiva aproximada da equação 
Resolução....
Procurando o intervalo:
f(0) = - 24
f(1) = - 20
f(2) = 0
f(3) = 42
Daí, o intervalo será: [1,3].
Pela regra, fica: 
c = (1.42 – 3. (-20))/(42-(-20)) = (42 + 60)/62 = 1,6451.
Modelagem Matemática
AULA DIA: 08/09/20 
Prof. CARLOS ASSIS
Exemplo 1:
Solução: 
Infinitos valores!!!!!
No entanto, nenhuma solução!!!!!!!
Exemplo 2:
Para Resolver.....
Solução: 
Continuação.....
Para Resolver....
Solução.....
 
Continuação...
Para resolver...
 
 
Resolver os seguintes Sistemas Lineares:
A) 
B) 
Continuação.......PROBLEMA...
Um caminhão-baú pode levar, no máximo, 58 caixas do tipo A ou B, de mesmo tamanho.Elas têm, respectivamente, 56kg e 72kg. A carga máxima para esse caminhão é de 3,84 toneladas em cada viagem. Quantas caixas de cada tipo são transportadas por esse caminhão, estando ele com a capacidade máxima ocupada?
Questão de prova....
Resolver o sistema 4 x 4.
0
1
5
10
2
3
=
-
+
-
x
x
x
0
1
2
3
5
=
+
+
+
x
x
x
0
20
3
2
3
4
=
+
+
+
x
x
x
0
4
9
3
=
+
-
x
x
0
4
3
2
5
=
-
+
-
x
x
x
0
8
6
6
=
-
+
x
x
0
24
2
5
2
3
=
-
-
+
x
x
x
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-
=
-
-
-
-
=
-
+
+
-
=
-
+
-
=
+
-
+
4
4
2
0
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x