calculo aplicavel A4

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28/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4) – GRA1594 ...
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Usuário RODRIGO DA SILVA RAMOS
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -
202110.ead-29779045.06
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 28/02/21 17:07
Enviado 28/02/21 17:19
Status Completada
Resultado da
tentativa
9 em 10 pontos  
Tempo decorrido 11 minutos
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Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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da
resposta:
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas
de segunda ordem, consiste em determinar uma solução  que satisfaça às condições
iniciais da forma  e . Por meio dessas condições, é possível
determinar o valor das constantes obtidas na solução geral. 
  
Considere o seguinte PVI: ,  e . Analise as afirmativas
a seguir: 
  
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. 
II. A solução do PVI é . 
III. O valor de umas das constantes da solução geral é . 
IV. A EDO dada não é homogênea. 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as a�rmativas I e II,
pois: 
A�rmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por , cujas raízes
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são  (duas raízes reais e distintas). 
A�rmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a saber
, a solução geral é expressa por . A partir das
condições iniciais, obtemos o seguinte sistema: 
(i) 
(ii) 
Resolvendo o sistema, obtemos  e . Portanto, a solução do PVI é
.
Pergunta 2
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da
resposta:
Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de
primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma . O
nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma função de
  e uma função de . A solução de tal equação é obtida ao integrarmos ambos os
lados da igualdade. 
  
Dado que  é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à
solução da equação diferencial separável . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma
equação separável. Separando as variáveis  e , podemos reescrever a equação
como . Integrando ambos os lados da
igualdade, temos ,
onde .
Pergunta 3
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função
dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma
função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da
função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for
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Comentário
da
resposta:
verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução. 
  
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir: 
  
I. A função  é solução da equação diferencial . 
II. A função  é solução da equação diferencial . 
III. A função  é solução da equação diferencial . 
IV. A função  é solução da equação diferencial . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a de�nição de solução
de uma equação diferencial, temos que estão corretas as a�rmativas II e IV, pois: 
A�rmativa II: Correta. Dada a função , temos . Repare que
 Trocando  na equação diferencial, temos: 
 
A�rmativa IV: correta. Dada a função , temos  e
. Trocando ,  e  na equação diferencial, temos: 
.
Pergunta 4
Leia o excerto a seguir: 
  
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de
voltagem por causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das
quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida . Então. temos ,
que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no instante 
” (STEWART, 2016, p. 537). 
  
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
  
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Comentário
da
resposta:
Considerando uma resistência de , uma indutância de  e uma voltagem
constante de , assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do
circuito  quando o interruptor é ligado em . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A partir da equação diferencial
fornecida no enunciado, , e dos valores fornecidos,
 e , temos que . Arrumando a
expressão da equação diferencial, temos
. 
Tomando  temos . Para ,
temos que , portanto a
expressão da corrente é .
Pergunta 5
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da
resposta:
A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da
temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um
cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma
temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90 °C.
Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo levará para
que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C. 
  
Assinale a alternativa correta. 
  
  
20 minutos.
20 minutos.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do bolo
pode ser descrita pela equação diferencial  onde  e são
fornecidas as seguintes informações:  e . Nosso
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problema consiste em determinar o tempo , em minutos, tal que .
Resolvendo a equação diferencial, temos
, onde . Das condições
 e  vamos determinar as constantes  e . De
 temos . De , temos . Portanto, a função
temperatura do bolo é . Vamos determinar agora o tempo
para o qual a temperatura é 30ºC. De , temos .
Pergunta 6
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da
resposta:
Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma
 , onde  e  são funções contínuas em um dado intervalo. A solução
geral para equações diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela expressão
 . 
  
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência, assinale a
alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s): 
  
  
I. A solução geral da equação  é . 
II. A solução geral da equação  é . 
III. A solução geral da equação  é . 
IV. A solução geral da equação  é . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
II, III e IV, apenas.
I, II e IV, apenas.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Aplicando o método de
solução para uma equação diferencial linear, temos: 
A�rmativa III: incorreta. Dividindo toda a equação por , temos  e
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, assim,
.
Pergunta 7
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da
resposta:
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmosa
função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira.
Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como solução, caso
nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma condição, obtém-se
uma solução particular para a equação diferencial. 
  
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V
para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
  
I. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial dada. 
II. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial dada. 
III. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial
dada. 
IV. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial dada. 
  
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
  
  
V, V, V, F.
V, V, V, F.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial,
temos que sua solução geral é:
. Assim: 
A�rmativa I: Verdadeira. Para , temos que 
. Portanto,  é solução da equação diferencial dada. 
A�rmativa II: Verdadeira. Para , temos que
. Portanto,  é solução da equação
diferencial dada. 
A�rmativa III: Verdadeira. Para  temos que
. Portanto,  é solução da
equação diferencial dada.
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Pergunta 8
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resposta:
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações
diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver
um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691).
John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”. 
  
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
  
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a
integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que
corresponde à solução da equação diferencial . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma
equação separável. Separando as variáveis  e , podemos reescrever a equação
como . Integrando ambos os lados da igualdade, temos
.
Pergunta 9
A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples , o qual
pode ser descrito pela equação , onde  é uma função do tempo  que
indica a posição da massa,  é a massa da mola e  é a constante elástica. Para uma
mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é necessária uma força de
25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com
velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da
massa após  segundos? 
  
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ). 
  
  
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da
resposta:
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes
condições:  (a mola no tempo  está esticada em 1,1 m sendo seu
comprimento natural de 0,75 m; portanto, está deformada em 0,35 m) e 
 (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a função velocidade é a derivada
primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor da constante
elástica é: . Tomando  e  na
EDO , obtemos a EDO . Resolvendo o PVI:
,  e , temos que a solução geral da EDO é
 e, portanto, a solução do PVI é
Pergunta 10
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da
resposta:
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem
ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial: 
 , 
onde  é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa.
Considere a seguinte situação: 
  
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é
proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que
corresponde à expressão da função crescimento dessa população. 
  
  
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela
seguinte equação diferencial , onde  é a função quantidade de bactérias
que depende do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para  temos
. Resolvendo a equação diferencial, temos 
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Domingo, 28 de Fevereiro de 2021 17h20min19s BRT
, onde  e  são constantes e . Como  temos
. Portanto, a função que descreve
o crescimento dessa população de bactérias é .