calculo aplicavel e varias variaveis A2

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28/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ...
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Usuário RODRIGO DA SILVA RAMOS
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -
202110.ead-29779045.06
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 28/02/21 16:09
Enviado 28/02/21 16:26
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 17 minutos
Resultados
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Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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da
resposta:
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função
diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor
unitário na direção e sentido desejados”. 
  
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra,
1994. 
  
De acordo com essa definição e considerando a função  e o
ponto P(0,1), assinale a alternativa correta. 
  
  
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  e seu
vetor gradiente são: ,  e
. Assim, . Temos ainda que vetor
unitário na direção de  é o vetor . Portanto, a derivada
direcional é .
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Pergunta 2
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Comentário
da
resposta:
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da
função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois
vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima
para o vetor unitário do vetor gradiente. 
  
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo
crescimento da função  no ponto P(-1,1). 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o
vetor gradiente são: ,  e
. Logo, . Como a direção de
máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor
gradiente, temos que o vetor procurado é
.
Pergunta 3
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no
lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em
funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor
negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a
todos os valores que não zeraram o denominador. 
  
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
  
I - O domínio da função  é o conjunto
 . 
II - O domínio da função  é o conjunto
 . 
III - O domínio da função  é o conjunto . 
IV - O domínio da função  é o conjunto . 
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resposta:
  
  
  
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada
função, concluímos que: 
A�rmativa I: Correta. O domínio da função  é o
conjunto . 
A�rmativa IV: Correta. O domínio da função  é o conjunto
.
Pergunta 4
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Comentário
da
resposta:
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a
direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior
crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a
direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da
função. 
  
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função
  no ponto P(1,2).
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é
. Precisamos então determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente é o
vetor formado pelas derivadas parciais da função , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
-                          
-                         
-                
  
A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . 
Assim, a direção de maior crescimento é .
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Pergunta 5
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Comentário
da
resposta:
Suponha que  seja uma função diferenciável de  e , tal que . No
entanto,  e  são funções de  expressas por  e . Para se obter
a derivada de  com relação a variável  devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada
de  em relação a , isto é, , para quando . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que
, onde . Assim,
. Dado que , temos
.
Pergunta 6
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Comentário
da
resposta:
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis.
Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor
gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem
três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto
  do espaço tridimensional é expresso pela função . 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior
taxa de variação do potencial elétrico  no ponto . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial
elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto
é, Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é
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 e sua norma é
, temos que a direção procurada é
.
Pergunta 7
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto
que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de
duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que 
 e  podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a
seguir. 
  
I. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
  
II. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
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III. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
  
IV. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
  
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 
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Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
  
  
I, apenas.
I, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Veri�cando as restrições para a função,
temos que apenas a a�rmativa I é verdadeira, pois: 
A�rmativa I: Correta. A função  tem as seguintes restrições
 e , portanto, o domínio da função é o conjunto
, que corresponde à região dada na
a�rmativa.
Pergunta 8
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é,
dadaa função  o vetor gradiente é o vetor . Dado
um ponto , o vetor gradiente da função  no ponto P é obtido por meio da
seguinte expressão . 
  
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função 
 no ponto . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as
derivadas parciais da função: 
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como constante):
 
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como constante): 
. 
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos  e
. Logo, o vetor gradiente é .
Pergunta 9
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Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor
oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento.
Sabendo disso, suponha que a função  represente uma distribuição de
temperatura no plano  (suponha  medida em graus Celsius,  e  medidos em ). 
  
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da
temperatura e sua taxa de variação mínima. 
  
 
Direção  e taxa mínima de .
Direção  e taxa mínima de .
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é
oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a
variação de temperatura é mínima em . (O
sinal negativo apenas indica que a temperatura é mínima).
Pergunta 10
Resposta
Selecionada:
Resposta
Correta:
Comentário
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T),
pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função
 , onde  é uma constante dada, considere um gás com o volume de 
 sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de  e a
pressão está decrescendo a uma taxa de  por segundo. 
  
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando
as informações anteriores. (Use ). 
  
  
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante
dado.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no
instante dado.
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Domingo, 28 de Fevereiro de 2021 16h26min21s BRT
da
resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais ,
onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos
, ,  e . Derivando a função  com
relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde 
 e . Assim, .
Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no
instante dado.