Aulas de Álgebra Linear 2021

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Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Escola Politécnica
Álgebra Linear – Prof. Rogério
Bibliografia
Livros eletrônicos dispońıveis na Biblioteca da Unisinos
ANTON, Howard; BUSBY, Robert C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2007.
BURDEN, Richard L.; FAIRES, Douglas J.; BURDEN, Annette M. Análise numérica. 3.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
LAY, David C; LAY, Steven R.; MACDONALD, Judi J. Álgebra linear e suas aplicações. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
LIPSCHUTZ, Seymour; LIPSON, Marc L. Álgebra Linear. 4.ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
POOLE, David. Álgebra linear: uma introdução moderna. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
STRANG, Gilbert. Álgebra linear e suas aplicações. 4.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
STRANG, Gilbert. Introdução à álgebra linear. 4.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
Este não tem na biblioteca
MEYER, Carl. D. Matrix analysis and applied linear algebra. SIAM, 2010.
Sistemas de Equações Lineares
Definição: Uma equação linear nas variáveis x1, x2, . . . , xn é uma equação que pode ser escrita na forma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b, onde b e os coeficientes a1, a2, . . . , an são números reais.
Definição: Um sistema de equações lineares S de m equações e n incógnitas x1, x2, . . . , xn é uma lista de equações
S :

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
onde bi e aij são constantes (em geral números reais) para 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n.
Uma solução do sistema é uma lista (s1, s2, . . . , sn) de números reais que torna as equações simultaneamente
verdadeiras quando substitúımos x1 por s1, x2 por s2, . . ., xn por sn.
Usaremos a sigla SEL para designar sistema de equações lineares.
O sistema S pode ser reescrito usando notação matricial. Sejam
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 , x =

x1
x2
...
xn
 , b =

b1
b2
...
bm
 .
Com isso o sistema S pode ser escrito na forma Ax = b.
A matriz A = [aij ]m×n é chamada matriz dos coeficientes, a matriz coluna x = [xi]n×1 é matriz das incógnitas
e a matriz coluna b = [bi]m×1 matriz dos termos independentes.
Observação: Se b = 0m×1, ou seja, se b1 = b2 = . . . = bm = 0, então o SEL é dito homogêneo.
Neste caso, a n-upla (0, 0, . . . , 0) é solução do sistema, denominada solução trivial.
Se existirem outras soluções elas são denominadas não-triviais.
Há duas matrizes importantes associadas a um sistema linear: a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada
que é a matriz dos coeficientes acrescida de uma coluna com os termos independentes.
A matriz [A|b] obtida acrescentando-se à matriz A uma coluna à direita com os elementos de b é denominada
matriz ampliada do SEL: 
a11 a12 · · · a1n
... b1
a21 a22 · · · a2n
... b2
...
...
. . .
...
...
...
am1 am2 · · · amn
... bm

Utilizaremos a escrita acima para resolver SEL pelo método de Gauss.
Exemplo: Considere os sistemas abaixo com duas equações e duas incógnitas (x e y):
S1 :
{
2x− 4y = 14
−6x− 5y = 9 https://www.desmos.com/calculator/qo7cbzdewl
Neste caso temos solução única x = 1, y = −3, ou seja, o par ordenado (1,−3) é o único que satisfaz as
equações simultaneamente. Cada equação representa uma reta no plano e as retas são concorrentes. Dizemos que
o sistema é posśıvel (compat́ıvel) e determinado.
S2 :
{
2x− 4y = 14
−6x + 12y = 9 https://www.desmos.com/calculator/kbkpxet4ay
Este sistema não possui solução que satisfaz as equações simultaneamente, as retas são paralelas. Dizemos que
o sistema é imposśıvel (incompat́ıvel).
S3 :
{
2x− 4y = −3
−6x + 12y = 9 https://www.desmos.com/calculator/2d0c9rk9fp
O sistema tem infinitas soluções, todos os pontos da reta y = 0, 5x + 0, 75, ou seja, todos os pares ordenados(
x,
1
2
x +
3
4
)
. Os pares
(
1
2
, 1
)
e
(
−1, 1
4
)
são duas soluções.
As retas são coincidentes e o sistema é dito posśıvel (compat́ıvel) e indeterminado.
Teorema: Para um sistema de equações lineares temos três possibilidades:
(i) Solução única: sistema posśıvel (compat́ıvel) e determinado.
Somente uma lista (s1, s2, . . . , sn) satisfaz simultaneamente as m equações.
(ii) Nenhuma solução: sistema imposśıvel (incompat́ıvel).
Nenhuma lista satisfaz as equações simultaneamente.
(iii) Infinitas soluções: sistema posśıvel (compat́ıvel)e indeterminado.
Infinitas listas da forma (s1, s2, . . . , sn) satisfazem simultaneamente as m equações.
Forma Escalonada, Operações Elementares e Eliminação Gaussiana
Exemplo: Resolva os SEL abaixo.
(a)

2x − y + 3z = 2
y + 2z = −4
4z = −12
(b)

2x = −8
−4x + 3y = 7
x − 6y + 7z = 21
(a) Podemos resolver esse sistema por retrossubstituição. A última equação nos dá z = −3.
Substituindo este valor de z na segunda obtemos y = 2.
Agora substituindo os valores obtidos para z e y na primeira equação segue que x =
13
2
.
Portanto o sistema tem solução única x = 6, 5, y = 2 e z = −3.
(b) Neste caso podemos começar pela primeira equação e assim x = −4.
Substituindo na segunda equação obtemos y = −3.
Agora podemos usar esses resultados na terceira equação e encontramos z = 1.
Portanto o sistema tem solução única x = −4, y = −3 e z = 1.
Observe os sistemas acima na notação matricial:
(a)
 2 −1 30 1 2
0 0 4
 xy
z
 =
 2−4
−12
.
A matriz dos coeficientes é triangular superior (Upper triangular), ou seja, é quadrada e todos os elementos
abaixo da diagonal são nulos, isto é, aij = 0 se i > j.
(b)
 2 0 0−4 3 0
1 −6 7
 xy
z
 =
 −85
−9
.
A matriz dos coeficientes é triangular inferior (Lower triangular), ou seja, é quadrada e todos os elementos
acima da diagonal são nulos, isto é, aij = 0 se i < j.
A matriz ampliada do sistema do item (a) acima é

2 −1 3
... 2
0 1 2
... −4
0 0 4
... −12
 e está no formato que denominamos
escalonada ou na forma escada.
A palavra escalonar vem da palavra latina scala, que signifca escada ou degraus. Escalonar uma matriz
significa dar a ela a forma de escada.
Definição: Uma matriz está na forma escalonada por linhas quando satisfaz as seguintes propriedades:
(i) Todas as linhas que consistem inteiramente de zeros estão na parte inferior da matriz.
(ii) Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado de elemento ĺıder) está em uma coluna
à esquerda de qualquer outro elemento ĺıder abaixo dele.
As propriedades acima garantem que os elementos ĺıderes fiquem posicionados formando uma escada.
Exemplo: As seguintes matrizes estão na forma escalonada por linhas: 2 −1 30 1 2
0 0 4
  2 −1 3 00 0 1 5
0 0 0 0


0 2 −1 3 0 8
0 0 7 1 5 0
0 0 0 0 6 −4
0 0 0 0 0 3

Exemplo: As seguintes matrizes não estão na forma escalonada por linhas: 2 −1 30 0 0
0 0 4


2 −1 3 0
0 0 1 0
0 5 1 4
0 0 0 0


0 2 −1 3 0 8
0 0 0 0 5 0
0 0 1 0 6 −4
0 0 0 0 0 3

O objetivo é resolver SEL usando operações elementares para transformar a matriz ampliada em uma matriz
na forma escalonada por linhas.
Definição: As seguintes operações elementares com as linhas podem ser realizadas em uma matriz:
(i) Trocar duas linhas de posição. (Li ↔ Lj significa trocar as linhas i e j)
(ii) Multiplicar uma linha por uma constante não nula. (kLi significa multiplicar a linha i pelo número real k)
(iii) Somar um múltiplo de uma linha com outra linha.
(Li + kLj significa somar k vezes a linha j à linha i e trocar a linha i pelo resultado)
O processo de aplicar operações elementares com linhas para transformar uma matriz em uma matriz escalo-
nada é chamado de escalonamento.
Na transformação de uma matriz para uma matriz na forma escalonada trabalhamos coluna por coluna, da
esquerda para a direita e de cima para baixo. A estratégia é usar um elemento ĺıder em uma coluna e usá-lo
para criarzeros abaixo dele. O elemento escolhido para ser o ĺıder é chamado pivô, e essa fase do processo é
chamada de pivoteamento. Embora não seja estritamente necessário, às vezes é conveniente usar a segunda
operação elementar para transformar o elemento ĺıder em 1.
Definição: Duas matrizes A e B são ditas linha equivalentes se existir uma sequência de operações
elementares com as linhas de A que converta A em B.
É posśıvel mostrar que duas matrizes A e B são linha equivalentes se, e somente se, puderem ser reduzidas
à mesma forma escalonada por linhas.
O Método de Eliminação de Gauss
(i) Escreva a matriz ampliada do sistema de equações lineares.
(ii) Use operações elementares com as linhas para reduzir a matriz ampliada à forma escalonada por linhas.
(iii) Usando substituição de trás para frente, resolva o sistema equivalente que corresponde à matriz linha-reduzida.
Definição: Uma matriz está na forma escalonada reduzida (por linhas) se ela satisfaz as seguintes
propriedades:
(i) Todas as linhas que consistem inteiramente de zeros estão na parte inferior da matriz.
(ii) O elemento ĺıder em cada linha não nula é igual a 1 (chamado 1 ĺıder).
(iii) Cada coluna que contém um 1 ĺıder tem zeros em todas as outras posições.
O Método de Eliminação de Gauss-Jordan
(i) Escreva a matriz ampliada do sistema de equações lineares.
(ii) Use operações elementares com as linhas para reduzir a matriz ampliada à forma escalonada reduzida por
linhas.
(iii) Usando substituição de trás para frente, resolva o sistema equivalente que corresponde à matriz linha-reduzida.
Exemplo: Resolva os sistemas abaixo:
(a)

− 2y + 3z = 5
4x + 3y + z = 2
2x + 4y − z = 1
(b)

x + y + z = 1
2x − y + z = 3
5x + 2y + 4z = 6
(c)

x + 2y − 3z = 4
2x + 3y + 4z = 5
4x + 7y − 2z = 12
(a)

0 −2 3
... 5
4 3 1
... 2
2 4 −1
... 1
 L1↔L3−−−−−→

2 4 −1
... 1
4 3 1
... 2
0 −2 3
... 5
 L2−(2L1)−−−−−−→

2 4 −1
... 1
0 −5 3
... 0
0 −2 3
... 5
 L3−(2/5L2)−−−−−−−−→

2 4 −1
... 1
0 −5 3
... 0
0 0 9/5
... 5

Assim o sistema equivalente fica

2x + 4y − z = 1
− 5y + 3z = 0
9
5
z = 5
.
Fazendo a retrossubstituição obtemos z =
25
9
, y =
15
9
e x = −13
9
. Portanto o sistema tem solução única
(
−13
9
,
15
9
,
25
9
)
.
(b)

1 1 1
... 1
2 −1 1
... 3
5 2 4
... 6
 L2−(2L1)−−−−−−→L3−(5L1)−−−−−−→

1 1 1
... 1
0 −3 −1
... 1
0 −3 −1
... 1
 L3−(1L2)−−−−−−→

1 1 1
... 1
0 −3 −1
... 1
0 0 0
... 0

Assim o sistema equivalente fica

x + y + z = 1
− 3y − z = 1
0 = 0
.
Logo z = −1− 3y, x = 1− y − z = 1− y − (−1− 3y) = 2 + 2y e y é variável livre.
Também podeŕıamos ter colocado x e y em função de z (variável livre) ou y e z em função de x (variável livre).
Trocando y por t na solução acima vemos que o sistema tem infinitas soluções que são da forma (2 + 2t, t, −1− 3t), t ∈ R.
As equações do sistema representam três planos e a solução é a reta que passa pelo ponto (2, 0, −1) e vetor diretor (2, 1, −3), pois
as soluções são (2, 0, −1) + t(2, 1, −3), t ∈ R.
(c)

1 2 −3
... 4
2 3 4
... 5
4 7 −2
... 12
 L2−(2L1)−−−−−−→L3−(4L1)−−−−−−→

1 2 −3
... 4
0 −1 10
... −3
0 −1 10
... −4
 L3−(1L2)−−−−−−→

1 2 −3
... 4
0 −3 10
... −3
0 0 0
... −1

Assim o sistema equivalente fica

x + 2y − 3z = 4
− 3y + 10z = −3
0 = −1
, que não tem solução!
Portanto o sistema original é imposśıvel (ou incompat́ıvel).
Definição: O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas de qualquer uma de suas formas escalonadas
por linhas.
O posto da matriz dos coeficientes do sistema (a) é igual a 3. Já o posto das matrizes dos coeficientes dos
sistemas (b) e (c) é 2.
Teorema do Posto: Seja A a matriz dos coeficientes de um sistema de equações lineares com n variáveis.
Se o sistema for posśıvel, então o número de variáveis livres = n− posto(A).
No item (a) não tem variável livre e no item (b) tem uma variável livre (1 = 3− 2).
Proposição: Supõe que A é uma matriz m× n com matriz escalonada por linhas M. O posto de A é
posto(A)= número de pivôs = número de linhas não nulas de M = número de colunas básicas em A,
onde as colunas básicas de A são aquelas que têm um pivô.
Exemplo: Determine o posto de A =
 1 2 1 13 6 3 3
2 4 2 5
.
Abaixo o escalonamento por linhas da matriz A:
A =
 1 2 1 13 6 3 3
2 4 2 5
 L2−(3L1)−−−−−−→
L3−(2L1)−−−−−−→
 1 2 1 10 0 0 0
0 0 0 3

L2 ↔ L3
 1 2 1 10 0 0 3
0 0 0 0
 = M.
Logo posto(A) = 2. As posições pivô estão na primeira e quarta colunas e assim
Colunas Básicas de A =

 13
2
 ,
 13
5
.
Exemplo: Resolva o sistema

x + 2y + z + w = 5
3x + 6y + 3z + 3w = 15
2x + 4y + 2z + 5w = −2
1 2 1 1
... 5
3 6 3 3
... 15
2 4 2 5
... −2
 L2−(3L1)−−−−−−→L3−(2L1)−−−−−−→

1 2 1 1
... 5
0 0 0 0
... 0
0 0 0 3
... −12
 L2 ↔ L3

1 2 1 1
... 5
0 0 0 3
... −12
0 0 0 0
... 0

Assim o sistema equivalente ao original é

x + 2y + z + w = 5
3w = −12
0 = 0
Assim a solução é w = −4, x = 9− 2y − z, sendo y e z variáveis livres.
O conjunto solução é {(9− 2y − z, y, z, −4) : y, z ∈ R}.
Note que temos n = 4, posto de A = 2 e duas variáveis livres.
Sistemas Homogêneos
Um sistema de equações lineares pode ter solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.
Estudaremos sistemas que sempre tem solução.
Definição: Um sistema de equações lineares é dito homogêneo se o termo independente em cada equação é igual
a zero.
Exemplo: Resolva os sistemas homogêneos:
(a)
{
x + y + 3z = 0
4x + 3y + z = 0
(b)

x + y + z = 0
2x− y + z = 0
5x + 2y + 3z = 0
(c)

x + 2y − 3z = 0
2x + 3y + 4z = 0
4x + 7y − 2z = 0
(d)

x + 2y − 3z = 0
2x + 3y + 4z = 0
4x + 7y − 2z = 0
3x− 5y + z = 0
(a)
 1 1 3 ... 0
4 3 1
... 0
 L2−(4L1)−−−−−−→
 1 1 3 ... 0
0 −1 −1
... 0
. Assim o sistema equivalente fica{ x + y + 3z = 0− y − z = 0 .
Logo y = −z, x = −y − 3z = −(−z)− 3z = z − 3z = −2z e z é variável livre e o conjunto solução é {(−2t, −t, t) : t ∈ R},
geometricamente é a reta que passa pela origem (0, 0, 0) e tem vetor diretor (−2, −1, 1).
(b)

1 1 1
... 0
2 −1 1
... 0
5 2 3
... 0
 L2−(2L1)−−−−−−→L3−(5L1)−−−−−−→

1 1 1
... 0
0 −3 −1
... 0
0 −3 −1
... 0
 L3−(1L2)−−−−−−→

1 1 1
... 0
0 −3 −1
... 0
0 0 0
... 0

Assim o sistema equivalente fica

x + y + z = 0
− 3y − z = 0
0 = 0
.
Logo z = −3y, x = −y − z = −y − (−3y) = 2y e y é variável livre e o conjunto solução é {(2t, t, −3t) : t ∈ R},
geometricamente é a reta que passa pela origem (0, 0, 0) e tem vetor diretor (2, 1, −3).
(c)

1 2 −3
... 0
2 3 4
... 0
4 7 −2
... 0
 L2−(2L1)−−−−−−→L3−(4L1)−−−−−−→

1 2 −3
... 0
0 −1 10
... 0
0 −1 10
... 0
 L3−(1L2)−−−−−−→

1 2 −3
... 0
0 −3 10
... 0
0 0 0
... 0

Assim o sistema equivalente fica

x + 2y − 3z = 0
− 3y + 10z = 0
0 = 0
.
Logo z =
3
10
y, x = −2y + 3z = −2y + 3 · 3
10
y = −11
10
y e y é variável livre e o conjunto solução é {(−11t, 10t, 3t) : t ∈ R},
geometricamente é a reta que passa pela origem (0, 0, 0) e tem vetor diretor (−11, 10, 3).
(d)

1 2 −3
... 0
2 3 4
..
. 0
4 7 −2
... 0
3 −5 1
... 0

L2−(2L1)−−−−−−−→
L3−(4L1)−−−−−−−→
L4−(3L1)−−−−−−−→

1 2 −3
... 0
0 −1 10
..
. 0
0 −1 10
... 0
0 −11 10
... 0

L3−(1L2)−−−−−−−→
L4−(11L2)−−−−−−−−→

1 2 −3
... 0
0 −1 10
... 0
0 0 0
... 0
0 0 −100
... 0
 L3↔L4−−−−−→

1 2 −3
... 0
0 −1 10
... 0
0 0 −100
... 0
0 0 0
... 0

Podemos verificar que o sistema resultante tem solução única x = y = z = 0.
Proposição: Um sistema homogêneo com m equações e n incógnitas, em que m < n, tem infinitas soluções.
Esboço da prova: Um sistemahomogêneo nas variáveis x1, x2, . . . , xn tem pelo menos uma solução x1 = x2 = . . . = xn = 0
(solução trivial). Agora, se A é a matriz dos coeficientes do sistema, então posto A 6 m e, pelo Teorema do Posto, segue
que número de variáveis livres = n− posto (A) > n −m > 0. Portanto o conjunto solução tem pelo menos uma variável
livre e assim o sistema possui infinitas soluções.
Exemplo: Resolva o sistema S :

2x − y + 3z = −1
−4x + 5y = −1
4x + 2y + 18z = 2
• Tentaremos resolver o sistema usando apenas a terceira operação elementar.
2 −1 3
... −1
−4 5 0
... −1
4 2 18
... 2
 L2−(−2L1)−−−−−−−→L3−(2L1)−−−−−−−→

2 −1 3
... −1
0 3 6
... −3
0 4 12
... 4
 L3−(4/3L2)−−−−−−−→

2 −1 3
... −1
0 3 6
... −3
0 0 4
... 8

Assim obtemos um sistema equivalente a S: S ′ :

2x − y + 3z = −1
3y + 6z = −3
4z = 8
.
Lembre que dois sistemas S e S ′ são ditos equivalentes se eles têm exatamente as mesmas soluções.
A solução do sistema S é obtida resolvendo o sistema S ′ por retrossubstituição: z = 2 na terceira equação;
substitui na segunda e obtemos y = −5; substituindo na primeira equação segue que x = −6.
Definimos `21 = −2, `31 = 2 e `32 = 4/3. Mais adiante explicaremos...
•• Resolveremos o sistema usando a segunda e a terceira operação elementar.
2 −1 3
... −1
−4 5 0
... −1
4 2 18
... 2
 L2−(−2L1)−−−−−−−→L3−(2L1)−−−−−−−−→

2 −1 3
... −1
0 3 6
... −3
0 4 12
... 4
 13L2−−−→

2 −1 3
... −1
0 1 2
... −1
0 4 12
... 4
 L3−(4L2)−−−−−−→

2 −1 3
... −1
0 1 2
... −1
0 0 4
... 8

Assim obtemos um sistema equivalente a S: S ′′ :

2x − y + 3z = −1
y + 2z = −1
4z = 8
.
• • • Agora resolveremos o sistema pelo método de Gauss-Jordan.
2 −1 3
... −1
−4 5 0
... −1
4 2 18
... 2
 L2−(−2L1)−−−−−−−→L3−(2L1)−−−−−−−−→

2 −1 3
... −1
0 3 6
... −3
0 4 12
... 4
 13L2−−−→

2 −1 3
... −1
0 1 2
... −1
0 4 12
... 4

L1−((−1)L2)−−−−−−−−−→
L3−(4L2)−−−−−−→

2 0 5
... −2
0 1 2
... −1
0 0 4
... 8

1
4
L3
−−−→

2 0 5
... −2
0 1 2
... −1
0 0 1
... 2

L1−5L3−−−−−→
L2−2L3−−−−−→

2 0 0
... −12
0 1 0
... −5
0 0 1
... 2

1
2
L1
−−−→

1 0 0
... −6
0 1 0
... −5
0 0 1
... 2

Assim obtemos um sistema equivalente a S: S ′′′ :

x = −6
y = −5
z = 2
.
Considere as matrizes A=
 2 −1 3−4 5 0
4 2 18
, E=
 1 0 02 1 0
0 0 1
, F=
 1 0 00 1 0
−2 0 1
, G=
 1 0 00 1 0
0 −4/3 1
,
H=
 1 0 00 1/3 0
0 0 1
, J=
 1 0 00 1 0
0 −4 1
, U=
 2 −1 30 3 6
0 0 4
, V=
 2 −1 30 1 2
0 0 4
,
Veremos que fazer a operação elementar L2 − (−2L1) corresponde a fazer EA, em seguida L3 − 2L1 fica FEA e
fazendo L3 − 4/3L2 obtemos GFEA=U, onde U é uma matriz triangular superior.
Matriz Inversa
Sejam A=
[
a b
c d
]
com a, b, c e d números reais e I2 =
[
1 0
0 1
]
a matriz identidade de ordem 2.
M2(R) =
{[
a b
c d
]
: a, b, c, d ∈ R
}
é uma estrutura algébrica denominada anel. (http://tiny.cc/g3ngtz)
A matriz identidade I2 em M2(R) desempenha um papel semelhante ao número 1 em R:
Para todo x ∈ R temos 1 ·x = x ·1 = x. (em R a multiplicação é comutativa, não é necessário escrever 1 ·x = x ·1)
Para toda matriz A∈M2(R) temos que A · I2 =
[
a b
c d
] [
1 0
0 1
]
=
[
a b
c d
]
= A e I2 · A = A.
Logo I2 é o elemento neutro da operação multiplicação em M2(R).
Observe que 3 · 1
3
= 1, isso significa que
1
3
é o inverso multiplicativo de 3 e costumamos denotar
1
3
= 3−1.
Questão: Dada uma matriz A2×2, existe B2×2 tal que A · B = I2? Mais geralmente, dada uma matriz An×n,
existe Bn×n tal que A · B = In? Se a resposta for SIM, será que B · A = In?
Exemplo: Dada a matriz A=
[
2 3
5 7
]
, encontre B2×2 tal que A · B = I2.
Supõe que B =
[
x z
y t
]
e A · B = I2 ↔
[
2 3
5 7
] [
x z
y t
]
=
[
1 0
0 1
]
↔
[
2x + 3y 2z + 3t
5x + 7y 5z + 7t
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Precisamos resolver os sistemas
{
2x + 3y = 1
5x + 7y = 0
e
{
2z + 3t = 0
5z + 7t = 1
.
Usando notação acima temos que
 2 3 ... 1
5 7
... 0
 e
 2 3 ... 0
5 7
... 1
.
A matriz dos coeficientes é a mesma, resolveremos os dois sistemas simultaneamente pelo método de Gauss-Jordan 2 3 ... 1 0
5 7
... 0 1
 1
2
L1
−−−→
 1 3/2 ... 1/2 0
5 7
... 0 1

L2−5L1−−−−−→
 1 3/2 ... 1/2 0
0 −1/2
... −5/2 1
 −2L2−−−→
 1 3/2 ... 1/2 0
0 1
... 5 −2

L1 − 3/2L2
 1 0 ... −7 3
0 1
... 5 −2
.
Logo B =
[
−7 3
5 −2
]
. É posśıvel verificar que A · B = I2 e que B · A = I2. (faça os cálculos!)
Definição: Uma matriz An×n é dita invert́ıvel se existir uma matriz Bn×n tal que A · B =B · A = In.
Essa matriz B é dita a inversa de A e é denotada por A−1.
O exemplo dá um algoritmo via Gauss-Jordan para obter a inversa de uma matriz quadrada: [A
... In] · · · [In
... A−1].
Nem toda matriz quadrada possui inversa, isso será tratado quando estudarmos o determinante de uma matriz.
Proposição: Uma matriz A =
[
a b
c d
]
é invert́ıvel se, e somente se, ad− bc 6= 0.
Nesse caso a inversa é dada pela fórmula A−1 = 1ad−bc
[
d −b
−c a
]
=
 dad− bc −bad− bc−c
ad− bc
a
ad− bc
.
Fatorações LU,LDU e Cholesky
Agora voltamos ao sistema da página 8. Faremos vários cálculos para chegar à fatoração LU.
Faremos a eliminação com uma operação de cada vez e usando apenas a terceira operação elementar
2 −1 3
... −1
−4 5 0
... −1
4 2 18
... 2
L2−(−2L1)−−−−−−−→

2 −1 3
... −1
0 3 6
... −3
4 2 18
... 2
 L3−(2L1)−−−−−−−−→

2 −1 3
... −1
0 3 6
... −3
0 4 12
... 4
L3−(4/3L2)−−−−−−−−→

2 −1 3
... −1
0 3 6
... −3
0 0 4
... 8

Sejam A=
 2 −1 3−4 5 0
4 2 18
, E=
 1 0 02 1 0
0 0 1
, F=
 1 0 00 1 0
−2 0 1
, G=
 1 0 00 1 0
0 −4/3 1
 ,b =
 −1−1
2
.
Além disso, sejam `21 = −2, `31 e `32 = 4/3. E`es irão aparecer numa matriz Lower...
EA=
 1 0 02 1 0
0 0 1
 2 −1 3−4 5 0
4 2 18
 =
 2 −1 30 3 6
4 2 18
 e Eb =
 1 0 02 1 0
0 0 1
 −1−1
2
 =
 −1−3
2

FEA = F(EA) =
 1 0 00 1 0
−2 0 1
 2 −1 30 3 6
4 2 18
 =
 2 −1 30 3 6
0 4 12
 e
FEb = F(Eb)=
 1 0 00 1 0
−2 0 1
 −1−3
2
 =
 −1−3
4

GFEA= G(FEA) =
 1 0 00 1 0
0 −4/3 1
 2 −1 30 3 6
0 4 12
 =
 2 −1 30 3 6
0 0 4
 = U (matriz triangular superior)
GFEb= G(FEb) =
 1 0 00 1 0
0 −4/3 1
 −1−3
4
 =
 −1−3
8
.
Sejam E−1 =
 1 0 0−2 1 0
0 0 1
 ,F−1 =
 1 0 00 1 0
2 0 1
 ,G−1 =
 1 0 00 1 0
0 4/3 1

Note que EE−1 = E−1E =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 = I3, FF−1 = F−1F = I3 e GG−1 = G−1G = I3.
Note que multiplicar uma matriz A por E à esquerda significa trocar L2 de A por L2 − (−2L1). Para desfazer
essa operação basta multiplicar à esquerda por uma matriz que troque L2 por L2 + (−2L1) = L2 − (2L1) que é
exatamente o que faz a matriz E−1. Para F e G as situações são análogas.
Além disso, se A é uma matriz de ordem 3, então I3A = AI3 = A.
G(FEA) = U↔ (G−1G)(FEA) = G−1U↔ FEA = G−1U↔ (F−1F)(EA) = F−1G−1U
↔ EA = F−1G−1U↔ (E−1E)A = E−1F−1G−1U↔ A = E−1F−1G−1U
Seja L = E−1F−1G−1. Então (faça os cálculos!) L=
 1 0 0−2 1 0
2 4/3 1
 =
 1 0 0`21 1 0
`31 `32 1
.
Logo A = LU, ou seja,
 2 −1 3−4 5 0
4 2 18
 =
 1 0 0−2 1 0
2 4/3 1
 2 −1 30 3 6
0 0 4
. (fatoração LU da matriz A)
Note que U é a matriz obtida a partir de A aplicando apenas a terceira operação elementar.
L é a matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal e `21 = −2, `31 = 2 e `32 = 4/3 (veja acima...)
Definição: Seja A uma matriz quadrada. Uma fatoração de A na forma A = LU, em que L é uma matriz
triangular inferior com 1’s na diagonal principal e U é triangular superior, é chamada fatoração LU de A.
Teorema: Se A é uma matriz quadrada que pode ser escalonada por linhas sem que seja usada nenhuma troca
de linhas, então A admite uma fatoração LU.
Teorema: SeA é uma matriz invert́ıvel que admite uma fatoração LU, então L e U são únicas.
Questão: Como fica a fatoração LU da matriz A acima se usarmos a segunda e a terceira operação elementar?
Usando racioćınios semelhantes temos que
H−1 =
 1 0 00 3 0
0 0 1
 ,J−1 =
 1 0 00 1 0
0 4 1

Note que JHFEA = V e agora encontre N triangular inferior tal que A = NV.
Também dá o produto de uma triangular inferior por superior, mas não é a fatoração ”clássica”(definição acima).
Se a matriz A de ordem n puder ser expressa na forma A=LU, onde L é uma matriz triangular inferior (lower
triangular) e U é uma matriz triangular superior (upper triangular), então o sistema Ax = b pode ser expresso
como LUx = b e portanto pode ser resolvido em dois passos:
Passo 1. Faça Ux = y, de modo que LUx=b pode ser escrito como Ly = b. Resolva este sistema.
Passo 2. Resolva o sistema Ux=y em x.
Exemplo: Abaixo já é fornecida a fatoração da matriz A. Resolva usando os dois passos mencionados acima. 1 0 0−2 1 0
2 4/3 1
 2 −1 30 3 6
0 0 4
 x1x2
x3
 =
 −14
−3
, ou seja, LUx = b.
Faz Ux=y, ou seja,
 2 −1 30 3 6
0 0 4
 x1x2
x3
 =
 y1y2
y3

Assim temos que resolver Ly = b, isto é,
 1 0 0−2 1 0
2 4/3 1
 y1y2
y3
 =
 −14
−3
.
Como L é triangular inferior é fácil resolver o sistema: y1 = −1, y2 = 2, y3 = −
11
3
.
Agora basta resolver Ux=y, isto é,
 2 −1 30 3 6
0 0 4
 x1x2
x3
 =
 −12
−11/3
.
Como U é triangular superior é fácil resolver o sistema: x3 = −
11
12
, x2 =
5
2
, x1 =
17
8
.
Definição: Dada uma matriz A = [aij ]m×n, podemos obter uma outra matriz A
T = [aji]n×m, denominada
transposta de A, cujas linhas são as colunas de A e, como conseqüência, as colunas são as linhas de A. Há outra
notação para a matriz transposta: At.
Propriedades:
(i) A é simétrica ⇐⇒ A = AT ; (ii) (AT )T = A; (iii) (A + B)T = AT + BT ; (iv) (kA)T = kAT , k ∈ R.
Exemplo: Encontre a fatoração LU para a matriz A =
 1 2 32 8 12
3 12 27
.
Resolveremos o sistema usando apenas a terceira operação elementar. 1 2 32 8 12
3 12 27
 L2−(2L1)−−−−−−→
L3−(3L1)−−−−−−−→
 1 2 30 4 6
0 6 18

L3−(3/2L2)−−−−−−−→
 1 2 30 4 6
0 0 9

Logo `21 = 2, `31 = 3 e `32 = 3/2.
A =
 1 2 32 8 12
3 12 27
 =
 1 0 02 1 0
3 3/2 1
 1 2 30 4 6
0 0 9
 = LU.
Observação: Toda matriz triangular superior com os elementos da diagonal não nulos pode ser fatorada como o
produto de uma diagonal por uma triangular superior com 1’s na diagonal.
U=

u11 u12 · · · u1n
0 u22 · · · u2n
...
...
. . .
...
0 0 · · · unn
 =

u11 0 · · · 0
0 u22 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · unn


1 u12/u11 · · · u1n/u11
0 1 · · · u2n/u22
...
...
. . .
...
0 0 · · · 1

Assim temos a fatoração LDU ou LDLT da matriz A:
A =
 1 2 32 8 12
3 12 27
 =
 1 0 02 1 0
3 3/2 1
 1 0 00 4 0
0 0 9
 1 2 30 1 3/2
0 0 1
 = LDU = LDLT .
Observação: Toda matriz diagonal com nenhum elemento negativo tem raiz quadrada.
D=

d11 0 · · · 0
0 d22 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · dnn
 =

√
d11 0 · · · 0
0
√
d22 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · ·
√
dnn


√
d11 0 · · · 0
0
√
d22 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · ·
√
dnn
 = D1/2D1/2.
Logo temos a seguinte fatoração da matriz A:
A =
 1 2 32 8 12
3 12 27
 =
 1 0 02 1 0
3 3/2 1
 1 0 00 2 0
0 0 3
 1 0 00 2 0
0 0 3
 1 2 30 1 3/2
0 0 1
 = LD1/2D1/2LT .
Agora observe que
LD1/2 =
 1 0 02 1 0
3 3/2 1
 1 0 00 2 0
0 0 3
 =
 1 0 02 2 0
3 3 3
 e D1/2LT =
 1 0 00 2 0
0 0 3
 1 2 30 1 3/2
0 0 1
 =
 1 2 30 2 3
0 0 3
.
Portanto temos a seguinte fatoração LLT de Cholesky da matriz A:
A =
 1 2 32 8 12
3 12 27
 =
 1 0 02 2 0
3 3 3
 1 2 30 2 3
0 0 3
 = LLT . (é uma nova matiz L!)
Teorema: Uma matriz simétrica A é definida positiva se, e somente se, a eliminação de Gauss sem trocas de
linhas puder ser feita no sistema Ax=b com todos elementos pivô positivos. Além disso, os cálculos são estáveis
com relação a erros de arredondamento.
Corolário: Uma matriz A é definida positiva se, e somente se, puder ser fatorada na forma LDLT , em que L é
triangular inferior com 1’s na sua diagonal e D é uma matriz diagonal com elementos positivos na diagonal.
Corolário: Uma matriz A é definida positiva se, e somente se, puder ser fatorada na forma LLT , em que L é
triangular inferior com elementos na diagonal diferentes de zero.
Definição: Uma matriz P n× n é dita matriz de permutação se ela puder ser obtida por meio da reorganização
das linhas da matriz identidade In. Isso resulta numa matriz com exatamente um elemento diferente de zero em
cada linha e cada coluna, e cada elemento diferente de zero é igual a 1.
Exemplo: A matriz P=
 1 0 00 0 1
0 1 0
 é uma matriz permutação 3× 3. Essa matriz é obtida a partir de I3
trocando a segunda e a terceira linhas (ou colunas). Veja que, quando multiplicamos uma matriz qualquer A 3×3
à esquerda por P, o efeito é trocar a segunda e a terceira linhas de A.
PA =
 1 0 00 0 1
0 1 0
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =
 a11 a12 a13a31 a32 a33
a21 a22 a23
.
De modo análogo, multiplicar A à direita por P troca a segunda e a terceira colunas de A.
Exemplo: A matriz P=

0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
 é a matriz permutação 4× 4 obtida a partir de I4 com as seguintes
trocas L1 ↔ L3, L2 ↔ L4 e depois L1 ↔ L4.
Proposição: Se P é uma matriz de permutação, então P−1 = PT .
Definição: Seja A uma matriz quadrada. Uma fatoração de A na forma A = PTLU, em que P é uma matriz
de permutação, L é uma triangular inferior com 1’s na diagonal e U é triangular superior é chamada fatoração
PTLU de A.
Exemplo: Encontre uma fatoração PTLU da matriz A =
 0 0 61 2 3
2 1 4
.
Faremos o escalonamento por linhas da matriz A e será necessária pelo menos uma troca de linhas. 0 0 61 2 3
2 1 4
 L1↔L2−−−−→  1 2 30 0 6
2 1 4

L3−(2L1)−−−−−−→
 1 2 30 0 6
0 −3 −2

L2↔L3−−−−→
 1 2 30 −3 −2
0 0 6

Usamos duas trocas de linhas (L1 ↔ L2 e depois L2 ↔ L3). Assim a matriz de permutação é
P = P23P12 =
 1 0 00 0 1
0 1 0
 0 1 01 0 0
0 0 1
 =
 0 1 00 0 1
1 0 0

Agora podemos fazer a fatoração LU da matriz PA.
PA =
 0 1 00 0 1
1 0 0
 0 0 61 2 3
2 1 4
 =
 1 2 32 1 4
0 0 6

L2−(2L1)−−−−−−→
 1 2 30 −3 −2
0 0 6
 = U.
Assim `21 = 2 e como P
−1= PT segue que
A = PTLU =
 0 0 11 0 0
0 1 0
 1 0 02 1 0
0 0 1
 1 2 30 −3 −2
0 0 6

Há mais de uma maneira de fazer tal fatoração. 0 0 61 2 3
2 1 4

L1↔L3−−−−→
 2 1 41 2 3
0 0 6

L2−(1/2L1)−−−−−−−→
 2 1 40 3/2 1
0 0 6

Usamos apenas uma troca de linhas L1 ↔ L3. Assim a matriz de permutação é
P = P13 =
 0 0 10 1 0
1 0 0

Agora podemos fazer a fatoração LU da matriz PA.
PA =
 0 0 10 1 0
1 0 0
 0 0 61 2 3
2 1 4
 =
 1 2 32 1 4
0 0 6
 =
 2 1 41 2 3
0 0 6

L2−(1/2L1)−−−−−−−→
 2 1 40 3/2 1
0 0 6
 = U.
Assim `21 = 1/2 e como P
−1=PT segue que
A = PTLU =
 0 0 10 1 0
1 0 0
 1 0 01/2 1 0
0 0 1
 2 1 40 3/2 1
0 0 6

Teorema: Toda matriz A admite uma fatoração PTLU.
Observe que o exemplo acima mostra que, em geral, tal fatoração não é única!
Exerćıcio: Encontre uma fatoração PTLU da matriz A=

0 1 −1 1
1 1 −1 2
−1 −1 1 0
1 2 0 2
.
Faremos o escalonamento por linhas da matriz A e assim teremos condições de montar a matriz P.

0 1 −1 1
1 1 −1 2
−1 −1 1 0
1 2 0 2

L1↔L2−−−−−−→

1 1 −1 2
0 1 −1 1
−1 −1 1 0
1 2 0 2
 L3−((−1)L1)−−−−−−−−−−−→
L4−(1L1)−−−−−−−−→

1 1 −1 2
0 1 −1 1
0 0 0 2
0 1 1 0
 L3↔L4−−−−−−→

1 1 −1 2
0 1 −1 1
0 1 1 0
0 0 0 2
 L3−(1L2)−−−−−−−−→

1 1 −1 2
0 1 −1 1
0 0 2 −1
0 0 0 2

Logo P = P34P12, onde Pij indica a matriz que troca a linha i pela linha j.
P = P34P12 =

1 0 0 00 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0


0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 =

0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0

Agora podemos fazer a fatoração LU da matriz PA.
PA =

0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0


0 1 −1 1
1 1 −1 2
−1 −1 1 0
1 2 0 2
 =

1 1 −1 2
0 1 −1 1
1 2 0 2
−1 −1 1 0
 L3−(1L1)−−−−−−−−→
L4−((−1)L1)−−−−−−−−−−−→

1 1 −1 2
0 1 −1 1
0 1 1 0
0 0 0 2
 L3−(1L2)−−−−−−−−→

1 1 −1 2
0 1 −1 1
0 0 2 −1
0 0 0 2
 = U.
Portanto `31 = 1, `41 = −1 e `32 = 1 e assim
A = PTLU =

0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0


1 0 0 0
0 1 0 0
1 1 1 0
−1 0 0 1


1 1 −1 2
0 1 −1 1
0 0 2 −1
0 0 0 2
