Considere a transformação T: R2 --> R2 tal que T(x,y)=( - x +4y, x+2y), verifique se é linear. Caso seja, determine λ1 e λ2, os autovalores de T,...

Para verificar se a transformação T é linear, precisamos verificar se ela satisfaz as duas propriedades da linearidade: aditividade e homogeneidade. Aditividade: T(u+v) = T(u) + T(v) T(x1 + x2, y1 + y2) = (-x1 - x2 + 4y1 + 4y2, x1 + x2 + 2y1 + 2y2) T(x1, y1) + T(x2, y2) = (-x1 + 4y1, x1 + 2y1) + (-x2 + 4y2, x2 + 2y2) = (-x1 - x2 + 4y1 + 4y2, x1 + x2 + 2y1 + 2y2) Portanto, T(u+v) = T(u) + T(v) e a transformação T é aditiva. Homogeneidade: T(ku) = kT(u) T(kx, ky) = (-kx + 4ky, kx + 2ky) kT(x, y) = k(-x + 4y, x + 2y) = (-kx + 4ky, kx + 2ky) Portanto, T(ku) = kT(u) e a transformação T é homogênea. Como a transformação T é linear, podemos encontrar seus autovalores e autovetores. Para isso, precisamos resolver a equação T(v) = λv, onde λ é o autovalor e v é o autovetor correspondente. T(x, y) = λ(x, y) (-x + 4y, x + 2y) = λ(x, y) Resolvendo o sistema de equações, encontramos que λ1 = 3 e λ2 = -2. Portanto, a alternativa correta é a letra C: É linear, 3 e -2.