Mat Ensino 06 - A Derivada -

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IFSC / A Derivada Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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A DERIVADA 
 
Introdução: 
O cálculo é a matemática das variações. O instrumento principal do cálculo para estudar as taxas de variação é um método 
conhecido como derivação. Neste estudo, vamos descrever esse método e mostrar como ele pode ser usado para 
determinar a taxa de variação de uma função [em qualquer um de seus pontos] e também a inclinação de qualquer reta 
tangente a uma curva. 
 
Exemplo intuitivo: 
 
 Num experimento científico em laboratório, um móvel se desloca sobre uma trajetória retilínea obedecendo à função 
horária S(t) = 3t2 – 5t + 2 [sendo S em metros e t em segundos]. Assim: 
 
a) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 4 ] ? 
b) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 3 ] ? 
c) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 2,1 ] ? 
d) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; (2 + h) ], com h ≠ 0? 
e) Como você interpreta fisicamente a velocidade média da partícula no item anterior, quando “h” tende a zero? 
f) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2 s? 
 
Resolução: 
 
a) A velocidade média 
mV de um móvel num certo intervalo de tempo é definida 
pelo quociente entre o espaço percorrido liniciafinal SSS  e o intervalo de 
tempo gasto para percorrê-lo inicialfinal ttt  . Assim: 
 
13
2
26
2
430
24
)2()4(












SS
tt
SS
t
S
inicialfinal
liniciafinal
mV 
 
Logo: smVm /13 
 
 
b) Neste item, temos: 
 
10
1
10
1
414
23
)2()3(












SS
tt
SS
t
S
inicialfinal
liniciafinal
mV 
 
Logo: smVm /10 
 
 
c) E neste item, temos: 
 
3,7
1,0
73,0
1,0
473,4
21,2
)2()1,2(












SS
tt
SS
t
S
inicialfinal
liniciafinal
mV 
 
Logo: smVm /3,7 
 
 
d) Neste caso, calcularemos primeiramente )2( hS  . Ao h denominamos ”incremento”. Então: 
 
253)(
2
 tttS 
2)2(5)2(3)2(
2
 hhhS 
251044(3)2( )
2
 hhhhS 
hhhhS 5831212)2(
2
 
2
374)2( hhhS  
 
h
h
hh
h
hh
h
hh
h
ShS
tt
SS
t
S
inicialfinal
liniciafinal
mV 37
)37(37]4[]374[
22
)2()2( 22















 
 
 Cálculos auxiliares: 
 
253)(
2
 tttS 
2)2(5)2(3)2(
2
S 
210)4(3)2( S 
812)2( S 
4)2( S 
 
253)(
2
 tttS 
2)4(5)4(3)4(
2
S 
220)16(3)4( S 
1848)4( S 
30)4( S 
 
253)(
2
 tttS 
2)3(5)3(3)3(
2
S 
215)9(3)3( S 
1327)3( S 
14)3( S 
 
253)(
2
 tttS 
2)1,2(5)1,2(3)1,2(
2
S
25,1023,13)1,2( S 
73,4)1,2( S 
 
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Logo: smV hm /[ ]37  
 
Observe que este item com o incremento genérico h na verdade engloba os itens calculados anteriormente. Veja: 
 
No item (a) temos: sh 2  smVm /1367)2.(37   
No item (b) temos: sh 1  smVm /1037)1.(37   
No item (c) temos: sh 1,0  smVm /3,73,07)1,0.(37   
 
e) No item anterior [d] obtivemos a velocidade média da partícula no intervalo de tempo ])2(,2[ h , com 0h . 
Quando h tende a zero ]0[ h , o segundo extremo de intervalo de tempo tende a 2 e o referido intervalo tende para 
]2,2[ , que podemos definir como um “intervalo de amplitude nula”, caracterizando exatamente o instante st 2 . 
Assim, fisicamente, quando h tende a zero ]0[ h , a velocidade média tenderá para o que chamaremos de velocidade 
instantânea da partícula no instante st 2 e esta velocidade poderá ser denotada por )2(V . 
 
f) Considerando o exposto no item [e], concluímos que: smhV
h
/7]37[lim)2(
0


 
 
Nota: O gráfico abaixo representa a função 253)(
2
 tttS
 
do exemplo intuitivo em questão. Trace a reta secante para 
st 2 e st 4 e observe os valores utilizados para calcular a velocidade média nesse intervalo. Trace também a reta 
tangente para st 2
 
e observe que isso resultou no cálculo da velocidade instantânea para esse instante. 
 
 
 
Observação: 
 
Taxas de variação normalmente podem 
ser identificadas através de suas unidades. 
São exemplos de taxas de variação: 
 
 m/s 
 km/h 
 ºC/min 
 m/s2 
 g/dia 
 habitantes/m2 
 litros/h 
 peças/min 
 libras/pol2 
 g/cm3 
 
entre outras. 
 
 
 
 
 
A velocidade média é uma TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA [TVM], pois indica a variação entre duas grandezas [o espaço 
percorrido em relação ao tempo gasto para percorrê-lo] e é definida como: mV
t
S



. 
 
Quando calculamos a velocidade no instante st 2 encontramos a velocidade instantânea, e assim, temos neste caso uma 
TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA [TVI], que chamaremos de derivada de “S” em relação à “t” no instante 2 s, e 
podemos denotar por: smV
dt
dS
t
/7)2(
2


 
 
De maneira análoga, para funções com as variáveis x e y , a derivada é a taxa de variação [instantânea] de y em 
relação à x , e podemos denotar por: 
dx
dy
. 
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Agora podemos formalizar o conceito de derivada: 
 
DEFINIÇÃO 
 
Derivada de uma função: 
 
A derivada de uma função )(xf em relação à x é a função )(xf  [que se lê: “f linha de x”] dada por: 
 
 
 
Uma função )(xf é derivável [ou diferenciável] num ponto ax  , se )(xf  existe, ou seja, se o limite [acima] existe no 
ponto em que ax  . 
 
Observação: O processo para calcular uma derivada é chamado de derivação. 
 
 
Notação de derivada [Operadores]: 
A derivada )(xf  muitas vezes é escrita na forma y , ou ainda, na forma: 
dx
dy
. Nesta última notação, o valor da derivada 
da função f
 
no ponto em que ax  , ou seja, )(af  , é escrito na forma: 
axdx
dy

. Assim:
 ax
dx
dy
af

 )( 
 
 
Pronúncias e outras notações: 
 
y  [lê-se: “y linha”, ou melhor: derivada de y] 
 
)(xy
 
 [lê-se: “y linha de x”, ou melhor: derivada de y em relação à x]
 
 
 
dx
dy
  [lê-se: “dê y sobre dê x”, ou melhor: derivada de y em relação à x]. 
 
y
 
 [lê-se: “y ponto”, ou melhor: derivada de y] 
 
fDx
 
 [lê-se: “dê-f de x”, ou melhor: derivada de f em relação à x] 
 
dx
df
  [lê-se: “dê f sobre dê x”, ou melhor: derivada de f em relação à x]. 
 
 
Algumas similaridades de operadores: 
Com indicação que a derivada é no ponto ax  : )()()()( afDa
dx
df
ay x
axdx
dy
af 

 
 
Apenas a indicação do operador de derivação:
 
 yfD
dx
df
y x
dx
dy
xf  )( 
 
Notas: 
 
 A notação 
dx
dy
 é devida a Leibnitz. 
 
 A notação )(xf  é atribuída a Lagrange. 
 
 A notação y é atribuída a Newton. 
 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)(
0



 
 Veja e Reflita: 
 
 Na TVM temos: 
x
y


  TVM =
12
12 )()(
xx
xfxf


 
 
 Na TV temos: 
dx
dy
  TV =
11
11
0
)()(
lim
xhx
xfhxf
h 


 
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Agora, revisitando o exemplo intuitivo visto anteriormente... 
 
Para encontrarmos a velocidade no instante st 2 , calculamos a derivada da função 253)(
2
 tttS no ponto em 
que st 2 . Assim: 
smVS
dt
dS
t
/7)2()2(
2


 
 
Isso implica em dizer que a derivada da função horária da posição nos fornece a função da velocidade, ou seja: 
 
)(tV
dt
dS
 
 
Veremos a seguir que, a derivada da função horáriada velocidade nos fornece a função da aceleração, ou seja: 
 
)(ta
dt
dV
 
 
 
A derivada como coeficiente angular da reta tangente à curva num determinado ponto 
 
Seja f uma função derivável [qualquer] representada no gráfico abaixo: 
 
 
 
 
Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado ponto, vamos supor o ponto 
),( yxP , que representaremos por ),( )(xfxP . 
Sabemos que o coeficiente angular de uma reta nos dá a inclinação da mesma. Sendo assim, vamos encontrar o 
coeficiente angular da reta tangente à curva [gráfico] no ponto ),( )(xfxP . 
 
 
 
 
 
Agora, sejam ),( )(xfxP e ),( )( hxfhxQ  dois pontos da função f onde h [incremento] representa a diferença 
entre as abscissas de P e Q . Já é de nosso conhecimento como determinar o coeficiente angular da reta que passa por 
P e Q utilizando os conceitos de trigonometria no triângulo retângulo PQR . Então: 
y
xx
f x( )
y
xx
f x( )
f 
P 
f 
P 
s 
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Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q . 
y
x
Q
P
x x + h
f x( )
f x+h( )
f x( )
s
R
 
 
Observando o triângulo PQR , sabemos que o coeficiente angular 
sm da reta secante s é dado por: 
 
PR
QR
adjcat
opcat
tgms 
..
..
  
xhx
xfhxf
ms



)()(
  
h
xfhxf
ms
)()( 
 
 
 
Agora, vamos considerar no gráfico de f os pontos nQQQQ ,...,,, 321 posicionados cada vez mais próximos de P . 
Imagine que a reta s permaneça passando pelo ponto P , entretanto, o ponto Q será trocado gradativamente pelos
nQQQQ ,...,,, 321 que se aproximam de P . Isso fará com que a reta s que é secante à curva, “tenda” para a posição 
de tangência no ponto P [tornando-se a reta t ] fazendo, consequentemente, o acréscimo [ou incremento] h , tender a 
zero. 
 
y
x
Q
P
x x + h
f x( )
f x+h( )
f x( )
s
RQ3
Q2
Q1
 
 
Assim, o coeficiente angular 
tm da reta tangente t à curva no ponto P , será dado por: 
h
xfhxf
m
h
t
)()(
lim
0



. 
 
Note que o valor de 
tm coincide com o valor da derivada de uma função, conceito este visto anteriormente. Assim 
concluímos que: 
 
h
xfhxf
xfm
h
t
)()(
lim)(
0



 
 
Conclusivamente: 
 
A derivada de uma função f [diferenciável] no ponto ),( )(afaP é: 
 
  O coeficiente angular 
tm da reta tangente à curva da função f nesse ponto P . 
ou 
  A [TV] taxa de variação )(af  [da grandeza )(xf em relação à x ] nesse ponto P . 
 
Simbolicamente temos: 
h
afhaf
afm
h
t
)()(
lim)(
0



 
f
 
f
 
t 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Considere o movimento de um corpo ao cair de uma grande altura. De acordo com a física clássica, em t segundos de 
queda, o corpo percorre uma distância 
2
9,4)( ttS  metros. Suponha que estejamos interessados em determinar a 
velocidade do corpo após 2 segundos. A menos que o corpo caia equipado por um velocímetro, é difícil medir diretamente a 
velocidade. Entretanto podemos determinar a distância percorrida pelo corpo entre o instante 2t e ht  2 e calcular 
a velocidade média durante esse intervalo de tempo e, fazendo 0h , teremos a velocidade instantânea em st 2 . 
 
Resolução: 
 
h
h
hh
h
hh
h
h
h
ShS
t
S
Vm 9,46,19
9,46,19)4.(9,4)44.(9,4)2.(9,4)2.(9,4
22
)2()2(
2222












 
 
Se o intervalo de tempo h é pequeno, a velocidade média está próxima da velocidade instantânea no instante st 2 . 
Assim, é razoável determinar a velocidade instantânea tomando o limite da expressão anterior quando h tende a zero: 
 
 smhV
h
/6,19]9,46,19[lim)2(
0


 ou, usando a notação de Leibnitz: sm
dt
dS
t
/6,19
2


 
 
Dessa forma, após 2 segundos de queda, o corpo estará viajando a uma velocidade de sm /6,19 . 
 
 
2) [FLEMMING] Uma região X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de 
pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, 
aproximadamente, dado por: 
 
 3
64)(
3
t
ttN 
 Pergunta-se: 
 
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 4t ? 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 8t ? 
c) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia no º5 dia? 
 
Resolução: 
 
A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação da função )(tN em relação à t . 
Aplicaremos a definição de derivada para resolver os itens [a] e [b]. 
 
a) Para diast 4 : Aplicando a definição, temos: 
h
NhN
h
NhN
N
hh
)4()4(
lim
4)4(
)4()4(
lim)4(
00





 
 
h
hhh
h
h
h
h
N
hh






























3
704
3
)644812(
25664
lim
3
)4(
4.64
3
)4(
)4(64
lim)4(
23
0
33
0
 
 
48
3
)12144(
lim
3
)12144.(
lim
3
12144
lim)4(
2
0
2
0
23
0








hh
h
hhh
h
hhh
N
hhh
 
 
Utilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos: diaatingidaspessoas
dt
dN
t
/48
4


 
 
b) Para diast 8 : Aplicando a definição, temos: 
h
NhN
h
NhN
N
hh
)8()8(
lim
8)8(
)8()8(
lim)8(
00






 
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h
hhh
h
h
h
h
N
hh































3
1024
3
)51219224(
51264
lim
3
)8(
8.64
3
)8(
)8.(64
lim)8(
23
0
33
0
 
 
0
3
)16(
lim
3
)16.(
lim
3
16
lim)8(
2
0
2
0
23
0








hh
h
hhh
h
hh
N
hhh
 
 
 
Utilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos: 
 
 diaatingidaspessoas
dt
dN
t
/0
8


 
 
 Qual o significado deste resultado? 
Ao lado, a representação gráfica de 
3
64)(
3
t
ttN  . 
 
Nota: Poderíamos “otimizar” os cálculos das questões [a] e 
[b] calculando a derivada da função )(tN genericamente para 
ht  e somente ao final, substituir os valores de 4t e 
8t [Veja o exemplo (2) de sala de aula, indicado a seguir!]. 
 
c) Para determinarmos quantas pessoas foram atingidas pela 
epidemia no º5 dia, basta calcular )4()5( NN  . Assim: 
 
...66,43
3
131
3
704
3
835
3
)4(
)4.(64
3
)5(
)5.(64)4()5(
33
 



















NN 
 
Logo, no º5 dia serão atingidas pela epidemia aproximadamente 44 pessoas. 
 
 
3) Uma partícula caminha sobre uma trajetória retilínea de modo que sua velocidade obedece à função 28)(  ttV , com 
V em m/s e t em segundos. Determine a aceleração da partícula no instante st 4 . 
 
Resolução: 
 
Para obter a aceleração instantânea da partícula no instante st 4 , deve-se inicialmente calcular a aceleração média da 
mesma no intervalo de tempo ])4(,4[ h . 
 
A aceleração média ma de um móvel num certo intervalo de tempo é definida pelo quociente entre a variação de velocidade 
liniciafinal VVV  e o intervalo de tempo correspondente: inicialfinal ttt  . Assim: 
 
8
8]30[]830[]2)4.(8[]2)4.(8[
4)4(
)4()4(














h
h
h
h
h
h
h
VhV
tt
VV
t
V
inicialfinal
liniciafinal
ma 
 
Assim: 
2
/8 smma  
 
Para obtermos a aceleração instantânea em st 4 , devemos calcular )4(a fazendo com que 0h . Como 8ma é 
uma função independente de h [função constante], quando 0h , a ma continua sendo 8 , ou seja: 
2
/8)4( sma  . 
 
Veja: 
2
0
/8]8[lim)4( sma
h

 [Quando a aceleração é constante temos um MUV!] 
 
Utilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos: 
2
/8
4
sm
dt
dV
t


 
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Observe que a derivada da velocidade em função do tempo nos fornece a função aceleração: )()( tatV
dt
dV
 . 
 
Notação: 
 
Quando derivamos a função horária da posição encontramos a velocidade. Se a derivarmos novamente encontramos a 
aceleração. Sendo assim, podemos dizer que a aceleração é a segunda derivada da posição e indicamos por: 
 
 
)()( tV
dt
dS
tS 
 
e
 
)()(
2
2
ta
dt
Sd
tS  
 
Nota: Abordaremos esse conteúdo [derivadas sucessivas] com detalhes mais adiante! 
 
 
4) Obtenha a equação da reta tangente à curva 
2
xy  no ponto )1,1(A . 
 
Resolução: 
 
Inicialmente, vamos calcular o coeficiente angular sm 
da reta secante à parábola dada, que passa pelos seus pontos de 
abscissas 1x e hx 1 . Assim: 
 
h
h
hh
h
hh
h
hh
h
h
ms 








 2
)2.(21)21(
11
)1()1( 2222
 
 
 
O coeficiente angular tm 
da reta tangente à parábola no seu ponto )1,1(A será obtido a partir de sm , fazendo-se h 
tender a zero. Desta forma: 
2]2[lim
0


hm
h
t
. 
 
Então, a reta tangente à parábola no ponto )1,1(A tem coeficiente angular 2tm . 
Substituindo em )( AA xxmyy  temos: 
 
 )1.(21  xy  221  xy  12  xy 
 
Logo, a equação da reta tangente à curva 
2
xy  no ponto )1,1(A
 
é: 12  xy . 
 
 
 
EXEMPLOS ADICIONAIS [resolução em sala]: 
 
1) Determine a [fórmula da] derivada da função 65)(
2
 xxxf , através da definição de derivada e calcule 






2
19
f . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observação: Para simplificar o texto, poderemos escrever a questão 2(c) assim: 
 
 Determine o coeficiente angular da curva )(xf no ponto 2x . 
2) Dada a função 42)(
3
 xxxf , determine: 
 a) a TV quando 0x . 
 b) a equação da reta t tangente à curva )(xf no ponto em que 1x . 
 c) o coeficiente angular da reta tangente à curva )(xf no ponto em que 2x . [veja observação abaixo] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: O gráfico acima foi plotado no Winplot. 
 
 
 
 
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3) Determine a derivada da função cbxaxxf 
2
)( aplicando a definição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – DEFINIÇÃO DE DERIVADA 
 
1) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer de modo que sua velocidade obedece à função: v(t) = t2 – 4t 
[sendo: “v” em m/s e “t” em segundos]. Sabe-se que a aceleração média da partícula [am] num certo intervalo de tempo, é 
dada por am = ∆v/∆t , determine: 
 
a) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 1 ] ? 
b) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,5 ] ? 
c) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,1 ] ? 
d) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 , h ] , com h ≠ 0? 
e) Como você interpreta fisicamente a aceleração média da partícula no item anterior, quando “h” tende a zero? 
f) Qual a aceleração da partícula no instante t = 0 s? 
 
2) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t3 + t2 – 2t + 3 [com S em 
metros e t em segundos]. Determinar a velocidade no instante t = 5 s. 
 
3) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t2 – 7t + 10 [com S em 
metros e t em segundos]. Assim: 
 
a) Determine a lei de sua velocidade em função do tempo. 
b) Calcular a velocidade da partícula no instante t = 3 s 
c) Obter a lei de sua aceleração em função do tempo. 
d) Calcular a aceleração da partícula no instante t = 3 s. 
 
4) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo a função horária: S(t) = 4t3 – 5t2 + 8t +1 [sendo 
S em metros e t em segundos]. Então: 
 
a) Determine a lei de sua velocidade em função do tempo. 
b) Calcular a velocidade da partícula no instante t = 1 s 
c) Obter a lei de sua aceleração em função do tempo. 
d) Calcular a aceleração da partícula no instante t = 4 s. 
 
5) Encontre a equação da reta tangente à curva y = x2 – 2x + 1 no ponto (2 , 1). 
 
6) Determine a equação da reta tangente à curva y = 2x2 +3 no ponto P(2 , 11). 
 
7) Dada a função f(x) = 5x2 + 6x –1, calcule f’(2). 
 
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 Nota: 
 
Com o objetivo de simplificar o “texto”, 
onde escrevemos: “o coeficiente angular 
da reta tangente à curva no ponto P”, 
escreveremos: “o coeficiente angular da 
curva no ponto P”. 
8) Dada a função f(x) = 3x2 – 1 e g(x) = 5 – 2x, determinar: 
 
 a) f’(1) b) g’(1) c) f’(1) + g’(1) 
 
9) Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções: 
 
a) f(x) = 1 – 4x2 b) g(x) = 2x2 – x –1 c) h(x) = 3x + 2 d) y = x3 
 
10) A população inicial de uma colônia de bactérias é 10000. Depois de t horas a colônia terá uma população P(t) que 
obedece a lei: P(t) = 10000 + 8600t + 10000t2. Assim: 
 
a) Determine o número de bactérias presentes depois de 10 horas. 
b) Encontre a lei que dá a taxa de variação da população P em relação ao tempo t. 
c) Determine a taxa de variação [instantânea] da população quando t = 10 horas. 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1a) –3 m/s2 1b) –3,5 m/s2 1c) –3,9 m/s2 1d) 4h 1e) aceleração instantânea 1f) – 4 m/s2 2) 83 m/s 
 
3a) v(t) = 2t – 7 3b) v(3) = –1 m/s 3c) a(t) = 2 3d) a(3) = 2 m/s2 4a) v(t) = 12t2 – 10t + 8 
 
4b) v(1) = 10 m/s 4c) a(t) = 24t – 10 4d) a(4) = 86 m/s2 5) y = 2x – 3 6) y = 8x – 5 7) f’(2) = 26 
 
8a) f’(1) = 6 8b) g’(1) = –2 8c) 4 9a) f’(x) = –8x 9b) g’(x) = 4x – 1 9c) h’(x) = 3 9d) y’ = 3x2 
 
10a) P(10) = 1.096.000 bactérias 10b) dP/dt = 8600 + 20000t 10c) 208600 bactérias/hora 
 
 
 
Para refletir: O maior prazer de um homem inteligente é bancar o idiota diante de um idiota que banca o inteligente. 
 
 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS – DEFINIÇÃO DE DERIVADA 
 
1. Determine: 
 
a) o coeficiente angular da curva 
x
y
1
 no ponto em que 3x . 
b) para qual valor de “ x ”, o coeficiente angular da curva 
x
y
1

 
será 
4
1
 ? 
c) o coeficiente angular da curva 
x
y
1
 no ponto em que ax  e avalie o seu sinal [quando será positivo e/ou negativo]. 
Observação: represente graficamente a função 
x
y
1
 para avaliar melhor seus resultados. 
 
2. [Queda livre em Júpiter] A equação para a queda livre na superfície de Júpiter é S = 11,44t2 , com S em metros e t em 
segundos. Suponha que uma esfera de aço seja largada do topo de um penhasco de 500m de altura. Determine a velocidade 
[em km/h] e a aceleração dessa esfera [em m/s2], quando t = 2s. 
 
3. [Círculo de área variável] Qual é a taxa de variação da área de um círculo em relação ao raio, quando r = 3? 
Lembre-se que a área do círculo é: 
2
.)( rrA  . 
 
4. Mostreque a reta y = mx + n é sua própria tangente em qualquer um de seus pontos (x0 , mx0 + n). 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1a) –1/9 1b) para x =  2 1c) m < 0 para a  * 2) v(2) = 164,736 km/h e a(2) = 22,88 m/s2 3) dA/dr = 6 
 
 
 
Os exercícios extras acima foram extraídos/adaptados do livro: THOMAS, George B. Cálculo. V. 1. Pearson. São Paulo: 2002. 
 
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            












x
y
REGRAS E TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO [Usando a Tabela de Derivadas] 
 
Inicialmente, vamos determinar a derivada de algumas funções “bem elementares”... 
 
Nota: você deverá ter em mãos a “nossa” tabela de derivadas [que também está apresentada no final deste material]. 
 
 
 Derivada de uma Função Constante: 
 
3)( xf Outras notações: 
   0
dx
fd
 
0)(  xf 
  0)3( 
dx
d
 
 
 
 
 
 
Generalizando, temos: ky   0y [ com Rk ] Regra 1 da Tabela! 
 
 
 Derivada de uma Função do 1º Grau: 
 
xxf 2)(   2)(  xf 13)(  xxg  3)(  xg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: “Função Identidade” 
 
xy   1y 
 
 
 
 
 
 
Generalizando, temos: 
 
nmxy   my  [ com *Rm e Rn ] 
            












x
y
            












x
y
            












x
y
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A Derivação é uma TRANSFORMAÇÃO LINEAR. 
 
Sejam: )(xuu 
 
 u é uma função com variável independente )(x .
 
 
)(xvv 
 
 v é uma função com variável independente )(x .
 
 
Rka ,
 
 a e k são constantes reais.
 
 
 
Assim, dada a função genérica:
 
vkuaxf ..)(  , a sua derivada [genérica] será: 
 
 )()()..( v
dx
d
ku
dx
d
avkua
dx
d
  [Propriedade da Linearidade da Derivação] 
 
 
Ou simplesmente: vkuaxf  ..)( 
 
 
Nota: 
 
A Regra 2 da Tabela, indica como derivar uma função u
 
que é multiplicada por uma constante k . Veja: 
 
uky .  uky  . 
 
 “para derivar uma função que é multiplicada por uma constante, basta multiplicar a constante pela derivada da função”. 
 
 
 
 Derivada de uma Função Polinomial [de qualquer grau]: 
 
Observe a Regra 3 da Tabela: 
a
uy   uuay
a 

..
1
 
 
Exemplos: 
 
a) 
4
)( xxf  b) 
5
3)( xxg  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 14342)(
23
 xxxxh
 
d) 3
45
2 25
x
x
xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para concluir, veja: 
 
)(xf x 
2
x 
3
x 
4
x 
5
x  
)(xf  1 x2 23x 34x 45x  
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 Derivada de Funções Trigonométricas: 
 
Veja na tabela: Regra 11: useny   uuy cos. 
 
 Regra 12: uy cos  usenuy . 
 Regra 13: utgy   uuy
2
sec. 
 
Nota: 
Observe as regras [14 a 20] da nossa tabela de derivadas. Elas envolvem outras funções trigonométricas, inversas de 
trigonométricas e trigonométricas hiperbólicas. 
 
Exemplos: 
a) )()( xsenxf  Outra notação: xxsen
dx
d
cos)(  
 
 
 
 
 
 
 
b) )13(cos2
2
 xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Derivada de “Outras” Funções: 
 
 
Exemplos: 
 
a) 
4
)32()(  xxA [Aplicaremos a Regra 3]: 
a
uy   uuay
a 

..
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
32
4)(


x
xB [Aplicaremos a Regra 4]: 
u
ay   uaay
u  ..ln 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
x
xxC
4
)32()(  [Aplicaremos a Regra 10]:
 
v
uy   vuuuuvy
vv 

.ln...
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
As Regras 3 e 4 são 
casos particulares da 
Regra 10. 
 
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d) 
14
)(


x
exD [Aplicaremos a Regra 5]: 
u
ey   uey
u  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) )4(log)(
2
xxE  [Aplicaremos a Regra 6]: uy alog  
u
u
a
y


ln
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Derivada de Funções com Radicais: 
 
Você não encontrará na tabela, funções com “raízes”. Assim, para funções que contenham radicais, faremos inicialmente 
uma preparação para aplicarmos adequadamente alguma regra, geralmente, a Regra 3 da tabela. 
A Regra 3 da Tabela: 
a
uy   uuay
a 

..
1
 Lembre-se que: 
n mn
m
aa  
 
Exemplo: 
 
1310  xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: 
 
Para: 
x
ey 
 
Temos: 
x
ey  
 
Observação: 
 
Note que a Regra 5 
é um caso particular 
da Regra 4. 
 
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 Derivada de Multiplicação [Produto] de Funções: 
 
Regra 8: vuy   vuvuy  .. 
 
Exemplos: 
 
a) )42()(
23
xxxxf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) )(.4
2
xsenxy  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Derivada de Divisão [Quociente] de Funções: 
 
Regra 9: 
v
u
y   
2
..
v
vuvu
y

 
 
Exemplos: 
 
a) 
x
x
y
7
13 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b1) 3 142
4


x
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Nota: Em alguns casos, como este, pode ser “interessante” evitarmos a aplicação da “Regra da Divisão”. Veja: 
 
b2) 3 142
4


x
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica do Prof. Tomio! 
 
Para encontrar a derivada de funções [utilizando as regras e a tabela], seguiremos basicamente três passos: 
 
1) identificar a(s) função(ões) a ser(em) derivada(s) e observar se é necessário “preparar” a expressão para melhor adaptá-
la à(s) regra(s) de derivação correspondente(s). 
 
2) realizar a operação de derivação através da(s) regra(s), observando atentamente cada procedimento. 
 
3) simplificar e organizar a expressão o máximo possível. 
 
 
Resumidamente, temos: 
 
1) identificar função / prepará-la, se necessário. 
 
2) derivar através da(s) regra(s). 
 
3) simplificar a expressão. 
 
 
 
Para descontrair [se puder] com o Calvin... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REGRA DA CADEIA [Para Funções Compostas] 
 
Inicialmente, vamos relembrar de forma simples e breve, o conceito de composição de funções através de um exemplo. 
Veja: 
 
Sejam as funções 6)(
5
 xxf e 42)(
3
 xxg . Vamos encontrar a função composta de f com g , que é indicada 
por ))(( xgf . Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora... 
 
Em muitas situações, a taxa de variação de uma grandeza pode ser expressa como um produto de outras taxas. 
 
Por exemplo, um automóvel que esteja viajando a 80 hkm / e o consumo degasolina a esta velocidade seja de 0,1 km/ . 
Para calcularmos o consumo de gasolina, em litros por hora, basta multiplicarmos as duas taxas em questão. Veja: 
 
h
h
km
km
/8801,0 

 
 
Atente que, na situação acima, multiplicamos duas taxas de variação do problema para encontrar a taxa de variação de 
interesse. Essa expressão é um caso particular de uma regra importante conhecida como Regra da Cadeia. 
 
A partir dessa “ideia”, podemos diferenciar [derivar] funções compostas, aplicando o processo de diferenciação [derivação] 
separadamente nas funções que compõem essa função composta. Assim: 
 
A Regra da Cadeia: 
 
Se f e g forem diferenciáveis [deriváveis] e a função composta de f com g definida por ))(( xgfy  , então y é 
diferenciável e y é dada pelo produto: 
 
)())(( xgxgfy 
 
Na notação de Leibniz, se )(ufy  e )(xgu  forem funções deriváveis, então: 
 
dx
du
du
dy
dx
dy

 
 
 
 
Reflita: O fracasso quebra as almas pequenas e engrandece as grandes, assim como o vento apaga a vela e atiça o fogo da floresta. [Benjamim Franklin] 
 
Notação: 
 
A função composta ))(( xgf , também pode 
ser representada por gf  ou ainda por 
))(( xgf  . 
Observação: 
 
Com as funções f e g também podemos 
gerar outras funções compostas, tais como: 
))(( xfg , ))(( xff , )))((( xfgf , entre 
outras. 
Como se lê: 
 

 
))(( xgf
 
 f composta com g ou 
simplesmente f de )(xg . 
 gf   f composta com g ou 
simplesmente f bola g . 
 
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Exemplo: 
 
1) Calcule a derivada de 6)42(
53
 xy utilizando a regra da cadeia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Utilizando a regra da cadeia, determine 
dt
dy
 para )]2(5[ tsentgy  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para descontrair... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coleção: As Melhores Tiras – Cebolinha / Autor: Maurício de Souza / Editora: Globo 
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APLICAÇÕES DE DERIVAÇÃO: Taxas de Variação 
 
A abordagem deste tema se dará através da resolução e discussão de situações-problema, dadas a seguir. 
 
1) Um copo de limonada a uma temperatura de Fº40 é colocado em uma sala com temperatura constante de Fº70 . 
Considerando um princípio da Física, denominado Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, pode-se mostrar que, 
se a temperatura da limonada atingir Fº52 em uma hora, então a temperatura T da limonada como função do tempo 
decorrido é modelada aproximadamente pela expressão 
t
etT
5,0
.3070)(

 , onde T é dado em Fº e t , em horas. 
 
Responda: a) Qual a fórmula que define a taxa de variação [instantânea] da temperatura T em relação ao tempo t ? 
 b) Qual a taxa de variação quando 1t e 5t
 
horas? [Explique o significado dos resultados encontrados] 
 c) Represente graficamente a função )(tT . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Analistas de produção verificaram que, em uma determinada fábrica montadora, o número de peças produzidas nas 
primeiras x horas diárias de trabalho é dado por: 
 






84,)1.(200
40,).(50
)(
2
xparax
xparaxx
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pergunta-se: 
 
a) Qual a razão de produção (em peças/hora) ao final de 3 horas de trabalho? 
b) E ao final de 7 horas? 
c) Quantas peças são produzidas na quarta e na oitava hora de trabalho? 
 
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Observação: Para simplificar o texto, poderemos escrever a questão 1(a) assim: 
 
 Determine o coeficiente angular da curva )(xf no ponto 5x . 
APLICAÇÕES DE DERIVAÇÃO: Problemas de Reta Tangente à Curva 
 
Já fizemos uma abordagem deste tema no momento em que estudamos a derivada de uma função através da sua definição. 
Com o objetivo de relembrar e fixar alguns conceitos, vamos resolver e discutir os problemas dados a seguir. 
 
1) Dada a função 56)(
2
 xxxf , determine: 
 a) o coeficiente angular da reta tangente à curva )(xf no ponto em que 5x . [veja observação abaixo] 
 b) a equação da reta t tangente à curva )(xf no ponto em que 5x . 
 c) o coeficiente angular da curva )(xf no ponto em que 0x . 
 d) o ponto de )(xf em que a reta tangente a essa curva é horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dada a função 
x
xsen
y
)(
 , determine: 
a) a derivada 
dx
dy
. 
 
b) o coeficiente angular da curva no ponto em que 0x . 
 
c) o que se pode concluir com o resultado encontrado em (b)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Os gráficos acima foram plotados no Maple 13. 
 
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EXERCÍCIOS – Regras e Técnicas de Derivação [Usando a Tabela de Derivadas] 
 
1) Determine a derivada das funções dadas a seguir [as respostas estão na coluna da direita]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 63
2
)1(.5
3



x
x
y 
4
2 12
23
)12(
5
)( 











x
x
x
xf 
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Curiosidade: Dizem que nenhum pedaço de papel pode ser dobrado ao meio mais de 7 vezes. Será verdade? 
 
 
)(
xx
eseney  
)3()3sec(3 xtgxy  
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2) Calcule a derivada das funções e encontre a taxa de variação indicada [as respostas estão na coluna da direita]. 
 
a) 
2.)( rrA  ?)10( A rrA ..2)(  e 20)10( A 
 
b) )2)(13( 45 xxy  ?
1

xdx
dy
 
348 43027 xxx
dx
dy
 e 1
1

xdx
dy
 
 
c) 
xexxf .2)(  ?)6( f )1(.2)( xexf
x  e 6.14)6( ef  
 
d) 
32
2
)(



x
x
xh ?)0( h 
2)32(
7
)(


x
xh e 
9
7
)0( h 
 
e) 
21 x
e
y
x

 ?
1

xdx
dy
 
22
2
)1(
)1(
x
xe
dx
dy x


 e 0
1

xdx
dy
 
 
f) 
54
53
)(
xx
xg  ?)1( g 
65
2512
)(
xx
xg  e 37)1( g 
 
g) )63(
2
1
)( 2 xx
x
x
xy 


 ?)0( y 
2
23
)2(
1236276
)(



x
xxx
xy e 3)0( y 
 
 
 
3) Derive as funções dadas a seguir, aplicando a Regra da Cadeia [as respostas estão na coluna da direita]. 
 
a) )3(ln)( 2  xxf 
3
2
)(
2 

x
x
xf 
 
b) )4()( xsenxg  )4(cos4)( xxg  
 
c) )8(cos)( 2tth  )8(.16)( 2tsentth  
 
d) )12ln(2  ty 
12
4


tdt
dy
 
 
e) 
xey 5 xe
dx
dy 5.5  
 
f) 
42 )3()(  ttf 32 )3.(8  tt
dt
df
 
 
g) 13  xy 
13.2
3


x
y 
 
 
4) Em quais pontos do gráfico da função xxxy 2
2
3
3
1 23  é possível traçarmos uma reta tangente horizontal a 
essa curva? Utilize um software gráfico para “visualizar” a resposta. 
 
Resposta: Os pontos procurados são: 





6
5
,1 e 





3
2
,2 . 
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EXERCÍCIOS – Aplicações de Derivação: Taxas de Variação 
 
 
1) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t3 + t2 – 2t + 3 [com S em 
metros e t em segundos]. Determinar a velocidade no instante t = 5 s. 
 
 
2) [Queda livre em Júpiter] A equação para a queda livre na superfície de Júpiter é S = 11,44t2 , com S em metros e t em 
segundos. Suponha que uma esfera de aço seja largada do topo de um penhasco de 300m de altura. Determine a velocidade 
[em km/h], quando t = 3 s. 
 
 
3) [FLEMMING / Adaptada] Uma região X é atingida por uma 
moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o 
número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um 
tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) 
é, aproximadamente, dado por: 
 3
64)(
3
t
ttN 
 
 
A representação gráfica desse fenômeno se encontra ao lado. 
Pergunta-se: 
 
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 4t ? 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 8t ? 
c) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia em 8 dias? 
d) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia no º8 dia? 
 
 
 
 
4) A população inicial de uma colônia de bactérias é 000.10 . Depois de t horas, a colônia terá a população )(tP que 
obedece a lei: 
t
tP )2,1(000.10)(  . 
a) Qual o número de bactérias depois de 10 horas? 
b) Encontre a lei que dá a variação da população P em relação ao tempo t . 
c) Determine essa variação instantânea da população quando 10t horas. 
 
 
5) Uma partícula se move segundo a equação S(t) = t3 – 2t2 + 5t – 1, sendo S medido em metros e t em segundos. Em 
que instante a sua velocidade vale 9 m/s? 
 
 
6) Mariscos Zebra são mariscos de água doce que se agarram a qualquer coisa que possam achar. Apareceram primeiro no 
Rio St. Lawrence no começo da década de 80. Estão subindo o rio e podem se espalhar pelos Grandes Lagos. Suponha que 
numa pequena baía o número de mariscos zebra ao tempo t seja dado por 2300)( ttZ  , onde t é medido em meses 
desde que esses mariscos apareceram nesse lugar. Assim: 
a) Quantos mariscos zebra existirão na baía depois de quatro meses? 
b) A que taxa a população está crescendo em quatro meses? 
 
 
7) Um reservatório de água está sendo esvaziado e a função 
2
)30(200)( ttV  indica o volume [em litros] de água 
presente no reservatório no tempo t [em minutos], com 300  t . Pergunta-se: 
a) Qual a quantidade de água existente no reservatório depois de 8 minutos de escoamento? 
b) A que taxa o volume de água do reservatório varia após 8 minutos? 
c) Qual a taxa média de variação do volume de água durante os primeiros 8 minutos? 
 
 
8) Sabe-se que o volume V de um cubo é função de seu lado. Assim, determine a taxa de variação do volume em relação ao 
lado quando este mede 5 uc. [Nota: pense em como você indicará a unidade da taxa de variação] 
 
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9) [FLEMMING] Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa, em gramas: 
 







9060,6044,24
600,)4(
2
1
20
)(
2
tpara
tparat
tw
t 
, onde t é medido em dias. 
 
a) Qual a razão do aumento do peso da ave quando t = 50 dias? 
b) Quanto esta ave aumentará no 51º dia? 
c) Qual a razão de aumento de peso quando t = 80 dias? 
 
 
10) [THOMAS] A resposta R
 
do corpo a uma dose de medicamento, às vezes, é representada por uma equação da forma 







32
2 MC
MR onde C é uma constante positiva e M é a quantidade de medicamento absorvida pelo sangue. Se 
a resposta esperada for uma variação na pressão sanguínea, então R deverá ser medida em mmHg; se a resposta for 
uma variação da temperatura, R será medido em Cº e assim por diante. Determine 
dM
dR
. Essa derivada [em função de 
M ] é chamada “sensibilidade do corpo ao medicamento”. 
 
 
11) Um paraquedista salta de um avião. Supondo que a distância que ele cai, antes de abrir o paraquedas, é de 
tttS 176)1835,0(986)(  , onde S está em pés e t em segundos; calcule a velocidade instantânea (em m/s) do 
paraquedista quando 15t segundos. Observação: 1 pé = 0,3048 m. 
 
 
12) De uma pequena comunidade se obteve uma estimativa que, daqui a t anos, a sua população será de 
.
1
5
20)( pessoasdemilhares
t
tP

 Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade? 
 
 
13) Certa imobiliária aluga salas comerciais por R$ 600,00 mensais. Este aluguel sofre um reajuste mensal de 2%. Calcule a 
taxa de variação do aluguel daqui a 10 meses. 
 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1) 83m/s 
2) v(3) = 247,104 km/h 
3a) N’(4) = 48 pessoas atingidas/dia 3b) N’(8) = 0 pessoas atingidas/dia 3c) N(8)  341 pessoas 3d) N(8) – N(7)  8 pessoas 
4a) P(10) = 61917 bactérias 4b) P’(t)  1823.(1,2)t 4c) P’(10) = 11288 bactérias/hora 
5) t = 2 s 
6a) Z(4) = 4800 mariscos 6b) Z’(4) = 2400 mariscos/mês 
7a) V(8) = 96.800  7b) V’(8) = – 8800  /min 7c) Vm = –10400  /min 
8) V’(5) = 75 ua/uc 
9a) w’(50) = 54 g/dia 9b) w(51) – w(50) = 54,5 g 9c) w’(80) = 24,4 g/dia 
10) dR/dM = M(C – M) 
11) v(15)  164,1 pés/s  50 m/s 
12) P’(1,5) = 800 pessoas/ano 
13) aprox. 14,48 reais/mês 
 
 
 
 
 
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        








x
y
EXERCÍCIOS – Aplicações de Derivação: Problemas de Reta Tangente à Curva 
 
 
1) Seja a função 22
24
 xxy e seu gráfico representado abaixo. 
 
a) Determine 
dx
dy
. 
 
b) Calcule 
2/1x
dx
dy
 e 
2/3x
dx
dy
. 
 
 
c) Qual o significado geométrico dos valores encontrados 
no item (b)? 
 
d) Encontre os valores de x , para os quais 0
dx
dy
. 
 
e) O que os valores de x , encontrados no item (d), 
representam geometricamente? 
 
 
 
 
2) Determine: 
a) o coeficiente angular da curva 
x
y
1
 no ponto em que 3x . 
b) para qual valor de “ x ”, o coeficiente angular da curva 
x
y
1

 
será 
4
1
 ? 
c) o coeficiente angular da curva 
x
y
1
 no ponto em que ax  e avalie o seu sinal [quando será positivo e/ou 
negativo]. 
Observação: represente graficamente a função 
x
y
1
 para avaliar melhor seus resultados. 
 
 
3) Determine a equação da reta tangente à curva 32)(
2
 xxf no ponto )11,2(P . 
 
 
4) Determine a equação da reta tangente à curva )()( xsenxf  no ponto )0,(Q . 
 
 
5) As funções baxxxf 
2
)( e 
2
)( xcxxg  têm uma tangente comum em )6,3(T . Encontre as funções em 
questão e plote os seus gráficos no mesmo sistema cartesiano para verificar sua solução. 
 
 
6) Mostre [através do processo de derivação] que a abscissa do vértice de uma parábola qualquer cbxaxy 
2
 pode 
ser encontrada através da fórmula 
a
b
xV
2
 . 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1a) xx
dx
dy
44
3
 1b)
 
2
3
2/1

x
dx
dy
 e 
2
15
2/3

x
dx
dy
 1d) }1,0,1{ 1c–1e) Resposta teórica 
 
2a) 
9
1
m 2b) Para 2x ou 2x 2c) 
2
1
a
m  e m
 
será negativo para *Ra 
 
3) 58  xy 4)  xy 5) 187)(
2
 xxxf e xxxg 5)(
2
 
 
NOTA: 
 
Com o objetivo de simplificar o “texto”, onde 
escrevemos: “o coeficiente angular da reta 
tangente à curva no ponto P”, escreveremos: 
“o coeficiente angular da curva no ponto P”. 
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DERIVADAS SUCESSIVAS [Derivadas de Ordem Superior] 
 
As derivadas sucessivas [ou de ordem superior] têm diversas aplicações. Algumas delas estão na: 
 
 Construção e Interpretação de Gráficos; 
 Otimização de Funções [Máximos e Mínimos]; 
 Cálculo Avançado [Equações Diferenciais, Séries, etc.]; 
 Física Superior, Áreas Aplicadas da Tecnologia/Engenharia, entre outras. 
 
Neste momento, vamos abordar o tema através de alguns exemplos. Veja: 
 
1) Dada a função polinomial de 5º grau: 33)(
25
 xxxf , determine sua derivada de 6ª ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Sendo )ln(2 xy  , determine 
4
4
dx
yd
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembre-se da similaridade das notações: )()(
)()(
xfDfD
dx
fd
dx
yd
xfy
nn
xn
n
n
n
nn
 
Notações: 
 
)(xf  y
 
)(xf   
dx
dy
 
)(xf   
2
2
dx
yd
 
)(xf   
3
3
dx
yd
 
)(
)4(
xf  
4
4
dx
yd
 
)(
)5(
xf  
5
5
dx
yd
 
 

 
 
)(
)(
xf
n
 
 
n
n
dx
yd
 
 
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3) Determine )(cos
27
xDx , ou seja, para )(cos xy  , encontre 
)27(
y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Dada a função horária das posições 58102)(
23
 ttttS de um móvel em certa trajetória
 
[no SI], determine a sua 
velocidade, aceleração e arranque, no instante 3t s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: o arranque [também chamado de arranco ou de sobreaceleração] é a taxa de variação da aceleração em relação ao 
tempo. No SI, sua unidade é o m/s3. A letra [símbolo] utilizada para representá-lo é o “j” [Jota], provavelmente oriundo da 
palavra inglesa “jerk” que tem significado similar. 
 
 
 
Reveja as Notações: 
 
 Velocidade: )()( tStv  )(tv
dt
dS
 
 Aceleração: )()( tSta  )()()( tStvta  )(
2
2
ta
dt
Sd
 
 Arranque: )()( tStj 
 
)()()()( tStvtatj 
 
)(
3
3
tj
dt
Sd

 
 
 
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Utilizando derivadas para encontrar [calcular] LIMITES 
 
A REGRA DE L'HOPITAL [ou L'Hôspital] 
 
 
Ocorrendo, em limites, a forma indeterminada 
0
0
 
 ou 


, então: 
 







 )(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
xg
xf
axaxax
 até que “desapareça” a indeterminação! 
 
Nota: Ra
 
ou a . 
 
 
Caso ocorra, num limite, uma das outras 5 indeterminações: 

 1,,0,0,
00
, poderemos “transformá-la” 
em 
0
0
 ou 


 para então aplicarmos a regra de L’Hopital, caso seja de interesse. 
 
 
Exemplos: 
 
 
Calcule os limites: 
 
a) 
1
2
lim
0  xx e
x
 
 
 
 
 
 
 
b) 
30
)(
lim
x
xsenx
x


 
 
 
 
 
 
 
c) 
23
6
lim
2
2
2 

 xx
xx
x
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
x
x
x 2
ln
lim

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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e) 
x
x
x
1
)93(lim 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As Origens da Regra de L'Hopital: 
 
A regra de L'Hopital foi publicada pela primeira vez em 1696, no livro Analyse des Infiniment Petits, do matemático 
Guillaume François Antoine, o Marquês de L'Hopital, mas na verdade ela foi descoberta em 1694 pelo matemático 
suíço John (Johann) Bernoulli. Uma explicação para esse fato é que esses dois matemáticos fizeram um curioso acordo, que 
dava ao Marquês de L'Hopital os direitos das descobertas de Bernoulli. Entretanto, parece não existir um consenso sobre a 
história do tal “acordo”. 
 
Baseado num texto de: STEWART, James. Cálculo. v.1. 5. ed. São Paulo: Thomson, 2006. 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Derivadas Sucessivas [Derivadas de Ordem Superior] + Regra de L'Hopital 
 
 
1) Encontre as derivadas primeira e segunda das funções dadas a seguir. 
 
a) e) 
 
b) f) 
 
c) g) 
 
d) 
 
 
 h) 
 
 
2) Determine para . 
 
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3) Se , encontre . 
 
 
4) Se , encontre .  Nota: Você poderá optar por utilizar, em algum momento, a relação: 
 . 
 
 
5) Encontre uma fórmula para sabendo que: . 
 
 
6) Determine . 
 
 
7) Encontre um polinômio de 2º grau , tal que: , e . 
 
 
8) Dois móveis têm seus movimentos sobre uma mesma trajetória retilínea, dados pelas equações 
 
e 
 . Determine as velocidades e as posições desses móveis quando as suas acelerações forem 
iguais. Considere em metros e em segundos. 
 
 
9) Num equipamento automatizado, um dispositivo móvel descreve uma trajetória definida pela equação 
 
 
 [ em 
centímetros e em segundos]. Determine a velocidade e a aceleração do dispositivo após se deslocar cm. 
 
 
10) Seja . Verifique que: 
 
 
 
 
 
 . 
 
 
11) A equação é chamada equação diferencial pois envolve a função desconhecida e suas derivadas 
 e . Para que valores de , a função satisfaz a equação diferencial em questão? 
 
 
12) Um objeto preso a uma mola vertical tem função posição dada por , onde é a amplitude de sua 
oscilação e é uma constante. Assim: 
 
a) Encontre a velocidade e a aceleração como função do tempo. 
b) Mostre que a aceleração é proporcional ao deslocamento . 
c) Mostre que a velocidade é máxima quando a aceleração é zero. 
 
 
13) Calcule os limites [caso existam] aplicando a regra de L'Hopital, adequadamente. 
 
a) 
 
 
 
 
 b) 
 – 
 
 
 
c) 
 
 
 d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 f) 
 
 
 
 
g) 
 
 – 
 h) 
 
 – 
 
 
i) 
 
 
 j) 
 
 
 
 
k) 
 
 
 l) 
 
Observação: O limite da letra [k]: 
 
 
 pode aparecer, principalmente em livros de origem norte-americana, 
na forma: 
 
 
 . Lembre-se que a maioria das calculadoras científicas apresenta a função na 
forma . Ambas representam a função inversa de . Fique ligado! 
 
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 
14) Mostre, através da aplicação da regra de L'Hopital, que os limites fundamentais: 
 
a) 
 
 
 b) 
 – 
 
  c) 
 
 
 
 
 
 
 
15) Prove que 
 
 
 para todo inteiro positivo. Note que isso mostra que a função exponencial tende 
mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de . 
 
 
16) Se um montante inicial de dinheiro for investidoa uma taxa de juros composta vezes ao ano, o valor do 
investimento após anos será: 
 
 
 
 
 
 
 
Se fizermos , chamamos isso de juros compostos contínuos. Use a regra de L'Hopital para mostrar que se os juros 
forem compostos continuamente, então o montante após anos será: 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1a) e 1e) e 
 
1b) e 1f) e 
 
1c) e 1g) e 
 
1d) e 1h) e 
 
2) 3) 4) 
 
5) 6) 7) 
 
8) e com e 
 
9) e 11) 
 
12a) e 
 
13a) 13b) 13c) 13d) 13e) 13f) 
 
13g) 13h) 13i) 13j) 13k) 13l) 
 
 
Para descontrair com o Calvin… 
 
 
 
 
 
Para refletir… 
 
Namorar alguém de exatas é saber que você vair ter com quem contar. [Recebido de um colega através de mensagem em uma rede social] 
 
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APÊNDICE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Nota: 
 
Nem todas as retas podem 
ser representadas em todas 
as formas citadas ao lado. 
RELEMBRANDO: TIPOS [FORMAS] DE EQUAÇÃO DE UMA RETA [NO PLANO] 
 
A equação de uma reta [no plano] pode ser escrita na forma: 
↳ Geral 
↳ Reduzida 
↳ Segmentária 
↳ Paramétrica 
 
Detalhando um pouco, temos: 
 
 Equação Geral: 0 cbyax  Sendo que na equação geral: 
b
a
m  e 
b
c
n  
 
 Observe que, se na forma geral: 0 cbyax 
 
 Isolarmos o termo em y temos: caxby   
b
cax
y

 
 
 Agora, separando o denominador: 
b
c
x
b
a
y   












b
c
x
b
a
y 
 
 Assim temos a equação da reta na sua forma reduzida: nmxy  
 
 
 
 Equação Reduzida: nmxy  
 
 ↳ Coeficiente angular: tgm  ou 
AB
AB
xx
yy
m


 
 
 
 
 
Nota: A função polinomial do 1º grau é representada pela equação reduzida da reta. 
 
 
 Equação Segmentária: 1
q
y
p
x
 
 
 ↳ Sendo que: 





yinterceptoq
xinterceptop
 
 
 
 Equações Paramétricas: 





)(
)(
tgy
tfx
 
 ↳ Sendo que t é um parâmetro comum às equações. Veja um exemplo: 





ty
tx
2
74
 
 
 
RELEMBRANDO: COMO ENCONTRAR [CALCULAR] A EQUAÇÃO DE UMA RETA 
 
Quando conhecemos: 
 2 pontos ),( AA yxA e ),( BB yxB : Substitua os pontos em: nmxy  ou aplique: 0
1
1
1

BB
AA
yx
yx
yx
 
 
 1 ponto ),( PP yxP + o coeficiente angular “ m ”: Aplique em: )( PP xxmyy  
 ↳ “Equação Fundamental da Reta” 
0 
q 
p 
● 
● 
y 
x 
0 
n 
 
● 
● 
y 
x 
0m
0 
n 
 
● 
● 
y 
x 
0m
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[Relembrando] Exemplo 1: Escreva a equação da reta “s” na forma geral e reduzida, sabendo que ela passa pelo 
ponto )2,1(P e tem coeficiente angular igual a 3 . 
 
Resolução: 
 
Aplicando a “equação fundamental da reta”, temos: 
 
)( PP xxmyy  Da equação reduzida da reta em questão, fazemos: 
 
 )1(32  xy 13  xy 
 
 332  xy 130  yx 
 
s: 13  xy s: 013  yx 
↳ equação reduzida da reta ↳ equação geral da reta 
 
 
 
 
 
 
[Relembrando] Exemplo 2: A reta “ r ” está representada graficamente logo abaixo. Escreva a equação desta reta nas 
formas: segmentária, geral e reduzida. 
 
Resolução: 
 
 
Observando o gráfico ao lado, temos: 
 
r: 1
54

yx
  equação segmentária da reta 
 
 
 
20
20
20
45

 yx
 
 
 
 
2045  yx 
 
 
 
r: 02045  yx  equação geral da reta 
 
 
 
2054  xy 
 
 
 
4
205 

x
y  r: 5
4
5

x
y  equação reduzida da reta 
 
 
 
 
 
 
Para refletir: Não aprenda a desejar aquilo que não merece. [retirado de um biscoito da sorte chinês] 
4 
0 
5 
 
● 
● 
y 
x 
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TABELA DE DERIVADAS 
 
Considere: ( ) , ( ) , ' '
dy du
u u x v v x y e u
dx dx
    e ainda “k” e “a” como constantes 
 
Propriedade da Linearidade: ( ) ( ) ( )
d d d
ku v k u v
dx dx dx
   
 
 
Fórmulas: 
 
1) y k 
 
' 0y  
 
 11) y senu 
 
' ' cosy u u 
 
2) y ku 
 
' 'y ku 
 
 12) cosy u 
 
' 'y u sen u  
 
3) y u 
 
1' 'y u u  
 
 13) y tg u 
 
2' 'y u sec u 
 
4) , 1 0uy a a e a   
 
' ln 'uy a a u 
 
 14) y cotgu 2' 'y u cosec u  
5) uy e 
 
' 'uy e u 
 
 15) y secu ' 'y u tgu secu 
6) logay u 
 
'1
'
ln
u
y
a u
 
 
 16) y cosecu ' 'y u cotgu cosecu  
7) lny u 
 
'
'
u
y
u
 
 
 17) y arcsenu 
2
1
' '
1
y u
u


 
8) .y u v ' . ' . 'y u v v u  18) y arctg u 
2
1
' '
1
y u
u


 
9) 
u
y
v
 
2
. ' . '
'
v u u v
y
v

 19) y senhu ' 'y u coshu 
10) vy u 1' ' 'v vy vu u u lnu v  20) y coshu ' 'y u senhu 
 
 
Função Composta: Se )(xuu  e )(txx  , então: 
dt
dx
dx
du
dt
du
 [Regra da Cadeia] 
 
Função Paramétrica: Se )(tyy  e )(txx  , então: 
dt
dx
dt
dy
dx
dy
 
 
Função Inversa: Se )(xfy  admite inversa, então: 
dydxdx
dy
/
1
 
 
 
 
 
Para refletir: A verdadeira viagem de descoberta não está em procurar novas paisagens, mas em adquirir novos olhos. 
[Marcel Proust, Em busca do tempo perdido]