Aula 03 - Limitações de Q

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Limitações do Conjunto Q 
 
Teorema: 
2
não é racional. 
 
Prova: 
Suponhamos, por absurdo, que 
2
 seja racional. 
Sabemos que existem p e q primos entre si, 𝑞 ≠ 0, de tal forma que: 
 
√2 =
𝑝
𝑞
 
 
Elevando ambos os membros ao quadrado, 
 
2 =
𝑝2
𝑞2
 
 
ou ainda, 
 
𝑝2 = 2𝑞2 (𝐼) 
 
Isso significa que 𝑝2 é um número par. 
 
Mas, se 𝑝2 é um número par, temos que p é um número par também, de acordo com o 
resultado que já mostramos na aula de hoje. 
 
Dessa forma, podemos escrever 
𝑝 = 2𝑛 (𝐼𝐼) 
 com 𝑛 ∈ ℤ. 
 
Substituindo agora (II) em (I), obtemos: 
 
(2𝑛)2 = 2𝑞2 
4𝑛2 = 2𝑞2 
𝑞2 = 2𝑛2 
 
Isso significa então que 𝑞2 é um número par, e mais ainda, que 𝑞 é um número par. 
Dessa forma, p e q seriam pares, o que é um absurdo, já que admitimos p e q primos 
entre si. 
 
Assim, 
2
não é racional. 
 
Pois bem. Mostramos então que a diagonal de um quadrado de lado 1, 
2
, não é um 
número racional, no entanto, pode ser representado na reta. 
 
 
 
 2 
 
Então, podemos sim, dizer que existem pontos na reta que representam números que 
não são racionais. 
 
 
Exercício: 
Mostre que, se p é número primo e p>1, então √𝑝 é irracional. 
 
Supondo √𝑝 racional, podemos ter: 
 √𝑝 =
𝑚
𝑛
 , com m e n primos entre si. 
 
Então: 
√𝑝 =
𝑚
𝑛
 
 
𝑝 =
𝑚2
𝑛2
 
𝑝𝑛2 = 𝑚2 
 
 
Temos então que m2 é divisível por p. 
Ou ainda, m é divisível por p. 
Então, 𝑚 = 𝑟𝑝, 𝑛 ∈ ℤ . 
Daí: 
𝑝2𝑟2 = 𝑝𝑛2 
𝑝𝑟2 = 𝑛2 
 
Desta forma, n também é divisível por p. 
 
O que é absurdo, pois m e n seriam ambos divisíveis por p e desta forma, 
𝑚
𝑛
 não seria 
fração irredutível. 
 
Portanto, √𝑝 não é racional. Logo, é irracional.